UNIVERSITA DEGLI STUDI DI ROMA TOR VERGATA ESERCIZI D ESAME DEL CORSO DI RETI DI TELECOMUNICAZIONI

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI ROMA TOR VERGATA ESERCIZI D ESAME DEL CORSO DI RETI DI TELECOMUNICAZIONI rev. 1.0 ANDREA DETTI

2 Reti di Telecomunicazioni Esercizi d esame pag. 2/20 1 Sia data una popolazione di M=10 utenti, i quali offrono dati ad un multiplatore statistico (router) che ha una capacità d uscita di C = 1 Mbit/sec. Ogni utente è caratterizzato da periodi di alta, media e bassa attività che si presentano con le seguenti probabilità: Pr{ alta } = 0.1; Pr{ media } = 0.4; Pr{ bassa }=0.5. Durante il periodo di alta attività l utente emette unità informative con frequenza media di interarrivo alta =100 (unità/sec) e lunghezza media L alta = 1000 bytes. Durante il periodo di media attività l utente emette unità informative con frequenza media di interarrivo media = 50 (unità/sec) e lunghezza media L media = 500 bytes. Durante il periodo di bassa attività l utente emette unità informative con frequenza media di interarrivo bassa = 10 (unità/sec) e lunghezza media L bassa = 100 bytes. Si chiede di determinare il traffico complessivo A o offerto al multiplatore, evidenziando come si utilizzano i parametri sopra esposti per ottenere il risultato. A o = M * ( Pr{ alta } * alta * L alta * 8 + Pr{ media } * media * L media * 8 + Pr{ bassa } * bassa * L bassa * 8 ) / (C* ) = 1.64 Erl

3 Reti di Telecomunicazioni Esercizi d esame pag. 3/20 2 Un Internet Service Provider (ISP) è connesso mediante un router, da un lato, alla rete telefonica con M= 50 porte e,dall altro lato, alla rete internet con una capacità d uscita di C= 1 Mbit/sec. Il generico utente dell ISP si collega al router utilizzando un modem e quindi, qual ora la chiamata sia accettata, impegna in modo indiviso una delle porte telefoniche a disposizione. Si assuma che la durata media della chiamata telefonica è T c = 30 min; inoltre, la frequenza media di interarrivo delle richieste di connessioni che pervengono al router sia c = 100 (chiamate/ora). Durante la chiamata, il flusso dati dell utente è caratterizzato da un bit rate medio F m = bit/sec. Untente Router Untente Modem Porta #1 Untente Modem Porta #M C Mbt/sec Internet Modem Rete Telefonica Si assuma che: - la rete telefonica, con esclusione delle porte del router, è non bloccante; - il processo di ingresso delle chiamate telefoniche è Poissoniano; - la durata della chiamata è distribuita in modo esponenziale negativo; - il router abbia una coda infinita. Il candidato determini, evidenziando come si utilizzano i parametri sopra esposti, le seguenti quantità: i) la probabilità P b che una chiamata modem sia bloccata per assenza di porte libere; ii) il coefficiente di utilizzazione ρ della linea del router uscente verso internet. A o =( T c * 60)*( c / 3600) = 50 Erl P b =ErlangB 50 (50) = 0, A s = A o * (1-P b ) = numero medio di chiamate attive ρ = (A s * F m )/ (C* )= 0,

4 Reti di Telecomunicazioni Esercizi d esame pag. 4/20 3 L amministratore telefonico di una azienda è in possesso di un centralino telefonico ISDN primario, chiamato A, che supporta 30 linee telefoniche. Visto che i dipendenti dell azienda si lamentano sulla indisponibilità del servizio, l amministratore ha deciso di raddoppiare le risorse comperando un altro centralino uguale, chiamato B. Ogni volta che una chiamata non trova linee disponibili sul centralino A viene dirottata ( trabocca ) sul centralino B; solo se anche in quest ultimo non trova nessuna linea disponibile allora è persa. Assumendo che il traffico telefonico complessivo sia di 50 Erl e che (per semplicità) il traffico di trabocco dal centralino A verso il B sia di tipo Poissoniano, il candidato determini il traffico As_A smaltito dal centralino A ed il traffico As_B smaltito dal centalinob. Suggerimento: durante i calcoli approssimare il valore del traffico di trabocco all intero più vicino presente in tabella. ErlangB(50,30) = As_A = 50*( ) = Erl Traffico perso da A e di trabocco verso B = 50* = Erl -> approx -> 22 Erl ErlangB(22,30) = As_B = Erl

