Corso di Valutazione Economica del Prodotto

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1 Seconda Università degli Studi di Napoli Luigi Vanvitelli Dipartimento di Architettura CdL Design e Comunicazione - Design per la Moda Corso di Valutazione Economica del Prodotto Docente_arch. Eleonora Giovene di Girasole

2 Teoria e metodologia estimativa 1. Elementi di matematica finanziaria

3 Matematica Finanziaria > La matematica finanziaria costituisce uno strumento indispensabile per risolvere determinati problemi economici ed estimativi. Essa non fa parte, però, né dell economia né dell estimo: fornisce soltanto gli strumenti necessari per confrontare fatti finanziari che avvengono in momenti diversi. > Si definisce operazione finanziaria qualsiasi operazione che preveda lo scambio tra prestazioni riferire ad epoche diverse, con tali epoche contate a partire da una comune origine. > Quando una persona o un impresa ha bisogno di denaro chiede un prestito per un certo tempo. Colui che da il prestito si chiama mutuante, colui che riceve il prestito si dice mutuatario, la somma data in prestito di dice capitale.

4 Matematica Finanziaria > Di regola il mutuante richiede un compenso che si chiama interesse. La somma del capitale (C) e dell interesse (I) si dice montante (M). M = C + I I = M C L interesse è dunque il prezzo d uso del capitale.

5 1. Premessa Lo strumento matematico utile ai fini estimativi è la matematica finanziaria, che permette di trasferire i valori monetari nel tempo: valori monetari disponibili in tempi diversi possono essere riferiti ad un medesimo istante. Una stessa entità monetaria assume un diverso valore economico in base all'epoca in cui è disponibile. Osservazioni 1. non è possibile sommare, sottrarre o confrontare tra loro valori differiti nel tempo: devono essere resi omogenei, ovvero riferiti allo stesso momento. 2. è necessario individuare le formule che cosentono di anticipare o di posticipare ciascuna prestazione finanziaria. 3. un capitale spostato in avanti nel tempo si trasforma in montante. 4. un capitale spostato indietro nel tempo si trasforma in valore scontato o attuale.

6 Esempio 1. Si suppone di prendere a prestito una somma di denaro x. 2. Il creditore pretenderà un compenso per il servizio concesso, che rappresenta il prezzo del prestito. 3. Se restituiamo la somma dopo 1 anno, dovremmo rimborsare x + a. 4. Se restituiamo la somma dopo 2 anni, dovremmo rimborsare x + b, con b>a. 5. Se restituiamo la somma dopo 3 anni, dovremmo rimborsare x + c, con c>b. Quindi: Cambiando il momento, cambia il valore della somma di denaro. Aumentando il numero "n" di anni, aumenta il prezzo del prestito.

7 2. L'interesse L'interesse è il prezzo d'uso del capitale: > costituisce il prezzo da pagare per poter disporre di un capitale > è funzione crescente del tempo e del capitale stesso. Come si stabilisce l'interesse che dovrà essere pagato in una certa operazione finanziaria? Individuando il saggio o tasso di interesse r, che indica l'interesse prodotto dall'unità di capitale in un tempo unitario. Può essere espresso in termini percentuali (r=5%) o in termini unitari (r=0,05). Il saggio o tasso di interesse è: > l'unità di misura dell'interesse > sottoposto alla legge della domanda e dell'offerta: più il capitale è oggetto di richiesta, più il saggio si eleva e viceversa > direttamente proporzionale al rischio (a rischio maggiore corrisponde un saggio maggiore); > direttamente proporzionale alla durata dell'investimento (a durata maggiore corrisponde un maggiore tasso di interesse).

