Teoria dei giochi. a.a. 2009/2010. Dott. Laura Vici

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1 Teoria dei giochi a.a. 2009/2010 Dott. Laura Vici Dipartimento di Scienze Economiche Università di Bologna Home page: Esercitazione per il corso di Microeconomia tenuto dal Dott. Luigi Marattin OBIETTIVI: Questa sezione fornisce un quadro riassuntivo delle principali applicazioni della teoria dei giochi in situazioni di interazione strategica tra agenti. In particolare, si analizzano le strategie(ottimali e non) a disposizione degli agenti e alcune tipologie di equilibrio in strategie pure. L attenzione si focalizzerà principalmente sui giochi non cooperativi, statici, con informazione perfetta e completa, e a equilibri in strategie pure.

2 Teoria dei giochi La teoria dei giochi è una branca della matematica e dell economia che studia l interazione strategica tra agenti economici(consumatori, imprese, governo ecc.) detti giocatori. Sono giochi tutte quelle situazioni in cui i giocatori prendono decisioni tenendo in considerazione le azioni e le reazioni degli altri giocatori. Nella teoria dei giochi si ipotizza che gli individui siano intelligenti, ossia in grado di fare ragionamenti logici di complessità indefinitivamente elevata, e razionali, cioè con preferenze coerenti sugli esiti finali del processo decisionale e con l obiettivo di massimizzare queste preferenze. Salvo ipotesi differenti, i giocatori sono a conoscenza delle regole del gioco e sono consapevoli delle conseguenze di ogni singola mossa. Pertanto, se gli individui sono razionali, il loro obiettivo consiste nel massimizzare il proprio payoff nei limiti dei vincoli imposti dal comportamento degli altri. Sono molteplici le applicazioni e le tipologie di interazioni trattate da questa teoria: dal campo economico e finanziario a quello strategico-militare, dalla politica alla sociologia, dalla psicologia all informatica, dalla biologia allo sport. L azione o l insieme di azioni che un individuo intende intraprendere, date le azioni degli altri giocatori, viene chiamata strategia. Gli esiti associati a ogni possibile combinazione delle strategie dei giocatori sono detti payoff: questi risultati possono essere positivi, negativi o nulli. Di conseguenza, la strategia ottimale per ciascun giocatore è quell azione o insieme di azioni che massimizza il payoff atteso. Gli elementi di un gioco sono pertanto tre: 1. (a) il numero dei giocatori; (b) l insieme delle strategie a disposizione dei giocatori; (c) la funzione di payoff di ciascun giocatore. Classificazione sommaria dei giochi I giochi possono essere classificati sulla base di diversi criteri: Giochi cooperativi e non cooperativi: È cooperativo un gioco in cui i partecipanti possono stipulare contratti vincolanti che permettono loro di porre in atto strategie congiunte. È non cooperativo un gioco in cui non è possibile stipulare e far rispettare contratti vincolanti. Giochi simultanei e sequenziali: È simultaneo un gioco in cui i giocatori scelgono le azioni simultaneamente. 2