5 Reti di Telecomunicazioni Esercizi d esame pag. 6/20 5 Sia dato un multiplatore a pacchetto con una linea d uscita di capacità C (Mbit/sec) in cui le contese di utilizzazione sono risolte a ritardo in senso stretto. Il multiplatore è caricato dal traffico generato da 100 sorgenti di tipo ON-OFF. Durante i periodi di ON la sorgente emette pacchetti di lunghezza 512 bytes, con tempo medio di interarrivo di ms; mentre, durante i periodi di OFF la sorgente è in silenzio. La durata media dei periodi di ON è T on =0.5 sec e la durata media dei periodi di OFF è T off =1.5 sec. Il candidato valuti il valore della capacità C che garantisce un coefficiente di utilizzazione (ρ) del multiplatore pari a 0.8. Con una tale scelta sulla capacità C, si misura un numero medio di pacchetti all interno del multiplatore pari a 25. Quanto vale il tempo medio di permanenza T (tempo in fila d attesa + tempo di servizio) di un pacchetto all interno del multiplatore? traffico offerto dalla singola sorgente durante il periodo di ON A o ON = (1/(40.96e-3))*(512*8/C) = 1e5 / C Traffico offerto dalla singola sorgente : A o = A o ON * (T on /( T on + T off )) = 25e3 / C Traffico offerto al Multiplatore = Traffico Smaltito = ρ A o T = A s T = ρ = A o * 100 = 2.5e6 / C = > C = Mbit/sec Il tempo medio di servizio del generico pacchetto è T pkt = 512*8/C = ms La frequenza media con cui arrivano i pacchetti al multiplatore è : T o = A T o / T pkt = e2 (sec -1 ) Il tempo medio di permanenza T nel sistema è dato da Little come : T o * T = > T = ms

6 Reti di Telecomunicazioni Esercizi d esame pag. 7/20 6 Sia dato un centralino telefonico con 4 linee d uscita che interconnette un piccolo ufficio alla rete telefonica pubblica. Al centralino arrivano chiamate in accordo ad un processo di Poisson, gestite a perdita in senso stretto. Attraverso una campagna di misura, si rilevano le probabilità d occupazione delle linee riportate nella tabella sottostante. Il candidato determini il numero minimo S di linee che dovrebbe avere un nuovo centralino, soggetto allo stesso traffico offerto, affinchè risulti una probabilità di rifiuto minore o uguale del 1%. SERVENTE PROBABILITA DI OCCUPAZIONE

7 Reti di Telecomunicazioni Esercizi d esame pag. 8/20 7 Si consideri un sistema a coda con due serventi e fila d attesa composta con due posti. Il processo di ingresso è Poissoniano di parametro ed il processo di servizio è esponenziale negativo di parametro µ. Si chiede di : 1) tracciare il diagramma delle frequenze di transizione di stato del sistema; 2) impostare (senza risolvere) il sistema per il calcolo delle probabilità di stato Π i ; 3) assumendo che le probabilità di stato Π i siano date, determinare simbolicamente l espressione del traffico smaltito A s. Diagramma delle frequenze di transizione µ 2µ 2µ 2µ Variabile di stato = n. richieste di servizio presenti nel sistema Sistema per il calcolo delle probabilità di stato π = µπ 0 1 π = 2µπ 1 2 π = 2µπ 2 3 π = 2µπ 3 4 π + π + π + π + π = Traffico smaltito As = π1+ 2π2 + 2π3+ 2π4

