Interesse Principal interest = Idea alla base dell Interesse: (1 + r) 1.00 = 1.08
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- Tommaso Rosa
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1 Interesse 1.00 Principal interest = 1.08 Primo dell anno Fine dell anno Idea alla base dell Interesse: Il tasso di interesse espresso come un decimale 0.08 ; 8% (1 + r) 1.00 =
2 Interesse semplice Fine dell anno n Valore di 1 1 (1+r)1 (1+2r)1 (1+3r)1 (1+nr)1 Valore di A A (1+r)A (1+2r)A (1+3r)A (1+nr)A Interesse Semplice: se un capitale A è lasciato su un conto a interesse semplice, il suo valore dopo n anni sarà: V = (1+nr)A Se la regola proporzionale vale anche per frazioni di anni, dopo un tempo t (Misurato in anni) allora: V = (1 + r t) A 2
3 Interesse composto gli interessi maturati vengono aggiunti, con cadenza stabilita, al capitale Fine dell anno n Valore di 1 1 (1+r)1 (1+r) 2 1 (1+r) 3 1 (1+r) n 1 Valore di A A (1+r)A (1+r) 2 A (1+r) 3 A (1+r) n A 3
4 Interesse composto Supponiamo di poter ottenere il 10% di interesse composto annuo su Quanto maturerà dopo 10, 20, 30 o 40 anni? anni valore Seven-Ten Rule (1.1) 7 = I soldi investiti al 10% annuo raddoppiano in 7 anni. (1.07) 10 = I soldi investiti al 7% annuo raddoppiano in 10 anni. 4
5 Tasso di interesse effettivo La capitalizzazione può avvenire a vari intervalli es., giornalmente, mensilmente, trimestralmente. La capitalizzazione trimestrale di un interesse nominale r applicata ad un ammontare A risulta in (1+r/4) 4 A in un anno. In questo caso, r rende valida l equazione 1 + r = (1+r/4) 4 ed è chiamato tasso d interesse effettivo e r è il tasso di interesse nominale Esempio r = 0.08, r/4 = 0.02, 1+ r = (1.02) 4 = , r = è il tasso d interesse effettivo. Nota r > r. 5
6 Capitalizzazione Continua Utile per fare modelli di semplificazione Se un tasso d interesse r è capitalizzato m volte all anno, dopo m periodi, il risultato è Quindi, (1 +r/m) m lim m-> (1 + r/m)m = e r, dove e Esempio: e 0.08 = , comparato con (1.02) 4 =
7 Debito Il principio di capitalizzazione vale anche per il debitore Se si prende in prestito denaro e non si fanno pagamenti dopo un anno il debito è (1+r/12) 12 ( calcolo mensile degli interessi) I tassi di interesse cambiano con continuità e dipendono dalla durata del prestito. ( term structure ) Present Value (inverte l idea di Valore Futuro) ( valore Attualizzato) VA Valore Futuro (VF) : A A = (1+r) A Present Value (PV) A = [1/(1+r)] A = A A Esempio. Se 100 valgono 108 in un anno, allora il valore attuale di 108 è
8 Esempio Ricevere 108 in un anno non è differente da versare 100 in banca e lasciare che produca l 8% d interesse per un anno. Se devi pagare 108 in un anno, il suo valore attuale è semplicemente 100, sicché potresti mettere 100 in banca oggi all 8% d interesse e avere il denaro per pagare il debito dopo un anno. Se devi pagare un ammontare A in un anno, puoi versare A /(1+r) in banca oggi al tasso di interesse annuo r ed avere il denaro per pagare il prestito dopo un anno. 8
9 Lo sconto (1-year) Fattore di Sconto: d 1 = 1/(1+r). Esempio: r = 0.08, d 1 = 1/(1+0.08) Sconto: il processo di valutazione di obbligazioni future come un equivalente al calcolo del valore attuale. Nota, all 8%, in due anni k-period Discounting: All 8% annuale ( tasso nominale), il valore attuale di un debito di dovuto dopo due anni è 100. Con la capitalizzazione di m periodi uguali all anno, e in k periodi d k = 1/[1 + (r/m)] k (k-period discount factor) Il valore attuale del pagamento A che dev essere ricevuto dopo k periodi è d k A. 9
