Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria. Unità 2. Regime finanziario della capitalizzazione semplice

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1 Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria Silvana Stefani Piazza dell Ateneo Nuovo - 6 MILANO U6-368 silvana.stefani@unimib.it SILSIS Unità Capitalizzazione semplice Capitalizzazione composta in convenzione lineare ed esponenziale Capitalizzazione a interessi anticipati SILSIS Regime finanziario della capitalizzazione semplice I è proporzionale a: C = Capitale t = tempo i = tasso di interesse I = Ci t M = C + I = C + Cit = C ( + it) Secondo questa legge, l'interesse è proporzionale sia al capitale che al tempo, secondo un fattore di proporzionalità costituito dal tasso di interesse. SILSIS 3

2 Fattore di montante a interesse semplice M = C ( + it), se C = allora: M = f(t) = + it Il parametro i è il coefficiente angolare della retta, e finanziariamente caratterizza la velocità di accrescimento di euro impiegato. y x SILSIS 4 C = 5 euro i =.5 % trimestrale t = = //5 t = 3/6/5 Calcolare il montante al 3/6/5 Soluzione: M = C + I I = Cit = 5.5 = 5 euro M = = 5 5 euro. SILSIS 5 C = 5 euro i = 3.5 % annuo t = = //5 t = 3/6/5 Calcolare il montante al 3/6/5 Soluzione: M = C + I I = Cit = 5.35 / = 87,5 euro M = ,5 = 5 87,5 euro. SILSIS 6

3 Regime finanziario della capitalizzazione composta A differenza del regime di capitalizzazione a interesse semplice, il quale prescrive che l interesse sia sempre direttamente proporzionale al capitale iniziale e al tempo, il regime di capitalizzazione a interesse composto si caratterizza per il fatto che, al termine di ogni periodo, il capitale impiegato incorpora gli interessi maturati, in modo che anche questi ultimi producano interessi nei periodi seguenti. In altre parole, l interesse che si forma in ogni istante è ora proporzionale al montante accumulato a quel tempo. SILSIS 7 Consideriamo la capitalizzazione raffigurata schematicamente nel grafico ad un tasso di interesse dell,5% trimestrale 5 M? SILSIS 8 Al termine del primo periodo il montante vale M() = C + Ci = C ( + i) e l intero importo si considera investimento iniziale per il secondo periodo, cosicché risulta Nell esempio allora M()= M()+ im() = M() ( + i) = = C ( + i) ( + i) = C(+ i) M=5*(+,5) =55, SILSIS 9 3

4 Regime finanziario della capitalizzazione composta In generale, ripetendo il procedimento fino all'n-esimo periodo M(n) = M(n ) + im(n ) = =M(n ) ( + i) = C(+i )n- (+i)=c ( + i) n l interesse in regime di capitalizzazione composta per un numero intero n di periodi vale I(n) = M(n) C = C ( + i) n C = = C [( + i) n ] Si noti dall ultima espressione che l interesse è qui ancora direttamente proporzionale al capitale iniziale ma non più direttamente proporzionale al tempo (la SILSIS relazione non è lineare). Capitalizzazione composta per Nella capitalizzazione semplice il problema dei tempi non interi era facilmente risolto esprimendo il tempo come frazione di periodo. Ciò era permesso dalla linearità dell interesse rispetto al tempo Questo non è più possibile nella capitalizzazione composta e al riguardo si possono utilizzare due approcci differenti ( convenzioni ). Sia t la durata della capitalizzazione: indichiamo con n la sua parte intera e con f la sua parte frazionaria, in modo che risulti t=n+f (ovviamente f < ) SILSIS Capitalizzazione composta per Convenzione lineare Il montante al tempo t=n+f non intero si ottiene aggiungendo al montante calcolato per gli n periodi interi in regime a interesse composto, l'interesse in regime semplice maturato su tale montante per la frazione di periodo residua. Si avrà quindi M(t) = C (+i) n + if [C (+i) n ] = =C (+i) n (+if ) I(t) = C [(+i) n (+if) ] SILSIS 4

5 Capitalizzazione composta per Convenzione esponenziale Il montante al tempo t=n+f mediante la formula M(t) = C( + i) t non intero si calcola ottenuta estendendo ai tempi t reali quella ricavata per tempi interi. Infatti si può anche scrivere M(t) =C (+i) n (+i) f =C (+i) t I(t) = C [(+i) t ] SILSIS 3 Forza di interesse nel regime a capitalizzazione composta Il montante in convenzione esponenziale si può anche scrivere t δt M = C( + i) = Ce dove δ=ln(+i) è detto forza di interesse SILSIS 4 Capitalizzazione composta per Nei, è disuguaglianza: verificata la seguente C ( + i) n ( + if ) > C ( + i) n ( + i) f. Perciò, a parità di tempo e di tasso, il montante calcolato mediante la convenzione lineare è superiore al montante in convenzione esponenziale per durate non intere. SILSIS 5 5

6 C = 5 ; i=,5 % trimestrale Data iniziale://5; Data finale: 3/5/5 ; t = + /3 di periodo Nella convenzione lineare: M = C(+i) n ( + if ) M = 5 ( +,5) ( +,5*/3) = 55,75 Nella convenzione esponenziale: M = C(+i) n+f M = 5 ( +,5) 5/3 = 55,6 SILSIS 6 Fattore di montante a interesse composto Dalla relazione M(t) = C ( + i) t, ponendo C=, si ottiene l espressione del fattore di montante del regime di capitalizzazione a interesse composto f(t) = ( + i) t il cui grafico è riportato qui sotto (si tratta di una parte di curva esponenziale di intercetta ). y x SILSIS 7 Regime finanziario di capitalizzazione a interessi anticipati Ponendo: C = Capitale iniziale M = Capitale disponibile in t (capitale finale) I= Interesse d = tasso di sconto della legge coniugata di attualizzazione Si ha f ( t ) = dt C M = dt dt I = M C = C dt SILSIS 8 6

7 Confronto fra i fattori di montante nei tre regimi Nel grafico riportiamo le curve che descrivono i fattori di montante propri dei tre regimi finanziari che abbiamo analizzato in dettaglio: semplice, composto, interessi anticipati. y SILSIS 9 x 7