L analisi di aggregati edilizi con solai rigidi e flessibili.

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1 L anals aggregat elz con sola rg e flessbl. arco Valat, Gorgo ont DISG Dpartmento Ingegnera Strutturale e Geotecnca. Sapenza Unverstà Roma. Va Gramsc 5, 0097 Roma. eywors: aggregat elz; sola flessbl; anals semplfcate. ABSRAC La proceura calcolo semplfcata proposta n ont e Valat (009) per la valutazone ell'aeguatezza ssmca aggregat elz, vene arrcchta n questo lavoro con l'ntrouzone ella possbltà moellare esplctamente la rgezza e sola, rmuoveno pertanto l'potes solao nfntamente rgo, che n molt cas s scosta al reale comportamento meccanco egl orzzontament molt efc, specalmente quell el tessuto urbano e centr storc. D'altra parte la NC 008 non suggersce moell alternatv a quello rgo, lmtanos a poche e general ncazon sulle moaltà svolgmento ella verfca. La rsoluzone el problema vene proposta n forma analtca per essere ntegrata agevolmente all'nterno ella proceura. Agl svlupp analtc el moello fanno seguto confront numerc con moell calcolo pù sofstcat. INRODUZIONE Aottare lo schema solao nfntamente rgo nel propro pano, pratca puttosto ffusa e spesso poco aerente alla realtà strutturale molt contest elz, à nubbamente luogo a elle conserevol semplfcazon al punto vsta computazonale, soprattutto nell ambto una proceura semplfcata. È altresì vero che una tale potes, quano non cogle l reale comportamento el aframma, prouce un errata valutazone ella strbuzone elle forze su masch murar, generano error anche macroscopc nella valutazone elle forze ssmche competenza elle sngole paret. Con l ntento persegure una metoologa calcolo pù generale possble e comunque facle mpego, s è svluppato un metoo moellazone pù realstco, che tene conto anche el rapporto tra le rgezze el solao e e pannell murar e che rmuove la necesstà ell potes solao nfntamente rgo nel propro pano aottata n una preceente proposta (ont e Valat 009). Gl schem eal solao nfntamente rgo e nfntamente flessble costtuscono lmt el moello proposto, con sgnfcato esclusvamente teorco, poché cas che normalmente s ncontrano nella realtà s collocano n un ntervallo rgezza abbastanza lmtato. Infatt, sola realzzat con carpentera lgnea, rappresentatv una buona parte el panorama elzo esstente, sono nteressat a un campo egl spostament nel pano che solo un moello mpalcato otato rgezza/flessbltà fnta è n grao rprourre. A completamento questa panoramca, va noltre evenzata una conseguenza non trascurable connessa all mpego ello schema solao flessble: gl effett torsonal proott all eccentrctà tra l barcentro masse e rgezze tenono a mnure fno a annullars quano la rgezza nel pano tene a zero. È charo che non è possble stablre a pror quale e ue moell comport un mpegno mnore elle strutture murare; certo è che quano le eccentrctà sono notevol l moello a solao flessble è meno penalzzante per buona parte e pannell murar.

2 er facltarne la comprensone, s può pensare alla strbuzone elle forze orzzontal su masch n analoga alle moaltà con cu s strbuscono carch gravtazonal. In questo caso la rgezza assale e plastr è molt orn granezza superore alla rgezza flessonale el solao, per cu la rsultante elle forze su ogn parete è valutata n ragone ell area nfluenza ognuna. La strbuzone elle forze orzzontal orgne ssmca sulle paret avvene allo stesso moo, quano l rapporto tra la rgezza elle paret e quella el solao è molto elevato. Nella fgura seguente sono rappresentat ue schem teorc rfermento per l comportamento nel pano el solao. L L L gura. Deformata egl mpalcat (con lnea tratteggata) al varare ella rgezza nel loro pano: n alto moello con schema nfntamente rgo, n basso con schema flessble. L ODELLO ANALIICO Con rfermento al semplce caso n fgura, che po s provveerà a generalzzare, quano sono assent fenomen natura torsonale, l equazone equlbro alla traslazone comporta la seguente uguaglanza: + = () + n cu è la rsultante elle forze orzzontal al pano j-esmo, come ncato n fgura. Se, a esempo, s verfca che: N = N = N e che: = =, n cu N e sono, rspettvamente, la rsultante e carch e la rgezza trasversale ell -esmo mascho, allora per entrambe le confgurazon vale la seguente espressone: = = () Quano rapport tra le rgezze o tra le rsultant e carch vertcal pertnenza elle sngole paret non sono untar, le forze orzzontal s strbuscono n manera versa; n partcolare, nel caso el moello a sola nfntamente rg, vale la seguente espressone: = () per cu la forza sul