ESERCITAZIONE 3 Analisi Classica - Reprise

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1 STATISTICA ECONOMICA ED ANALISI DI MERCATO Previsioni Economiche ed Analisi di Serie Soriche A.A / 04 ESERCITAZIONE 3 Analisi Classica - Reprise di Daniele Toninelli D ORA IN POI LAVORARE SUI PRIMI 10 ANNI DI DATI E FARE EVENTUALI PREVISIONI PER GLI ULTIMI DUE ANNI. 1. INTRODUZIONE In quesa eserciazione si vedrà l applicazione di alcuni srumeni per l analisi classica inrodoi nella prima eserciazione (vedi file Es. 1 ). Lo scopo finale è arrivare ad idenificare le componeni di una serie sorica e ad una previsione che permea, elaborao un modello sui primi 10 anni di dai, di oenere delle sime relaive ai due anni successivi. Raggiuno queso obieivo, si misurerà quale dei meodi previsionali uilizzai è in grado di adaarsi meglio al ipo di serie sorica analizzao. Per ue le procedure segueni si ipoizzerà l analisi della serie sorica mensile di 10 anni (a sagionalià supposa cosane di periodo pari a 12 mesi) considerando il modello moliplicaivo. 2. Dopo aver reificao i dai Il modello moliplicaivo di una serie sorica è un modello del ipo seguene: 1

2 Y = T * C * S * A Innanziuo bisogna procedere per l individuazione dei dai grezzi reificai, rasformazione che, ramie l uso di opporuni coefficieni (vedi Es. 1 ), iene cono di ue le anomalie che possono essere preseni nel calendario e possono non rendere direamene paragonabili ra loro i dai della serie. Per individuare la componene sagionale bisogna innanziuo isolare la componene TC (Ciclo-Trend) seguendo i segueni passi: Media mobile a 12 ermini (o ad un numero di ermini corrispondene al periodo in cui si compie il ciclo sagionale) sui dai grezzi reificai. Si idenifica così la componene TC. 3. Individuare la componene Sagionale Per individuare la componene sagionale vera e propria si seguono i segueni passi: Per eliminare dalla serie la componene TC si dividono i dai originari per TC Gij SA ij =, TC ij dove G sono i dai grezzi reificai e SA ij sono i 12*k rappori di sagionalià (o indici specifici di sagionalià), i rappresena il mese i-esimo (i = 1, 2,,12), j l anno j- esimo (j = 1, 2,, k =10). E opporuno effeuare un es su quesi rappori: o Si calcola lo scaro quadraico medio sigma (σ) dei rappori di sagionalià relaivi ai differeni anni o Si calcolano i limii 2-sigma relaivi ad ogni mese (µ±2σ) Nei casi per cui i rappori di sagionalià superino il limie 2-sigma, la siuazione viene consideraa anomala. Quindi: o Si sosiuiscono i valori anomali (che superano i limii 2-sigma) con la media arimeica ra di essi e i due valori conigui o Per consaare la presenza di valori anomali si può anche usare un sisema grafico (considerando i grafici dei dai relaivi ai differeni mesi) o Più veloce la procedura di EViews (si vedrà in seguio) 2

3 Nel caso del modello a sagionalià cosane, si devono individuare 12 indici di sagionalià Calcolo dei coefficieni di sagionalià o Copiare i dai relaivi alla componene SA ij su un nuovo foglio di lavoro Selezionarli Sul nuovo foglio incollare selezionando la opzione incolla speciale e selezionando il box rasponi Tagliare, dopo ogni anno, i dai incollai e incollarli all inizio della riga successiva Ripeere il procedimeno finché non sono erminai i dai a disposizione o A queso puno si avranno per colonna i dai relaivi al mese j-esimo per i k anni di esensione della serie sorica. o Facendo la media per colonna si oerranno i coefficieni di sagionalià (indici ideali di sagionalià S i ) per ciascuno dei j mesi (la sagionalià è consideraa cosane). o Si oengono in queso modo i coefficieni di sagionalià Evenualmene è possibile aggiusare i coefficieni di sagionalià individuai: la loro somma dovrebbe essere pari a 12 (nel modello moliplicaivo). Quindi baserebbe suddividere il valore individuao per ciascun coefficiene per 12 per avere i coefficieni di aggiusameno correi (Opzionale) E opporuno rappresenare in un grafico a linee l andameno della componene sagionale Oenui i coefficieni di sagionalià, per arrivare alla desagionalizzazione della serie basa dividere i dai grezzi reificai per il coefficiene di sagionalià relaivo a ciascun mese considerao. Si oiene in queso modo la sima della serie modificaa Y = CT*A 4. Individuare la componene Trend Per individuare la componene Trend agire sulla componene TCA individuaa al puno 3 negli sessi modi uilizzai in Es. 1 : (esare rend lineare, esponenziale, poenza e logarimo). Per alcuni ipi di regressione (lineare ed esponenziale) è possibile usare il meodo del Riempimeno. 3