3 È sequenziale un gioco in cui i giocatori scelgono le azioni secondo una successione particolare. Inoltre, quando il gioco uniperiodale (one-shot) è ripetuto un certo numero di volte, si parla di giocoripetuto. 1 Giochi a informazione completa o incompleta: Un gioco è a informazione completa se tutti i giocatori conoscono le strategie a disposizione dituttiigiocatorieipossibilipayoffdituttiipartecipantialgioco Un gioco è a informazione incompleta se almeno un giocatore non conosce payoff e/o strategie degli altri giocatori. Giochi a informazione perfetta o imperfetta: Un gioco è a informazione perfetta se i giocatori conoscono con certezza la storia delle giocate precedenti. Interminipiùtecnici,sitrattadigiochiincuiinognimomentodelgiocosipuòcapire in quale nodo della rappresentazione ad albero del gioco ci si trova. Ungiocoèainformazione imperfettaseilgiocatorenonsaprecisamenteinqualenododella rappresentazione ad albero del gioco si trova. Giochiasommacostanteoasommavariabile: Un gioco si dice a somma costante se la somma degli esiti per i singoli giocatori è sempre la stessa, qualunque sia la combinazione di strategie risultante dalla loro interazione. In altre parole, in un gioco a somma costante, per ogni vincita di un giocatore corrisponde un uguale perdita per altri giocatori. In particolare, un gioco a somma zero fra due giocatori rappresenta la situazione in cui il pagamento viene corrisposto da un giocatore all altro. Ungiocoèa somma variabileselasommadeipayoffdeisingoligiocatoricambia. Rappresentazionedelgioco(seilnumerodigiocatoriedimosseèfinito): Ungiocoinforma normale o strategicavienerappresentatoinunamatriceincuinellerighe vengono riportate le strategie pure a disposizione di un giocatore e nelle colonne le strategie pure a disposizione dell altro giocatore. Nelle celle si riportano una coppia di numeri che rappresentano, rispettivamente, i payoff del giocatore riga e del giocatore colonna corrispondenti alla coppia di strategie adottate. Ungiocoinforma estesa o ad alberopuòesseredescrittoconungrafo. Sipartedallaradice dell "albero" e si descrive il gioco mossa per mossa, fino ad arrivare a presentare tutte le situazioni 1 Laripetizioneneltempodiunostessogiocononsempreriproponel equilibriodelgiocoone-shot. Ilrisultatofinaledipende dall orizzonte temporale considerato. 3

4 finali,ciascunesitounivocodiunaseriedimosse. Siusaspessocongiochiripetutiodinamicie in condizioni di informazione imperfetta. Figura 1: Rappresentazione del gioco in forma normale(o strategica) Figura 2: Rappresentazione del gioco in forma estesa(o ad albero) Le strategie Le strategie possono essere classificate in diversi modi: Strategia pura verso strategia mista: 4

5 una strategia pura corrisponde a una situazione in cui il giocatore prende una decisione specifica o intraprende un azione specifica. una strategia mista consiste in una situazione in cui il giocatore compie una scelta casuale tra due o più azioni possibili, sulla base di una certa distribuzione di probabilità. Strategie dominanti e dominate: una strategia è detta dominante se garantisce al giocatore il maggior payoff possibile rispetto a tutte le altre strategie a disposizione, indipendentemente dal comportamento dell altro giocatore (o degli altri giocatori). una strategia è detta dominata se non viene mai utilizzata da un giocatore razionale, qualunque sia il comportamento dall avversario. Gli equilibri Quando tutti i giocatori hanno una strategia dominante chiamiamo l esito del gioco equilibrio in strategie dominanti. Tuttavia, non sempre esiste una strategia dominante per ogni giocatore e a volte nessun giocatore possiede una strategia dominante. In tal caso, può esistere una strategia ottimale dipendente dalla strategia adottata dall avversario. L equilibrio di Nash è una nota tipologia di equilibrio più generale rispetto all equilibrio in strategie dominanti. Un equilibrio di Nash è un insieme di strategie tali per cui ogni giocatore prende la miglior decisione possibile dato il comportamento delle sue controparti. In altre parole, una soluzione costituisce un equilibrio di Nash quando le strategie di ciascun giocatore rappresentano la scelta migliore date le migliori strategie altrui. L equilibrio di Nash è pertanto un equilibrio stabile perché ogni giocatore conferma la propria scelta una volta osservata la mossa dell altro giocatore. Quindi, se si raggiunge un equilibrio di Nash, tutti i giocatori non hanno alcun incentivo a deviare dalla strategia ottimale. Nel caso del modello di Cournot, ad esempio, la quantità scelta in equilibrio dalle due imprese rappresenta un equilibrio di Nash(noto sotto il nome di equilibrio di Cournot-Nash) in cui ogni impresa anticipa correttamente il livello di produzione dei concorrenti. UnequilibrioinstrategiedominantièunequilibriodiNashmanonèveroilcontrario. 2 Tuttavianonsemprel equilibriodinashèunicoenonsempreesiste(instrategiepure) 3. 2 In un equilibrio in strategie dominanti, il giocatore adotta la strategia dominante (ottimale) indipendentemente da quello che fanno gli altri giocatori. In un equilibrio di Nash, il giocatore adotta la strategia ottimale dato che l altro giocatore (o gli altri giocatori) si comportano in un certo modo. 3 Mentre nei giochi può non esistere sempre un equilibrio di Nash in strategie pure, se il numero dei giocatori e di strategie a loro disposizione è fisso allora esiste sempre almeno un equilibrio di Nash in strategie miste. 5