8 Reti di Telecomunicazioni Esercizi d esame pag. 9/20 8 Sia dato un nodo di rete a pacchetto con una linea d ingresso e tre linee d uscita. Le tre linee d uscita sono modellabili come tre sistemi a coda senza perdita, denominati Q1,Q2,Q3. Le richieste di servizio sono offerte all ingresso del nodo e quindi, attraverso un selettore, sono inoltrate verso le code Q1,Q2,Q3. Il selettore lavora in modo statistico inoltrando la richiesta di servizio verso Q1 con probabilità r 1, verso Q2 con probabilità r 2 e verso Q3 con probabilità r 3. I tempi di servizio dei sistemi Q1,Q2 e Q3 sono rispettivamente T 1 = 50ms, T 2 =100ms, T 3 =200ms. Assumendo che il processo d ingresso sia caratterizzato da una frequenza media di richieste di servizio offerte o, il candidato determini i valori di r 1, r 2, r 3 tali che il traffico smaltito dai sistemi Q1,Q2,Q3 sia uguale. o selettore r 1 r 2 Q1 Q2 Nodo r 3 Q3 r i * o * T i =As i (traffico smaltito i-esima coda) Sistema risolvente r 1 * o * T 1 = r 2 * o * T 2 r 1 * o * T 1 = r 3 * o * T 3 r 1 + r 2 + r 3 =1 Soluzione : r 1 = 1/ (1 + T 1 / T 2 + T 1 / T 3 ) = 1/( ) = r 2 = (T 1 / T 2 )/ (1 + T 1 / T 2 + T 1 / T 3 ) = r 3 = (T 1 / T 3 )/ (1 + T 1 / T 2 + T 1 / T 3 ) =

9 Reti di Telecomunicazioni Esercizi d esame pag. 10/20 9 Si consideri un sistema a coda con 4 serventi e fila d attesa nulla che offre servizio a 30 utenti. Ogni utente presenta richieste di servizio in accordo ad un processo di Poisson con frequenza media di interarrivo e con frequenza media di terminazione di servzio µ. Si chiede di : 1) tracciare il diagramma delle frequenze di transizione di stato; 2) impostare (senza risolvere) il sistema per il calcolo delle probabilità di stato Π i ; 3) valutare il coefficiente di utilizzazione del sistema a coda. Diagramma delle frequenze di transizione µ 2µ 3µ 4µ Variabile di stato = n. richieste di servizio presenti nel sistema Sistema per il calcolo delle probabilit di stato 30π = µπ π = 2µπ π = 3µπ π = 4µπ 3 4 π + π + π + π + π = Coefficiente di utilizzazione ρ = π1+ 2π2 + 3π3+ 4π 4 4

10 Reti di Telecomunicazioni Esercizi d esame pag. 12/20 11 Un nodo di commutazione di messaggi (e.s., SMS) riceve mediamente 240 messaggi al minuto. La lunghezza media dei messaggi è L = 176 caratteri. La capacità trasmissiva del nodo è di C (caratteri al secondo). Assumendo che il nodo operi sia senza perdita, determinare il limite inferiore della capacità C che rende il sistema stabile. = frequenza media di interarrivo = 240 * 176 / 60 = 704 (caratteri al secondo) T s = tempo di servizio del carattere = 1 / C = (secondi per carattere) ρ < 1 (condizione di stabilità) ρ= T s < 1 C > 704 (caratteri al secondo)