4 4.1. Analisi di regressione ramie Riempimeno Per effeuare una regressione lineare sui dai della serie sorica si segue quesa procedura: Replicare i dai della serie desagionalizzaa sulla colonna di fianco (in corrispondenza dei dai originari) Evidenziare i dai Lanciare Modifica - Riempimeno Spunare il boone Lineare Spunare Tendenza. Ok Si richiede così che i dai originali sino rasformai in una progressione lineare (nuovi dai) che ne approssima in modo oimale l andameno. E opporuno rappresenare i nuovi dai ploandoli in un nuovo grafico conenene anche la serie originaria. La pendenza della linea di regressione è uile a descrivere l evoluzione del fenomeno, cioè la endenza. Faa la regressione Lineare, ripeere il procedimeno su una nuova colonna uilizzando la procedura di regressione Esponenziale. Rappresenare in un grafico a linee la serie originaria e la serie risulao della regressione. E ora opporuno confronare i risulai della regressione (sia per la Esponenziale che per la Lineare) con i dai originari per scegliere quale ipo di regressione sia più appropriao per simare l andameno del rend. Per fare ciò è necessario imposare in alre due colonne gli scari al quadrao ra i dai della regressione e i dai originari (grezzi reificai). La regressione che avrà somma degli scari (al quadrao) minore sarà quella che meglio si adaa alla inerpreazione dei dai Analisi di regressione ramie il Meodo Grafico Parendo dal grafico lineare dei dai grezzi reificai si richiede che vi venga inseria una linea di endenza; è possibile uilizzare cinque ipi di funzioni (lineari, logarimiche, esponenziali, di poenza e polinomiali). La procedura da seguire è la seguene: 4

5 fare clic desro su un qualsiasi puno della curva che rappresena la serie selezionare Aggiungi linea di endenza; viene visualizzaa una maschera a due schede: o La scheda Tipo gesisce il ipo di analisi da realizzare (due sezioni) Selezionare l icona corrispondene all analisi desideraa (scegliendo la regressione polinomiale o la media mobile, è possibile indicare anche il grado della curva e la periodicià della media) o Nella scheda Opzioni si imposano alcuni parameri operaivi dell analisi Nome linea di endenza: assegnare un nome appropriao Ok E possibile enare con ui i ipi di regressione (in paricolare con la regressione lineare, esponenziale, logarimica e poenza) e scegliere le due migliori da confronare poi, come illusrao al puno precedene, con la regola della somma degli scari al quadrao per scegliere il meodo migliore uile ad individuare il rend, o uilizzando la procedura più immediaa indicaa qui soo. Si consiglia di provare i segueni meodi di regressione e scegliere i due migliori Regressione Lineare L equazione che rappresa la linea di endenza è del ipo: y = a * x + b (a e b rappresenano rispeivamene il coefficiene e la cosane di regressione: a idenifica la pendenza della rea, b l inercea, cioè il puno in cui la rea inconra l asse Y, y la sima della serie, x l isane emporale di riferimeno). Nella maschera per l aggiuna della linea di endenza, selezionare la prima icona Nella scheda Opzioni inserire nella casella il nome da assegnare alla linea di endenza Spunare il checkbox Visualizza l equazione sul grafico per far apparire l equazione della curva di endenza nel diagramma Selezionare la casella Visualizza il valore di R 2 sul grafico se si desidera che venga specificao l indice di confidenza dell analisi (il valore che consene di giudicare l aendibilià dell analisi che è saa eseguia) Scegliere l analisi più opporuna confronando i valori di R 2 Le procedure da uilizzare per le successive analisi di regressione sono ideniche rispeo a quella ora descria. 5