10 VA & VF di Successioni di flussi di cassa Banca ideale Una banca che: Applica lo stesso tasso a prestiti e depositi Non ha costi di servizio o costi di transazione Il suo tasso d interesse non dipende dall ammontare del capitale Constant ideal bank è una banca ideale con Un tasso d interesse independente dalla lunghezza del tempo per il quale viene applicato L interesse composto secondo regole normali (quelle che abbiamo presentato per l interesse composto) Una constant ideal bank è il punto di riferimento usato per descrivere i mercati finanziari esterni il mercato pubblico del denaro. 10
11 VF del Flusso di Cassa Flusso di cassa: (x 0, x 1,, x n ) x 0 aumenta a x 0 (1+r) n x 1 aumenta a x 1 (1+r) n-1 x 2 aumenta a x 2 (1+r) n-2 x n aumenta a x n (1+r) n-n FV di Sequenze di Flusso di Cassa: il valore futuro di una sequenza di Flusso di Cassa con r tasso di interesse per periodo è FV = x 0 (1+r) n + x 1 (1+r) n-1 + x 2 (1+r) n x n 11
12 PV di Sequenze di Flusso di Cassa Sequenza di Flusso di Cassa: (x 0,x 1,, x n ) abbiamo un ciclo di tempo fisso per la capitalizzazione (e.g., annuale), un periodo è la lunghezza del ciclo. I Flussi di Cassa occorrono alla fine di ciascun periodo (alcuni possono essere pari a zero). VA della successione di flussi di cassa x 0 vale oggi x 0 x 1 vale oggi x 1 /(1+r) 1 X2 vale oggi x 2 /(1+r) 2 vale oggi x n /(1+r) n x n Il valore Attuale di una successione di flusso di cassa con tasso r è: PV = x 0 + x 1 /(1+r) 1 + x 2 /(1+r) x n /(1+r) n 12
13 Relazione di VA e VF Domanda VF = x 0 (1+r) n + x 1 (1+r) n-1 + x 2 (1+r) n x n VA = x 0 + x 1 /(1+r) 1 + x 2 /(1+r) x n /(1+r) n Che cosa ottieni se moltiplichi VA per (1+r) n? (1+r) n PV = FV PV = FV/(1+r) n PV e FV sono modi equivalenti di pensare alla sequenza. 13
14 Capitalizzazione Discreta e Continua Sequenza di Flusso di Cassa: (x 0,x 1,, x n ) r = tasso di interesse annuale nominale, interesse capitalizzato a m periodi disposti equamente durante l anno PV = x 0 + x 1 /[1+(r/m)] 1 + x 2 /[1+(r/m)] x n /[1+(r/m)] n Capitalizzazione continua ai tempi t 0, t 1,, t n sequenza= (x(t 0 ),x(t 1 ),, x(t n )) PV = x(t 0 )e -rt0 + x(t 1 )e -rt1 + + x(t n ) e -rtn 14
15 Sequenze di Cassa equivalenti Definizione: X e Y sono equivalenti se entrambe le sequenze hanno lo stesso VA, valutato al tasso di interesse r delle banche La banca ideale può trasformare X in Y (oppure Y in X) Esempio. Con r = 0.1, sono equivalenti: (1,0,0), (0,0,1.21), (0,1.1,0), (a,b,c) per ciascun a, b, c con 1 = a + b/(1.1) + c/(1.1) 2 15
16 Tasso Interno di Rendimento Esempio: Una banca ideale vi offre quanto segue: Investimento 1. Investire 2,000 il primo giorno, alla fine degli anni 1, 2, e 3 ricevere 100, 100, e 500 di interesse; alla fine dell anno 4, ricevere 2,200 di capitale principale e interessi. Domanda. E un buon affare? Strategia: scoprire il tasso di interesse implicito che si otterrebbe; 2000 = 100 /(1+r) /(1+r) /(1+r) /(1+r) 4 Soluzione: r = %. Valore di r perchè il VA dei pagamenti sia 2,
17 Tasso Interno di Rendimento Investimento 2: Inizialmente si versano Alla fine degli anni 1, 2, e 3 si ricevono 100, 100, e 100 in interessi; alla fine dell anno 4, si ricevono 2,000. Troviamo così r: 2000 = 100 /(1+r) /(1+r) /(1+r) /(1+r) 4 Soluzione: r = %. 17
18 Tasso Interno di Rendimento (Cont d) Come facciamo a sapere che la seguente equazione ha una soluzione? 2000 = 100 /(1+r) /(1+r) /(1+r) /(1+r) 4 Sia c = 1/(1+r). L equazione diventa: c c c c 4 = 0. Ora è un polinomio di 4 grado in c. Sappiamo dall algebra, che un polinomio di n grado ha esattamente n radici. Le radici che hanno un significato finanziario sono reali e positive. 18
