TEST DIAGNOSTICI. Si chiama test diagnostico un esame effettuato per stabilire se un dato individuo è affetto o no da una certa malattia.

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1 TEST DIAGNOSTICI Si chiama test diagnostico un esame effettuato per stabilire se un dato individuo è affetto o no da una certa malattia. Il test, come ogni esame, ha un certo margine di errore, può risultare positivo anche se l individuo è sano, o negativo se l individuo è malato.

2 TEST DIAGNOSTICI Indichiamo con M l evento l individuo è affetto dalla malattia M l evento l individuo non è affetto dalla malattia T + l evento il test è risultato positivo T l evento il test è risultato negativo Si definisce specificità del test la probabilità condizionale P(T M ) Si definisce sensibilità del test la probabilità condizionale P(T + M )

3 TEST DIAGNOSTICI Si dicono valori predittivi del test le probabilità condizionali P(M T + ), P( M T ) La probabilità P(M) viene detta tasso di incidenza della malattia La specificità e la sensibilità del test viene testata su campioni di individui per i quali è noto se sono o meno affetti dalla malattia. A partire dalla conoscenza del tasso di incidenza della malattia e della specificità e sensibilità del test, si calcolano i valori predittivi.

4 TEST DIAGNOSTICI P(M T + ) = P(M) P(T + M) / P(T + ) Come calcoliamo P(T + )? Il test può risultare positivo se la persona è affetta dalla malattia oppure se la persona non è affetta, ma il test ha dato erroneamente esito + P(T + ) = P(M) P(T + M) + P( M ) P(T + M) Quanto vale P(T + M)? P(T + M) = 1 - P(T M )

5 TEST DIAGNOSTICI P(M T + ) = P(M) P(T + M) /[P(M) P(T + M) + P( M ) (1-P(T M ))] Analogamente P( M T ) = P( M) P(T M) /[P( M) P(T M) + P(M)(1- P(T + M))]

6 TEST DIAGNOSTICI Una certa malattia, presente in una data popolazione, ha un tasso di incidenza Un test diagnostico nei confronti della malattia ha sensibilità e specificità Calcolare i valori predittivi del test. Abbiamo P(M) = 0.003, P(T + M ) = 0.999, P(T M )= Vogliamo calcolare P(M T + ) e P( M T )

7 TEST DIAGNOSTICI P(M T + ) =P(M) P(T + M) /[P(M) P(T + M) + P( M ) (1-P(T M ))] P(M T + ) = /[ ] 0.6 quindi il valore predittivo del test nel caso risulti positivo è circa del 60%, vale a dire che la probabilità che l individuo sia effettivamente malato è circa 0.6 ESERCIZIO:Come cambia la probabilità di malattia se si effettua un secondo test ed anche questo risulta positivo?

8 TEST DIAGNOSTICI P( M T ) = P( M) P(T M) /[P( M) P(T M) + P(M)(1- P(T + M))] = /[ ] Il valore predittivo in caso di esito negativo del test è molto alto

9 Malattie e soggetti a rischio Una malattia colpisce una data popolazione in cui i soggetti a rischio sono il 15%. E noto che il tasso di incidenza della malattia sulla popolazione a rischio è 10%, mentre il tasso di incidenza sulla popolazione non a rischio è 0.5%. a) Calcolare l incidenza della malattia sull intera popolazione, vale a dire la probabilità che un individuo scelto a caso abbia tale malattia. b) Tra tutti i malati, qual è la frequenza dei soggetti a rischio? c) E tra i sani?

10 Distribuzione binomiale In una famiglia con tre figli, qual è la probabilità di avere un solo figlio maschio? Indichiamo con M una nascita maschile e con F una femminile, consideriamo P(M) =0.515 e P(F) = L evento richiesto si può realizzare nei seguenti modi: MFF, FMF, FFM. Se ipotizziamo che il risultato di ogni nascita sia indipendente dal risultato delle precedenti, ciascuno di loro avrà probabilità (0.515) (0.485) 2

11 Distribuzione binomiale Dunque la probabilità richiesta sarà 3 (0.515) (0.485) 2 In una famiglia con 5 figli, qual è la probabilità di avere 2 maschi? La famiglia sarà composta da 2 M e 3 F, ogni evento, sempre nell ipotesi di indipendenza tra nascite, avrà probabilità (0.515) 2 (0.485) 3 Ma in quanti modi si possono avere 2 M su 5 figli?

12 Distribuzione binomiale Ma in quanti modi si possono avere 2 M su 5 figli? 5 2 Dunque la probabilità richiesta è 5 2 (0.515)2 (0.485) 3

13 Distribuzione binomiale Generalizziamo ad un famiglia con n figli, indichiamo con p la probabilità di una nascita maschile e con q = 1-p la probabilità di una nascita femminile. Calcoliamo quindi la probabilità che in una famiglia con n figli, k siano maschi (0 k n ). n k pk q n-k

14 Distribuzione binomiale Ancor più in generale sia A un evento e A la sua negazione (evento contrario). Poniamo P(A) = p, P( A ) = q = 1-p. Ripetiamo l esperimento n volte in modo tale che ogni risultato consecutivo sia indipendente da tutti i precedenti risultati. Allora la probabilità che A si verifichi esattamente k volte (0 k n ) è n k pk q n-k

15 Distribuzione binomiale ESEMPIO: Cinque cavie appartenenti ad una stessa figliata sono sofferenti di una deficienza di vitamina A. Essi vengono nutriti di una certa dose di carote. Sia p=0.73 la probabilità di guarigione. Ci domandiamo: a) Qual è la probabilità che tre delle cinque cavie guariscano? b) Qual è la probabilità che almeno una cavia guarisca c) Qual è la probabilità che al più una cavia guarisca?

16 Distribuzione binomiale Qual è la probabilità che tre delle cinque cavie guariscano? 5 3 (0.73)3 (0.27) 2

17 Distribuzione binomiale Qual è la probabilità che almeno una cavia guarisca? almeno una cavia guarisce, significa una oppure due, oppure tre, oppure quattro oppure cinque. Conviene negare questo evento, otteniamo: nessuna cavia guarisce. Quest ultimo evento ha probabilità (0.27) 5 Quindi l evento almeno una cavia guarisce ha probabilità 1 (0.27) 5

18 Distribuzione binomiale Qual è la probabilità che al più una cavia guarisca? Significa che o nessuna cavia guarisce oppure una sola cavia guarisce (0.27) 5 +5 (0.73) (0.27) 4