8 Osservazione Si ha: > tasso o saggio di interesse rappresenta l'interesse prodotto dall'unità di risparmio nell'unità di tempo > tasso o saggio di capitalizzazione rappresenta il prezzo d'uso dell'unità di risparmio trasformato in capitale nell'untà di tempo L'interesse si distingue in: 1. interesse semplice > quando gli interessi maturati non maturano, a loro volta, altri interessi > si usa quando si considera un periodo di tempo uguale o inferiore ad 1 anno 2. interesse composto > quando gli interessi maturati generano, a loro volta, altri interessi > si usa quando si considera un periodo di tempo superiore ad 1 anno

9 Interesse semplice a) un reddito per chi investe il capitale b) un costo per chi chiede l'uso del capitale I = C0 r n dove: I = interesse C0 = capitale iniziale r = saggio di interesse n = tempo espresso in anni Per un anno: I = C0 r Per periodi di tempo inferiori ad un anno: I = C0 r n dove n = 64 se consideriamo 64 giorni; n = 7 se consideriamo 7 mesi

10 Interesse semplice 1. Problemi dell'interesse dalla formula generale si ha: C0 = I/r n r = I/C0 n n = I/C0 r valore del capitale saggio o tasso tempo n 2. Problemi del montante capitale + interessi = montante 1 + r = il montante di un euro in un anno = q = binomio di interesse M = Cn = C0 + I = C0 + C0 r n = C0 (1 + r n) (1 + r n) = fattore di posticipazione che permette di trasferire il valore di un capitale ad un tempo posteriore

11 Esempio 1. Se si depositano 6.000,00 euro il 30 aprile, al 3%, quale somma potremo ritirare il 30 settembre? Cn = C0 (1 + r n) = 6.000,00 * (1 + 0,03 * 5/12) = 6.075,00 euro 2. Se si depositano 6.000,00 euro il 30 aprile, al 3%, quale somma potremo ritirare il 30 maggio? Cn = C0 (1 + r n) = 6.000,00 * (1 + 0,03 * 30/360) = 6.015,00 euro Osservazione La formula del montante semplice trova applicazione nella pratica quando occorre calcolare il montante per periodi uguali o inferiori ad un anno.

12 Interesse semplice 3. Problemi del valore attuale o scontato Definire il valore attuale di un determinato capitale (esigibile dopo un certo tempo) implica calcolare il capitale iniziale che, impiegato per un dato tempo ad un dato saggio, produce un montante uguale al capitale finale noto. La ricerca del valore attuale è l'inverso della ricerca del montante. Noto che: Cn = C0 (1 + r n) Si ha: C0 = Cn * 1/(1 + r n) 1/(1 + r n) = è detto coefficiente di anticipazione ad interesse semplice che, moltiplicato per un capitale, lo anticipa di n anni.

13 Interesse semplice 4. Problemi dello sconto Lo sconto è dato dalla differenza tra una somma futura ed il suo valore attuale: Sc = Cn - C0 = Cn - Cn/(1 + r n) = Cn(1 + r n)- Cn = Cn + Cn r n - Cn (1 + r n) (1 + r n) da cui si ha: Sc = Cn r n / (1 + r n) Sc = Cn r n sconto razionale (usato in estimo) sconto commerciale (calcola solo l'interesse sul montante) La somma che si ottiene deducendo lo sconto dal montante o valore nominale si dice somma scontata o valore attuale del capitale. C0 = Cn - Sc da cui si ha: C0 = Cn - Cn r n = Cn (1 - r n) (1 - r n) = fattore di sconto commerciale e rappresenta il valore di un euro esigibile tra n unità di tempo, scontato commercialmente al tasso r.

14 Esempio La somma di euro viene depositata in banca al saggio di interesse del 5%. Si vuole determinare l'ammontare di: a) interessi b) montante dopo 90 giorni (periodo inferiore o uguale ad un anno) I = C0 r n = * 0,05 * (90/360) = 12,50 euro M = Cn = C0 + I = C0 + C0 r n = C0 (1 + r n) = 1.000, ,50 = = 1.012,50 euro

15 Periodi inferiori o uguali ad un anno Coefficiente di posticipazione: (1 + r n) Coefficiente di anticipazione: 1/(1 + r n) (1 + r n) posticipo C0 0 n 1/(1 + r n) anticipo M

16 Esempio Se il canone annuo di un appartamento è pari a 6.000,00 euro, suddiviso in due rate anticipate di euro ciascuna, a quanto ammonta l'affitto percepito dal proprietario a fine anno, con r = 5%? C0 0 (1 + r n) posticipo M? 6 mesi 12 mesi M = Cn = C0 (1 + r n) = * (1+0.05) * ( * 6/12) = = * * (1.025) = = = 6.225,00 euro

