Esercitazione 6 del corso di Statistica 2

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1 Esercitazioe 6 del corso di Statistica Dott.ssa Paola Costatii 7 marzo Decisioe vera falsa è respita Errore di I tipo Decisioe corretta o è respita Probabilità = Decisioe corretta Probabilità = - Probabilità = - Errore di II tipo Probabilità = Errore di I tipo: idica la probabilità di rifiutare l ipotesi ulla quado è vera. E idicata co ed è ache deomiata livello di sigificatività del. Errore di II tipo: idica la probabilità di accettare l ipotesi ulla quado è falsa. E idicata co. Esercizio Il cosumo settimaale di gas, i decimetri cubi, per il riscaldameto di u abitazioe ha ua distribuzioe ormale co scarto quadratico medio 35. I precedeza è stato osservato u cosumo settimaale medio di gas par a 4 decimetri cubi. Avedo coibedato le mura dell appartameto, si ritiee che il cosumo settimaale medio di gas sia, ora, 5 decimetri cubi. Per cofrotare l ipotesi ulla, che il cosumo medio di gas sia rimasto ivariato, co l ipotesi alterativa, i base alla quale il cosumo medio di gas è ridotto, si utilizza la seguete regola di decisioe: l ipotesi ulla è respita se i u campioe di 5 osservazioi la media campioaria è miore di 5 decimetri cubi. a) Calcolare la probabilità dell errore di I tipo; b) Calcolare la probabilità dell errore di II tipo; c) Calcolare quale sarebbe la probabilità dell errore di I tipo se il valore critico fosse 8 decimetri cubi. d) Calcolare quale sarebbe la probabilità dell errore di II tipo se il valore critico fosse 8 decimetri cubi. Soluzioe a) La probabilità dell errore di I tipo è la probabilità che X assuma valori ella regioe critica quado è vera ed è quidi la probabilità dell eveto X 5calcolata sull ipotesi ulla 4. Si ha:

2 X P ( X 5 : 4) P : 4 35/ 5 7 P ( Z,4) z(,4),9838,6 b) Sotto l ipotesi alterativa la media campioaria ha ua distribuzioe Normale co media 5 decimetri cubi e scarto quadratico medio 35. La probabilità di commettere u errore di II tipo è la probabilità che media campioaria assuma valore ella regioe di accettazioe, X 5, quado è vera, cioè = 5. Si ha: X P ( X 5 : 5) P : 5 35/ 5 7 P ( Z,43) z(,43),936,764 X c) P ( X 8 : 4) P : 4 35/ 5 7 P ( Z,7) z(,7),9838,436 X d) P ( X 8 : 5) P : 5 35/ 5 7 P ( Z,87) z(,86),9686,34 Co l aumeto della regioe critica (da 5 a 8), la probabilità di commettere l errore di II tipo dimiuisce; ciò comporterà u aumeto della probabilità di commettere u errore di I tipo. Esercizio. I passato la lughezza media delle paocchie di grao è stata uguale a 7 cm co 4. Si vuole sottoporre a l ipotesi che le paocchie di u determiato ao abbiao ua lughezza media diversa, sulla base di u campioe di elemeti co u, X i x i 4,55 IPOTESI : 7 : 7 X x

3 VALORI CRITICI Z / Z,,5375 REGOLA DI DECISIONE -,5375 v +,5375 4,55 7 VALORE TEST V, 4 4,9 DECISIONE -,4 < -,5375 si rifiuta l ipotesi Esercizio 3 Ua ditta produttrice di batterie per cellulari pubblicizza i propri prodotti garatedo ua durata media di 8 ore co uo scarto quadratico medio di,5. Poiché ha ricevuto parecchi reclami da parte dei clieti che sostegoo che la durata è iferiore, la ditta decide di effettuare ua prova di durata su u campioe di batterie, otteedo u tempo medio di accesioe di 7,7 ore. a) sulla base di tale risultato come può la ditta verificare la validità della sua affermazioe riguardate la durata media garatita. Svolgimeto Si richiede di effettuare u sulla media cooscedo la variaza del carattere osservato, co u livello di sigificatività del 5%. IPOTESI : 8 : 8 VALORI CRITICI z, 33 REGOLA DI DECISIONE - v + 7,7 8 VALORE TEST V, 896,5 DECISIONE -,33 < -,645 si rifiuta l ipotesi X x Esercizio 3 Sia dato u campioe di famiglie secodo l idice di affollameto (. medio di compoeti per staza): Idice di affollameto. famiglie c i c i i (c i - x ) i [-,6] 6,3,8 5,48 ],6-,] 8,9 6,,8 ],-],6 6,8 ]-3] 7,5 7,5,83 4 5,5 9,77 Provare l ipotesi che ella popolazioe l idice di affollameto sia pari a.

4 IPOTESI t x s /,56,56 VALORI CRITICI t, 35,7 / 4,9 REGOLA DI DECISIONE Accetto se V > -,645 7,7 8 VALORE TEST V, 896,5 DECISIONE -,33 < -,645 si rifiuta l ipotesi Esercizio 4 U ecoomista del Miistero degli Esteri desidera verificare se gli accordi di egoziazioe tra Italia e Giappoe siao rispettati. I particolare egli sospetta che i produttori giappoesi fissio u prezzo più basso per i prodotti veduti sul mercato italiao rispetto a quello usato sul mercato itero, ostacolado al cotempo le importazioi di prodotti italiai co forti ostacoli di tipo burocratico. Si iteressa i particolare al mercato dell auto e vuole are l ipotesi che prezzi più alti siao applicati i Giappoe rispetto all Italia per le autovetture di produzioe giappoese. Esamia a tal fie due campioi relativi a pratiche di acquisto di tali autovetture ello stesso periodo di tempo (5 per il mercato italiao e 3 per il mercato giappoese). Covertedo i prezzi di vedita i Giappoe usado il cambio correte Ye/Euro, ottiee i risultati elecati ella seguete tabella: ITALIA GIAPPONE AMPIEZZA CAMPIONE 5 3 MEDIA CAMPIONARIA Siao ioltre oti i segueti valori per le rispettive popolazioi di riferimeto ITALIA GIAPPONE DEVIAZIONE STANDARD a) Costruire u d ipotesi usado u livello di sigificatività α=,5 I due campioi soo selezioati i maiera idipedete dalle due popolazioi. Le rispettive ampiezze campioarie e soo sufficietemete gradi affiché sia x che x siao distribuite approssimativamete come ormali.

5 SVOLGIMENTO IPOTESI : : x x x x x x VALORI CRITICI,5 Z, 645 REGOLA DI DECISIONE Accetto se V, 645 Z VALORE TEST x x ,59 DECISIONE -,59 < -,645 si accetta l ipotesi Esercizio 5

6 Esercizio 5 Tipo di cotratto Iserimeto/ Stabile Atipico Seza cotratto Utilizzo della laurea formazioe Tot I misura elevata I misura ridotta 5 8 Per iete 4 8 totale 9 5 Verificare ad u livello di sigificatività del 9% se i due caratteri soo idipedeti

7 IPOTESI ( ij ij ˆ ) ˆ i j ij ( ij ij ˆ ) ˆ i j ij ( ij ij ˆ ) ˆ i j ij VALORI CRITICI,, 6 6=(r-)*(c-) =,645 REGOLA DI DECISIONE Accetto se V, 645 VALORE TEST = = 7,4 DECISIONE 7,4 <,645 si accetta l ipotesi Accetto l ipotesi ulla, quidi i due caratteri soo idipedeti. Il valore è diverso da zero, ma o sigificativamete diverso da zero..