11 Reti di Telecomunicazioni Esercizi d esame pag. 13/20 12 Sia dato un sistema a coda con due serventi S 1 ed S 2 e fila d attesa nulla. La disciplina di coda prevede che nel caso in cui entrambe i serventi siano liberi, una richiesta di servizio entrante impegna casualmente uno dei due serventi con uguale probabilità; negli altri casi, è sempre impegnato il servente libero. Si assuma che : - i tempi di interarrivo siano distribuiti in modo esponenziale negativo con la frequenza media - i tempi di servizio dei serventi S 1 ed S 2 siano distribuiti in modo esponenziale negativo ed i valori medi siano rispettivamente T 1 e T 2. Si chiede di : 1) tracciare il diagramma delle frequenze di transizione di stato del sistema; 2) impostare (senza risolvere) il sistema per il calcolo delle probabilità di stato; 3) assumendo che le probabilità di stato siano date, determinare simbolicamente l espressione del traffico smaltito As. Nota : utilizzare come variabile di stato Π XY, con X ed Y variabili binarie. X = 1 se S 1 è occupato; Y = 1 se S 2 è occupato. Diagramma delle frequenze di transizione /2 0,0 µ 1 µ 2 1,0 0,1 µ 2 µ 1 1,1 /2 Variabile di stato = (X,Y), µ i = 1/ T i Sistema per il calcolo delle probabilità di stato π = µπ + µ π 0,0 1 1,0 2 0,1 ( + µ ) π = 2π + µ π 1 1,0 0,0 2 1,1 ( + µ ) π = 2π + µπ 2 0,1 0,0 1 1,1 π + π + π + π = 1 0,0 1,0 0,1 1,1 Traffico smaltito A = π + π + 2π s 1,0 0,1 1,1

12 Reti di Telecomunicazioni Esercizi d esame pag. 14/20 13 Una centrale telefonica T di livello gerarchico superiore serve H centrali telefoniche locali L i (i = 1,..,H) ad essa direttamente collegate. La capacità del collegamento fra la generica centrale locale L i e la centrale T è di 8 canali telefonici (bi-direzionali). La centrale T dispone di un collegamento verso la restante parte della rete di capacità pari a 28 canali telefonici (bi-direzionali). Si assuma che : - la generica i-esima centrale locale serve un bacino d utenza che offre alla centrale stessa un traffico poissoniano, con intensità media pari a Ao i = 3 Erl; - è considerato il solo traffico uscente, ovvero nella direzione bacino d utenza -> restante parte della rete; - il traffico cumulativamente offerto dalle H centrali locali L i alla centrale T è di tipo Poissoniano; - lo stato di occupazione dei circuiti telefonici operanti nella sezione L i T è statisticamente indipendente dallo stato di occupazione dei circuiti telefonici fra T e la parte restante di rete. Si chiede di determinare il numero massimo (H max ) di centrali locali tale che la probabilità di blocco di chiamata relativa alla centrale T (P T ) sia inferiore a 0,01. Assumendo inoltre che il blocco da estremo a estremo di una chiamata (P C ) sia dovuto esclusivamente dalle centrali L i e T, determinare, usando un numero di centrali locali pari al valore di H max ricavato al punto precedente, la probabilità P C. (probabilità di blocco centrale L i ) = E 1,8 (Ao i ) = P L (traffico offerto alla centrale T) = H * Ao i * (1- P L ) = Ao T (probabilità di blocco centrale T) = E 1,180 (Ao T ) = E 1,180 (H * Ao i * (1- E 1,30 (Ao i ))) = P T P L =0,0081 Ao T = H * 2,9757 Erl E 1,28 ( H * 2,9757) < 0,01 soluzione per tentativi -> H = 6 infatti E 1,28 ( 6 * 2,9757)= E 1,28 (17,854) 0,0071 La probabilità di blocco di chiamata è uguale al negato della probabilità che la chiamata sia accettata su entrambe le centrali, ovvero P C = 1- [(1-P T )*(1-P L )] = 1-[(1-0,0071)*(1-0,0081)]=0,0151