17 Interesse composto Interesse composto annuo gli interessi maturano una volta all'anno Interesse composto convertibile gli interessi maturano più volte all'anno, per cui si convertono in capitale fruttifero nell'ambito dello stesso anno Come per l'interesse semplice, si ha: 1. Montante 2. Valore attuale 3. Interesse 4. Sconto

18 Interesse composto 1. Montante Dopo 1 anno (n = 1), il montante semplice di un capitale è dato da: C1 = C0 (1 + r n) = C0 (1 + r) Dopo 2 anni (n = 2), il montante è: C2 = C1 (1 + r) = C0 (1 + r) (1 + r) = C0 (1 + r) 2 Dopo n anni (n = n), il montante è: Cn = C0 (1 + r) n per (1 + r) = q si ha: Cn = C0 q n q n = è detto fattore di posticipazione a interesse composto, in quanto moltiplicato per un capitale lo posticipa di n anni (cfr. tavole finanziarie) Esempio depositando in una banca ,00 euro, dopo 2 anni, con r = 0,03, avremo: M = Cn = C0 q n = * q 2 = ,00 euro

19 Esempio di tavole finanziarie

20 Interesse composto 2. Valore attuale Il valore attuale del capitale è dato a partire dalla formula del montante: Cn = C0 q n da cui si ha: C0 = Cn* 1/q n 1/q n = è detto fattore di anticipazione a interesse composto in quanto, moltiplicato per un capitale, lo anticipa di n anni (cfr. tavole finanziarie) Esempio Se si vuole estinguere un debito di ,00 euro che scadrà tra 5 anni, quale somma deve essere sborsata oggi al saggio dello 0,07%? C0 = Cn* 1/q n = ,00 * 1/q 5 = ,56 euro

21 Interesse composto 3. Interesse Ricordando la relazione che intercorre tra capitale, interessi e montante, si ha: Cn = C0 + I da cui: I = Cn - C0 inserendo la formula del Montante composto, si ha: I = Cn - C0 = C0 q n - C0 da cui: I = C0 (q n - 1) (cfr. tavole finanziarie) Esempio Si depositano in banca ,00 euro, al saggio del 2,80%. Dopo 10 anni quale sarà il montante? Quale sarà l'interesse maturato? Cn = C0 q n = ,00 (1+0,028) 10 = ,72 euro I = C0 (q n - 1) = ,00 (1, ) = 4.770,72 euro

22 Interesse composto 4. Sconto SC = Cn - C0 = Cn - Cn/q n = (Cnq n - Cn)/q n = Cn (q n - 1)/ q n Esempio Si vuole conoscere l'ammontare dello sconto (al saggio r = 5%) da applicare ad un capitale di 4.000,00 euro percepibile tra 4 anni, che si vuole realizzare subito: SC = Cn (q n - 1)/ q n = 4.000,00 (q 4-1)/q 4 = 709,19 euro

23 Periodi superiori ad un anno Coefficiente di posticipazione: Coefficiente di anticipazione: q n 1/q n q n posticipo C0 0 n 1/q n anticipo M

24 Esempio Un nuovo computer è acquistato in due rate da euro: la prima subito, la seconda tra due anni. Quanto costa il computer, con r = 6%? ? C0 M 0 n 1/q n anticipo C0 = Cn* 1/q n = * 1/ = 1.890,00 euro

25 Osservazioni valore attuale: 1.000,00 euro > all'aumentare del tempo, diminuisce il valore attuale > all'aumentare del saggio, diminuisce il valore attuale Tasso di interesse 1 anno 2 anni 3 anni 10 anni 20 anni 1% % % % % % % % % %

26 Osservazioni Relazione tra valore attuale e saggio di interesse Valore attuale di euro disponibili tra vent'anni al variare del tasso d'interesse anni

27 "Saggio" è la misura dello svantaggio che si subisce nel non usufruire di una risorsa oggi, bensì in un tempo futuro (un beneficio diretto, un reddito, ecc.) è la misura del vantaggio che si ha nel doversi privare di un costo e/o di una risorsa nel futuro piuttosto che oggi Saggio di interesse fattore di posticipazione dall'anno 1 all'anno n (1 + r) n = q n Saggio di sconto fattore di anticipazione dall'anno 1 all'anno n 1/(1 + r) n = 1/q n

