Laboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a Homework n 26. Docente: Laura Palagi

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1 Laboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a Homework n 26 Docente: Laura Palagi

2 Modello di distribuzione Cardillo Raffaele Di Paola Catherine Trano Marco Salvatore

3 MODELLO DI DISTRIBUZIONE Il nostro problema è un particolare problema di trasporto in cui si hanno un certo numero di impianti (origini) ciascuno dei quali ha una quantità fissata di merce disponibile e un certo numero di clienti (destinazioni) i quali richiedono quantitativi precisi di merce. La domanda dei clienti viene soddisfatta dai centri di distribuzione che vengo riforniti dagli impianti. Quindi conoscendo il costo unitario del trasporto della merce da ciascun impianto origine a ciascun centro di distribuzione e da quest ultimo al cliente è necessario pianificare i trasporti, cioè la quantità di merce che deve essere trasportata in modo da soddisfare l ordine dei clienti minimizzando il costo complessivo derivante dai trasporti.

4 Modello di distribuzione IMPIANTI DI DISTRIBUZIONE F i i = 1,,n CENTRI DI DISTRIBUZIONE D j j = 1,,m CLIENTI C h h = 1,,p

5 c ij = costi unitari di trasporto ( euro/tonnellate ) dall i-esimo impianto di produzione al j-esimo centro di distribuzione w jh = costi unitari di trasporto ( euro/tonnellate ) dal j-esimo centro di distribuzione all h-esimo cliente z i = costo produzione relativo all i-esimo impianto P i = capacità produttiva massima mensile dell i-esimo impianto R h = richiesta mensile che deve essere soddisfatta esattamente per l h-esimo cliente

6 FORMULAZIONE VARIABILI DI DECISIONE: x ij = quantità trasportate (tonnellate) dall i-esimo impianto di produzione al j-esimo centro di distribuzione y jh = quantità trasportate (tonnellate) dal j-esimo centro di distribuzione all h-esimo cliente

7 FUNZIONE OBIETTIVO La funzione obiettivo da minimizzare è data dalla somma dei seguenti costi: m COSTO PRODUZIONE COSTO TRASPORTO (DAGLI IMPIANTI AI CENTRI DI DISTRIBUZIONE) n m i=1 j=1 c ij x ij COSTO TRASPORTO ( DAI CENTRI DI DISTRIBUZIONE AI CLIENTI) m j=1 p Z i x ij per i = 1,, n j=1 h=1 w jh y jh

8 Dunque la forma compatta della funzione obiettivo risulterà: n m i=1 j=1 c ij x ij + VINCOLI VINCOLO CAPACITA PRODUTTIVA IMPIANTI m j=1 x ij Pi per i = 1,.., n

9 VINCOLO DI DOMANDA MENSILE DEI CLIENTI m j=1 y jh = Rh per h = 1,, p VINCOLO DI DISTRIBUZIONE p n y jh h=1 i=1 x ij per j = 1,, m VINCOLO DI NON NEGATIVITA x ij 0 per i=1,,n j=1,,m y jh 0 per j=1,,m h=1,,p

10 ESEMPIO NUMERICO Costo unitario di distribuzione dall impianto al centro di distribuzione D1 D2 D3 CAPACITA PRODUTTIVA COSTO PRODUZIONE F1 3,2 2,2 4, ,5 F ,9 1, Costo unitario di distribuzione dal centro di distribuzione al cliente C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 D1 0,3 2,1 3,1 4,4 6, D2 5,2 5,4 4,5 6,0 2,7 4,7 3,4 3,3 2,7 D ,4 3,3 2,4 2,1 2,5 richiesta

11 Nel foglio DATI di excel esprimiamo l impossibilità di collegamento tra alcuni impianti/centri di distribuzione e tra alcuni centri di distribuzione/clienti con un valore del costo di distribuzione molto elevato (999999) rispetto agli altri in modo tale che, siccome stiamo minimizzando i costi, siamo certi che il solver attribuirà alla variabile corrispondente un valore nullo. COSTI DISTRIBUZIONE1 CD1 CD2 CD3 IMPIANTO 1 3,2 2,2 4,2 IMPIANTO ,9 1,2 COSTI DISTRIBUZIONE2 CLIENTE 1 CLIENTE2 CLIENTE3 CLIENTE4 CLIENTE5 CLIENTE6 CLIENTE7 CLIENTE8 CLIENTE9 CD1 0,3 2,1 3,1 4, CD2 5,2 5,4 4,5 6 2,7 4,7 3,4 3,3 2,7 CD ,4 3,3 2,4 2,1 2,5

