Altre trasformazioni elementari

Transcript

1 Altre trasformazioni elementari Si possono definire altri tipi di trasformazioni elementari Analogamente alle trasformazioni di Gauss, esse danno luogo a fattorizzazioni Trasformazione elementari di Givens Esempio Se n=8, ϕ=π/4, i=3, j=6, la trasformazione di Givens è la matrice dove 1

2 Prodotto matrice vettore Caso n=2 Moltiplicare un vettore per una matrice di Givens equivale ad una rotazione di ampiezza ϕ. Osservazione Rotazione nel senso positivo degli archi In generale Il prodotto matrice vettore equivale ad una rotazione nell iperpiano individuato da dove indicano l -iesimo e il j- esimo vettore della base canonica (colonne della matrice identità) 2

3 Proprietà La matrice è ortogonale (l inversa coincide con la trasposta). Lo si vede dall esempio in 2 dimensioni, poichè la trasposta esprime una rotazione in senso inverso. In generale si ha che Osservazioni Le matrici ortogonali hanno la proprietà di avere un inversa facilmente calcolabile (è la trasposta). L idea è di usare le rotazioni di Givens in modo analogo alle trasformazioni di Gauss (matrici triangolari) per ottenere una fattorizzazione. Osservazione Infatti Se è sempre possibile trovare valori di c ed s (trovare un angolo ϕ ) tale che 3

4 Il prodotto altera solo la i- esima e la j-esima componente del vettore y secondo le relazioni Data una matrice A, è possibile trovare tale che abbia l elemento. Per annullare occorre trovare c ed s tali che Inoltre Vengono alterate solo la riga i e la riga j della matrice prodotto 4

5 Fattorizzazione QR Usare le trasformazioni di Givens per ridurre a struttura triangolare una matrice (analogia con le trasformazioni di Gauss). Dopo n-1 passi Riassumendo TEOREMA Se A è una matrice nxn allora esiste una matrice ortogonale Q tale che dove R è triangolare superiore. è una matrice ortogonale perché prodotto di matrici ortogonali Si ha 5

6 Esempio: passo (1) Esempio: passo (1) Esempio: passo (1) Esempio: passo(2) 6

7 Esempio: passo(3) Esempio Esempio Complessità computazionale Passo 1 2 n-1 Prodotti Radici n-1 n-2 1 7

8 Osservazione La complessità della fattorizzazione QR è maggiore rispetto all algoritmo di Gauss. Nel caso di matrici sparse può essere conveniente. Es: Matrici tridiagonali o di Hessemberg Osservazioni Si dimostra che la fattorizzazione QR equivale al procedimento di Gram- Schmidt. La fattorizzazione QR è utilizzata anche per Algoritmi per il calcolo degli autovalori di una matrice; Metodi per la soluzione di problemi di fitting (approssimazione) Soluzione di un sistema Sostituzione all indietro Calcolo dell inversa 8

9 Calcolo dell inversa Per definizione Se consideriamo l uguaglianza per colonne otteniamo Calcolo dell inversa Se per esempio dove è la i-esima colonna dell inversa e è la i-esima colonna della matrice identità Si risolvono n sistemi triangolari inferiori dove il termine noto è rappresentato dalle colonne della matrice identità e poi n sistemi triangolari superiori. Metodo di Gauss-Jordan Si risolvono contemporaneamente gli n sistemi Trasformazioni di Gauss- Jordan La matrice A viene ridotta a forma diagonale mediante trasformazioni di Gauss-Jordan. Il prodotto equivale ad una combinazione lineare delle righe. La matrice risultante ha tutti elementi nulli sulla colonna i tranne l elemento diagonale. 9

10 Dopo n-1 passi Si applicano n-1 trasformazioni alla matrice composta Si ottiene per definizione è l inversa di A Osservazioni E una variante del metodo di Gauss. Si tratta di un procedimento di eliminazione. Anche in questo caso si può applicare la strategia di pivoting parziale. Il metodo di Gauss-Jordan ha complessità computazionale Esempio 10

11 Sommario dei metodi diretti Complessità computazionale Due librerie di subroutine per la risoluzione dei sistemi lineari (LAPACK) applets/linear_equations_routines.html (HSL) La scelta del metodo dipende Dalla struttura della matrice (sparsa o densa) Dalla dimensione Dal condizionamento del sistema 11