19 Tasso interno di rendimento f(c) root c o f(c) = c c c c 4 Se c = 0, f(c) = < 0. Per c sufficientemente grande, f(c) > 0. Inoltre, f è una funzione continua, e precisamente crescente. Il valore di c (c 0 ) t.c. f(c 0 ) = 0, (dove il grafico interseca l origine) è perciò l unica radice reale, positiva. Anche f(1) = 900 > 0, così la radice soddisfa c 0 < 1. c 19
20 Tasso Interno di Rendimento Osservazione. Il numero r soddisfa i.e., 2000 = 100 /(1+r) /(1+r) /(1+r) /(1+r) 4 0 = /(1+r) /(1+r) /(1+r) /(1+r) 4 È il valore per cui la sequenza di flussi di cassa (-2000,100,100,500,2200) ha VA = 0, da cui VA = x 0 + x 1 /(1+r) 1 + x 2 /(1+r) x n /(1+r) n 20
21 Tasso Interno di Rendimento Sia (x 0,x 1,, x n ) una successione di flussi di cassa. Il tasso interno di rendimento (IRR) di questa successione è: 0 = x 0 + x 1 /(1+r) 1 + x 2 /(1+r) x n /(1+r) n Osservazione. Usiamo il termine interno perchè il tasso di rendimento dipende solo dalla successione senza richiedere riferimenti indici macroeconomici quali il tasso r. 21
22 Teorema principale dell IRR Si supponga che la sequenza di flusso di cassa (x 0, x 1,, x n ) sia t.c. x 0 < 0, e x k 0 per k = 1,, n con almeno un x 1,, x n positivo. Allora esiste un unica radice positiva per l equazione f(c) = x 0 + x 1 c + x 2 c x n c n Inoltre, se x x n > 0 (il ritorno totale è maggiore dell investimento iniziale, x x n > -x 0 ), allora, IRR r = (1/c) 1 è positivo. 22
23 Quali criteri per valutare o scegliere tra investimenti: VAN o TIR Esempio. Cutting Trees. Supponiamo di piantare alberi e di avere due strategie a) e b) corrispondenti a due flussi diversi. a) (-1,2) tagli in un anno b) (-1,0,3) tagli dopo 2 anni r = 10% VAN = VA dei benefici - VA dei costi, NPV ( Net Present Value ) a) VAN = -1/1 + 2/(1.1) = 0.82 b) VAN = -1/1 + 0/(1.1) + 3/(1.1) 2 = 1.48 > 0.82 Tagli dopo due anni; scegli l opzione b) Il criterio VAN viene generalmente considerato il miglior criterio (è additivo) 23
24 Criteri di Valutazione: NPV o IRR IRR, c = 1/(1+r) r = 1/c - 1 a) 0 = c c = ½ r = 1, i.e., 100% b) 0 = c + 3 c 2 c 2 = 1/3 c = 1/ 3 r = < 1. Tagli dopo un anno; scegli l opzione a). 24
25 Criteri di Valutazione: NPV o IRR Differenti decisioni dipendono da criteri di valutazione: NPV indica b), IRR indica a). Immaginiamo di utilizzare una pianificazione più ampia e di reinvestire tutti i guadagni. Quale strategia risulta migliore dopo 6 anni? a ) 1 => 2 => 4 => 8 => 16 => 32 => 64 sequenza di flusso di cassa: (-1,0,0,0,0,0,64) b ) 1 in 2 anni => 3 in 2 anni => 9 in 2 anni => 27 sequenza di flusso di cassa : (-1,0,0,0,0,0,27) a ) Il guadagno raddoppia ogni anno. b ) Il guadagno triplica ogni due anni aumenta di 3 ogni anno (a lungo termine). Il coefficiente di moltiplicazione viene chiamato growth rate (GR); a ) ha un tasso di crescita maggiore. 25
26 Criteri di Valutazione: VAN o TIR Conclusione 1. Quando l investimento può essere ripetuto nello stesso tipo di progetto ma scalato di dimensione, ha senso la scelta del progetto con un maggiore IRR per ottenere la maggiore crescita del capitale. Il TIR non fa riferimento a grandezze macroeconomiche; è interno all azienda : il suo utilizzo come criterio di scelta tra investimenti riflette il costo del capitale per un azienda. Conclusione 2. utilizzare il VAN ha più senso per i progetti one-shot. Il VAN è più corretto dal punto di vista economico; è adatto a valutare investimenti a lungo termine, ad esempio in infrastrutture e consnte di confrontare l investimento con quelli disponibili con i normali canali finanziari. 26
27 Criteri di Valutazione: NPV o IRR (Cont d) Se si studia il progetto di cutting tree su un più ampio orizzonte invece che su un anno, l approccio dell NPV sceglierebbe a). (Nota con un più ampio orizzonte c è ANCHE maggiore incertezza. Inoltre, questo tasso di crescita non può continuare all infinito.) a ) (-1,0,0,0,0,0,64): NPV = b ) (-1,0,0,0,0,0,27): NPV = I teorici sono concordi nel dire che il migliore criterio di valutazione è basato sull NPV, che fornisce consistenza e razionalità. 27