12 VARIABILI DI DECISIONE D1 D2 D3 F1 X 11 X 12 X 13 F2 X 21 X 22 X 23 Quantita di contatori elettrici distribuiti dall impianto al centro di distribuzione Quantita di contatori elettrici distribuiti dal centro di distribuzione al cliente C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 D1 y 11 y 12 y 13 y 14 y 15 y 16 y 17 y 18 y 19 D2 y 21 y 22 y 23 y 24 y 25 y 26 y 27 y 28 y 29 D3 y 31 y 32 y 33 y 34 y 35 y 36 y 37 y 38 y 39

13 FUNZIONE OBIETTIVO La funzione obiettivo da minimizzare è data dalla somma dei seguenti costi: COSTO PRODUZIONE COSTO TRASPORTO (DAGLI IMPIANTI AI CENTRI DI DISTRIBUZIONE) 2 3 i=1 j=1 c ij x ij COSTO TRASPORTO ( DAI CENTRI DI DISTRIBUZIONE AI CLIENTI) 3 3 j=1 9 Z i x ij per i = 1,2 j=1 h=1 w jh y jh

14 Dunque la forma compatta della funzione obiettivo risulterà: i=1 j=1 c ij x ij + VINCOLI VINCOLO CAPACITA PRODUTTIVA IMPIANTI 3 j=1 x ij Pi per i = 1,2

15 VINCOLO DI DOMANDA MENSILE DEI CLIENTI 3 j=1 y jh = Rh per h = 1,, 9 VINCOLO DI DISTRIBUZIONE 9 2 y jh x ij 0 h=1 i=1 per j = 1,2,3 VINCOLO DI NON NEGATIVITA x ij 0 per i=1,2 j=1,2,3 y jh 0 per j=1,2,3 h=1,,9

16 Soluzione ottima intera trovata dal risolutore Essendo la matrice dei vincoli del nostro problema di distribuzione TOTALMENTE UNIMODULARE ci aspettiamo che la nostra soluzione ottima abbia valori interi infatti andando a risolvere il problema con il risolutore di excel otteniamo : VARIABILI X CD1 CD2 CD3 IMPIANTO IMPIANTO VARIABILI Y CLIENTE1 CLIENTE2 CLIENTE3 CLIENTE4 CLIENTE5 CLIENTE6 CLIENTE7 CLIENTE8 CLIENTE9 CD CD CD

17 Risultati ottenuti dal solutore RAPPORTO VALORI Cella obiettivo (Min) Cella Nome Valore originale Valore finale $C$49 MIN Qui riportiamo soltanto le variabili non nulle del rapporto valori: Celle variabili Cella Nome Valore originale Valore finale Intere $C$4 IMPIANTO1 CD Continue $D$4 IMPIANTO1 CD Continue $E$5 IMPIANTO2 CD Continue $C$10 CD1 CLIENTE Continue $D$10 CD1 CLIENTE Continue $E$10 CD1 CLIENTE Continue $F$10 CD1 CLIENTE Continue $G$11 CD2 CLIENTE Continue $I$11 CD2 CLIENTE Continue $K$11 CD2 CLIENTE Continue $H$12 CD3 CLIENTE Continue $I$12 CD3 CLIENTE Continue $J$12 CD3 CLIENTE Continue