sngolo mascho è proporzonale alla sua rgezza. er l moello a sola nfntamente flessbl, la legge strbuzone è nvece: N = (4) N S osserv che, n entrambe le preceent equazon, vale la seguente efnzone, che fa rfermento all ornata spettrale n funzone el peroo propro el pano e alla sua massa m (g è l accelerazone gravtà): S ( ) g a = Sa ( ) m = N (5) n cu s mpega l potes semplfcatva, s rcor, stuare ogn pano a sé stante. Sosttueno la (5) nella () s ha: S ( ) a = N (6) g e, operano la meesma sosttuzone nella (4) s ha: S ( ) a = N (7) g Le espresson (6) e (7) consentono valutare la forza sulla parete -esma, ne ue cas estrem n cu s sa aottata l potes solao nfntamente rgo o nfntamente flessble. L obettvo è ora gungere alla efnzone un unca espressone analtca che contempl la (6) e (7) come cas lmt. A questo scopo, s osserv che:

3 = π (8) α m = π = π (9) αk rappresentano l peroo propro el sngolo pano nel caso solao nfntamente rgo (8) e ella sngola parete nel caso solao nfntamente flessble (9). Nella (9) sono stat ntroott ue parametr, α m e α k, che pesano rspettvamente l carco assale e la rgezza trasversale ell -esmo mascho rspetto alla sommatora estesa a tutte le paret che fornscono un contrbuto alla resstenza trasversale. Ess sono at a: N α m = (0) N α k = () Impegano opportunamente l rapporto tra le ue granezze amensonal può arrvare a una scrttura unfcata ell espressone el peroo. Infatt, esprmeno l rapporto preceente n funzone el rapporto tra le rgezze el solao e e pannell murar, la forma generale el peroo può essere scrtta come: α = π α m k n cu l esponente : α = π α m k () s 0 () è una funzone el rapporto tra le rgezze el solao e e pannell sottostant. Quano 0 (solao nfntamente flessble), l espressone () egenera nella (9), mentre per (solao nfntamente rgo) l espressone () egenera nella (8). ale funzone, come spegato pù avant, è valutata con opportun moell numerc che tengono conto ella varabltà el rapporto tra le rgezze. oell pù compless possono tener conto anche ella varabltà altr parametr, come la luce egl mpalcat o la legge strbuzone e carch orzzontal. Comunque, n questa prma fase s concentrerà l attenzone su moell parametrc monovarat, con come unca varable. Sulla base elle conserazon svolte fnora, all espressone (6) s può rcavare la seguente relazone valtà generale, funzone : ( ) = S a (α mk ) (α g m N ) (4) Anche per la (4) s possono ottenere le forme egener n corrsponenza e ue cas lmte rfermento; nfatt, per 0 (solao nfntamente flessble), l espressone (4) egenera nella (7), mentre per (solao nfntamente rgo) l espressone (4) egenera nella (6). L espressone (4) permette qun valutare la forza orzzontale n corrsponenza ogn parete, una volta calcolato n funzone el rapporto rgezza fra solao e paret. Nel caso n cu l moello s scost a quello perfettamente rgo, è necessaro sporre una espressone generalzzata ella rgezza, analoga alla (4), n cu sa possble nserre anche l contrbuto e sola. er un generco, utlzzano la (4), s può valutare lo spostamento n sommtà ogn parete come: ( ) = ( ) k = mentre per s ha: ( =) = ( =) = k S a (α mk ) (α g m N ) (5) S a ( ) N g (6) Il rapporto tra le ue preceent espresson fornsce l seguente fattore: ( ) = ( ) ( =) = δ S a (α mk ) S a ( ) α m (7) La relazone preceente permette ncluere n manera esplcta anche l contrbuto ella rgezza fnta el solao. La rgezza ogn nterpano sarà qun ata a:

4 n ( ) = δ ( ) (8) = entre quella el generco mascho è semplcemente: ( ) = δ ( ) (9) In efntva, una volta ottenuta la legge varazone el fattore, l calcolo ella strbuzone elle forze ne masch può essere eseguto agevolmente, segueno poch e semplc pass, brevemente rassunt seguto: S. S calcola l rapporto =. S etermna l corrsponente valore. S valuta l rapporto δ fornto secono la relazone (7) 4. S calcola la rgezza ogn nterpano con la relazone (8) 5. S etermna la rgezza ell untà strutturale ell aggregato secono la relazone svluppata per un sstema n sere con carch strbut a no (ont e Valat 009), US n * j = j= n Ψ = (0) 6. S calcola l peroo come S () ODELLO ER LA VALUAZIONE DI Il problema ella moellazone ella rgezza nel pano el solao può essere affrontato potzzano che esso possa essere rconotto a quello una trave pana soggetta a carch rett ortogonalmente alla lnea asse (fgura ); le conzon carco e al contorno possono essere valutate, a esempo, n base a crter rappresentatvtà cas real. k m S gura. Analoga meccanca tra l comportamento nel pano el solao e la trave pana su una o pù