28 Altri fattori di valutazione 1) Che interesse di sconto dovremmo scegliere per il NPV? Il tasso che la banca paga sui CD ( certificati di deposito ) Il tasso pagato dal 3-month US Treasury bill Il tasso pagato dalle obbligazioni di una azienda sicura Il costo dei capitale: il tasso che la compagnia deve offrire a potenziali investitori. 2) PV non è tutto in particolare non fornisce informazioni sul tasso di rendimento. Dovendo scegliere tra : a) Investire 1,000, con NPV di 100. b) Investire 1,000,000, con NPV di 100. Abbiamo chiaramente bisogno di ulteriori criteri 3) IRR non è tutto, in particolare non fornisce informazioni sul valore generato per l azienda da 2 decisioni diverse : a) Prestare 1000 per riaverne 1500 dopo un anno b) Ricevere 1000 per restituirne 1500 dopo un anno Il valore IRR è uguale, il valore per l azienda è ben diverso. 28
29 Es: Simplico Gold Mine Si può investire in una miniera per un periodo di 10 anni. Il pagamento avviene al momento della stipula del contratto. Si possono estrarre sino a 10,000 oz. ogni anno La estrazione di ogni oz. costa 200.( sino al mercato) Il prezzo di vendita dell oro è 400/oz. Supponiamo il tasso di interesse costante in questi 10 anni e pari a 10% Ipotizziamo che i dati del problema rimangano validi per l arco di tempo di 10 anni 29
30 Simplico Gold Mine Risposta. Calcoliamo il Valore Attuale della successione di flussi di cassa derivanti dalla miniera per I 10 anni (supponiamone la piena produttività.) Profitto annuale ( ) 10,000 oz/anno= 2 M. PV del profitto annuale per i 10 anni: PV = ( 2 M)/(1.1) + ( 2M)/(1.1) ( 2M)/(1.1) 10 = M La decisione richiede naturalmente molto di più che l applicazione della formula: Gli aspetti discrezionali del business sono legati alle attese sui dati del problema (andamento dei tassi di interesse, prezzo del materiale, problemi e costi ambientali,..) 30
31 Comprare un automobile Alternativa A. La macchina A costa 20,000 Ha un costo annuale di mantenimento di 1,000 Ha una vita utile di 4 anni Valore di rottamazione nullo Alternativa B. La macchina B costa 30,000 Ha un costo annuale di mantenimento di 2,000 Ha una vita utile di 6 anni Valore di rottamazione nullo 31
32 Queste alternative non sono sullo stesso arco temporale. Per omogeneizzarle dobbiamo considerare un arco di 12 anni (3 cicli di macchine A e 2 di macchine B). Macchina A (3 cicli di 4 anni ciascuno) Primo Ciclo PV: PV A = 20, ,000[1/(1.1) + 1/(1.1) 2 + 1/(1.1) 3 ] = 22, Cicli PV PV A3 = PV A [ 1 + 1/(1.1) 4 + 1/(1.1) 8 ] = 48,
33 MacchinaB (2 cicli di 6 anni) Primo Ciclo PV: PV B = 30, ,000[1/(1.1) + 1/(1.1) /(1.1) 5 ] 2 Cicli PV PV B2 = PV B [ 1 + 1/(1.1) 6 ] = 58,795. Costa quindi meno la macchina A almeno sull arco di tempo considerato. 33
34 Sostituzione di una macchina utensile Quanto spesso dovremmo cambiare un macchinario? La lunghezza del dell orizzonte di progetto non è conosciuto in anticipo Costo di acquisto 10,000 (in realtà: inflazione, non considerata) Costi operativi primo anno 2,000, valore di vendita nullo Costi operativi aumentano di 1,000 ogni anno per la necessità di una maggiore manutenzione.(questi costi sono necessari alla fine di ogni anno). 34
35 Sostituzione della macchina ogni anno Macchinario 1 :successione di flussi di cassa: (-10,-2) Macchinario 2 : (0,-10,-2) Macchinario 3 : (0,0,-10,-2) etc Ogni successione di flussi di cassa è identica alla precedente eccetto che parte un anno dopo (e pertanto va scontata del 10%). Conclusione: per un numero illimitato di sostituzioni annuali PV = /(1.1) + PV/(1.1) PV = 130 (i.e., 130,000) 35