6 Regressione Logarimica L equazione che rappresa la linea di endenza è del ipo: y = a * Ln(x) + b (la cosane b rappresena l inercea della curva, Ln(x) il logarimo in base naurale della variabile indipendene) Regressione Esponenziale L analisi si conduce con le procedure già descrie. La linea di endenza è rappresenaa da una equazione del ipo: y = a * e b*x (e è la base dei logarimi naurali) Regressione di Poenza La curva di endenza è inerpreaa dalla relazione: y = a * x b si esegue con le solie procedure. Anche in queso caso è possibile individuare il migliore meodo di regressione basandosi sulla somma degli scari al quadrao. 5. Individuare la componene CA Per individuare la componene CA si suddivide la serie originaria desagionalizzaa per la componene T. La serie relaiva al rend può essere oenua direamene ramie la funzione Riempimeno oppure imposando la equazione di regressione (scela al puno precedene) in una apposia colonna. Dividendo la serie di dai grezzi desagionalizzai per T, si oiene la componene CA. Per ricavare la componene accidenale si deve individuare innanziuo la componene ciclica C facendo sulla serie CA una media mobile (in genere a 5 ermini o, se lo si conosce, di esensione pari al periodo del ciclo, in modo da eliminare la componene ciclica). Si suddivide poi la serie di dai CA per la componene C così individuaa. 6

7 6. Tes sulla componene Accidenale Per individuare la componene accidenale si sono seguii i segueni passi: Si sono suddivisi i dai CA per la componene ciclica C (individuaa precedenemene oppure uilizzando una media mobile a 3 o 5 ermini). CA A = C A queso puno è opporuno applicare delle prove di normalià alla serie di residui oenui: o Rappresenazione ramie grafico a linee: gli andameni devono risulare casuali e si deve avere alernanza di valori posiivi e negaivi o Si possono usare le rasformazioni (100*A) 100 o, se si raa di numeri indice, (1*A) 1 o Col meodo grafico si valua se ui gli errori ricadono enro i limii 3-sigma (µ±3σ) e se si ha una buona alernanza di valori posiivi e negaivi. o Nel caso qualche valore risuli eserno a quesi limii, si può inervenire sulla serie originaria (magari dopo avere indagao sulle cause dell anomalia della serie) sosiuendo al valore anomalo la media ra esso e i due valori conigui. o Rappresenazione della disribuzione degli errori per verificare che la sua forma sia simile a quella di una variabile casuale Normale o La media degli errori dovrebbe essere pari a 0 7. PREVISIONE Per arrivare alla previsione finale dei dai: Si sima il fuuro della componene Trend uilizzando la procedura Riempimeno (v. Es. 1 ), oppure il meodo grafico imposando in una apposia colonna l equazione di sima del Trend che meglio si adaa ai dai (individuaa al puno 4). Si aggiungono: o la componene ciclica (se individuaa) che è pari (se il ciclo ha periodicià n) a quella di n periodi precedeni (prodoo ra T e C) 7

8 o la componene sagionale (scela opporunamene in base al mese in quesione, quindi pari a quella di 12 periodi precedeni): prodoo ra TC e S. Fao il prodoo ra il dao previso per il rend, l opporuno coefficiene sagionale e il numero indice relaivo al ciclo si oiene la serie Z = z previsa: Z = T * C * S. 8. BONTA DI ADATTAMENTO E necessario, per confronare più modelli previsionali, uilizzare delle appropriae misure di sinesi. Si consiglia di applicare i meodi spiegai in seguio ai due migliori modelli previsionali individuai ai puni precedeni. Effeuare la analisi punuale dei residui (a ) per via grafica (rappresenazione in un grafico a linee) per evidenziare evenuali anomalie: a = z zˆ Valuare la somma del quadrao degli errori ramie il Mean Square Error (MSE): MSE N = = 1 ( z zˆ ) N 2 dove: sono gli isani emporali considerai, z è la serie originaria e ẑ è quella previsa, N sono gli isani emporali considerai dalla serie. Il Mean Square Error deve essere minimizzao. E opporuno fare il confrono (considerando i due modelli migliori individuai in precedenza) ra il MSE riferio ai primi 10 anni della serie e quello relaivo agli ulimi 2. In queso modo si possono fare considerazioni su evenuali muameni di corso della serie che renderebbero il modello meno appropriao. Verificare la bonà di adaameno sui primi 10 anni e sugli ulimi due anni anche usando il MAPE (Mean Absolue Percenage Error): z zˆ PE = 100 (Percenage Error) z MAPE = 1 N N = 1 PE 8

9 Quese procedure porano alla scela del migliore sisema previsionale (e quindi del migliore ipo di regressione uilizzao per la sima del Trend) e verranno uilizzae anche nel seguio per effeuare confroni con le previsioni oenue usando alri meodi previsionali. 9