6 Tra i tanti giochi che si esamineranno, particolare attenzione verrà dedicata al noto dilemma del prigioniero, in cui l esito della competizione tra agenti non consente il raggiungimento del massimo benessere per i contendenti. Il dilemma può essere descritto come segue. Due criminali vengono accusati di aver compiuto una rapina. Gli investigatori li arrestano e li chiudono in celle separate impedendo loro di comunicare. A ognuno di loro vengono date due scelte: confessare l accaduto, oppure non confessare. Viene inoltre spiegato loro che: 1. (a) sesolounodeidueconfessa,chihaconfessatoevitalapena; l altrovieneperòcondannatoa10 anni di carcere; (b) se entrambi confessano, vengono entrambi condannati a 9 anni; (c) se nessuno dei due confessa, entrambi vengono condannati a 4 anni. Questo gioco può essere descritto con la seguente matrice: Criminale A Criminale B confessa non confessa confessa non confessa Calcolando l equilibrio(in strategie dominanti e di Nash) si scopre che il punto di equilibrio è(confessa, confessa), con un risultato complessivo che non è ottimale per nessuno dei due criminali(9 anni di carcere). È in altri termini, un esito Pareto inferiore/dominato. Tuttavia, in talune situazioni configurabili come dilemmi del prigioniero, il gioco viene ripetuto più volte. In tali contesti, è di fondamentale importanza la considerazione dell orizzonte temporale durante il quale il gioco viene ripetuto. Attraverso l applicazione del cosiddetto"folk theorem", in base al quale una sorta di collusione implicita sorge tra concorrenti nel caso di ripetizione del gioco per un numero elevato di periodi, è possibile identificare le condizioni sotto cui un equilibrio pareto superiore/dominante può emergere.... persvago Se volete giocare con la teoria dei giochi provate a visitare il sito wwww.gametheory.net/applets/. JohnF.NashhavintoilpremioNobelperl Economianel1994insiemeaJ.C.HarsanyieR.Selten. La vita di Nash ha ispirato una bibliografia, Il genio dei numeri di Sylvia Nasar, e un film di Ron Howard, A beutiful mind, vincitore di quattro Golden Globe e di quattro Oscar. La scena in cui si fa più esplicitamente riferimento alla teoria dei giochi è quella nella quale Nash, interpretato da Russel Crowe, si trova in un bar con quattro amici (se volete vedere la scena del 6

7 film è sufficiente collegarsi a Nel bar entrano cinque ragazze con cui i cinque ragazzi vorrebbero uscire: una bellissima bionda e quattro more. I giocatori quindi sonocinque: Nasheisuoi quattroamici. Ognuno di essi hala stessa funzione di utilità, che attribuisce un certo valore a a sedurre la bionda, b a sedurre una delle quattro more e 0 a essere respinto,cona>b>0. Ognunodiessipuòdecideredicorteggiareunaqualsiasidellecinqueragazze, ma il successo è garantito soltanto se il corteggiamento non è insidiato da un rivale. L equilibrio del gioco è che ciascuno dei cinque amici corteggi una ragazza diversa. In questo modo, nessuno intralcia gli altri amici e i cinque possono congiuntamente conseguire la massima utilità possibile. Questo è un tipico esempio di ottimo paretiano perché non esiste nessun altra combinazione in grado di migliorare la soluzione di almeno un individuo senza peggiorare quella di qualcun altro. 7