18 Lo stato di un vincolo può essere vincolante o non vincolante. Si intende che il vincolo è rispettivamente attivo (ovvero soddisfatto all uguaglianza) o non attivo (ovvero soddisfatto con la disuguaglianza stretta) nella soluzione ottima determinata dal solutore. La tolleranza è la differenza(slack) tra la risorsa disponibile e la risorsa utilizzata. Vincoli Cella Nome Valore della cella Formula Stato Tolleranza $C$17 IMPIANTO 1 CAPACITA' PRODUTTIVA $C$17<=$E$17 Non vincolante 40 $C$18 IMPIANTO 2 CAPACITA' PRODUTTIVA $C$18<=$E$18 Vincolante 0 $C$22 CLIENTE 1 DOMANDA 6300 $C$22=$E$22 Vincolante 0 $C$23 CLIENTE 2 DOMANDA 4880 $C$23=$E$23 Vincolante 0 $C$24 CLIENTE 3 DOMANDA 2130 $C$24=$E$24 Vincolante 0 $C$25 CLIENTE 4 DOMANDA 1210 $C$25=$E$25 Vincolante 0 $C$26 CLIENTE 5 DOMANDA 6120 $C$26=$E$26 Vincolante 0 $C$27 CLIENTE 6 DOMANDA 4830 $C$27=$E$27 Vincolante 0 $C$28 CLIENTE 7 DOMANDA 2750 $C$28=$E$28 Vincolante 0 $C$29 CLIENTE 8 DOMANDA 8580 $C$29=$E$29 Vincolante 0 $C$30 CLIENTE 9 DOMANDA 4460 $C$30=$E$30 Vincolante 0 $C$36 CD1 DISTRIBUZIONE 0 $C$36<=$E$36 Vincolante 0 $C$37 CD2 DISTRIBUZIONE 0 $C$37<=$E$37 Vincolante 0 $C$38 CD3 DISTRIBUZIONE 0 $C$38<=$E$38 Vincolante 0

19 RAPPORTO SENSIBILITA Come possiamo vedere dalle prime righe del rapporto di sensibilità : Se il valore della variabile è nullo significa che non è vantaggioso distribuirla Il costo ridotto indica quanto minore dovrebbe essere il costo unitario relativo a quella variabile affinchè sia inserita nella soluzione ottima ad un valore non nullo Le colonne incremento consentito o decremento consentito corrispondono alla variazione in aumento o diminuzione del costo c ij per cui la soluzione rimane ottima Ad esempio se consideriamo la prima riga relativa alla variabile x 11 il coefficiente obiettivo può essere incrementato al più di 0,4 o decrementato al più di 4,3. Questo significa che se il coefficiente obiettivo c 11 della funzione obiettivo varia nell intervallo [ 9,4 ; 14,1 ] la soluzione ottima rimane invariata. Se invece consideriamo la riga relativa alla variabile x 13,il cui valore finale è nullo, il valore 1, del costo ridotto indica di quanto dovremmo diminuire il coefficiente obiettivo affinchè la variabile assuma un valore non nullo nella soluzione ottima. Celle variabili Finale Ridotto Obiettivo Consentito Consentito Cella Nome Valore Costo Coefficiente Incremento Decremento $C$4 IMPIANTO1 CD ,7 0,4 4,3 $D$4 IMPIANTO1 CD ,7 1, ,4 $E$4 IMPIANTO1 CD3 0 1, ,7 1E+30 1, $C$5 IMPIANTO2 CD , E ,8

20 Per quanto riguarda i vincoli del rapporto sensibilità possiamo notare che se il vincolo è non vincolante, come nella prima riga, il prezzo ombra è pari a 0 perché è inutile acquisire ulteriori quantità per una risorsa non completamente utilizzata; ciò viene rappresentato con 1E +30 nella colonna incremento consentito. Il decremento consentito è però limitato ossia ha un valore di 40 perché un eccessiva riduzione della risorsa può portare il vincolo ad essere vincolante. Se invece il vincolo è vincolante il prezzo ombra ha un valore non nullo. Nel nostro caso, siccome stiamo minimizzando, ogni unità aggiunta fino ad un massimo di 1860 (incremento consentito) produce una diminuzione del valore della funzione obiettivo pari a 2, per unità mentre ogni unità sottratta fino a un massimo di 40 (decremento consentito) produce un aumento del valore della funzione obiettivo di 2, per unità. Vincoli Finale Ombreggiatura Vincolo Consentito Consentito Cella Nome Valore Prezzo a destra Incremento Decremento $C$17 IMPIANTO 1 CAPACITA' PRODUTTIVA E $C$18 IMPIANTO 2 CAPACITA' PRODUTTIVA ,

21 SOLUZIONE ALTERNATIVA Come suggeritoci dal rapporto di sensibilità se volessimo diminuire il valore della funzione obiettivo e quindi del costo relativo alla distribuzione dei contatori elettrici aumentiamo la capacità produttiva dell IMPIANTO 2 fino ad un massimo di Cella obiettivo (Min) Cella Nome Valore originale Valore finale $C$49 MIN Cella obiettivo (Min) Cella Nome Valore originale Valore finale $C$49 MIN Possiamo notare che il valore della funzione obiettivo è diminuito precisamente di 2, *1860 = 4650