campate. k m S k m S affronta, nel caso specfco, lo stuo un solao a ue campate con tesstura ortogonale all asse maggore e masch murar. In questa confgurazone, la lnea tratteggata nella fgura preceente è rappresentatva ella eformata el solao, soggetto a forze nel pano. er semplctà esposzone, s assume che le paret abbano tutte la stessa rgezza e l carco sa unformemente rpartto. La fgura seguente mostra l moello pano trave equvalente con cu s propone affrontare lo stuo el solao nella confgurazone escrtta n preceenza. s Domno c Domno gura. oello pano trave equvalente. Gl appogg fss n corrsponenza elle estremtà sono sosttut a molle elastche che consentono moellare correttamente la rgezza elle paret nel propro pano; la etermnazone elle forze che vengono trasferte su esse rveste partcolare mportanza n vrtù el fatto che l rapporto rgezza relatva nce propro sull enttà tal forze. A tal fne s rcora come lo spostamento ogn punto ella lnea asse una trave sa fornto alla soluzone ell equazone ella lnea elastca: u px = C, + C,x + C,x + C4,x () 4EI + la () efnsce l campo egl spostament n ognuno e ue omn n cu è stata suvsa la trave pana rappresentata nella fgura preceente. Le reazon sugl appogg, che rappresentano le forze nel pano ella parete el moello reale, possono essere valutate calcolano la ervata terza ell equazone fferenzale (), n cu le costant C j, possono essere valutate alle conzon al contorno. In totale, la trave n esame rchee 8 conzon al contorno; vst vncol e sola che s rscontrano ne cas real, n partcolar moo negl efc n aggregato, è ragonevole potzzare n corrsponenza ella parete mezzera un vncolo contnutà, mentre alle estremtà rsulta pù realstco un vncolo sola cernera, n vrtù una generalzzata assenza un buon collegamento n queste zone. Le costant sono pertanto calcolate sulla base elle seguent conzon al contorno: 4

5 u EI m, x ( L ) + k u ( L ) = 0 ( 0) k u ( 0) k m,u = m, u x ( L ) = 0 u EI m, x u x ( L ) + k u ( L ) = 0 ( L ) = 0 u u x x u ( 0) = ( 0) x ( 0) = ( 0) u x u u EI m, x x ( 0) + EI ( 0) + k u ( 0) = 0 Gl stu parametrc sono stat esegut mplementano l sstema equazon fferenzal all nterno un foglo athca ; al varare el rapporto rgezza relatva s valuta l corrsponente valore e tagl sulle paret s, c, ; varano n manera contnua l rapporto, s possono traccare le legg strbuzone n corrsponenza ogn parete, consenteno correlare a un etermnato valore el rapporto rgezza relatva, la corrsponente forza taglo trasmessa alla parete. È mportante precsare che l ntervallo varabltà per è stato stablto analzzano le tecnche costruttve e materal maggormente mpegat nella realzzazone elle costruzon muratura caratterzzant l patrmono elzo esstente. S ha pertanto che fattor α 0 efnscono sola con comportamento estremamente flessble, mentre fattor α 40 sono rconucbl a sola per cu è vala l potes neformabltà nel pano el solao. La rgezza el solao e ell -esmo mascho muraro sono calcolate rspettvamente come, 48EI S = () l G A W k m = () G h, h + α E l La () rappresenta la rgezza una trave appoggata alle estremtà con carco unformemente strbuto, mentre la () è la nota espressone ella rgezza una parete nel propro pano che tene conto el contrbuto a taglo e flessone (omaževč 999). La () è espressone ella rgezza ell esma parete, pertanto al enomnatore comparrà la sommatora estesa a tutte le paret su cu l solao è tessuto con contnutà: n = (4) k m, = 4 ANALISI ARAERICHE E REGRESSIONI SU 4. Convenzon grafche aottate Nelle rappresentazon grafche le forze sono state normalzzate rspetto alla soluzone ottenuta aottano l moello solao nfntamente rgo; le curve fornscono pertanto valor tenent a quano la rgezza nel pano el solao cresce fno a concere con quella el moello neformable; al contraro tenono a valor maggor quanto pù l comportamento el solao verge al moello preceente, fno a concere con la soluzone el moello nfntamente flessble. Ogn grafco è accompagnato a una legena a lato che charsce le convezon aottate sulla nomenclatura (n rfermento alla fgura ) e a smbol grafc. Le curve s stnguono esclusvamente per tpo lnea: con tratto contnuo la curva strbuzone elle reazon sull appoggo snstra, con tratteggo per quello estra, nfne con tratteggo rao per l appoggo centrale. Le anals parametrche sono state conotte sul moello numerco con: a. rapporto tra le luc elle campate par a (soluzone A) b. rapporto tra le luc elle campate par a 0,7 (soluzone B) I rsultat sono presentat ne paragraf successv rspettano tale sequenza.