28 Le annualità I valori che: 1. sono costanti nella loro entità 2. si ripetono ad intervalli di tempo regolari sono noti come rendite o rate. Le rendite o rate si distinguono in: > rate frazionate, si ripetono ad intervalli regolari in un anno (mensilità, trimestralità, ecc.) > rate annue o annualità, si ripetono ogni anno > rate poliennali o poliannualità, si ripetono ad intervalli di più anni. Le annualità si classificano in: > posticipate o anticipate, in base alla scadenza di ciascuna annualità, rispettivamente alla fine o all'inizio dell'anno > costanti o variabili, in base all'ammontare di ciascuna annualità > limitate o illimitate, in base alla durata complessiva della serie di prestazioni

29 Le annualità variabili Si utilizzano i coefficienti di anticipazione e posticipazione. L'accumulazione iniziale risulta: A0 = a0 + a1 /q + a2 /q 2 + an /q n 1/q n L'accumulazione finale risulta: An = a0q n + a1q n an q n A0 a0 a1 a2 an 0 n An

30 Esempio Calcolare l'accumulazione iniziale dei costi sostenuti dal proprietario di un immobile. Le spese sono: > euro alla fine del primo anno > euro alla fine del secondo anno > euro alla fine del terzo anno > euro alla fine del quarto anno ad un saggio del 4%. A0 = a0 + a1 /q + a2 /q 2 + an /q n = /1, / / /1.17 = euro A0 0 a0 a1 a2 a3 a4 an n An

31 Annualità costanti posticipate limitate Le annualità posticipate sono poste alla fine di ciascun anno. Si utilizzano i coefficienti di anticipazione e posticipazione e si ottiene: L'accumulazione iniziale risulta: A0 = a/q + a/q a/q n = a/q - (a/q n * 1/q)/(1-1/q) = a (q n - 1)/rq n (regola per la somma di n termini di una progressione geometrica decrescente: primo termine meno l'ultimo termine per la ragione, diviso l'unità meno la ragione) L'accumulazione finale risulta: An = a + a q + a q 2 + a q a q n-1 = (aq n-1 q- a)/q - 1 = a (q n-1 q- 1)/1+ r - 1 = a (q n - 1)/r (regola per la somma di n termini di una progressione geometrica crescente: l'ultimo termine per la ragione meno il primo termine, il tutto diviso per la ragione meno l'unità) a a a a a a A n An

32 Esempio La gestione di un museo comporta una spesa annua posticipata di euro. Assumendo un arco temporale di 6 anni e un saggio del 10%, si determini: 1. l'accumulazione iniziale delle spese 2. l'accumulazione finale L'accumulazione iniziale risulta: A0 = a (q n - 1)/rq n = (q 6-1)/0.10q 6 = * 4,355 = euro L'accumulazione finale risulta: A6 = a (q n - 1)/r = (q 6-1)/0.10 = * 7,716 = euro A0 a a a a a a An

33 Annualità costanti anticipate limitate Le annualità anticipate sono poste all'inizio di ciascun anno. Si utilizzano i coefficienti di anticipazione e posticipazione e si ottiene: L'accumulazione iniziale risulta: A0 = aq (q n - 1)/rq n L'accumulazione finale risulta: An = aq (q n - 1)/r A0 0 a a a a a 1 n-2 n-1 annualità anticipate An n

34 Esempi 1. Un proprietario contrae un mutuo estinguibile in 20 annualità anticipate di 4.410,88 euro ciascuna, al saggio del 7%. Determinare l'ammontare del capitale iniziale oggetto del mutuo. L'accumulazione iniziale risulta: A0 = aq (q n - 1)/rq n = 4.410,88 * 1,07 (q 20-1)/0,07q 20 = ,00 euro 2. Una persona deposita presso una banca, all'inizio di ogni anno e per 8 anni, la somma di ,00 euro. Determinare l'accumulazione maturata alla fine del 20 anno al saggio del 2,50%. L'accumulazione finale risulta: An = aq (q n - 1)/r = * 1,025 * (q 8-1)/0,025 = ,22 euro A0 0 a a a a a 1 n-2 n-1 annualità anticipate An n