13 Reti di Telecomunicazioni Esercizi d esame pag. 15/20 14 Sia data la registrazione del traffico offerto puntuale ad una centrale telefonica nell intervallo temporale che va da t 0 =0 a t 1 =10min e 23 s, riportata in tabella. Si determini il valore dell intensità media di traffico offerto A o alla centrale in questo intervallo di tempo. Istante di arrivo della richiesta (sec) Durata della chiamata (min) 3 3 min 6 1 min 10 0,5 min 20 1,7 min min 36 4 min 42 6 min 43 3 min 49 5 min 52 6 min 57 2 min 11 chiamate in 10 minuti e 23s -> frequenza media di interarrivo = 11/10,38 (ch/min)= 1,056 durata media della chiamata = (3+1+0,5+1, ) / 11 = Traffico offerto = * = 4,06 Erl

14 Reti di Telecomunicazioni Esercizi d esame pag. 16/20 15 Si consideri un sistema a coda monoservente con un posto in fila d attesa e popolazione infinita. La popolazione presenta richieste di servizio in accordo ad un processo di Poisson con frequenza media =10 (richieste/sec) e frequenza media di terminazione di servizio µ (20 richieste/sec). Si chiede di : 1) tracciare il diagramma delle frequenze di transizione di stato; 2) calcolare i valori delle probabilità di stato Π i ; 3) calcolare l intensità media di traffico smaltito A s Diagramma delle frequenze di transizione µ µ Variabile di stato = n. richieste di servizio presenti nel sistema Calcolo delle probabilità di stato π = µπ 0 1 π = µπ 1 2 π + π + π = π 0 = = ρ + ρ π = π ρ = π = π ρ = con ρ = µ A = π1+ π 2 = Erlang s Intensità media di traffico smaltito A s

15 Reti di Telecomunicazioni Esercizi d esame pag. 17/20 16 Si consideri una comunicazione a pacchetto fra due entità alla pari A e B. Il percorso di rete su cui tale comunicazione insiste è composto da due nodi intermedi R1 ed R2. La capacità trasmissiva a disposizione sulle tre tratte A-R1, R1-R2, R2-B è pari a C Mbps. La lunghezza della PCI è L PCI = 20 bytes. Assumendo che si voglia trasferire da A verso B una quantità di dati d utente pari a L file = 225 Kbytes e che i tempi di propagazione siano trascurabili, si determini la lunghezza in bytes della SDU (L SDU ) che minimizza il tempo di trasferimento, inteso come l intervallo di tempo che va dalla trasmissione del primo bit di dati d utente da parte di A alla ricezione dell ultimo bit da parte di B. A R1 R2 B Trasmissione delle PDU nel tempo sui vari nodi A R1 R2 PDU PDU PDU Ritardo di immagazzinamento PDU PDU PDU Ritardo di immagazzinamento PDU PDU PDU 2*L PDU / C N*L PDU / C N = numero di PDU necessare = T =tempo di trasferimento = L L file SDU Minimizzazione del tempo di trasferimento 0 file 2( L + L ) + ( L + L ) PCI SDU PCI SDU 2LPDU + NLPDU LSDU = C C T LfileL PCI = L SDU = = 1500 bytes L 2 SDU L