6 4.. Rsultat numerc Assegnano al carco strbuto e alla lunghezza elle campate valore untaro, nonché lo stesso valore ella rgezza a masch murar, è facle rscontrare che: nel caso solao neformable (brevemente ncato nel seguto con l termne solao R ) le forze taglo sulle paret sono le stesse; nel caso opposto, quano l solao è eformable a tal punto a poter conserare le paret npenent ( solao ), la reazone sull appoggo centrale è par a crca,5 volte la soluzone ottenuta aottano l solao R; per gl appogg estremtà rsulta altresì una reazone par a crca la metà quella ottenuta con la meesma potes. Il crtero strbutvo n ragone elle rgezze elle paret può pertanto essere applcato, consapevol commettere un errore margnale sulla stma elle forze. s c gura 5. Dstrbuzone elle forze su masch murar nell ntervallo sgnfcatvtà 0 6. s c s_07 _07 c_07 gura 4. Dstrbuzone elle forze su masch murar per la soluzone A: con tratto contnuo l anamento n corrsponenza egl appogg estremtà. S conser che n ragone el rapporto tra le luc elle campate, s =. S osserv noltre che per 0, la soluzone conce sostanzalmente con quella che s otterrebbe con l solao R. S mmagn a tal proposto rurre l ntervallo nteresse ella varable, lmtanolo a un estremo superore rotto rspetto al preceente. Dalla fgura che segue, s evnce come la reazone ne masch murar tena rapamente a per valor gà molto bass. In partcolare s osserv che, c, α = 6 c, α = 40 =, α = 6 S S = S, α = 40 S 98% (5) coè per = 6 è lecto utlzzare l moello solao R per valutare la strbuzone elle forze su masch murar gura 6. Dstrbuzone elle forze su masch murar per la soluzone B..5 s_07 _07 c_ gura 7. Dstrbuzone elle forze su masch murar, nell ntervallo sgnfcatvtà 0 6.

7 er la soluzone B (L =0,7 L ) s possono agevolmente trarre concluson analoghe a quelle elaborate per la soluzone A. 4. Calbrazone ella curva I rsultat ottenut con le smulazon numerche, fornscono una curva che mette n relazone le forze taglo sulle paret murare con l rapporto tra le rgezze el solao e e masch sottostant. er la relazone (4) s è gà vsto che la funzone eve essere tale a fornre come valor estremal 0 e, n corrsponenza rspettvamente solao nfntamente flessble e rgo; nella transzone tra ue valor, la funzone eve po fornre una soluzone l pù possble vcna a quella ottenuta con moell numerc. Utlzzano tecnche regressone non lnear, è possble nvuare l moello matematco pù aatto a rappresentare rsultat numerc. La funzone è pertanto el tpo: C α = e (6) n cu C è calbrato sulla base el valore assunto al corrsponente coeffcente correlazone al quarato (brevemente ncato nel seguto con R ); R è l parametro che fornsce l grao accuratezza con cu la funzone (6), con C assegnato, è n grao stmare rsultat ottenut con moell numerc. In lnea el tutto teorca, per R = s ha corrsponenza retta tra rsultat numerc e stma prevsonale ottenuta con la curva best fttng. er l caso n esame, l errore s mnmzza assegnano alla varable calbrazone C l valore 0, gura 8. Curva best fttng per C=0,4. La funzone (6), rappresentata nella fgura preceente per C=0,4, consente pertanto stmare l valore assunto alla funzone per un assegnato rapporto tra le rgezze relatve pano; n questo moo possono essere calcolate le espresson (4), (7) e (8) che consentono valutare pù accuratamente la rgezza ella US. 5 ODELLI A CONRONO 5. Convenzon grafche aottate Come supplemento a quanto gà specfcato al par. 4., s tenga conto el fatto che n questa sezone sono sovrappost rsultat ottenut ne ue moell, analtco e numerco. In ragone cò, la soluzone ottenuta con l moello analtco è stnta ntrouceno tre smbol vers: romb, quarat e cerch rspettvamente per l appoggo snstra, per quello estra e per l centrale. Le curve, n termn colore e tpo lnea, rmangono le stesse. 