35 Annualità costanti posticipate illimitate Nelle annualità illimitate n = pertanto, è possibile la sola accumulazione iniziale. L'accumulazione iniziale risulta: A0 = a/q + a/q a/q = a/q - (a/q * 1/q) / 1-1/q = = a/q (1-1/q )/ (q-1)/q = a/q (1-1/q ) * q/q -1 = = a (1-0) * 1/(1 + r -1) = a/r capitalizzazione dei redditi noto che: 1/q = 0 e che: q = 1 +r primo termine meno l'ultimo moltiplicato per la ragione unità meno la ragione Osservazione capitalizzare significa trovare il valore del capitale corrispondente ad un reddito A0 0 1 a a a a a n

36 OVVERO SeA0 = An/qn = a/qn * (qn - 1)/r Per un numero indefinito di anni si ha: lim A0 = lim a/q n * (q n - 1)/r = a/r * lim (q n - 1)/q n = n n n = a/r (lim q n /q n - lim 1/q n ) = a/r n n A0 0 1 a a a a a n

37 Esempi 1. Un immobile fornisce un reddito netto annuo (R o Bf = beneficio fondiario) di ,00 euro. Fissato r = 0,03, si determini il valore capitale dell'immobile. V0 = a/r = R/r = ,00/0,03 = ,00 euro 2. Un immobile è locato per un canone annuo posticipato di 5.860,00 euro; le spese medie annue a carico del proprietario sono pari a 900,00 euro, considerate a metà anno, al saggio del 4%. Si determini il valore capitale dell'immobile, con r = 0,025. R = 5.860,00-900,00 (1 + 0,04 *6/12) = 4.942,00 euro V0 = R/r = 4.942,00/0,025 = ,00 euro A0 0 1 a a a a a n

38 Riepilogo Annualità limitata posticipata An = a (q n - 1)/r Reintegrazione a = An * r /(q n - 1) A0 = a (q n - 1)/rq n Ammortamento a = A0 * r q n /(q n - 1) Annualità limitata anticipata An = aq (q n - 1)/r A0 = aq (q n - 1)/rq n

39 Annualità illimitata posticipata o Capitalizzazione dei redditi A0 = a/r = V0 = accumulazione iniziale da cui: a = A0 * r = reddito annuo posticipato Annualità illimitata anticipata A0 = aq/r = accumulazione iniziale da cui: a = A0 * r * 1/q = rata

40 Reintegrazione La quota di reintegrazione di un capitale è la somma accantonata annualmente che consente di ricostituire il capitale consumato dopo n anni di impiego. La reintegrazione serve per calcolare la quota annua di deperimento o ricostituzione dei capitali al lento logorio (fabbricati, impianti, mobili, attrezzi, spese di impianto, ecc.) a = An * r /(q n - 1) Esempio Si prevede di dover ristrutturare un fabbricato tra 10 anni, con una spesa di euro e si vuole conoscere la somma annua posticipata da accantonare al saggio del 5%. a = ,00 * 0,05 (q 10-1) = ,00 * 0,0795 = 7.950,00 euro

41 Ammortamento L'ammortamento è un'operazione finanziaria con la quale si estingue gradualmente un debito entro un certo periodo di tempo. La formula dell'ammortamento serve per determinare la quota annua che deve essere corrisposta per estinguere un debito in un dato numero di anni. a = A0 * r q n /(q n - 1) Esempio Una persona ha ricevuto in prestito ,00 euro da restituire in 8 rate, annue costanti posticipate, comprensive di capitale e di interessi al 7%. Si determini l'ammontare della rata annua o quota di ammortamento. a = ,00 * 0,07 q 8 /(q 8-1) = ,07 euro

42 Riferimenti bibliografici Forte F., de' Rossi B. (1974), Principi di economia ed estimo, Etas, Milano. Michieli I. Michieli G. (2004), Trattato di estimo, Edagricole_ IlSole24ore, Bologna

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