16 Reti di Telecomunicazioni Esercizi d esame pag. 18/20 17 Sia dato un collegamento satellitare per traffico telefonico fra una postazione mobile ed una stazione fissa di terra, in cui il satellite fa da puro ripetitore di bit. La postazione mobile è servita da una popolazione d utenti sufficientemente grande da considerarsi infinita. Il traffico telefonico offerto da tale popolazione verso la stazione fissa di terra A T o è pari a 4 Erl. La capacità del collegamento satellitare, identica in salita ed in discesa, è pari a C=192 Kbps. La banda di picco F p della singola comunicazione telefonica è 32 Kbps mentre la sua banda media è F m = 16 Kbps. Si considerino due soluzioni di modo di trasferimento: a circuito e a pacchetto. Nel caso di modo di trasferimento a circuito, la multiplazione delle chiamante sulla capacità C è operata in accordo ad una tecnica statica TDM (senza perdita di bit d utente). Viceversa, nel caso di modo di trasferimento a pacchetto si fa uso di un pacchettizzatore vocale all interno della postazione mobile. Il pacchettizzatore invia i pacchetti prodotti alla coda infinita del trasmettitore. Il processo di arrivo dei pacchetti alla coda del trasmettitore è Poissoniano e la lunghezza media dei pacchetti è distribuita in modo esponenziale negativo con media L = 640 bit. Il criterio di accettazione di chiamata impone che il ritardo medio di coda (comprensivo della trasmissione) T q sia inferiore a 8ms. Trascurando qualsiasi tipo di informazione di controllo aggiuntiva, si determinino le probabilità di blocco di chiamata nei due casi di modo di trasferimento: a circuito (Π c b ) e a pacchetto (Π p b ). Postazione mobile Satellite TDM C = 192 Kb/s C = 192 Kb/s TX Stazione di terra soluzione a circuito E1,S(A0) A , S ,5 0,8 0, , , , ,2 0, ,648 0, ,72 0, ,0625 0, , , , , , , , , , , , , , , ,3604 0, , , , , , , ,3E-05 0, , , , , ,12E-06 0, , , , , ,01E-06 0, , , , , ,01E-07 0, , , , , Postazione mobile pkt pkt Satellite Suggerimento : valutare il numero massimo di chiamate accettabili nei due casi Pacchettizzatore pkt pkt TX Coda infinita C = 192 Kb/s C = 192 Kb/s Stazione di terra soluzione a pacchetto Poiché nel caso della soluzione a circuito la strategia di riservazione di banda è statica e quindi per non aver perdita è necessario allocare ad una chiamata una quota parte di banda C pari alla sua banda di picco F p ; allora il numero massimo di chiamate accettabili dal multiplatore TDM è S=192e3/32e3=6 ovvero il multiplatore TDM è modellabile come un sistema a coda con S serventi e zero posti in fila d attesa per il quale la probabilità di perdita è : Π b c =E 1,6 (4)=0.117 Nel caso di soluzione a pacchetto il numero massimo di chiamate accettabili S è tale che il ritardo medio di coda T q non superi 8 ms. Essendo T q = L / (C-S*F m ) risolvendo T=8ms per S si ottiene S = 7. Quindi in questo caso a parità di risorsa C sono accettabili più chiamate e la probabilità di blocco vale Π b p = E 1,7 (4) = 0.062

17 Reti di Telecomunicazioni Esercizi d esame pag. 20/20 19 Si considerino N sorgenti di traffico dati. Ogni sorgente emette un traffico di tipo poissoniano con ritmo binario medio pari a F m bit/s e lunghezza dei pacchetti con distribuzione esponenziale negativa di media L bit. Il traffico prodotto da tali sorgenti è inoltrato verso un multiplatore che ha una capacità di smaltimento globale pari a C bit/s. Si considerino due diverse tecniche di multiplazione, una statica e una dinamica, riportate in figura e si assuma N* F m <C. Nel caso di multiplazione statica, il multiplatore assegna un canale di capacità C/N ed un buffer di dimensione infinita ad ogni sorgente. Nel caso di multiplazione dinamica, tutta la capacità C è dinamicamente condivisa fra tutte le sorgenti mentre un buffer di dimensione infinita è condiviso fra tutte le sorgenti. Il candidato valuti e discuta le prestazioni di queste due soluzioni in termini di coefficiente di utilizzazione ρ della capacità C e del tempo medio di coda T q dei pacchetti di dati (tempo di coda=tempo di attesa più tempo di servizio). Multiplazione statica Multiplazione dinamica ρ statica = ρ dinamica = N*Fm / C Tq statica = L / (C/N - Fm) Tq dinamica = L / (C N*Fm) Discussione : essendo in entrambe i casi il sistema stabile e senza perdita il traffico smaltito e quindi l utilizzazione della linea risulta la stessa; viceversa, le differenze prestazionali si hanno sul tempo di coda ed in particolare la multiplazione dinamica presenta sempre un tempo medio di coda inferiore per N>1.