5. oello numerco e analtco a confronto s c c_a s_a gura 9. Confronto tra la soluzone ottenuta con l moello numerco e quella analtca, per L =L. Rsulta evente come le soluzon fornte a moell sano puttosto lontane quano s aotta l solao, qun per valor prossm allo 0; ma gà per pccol ncrement el fattore rgezza relatva, s può faclmente osservare come le soluzon sano sostanzalmente concent. Quanto emerge alle osservazon fatte n preceenza, al carattere esclusvamente qualtatvo, è confermato alla seguente verfca numerca: =, α 0 5% e, α = 0, 8%

8 ertanto gà per = 0, la fferenza tra le ue soluzon s ruce a solo l 8%. s_07a s_07 _07A _07 c_07a c_ gura 0. Confronto tra la soluzone ottenuta con l moello numerco e quella analtca, per L =0,7 L. S conser n tal senso l anamento elle curve nella fgura preceente, n cu sono mess a confronto rsultat e ue moell per la soluzone B. È evente che anche n questo caso è possble gungere a concluson analoghe alle preceent.in partcolare è possble rlevare che, =, α 0 0% e, α = 0, 6% Qun nel caso solao le soluzon sono ancor pù lontane che nella soluzone A, ma gà per = 0, la fferenza è solo el 6%. S può pertanto concluere che, a eccezone un ntervallo puttosto margnale compreso tra 0 e 0,, la soluzone fornta al moello analtco è a rteners suffcentemente accurata. S conser che valor usual per l fattore rgezza relatva ffclmente scenono sotto l untà. Cosa ben versa è l caso n cu nel solao sano present uno o pù for; questa partcolare conzone può portare a valor anche nferor al lmte ctato. In quest cas è senz altro può opportuno conserare l foro come elemento scontnutà all nterno ello schema statco. Aottano questa stratega, l pù elle volte è possble rconurre l problema a cas analogh a quello esposto. 6 CONCLUSIONI La proceura calcolo semplfcata proposta n ont e Valat (009) per la valutazone ell'aeguatezza ssmca aggregat elz, è stata arrcchta n questo lavoro con l'ntrouzone ella possbltà moellare esplctamente la rgezza e sola, rmuoveno l'potes solao nfntamente rgo e avvcnano l metoo moellazone e anals al reale comportamento meccanco egl orzzontament molt efc, specalmente quell e tessut urban e centr storc. I rsultat elle anals svolte evenzano come l ntervallo sgnfcatvtà el fattore, che rappresenta appunto l rapporto rgezza fra solao e paret sottostant, è puttosto rotto rspetto a valor che potrebbe assumere ne cas real. In relazone a valor assunt allo stesso, emerge che gà per valor molto bass l solao neformable può essere aottato come schema rfermento per la strbuzone elle azon su masch murar, senza commettere error sgnfcatv. Il confronto tra la soluzone numerca e quella fornta al moello analtco proposto, mostra noltre come quest ultmo possa essere conserato un valo strumento operatvo per tener conto ell effettva rgezza e sola nel loro pano, permetteno calcolare n manera pù precsa le propretà namche elle untà struttural egl aggregat elz. BIBLIOGRAIA ont, G., Valat,., 009. roceura anals non lneare statca per la valutazone ssmca egl efc n aggregato. XIII convegno ANIDIS L ngegnera Ssmca n Itala, 8 Gugno- Luglo, Bologna. ont, G., Valat,., 009. Anals vulnerabltà ssmca efc n aggregato: un caso esempo. XIII convegno ANIDIS L ngegnera Ssmca n Itala, 8 Gugno- Luglo, Bologna. omaževc,., 999. Earthquake resstant esgn of masonry bulngs, Seres on Innovaton n Structures an Constructon, Vol., Imperal College ress, Lonra.