36 Sostituzione della macchina ogni 2 anni. Macchinario 1 CFS: (-10,-2,-3) Macchinario 2 CFS: (0,0,-10,-2,-3) Macchinario 3 CFS: (0,0,0,0,-10,-2,-3) etc ogni CFS è identico al precedente tranne che parte 2 anni dopo (deve essere scontato del 10% per 2 annni). PV = [10 + 2/(1.1) + 3/(1.1) 2 ] + PV/(1.1) 2 = PV/ PV PV = PV =
37 Sostituire un macchinario ogni k anni PV = (costo di un ciclo di k anni) + PV/(1.1) k [(1.1) k 1] PV = (1.1) k costo di 1 ciclo di k anni PV = [(1.1) k costo di 1 ciclo di k anni] / [(1.1) k -1] Dobbiamo solo calcolare il costo di un ciclo di k anni, e calcolare il PV usando l ultima formula. 37
38 Sostituire un macchinario ogni k anni Tabella: Sostituire la macchina ogni 5 anni è la soluzione più economica.naturalmente una analisi completa dovrebbe tener conto anche di altri legati alla maggiore età della macchina ( qualità dei prodotti, fermo macchina ) Replacem ent Year Present value 1 $130,000 2 $82,381 3 $69,577 4 $65,358 5 $64,481 6 $65,196 38
39 Taxes Supponiamo di poter ricevere 100/anno in dividendi annuali per 2 anni. You are in the 28% income tax bracket. The time value of money is 10%. Not considering taxes, the PV of dividends is PV no tax = 100/ /(1.1) 2 = = Due to taxes, 100 => (1-0.28)*100 = 72, the actual PV of the dividends is PV taxes = 72/ /(1.1) 2 = =
40 Taxes Consequently PV no tax = 100 / / (1.1) 2 PV taxes = (1-.28)100 / (1-.28)100 / (1.1) 2 = (1-.28) PV no tax To get PV with taxes scale the PV without taxes by 1 minus the tax rate. You might now reject a project you would otherwise accept. 40
41 Taxes Assuming this tax rate is applied to all revenues and expenses (it might not be), IRR would be identical with or without taxes, e.g., k = 100/(1+r) + 100/(1+r 2 ) (1-t) k = (1-t) 100/(1+r) + (1-t) 100/(1+r 2 )] Questa ipotesi è in una certa misura applicabile alle aziende non a investimenti privati, almeno in Italia 41
42 Depreciation Example Si acquista una macchina per 10,000. Ha una vita utile di 4 anni. Genera un flusso di cassa di 3,000 ogni anno. Ha un valore residuale alla vendita di 2000 Il governo richiede di scaricare il costo del macchinario durante la sua vita utile, e.g., se il suo costo netto su 4 anni di vita è stato 10,000 2,000 = 8,000, con una politica di scarico di tipo lineare riporteremo il suo costo annuale ciascun anno come 8,000/4 = 2,
43 Depreciation Example Il reddito tassabile che produce ogni anno è 3,000-2,000 = 1,000. Se la tassa è 43%, si pagano 430 di tasse all anno. Il NPV è calcolato al 10%. Year Beforetax cash flow Depreciatio n Taxable Incom e Tax Aftertax cash flow 0-10,000-10, ,000 2,000 1, , ,000 2,000 1, , ,000 2,000 1, , ,000 2,000 1, ,570 NPV $876 -$487 43
44 Points About Inflation La FIAT 500 arrivò a costare 250 euro La mia borsa di studio nel 1970/1972 era 60 euro mensili L inflazione, grazie anche all Euro, è bassa in Italia ( da 2 al 3 % all anno), ormai allineata al resto dell Europa. Alcuni anni è stata 17/ 18 % dopo le grandi crisi petrolifere portando a continue svalutazioni della lira e a un recupero finto di competitività delle merci italiane nel mondo. 44
45 Inflazione Inflazione : indica un aumento generale dei prezzi Tasso di inflazione f : prezzi vengono moltiplicati per (1+f ) Constante (anche chiamato reale) il dollaro mantiene lo stesso potere di acquisto. Attuale (anche chiamato nominale, inflazionato, mercato ) I dollari usati per le transazioni. Sia r il tasso di interesse nominale, il tasso di interesse interno reale r 0 è dato da e 1+r 0 = (1+r )/(1+f ) r 0 = (r - f )/(1+f ) 45
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