8 Esercizi proposti 1. Equilibrio in strategie dominanti ed equilibrio di Nash(L.V.) A Ravenna operano due grosse imprese, Truciolo e Bamboo, che producono macchinari per il legno. Per trasportare i macchinari da Ravenna a Bari le imprese hanno due alternative: i) trasportare i macchinari via terra, soluzione preferita dall impresa Truciolo perché si trova vicino all uscita dell autostrada, oppure ii) trasportare i macchinari via mare, soluzione preferita dall impresa Bamboo perché situata nei pressi del porto. Le due imprese dovranno scegliere la soluzione che minimizza i costi, tenendo conto che il risparmio in termini di spese di trasporto dipende dal vettore scelto dall impresa concorrente. Infatti, se entrambe le imprese scelgono un trasporto via terra, i risparmi di spesa si riducono perché tale trasporto richiede l uso di mezzi speciali disponibili in numero limitato e potrebbe causare lunghi tempi d attesa. Analogamente, il trasporto via mare richiede l uso di navi particolari e l utilizzo di tali imbarcazioni da parte di entrambe le imprese potrebbe produrre un aumento dei costi di trasporto. La scelta del mezzo di trasporto da parte di ciascuna impresa dipenderà quindi dalla scelta del vettore adottata dall impresa concorrente, sulla base della seguente matrice dei risparmi di costo: Bamboo Truciolo Strada Mare Strada Mare (a) Esistono strategie dominanti per i giocatori? (b) Esistono equilibri in strategie dominanti o equilibri di Nash? (c) Si supponga che il vettore si stia specializzando in trasporti speciali e recentemente abbia acquistato una serie di camion superaccessoriati che garantiscono un trasporto a destinazione veloce e sicuro. La matrice dei risparmi di costo si trasforma in questo modo: Bamboo Truciolo Strada Mare Strada Mare Intalcaso,simodificalasoluzionedelgioco? SOLUZIONE (a) Per l impresa Truciolo, il trasporto via terra è la strategia migliore, indipendentemente dalla scelta del vettore adottata dall impresa Bamboo: infatti se Bamboo decide di trasportare via terra, Truciolo risparmia 70 trasportando con camion e 50 se trasporta via mare. Analogamente, se Bamboo decide di trasportare via terra, Truciolo risparmia 90 trasportando con camion e 80 se trasporta via mare. Pertanto, per Truciolo è sempre conveniente trasportare via terra indipendentemente dalla scelta di Bamboo. Per l impresa Bamboo non esiste alcuna strategia dominante perché se Truciolo decide di trasportare i macchinari via 8

9 terra, Bamboo risparmia 100 trasportando via terra e 90 se trasporta via mare. Se, invece, Truciolo decide di trasportare via mare, Bamboo risparmia 110 trasportando con camion e 90 se trasporta via mare. (b) Non esiste alcun equilibrio in strategie dominanti perché solo l impresa Truciolo ha una strategia dominante. Esiste, tuttavia, un equilibrio di Nash: quando Bamboo trasporta via mare e Truciolo trasporta via terra nessuna delle due imprese ha interesse a cambiare mezzo di trasporto. (c) Il cambiamento nell organizzazione del vettore cambia radicalmente l equilibrio del gioco. Infatti, per l impresa Truciolo il trasporto via terra continua a essere una strategia dominante(se Bamboo trasporta viaterra,90>50,mentresetrasportaviamare,110>80),mentreiltrasportoviaterraoradiventala strategia dominante anche per l impresa Bamboo(se Truciolo trasporta via terra, 110 > 100, mentre se trasporta via mare, 130 > 90). Pertanto, in tal caso(strada, Strada) identifica un equilibrio in strategie dominanti e un equilibrio di Nash. Si noti che un equilibrio in strategie dominanti è anche un equilibrio dinashmanonèveroilcontrario. 2. Equilibri multipli(l.v.) Andrea e Luigi sono due playboy a cui piace conoscere sempre nuove ragazze. Il sabato sera sono soliti andare in due discoteche: all Heaven di Rimini o al Pashal di Riccione. La loro felicità aumenta quante più ragazze riescono a conoscere. A parità di tutto, entrambi preferiscono la musica dell Heaven. Tuttavia,setuttieduevannonellastessadiscoteca,leragazzesiconfondonoenonsannopiùconchi parlare. La felicità dei due playboy dipende dalla seguente matrice dei pagamenti: Andrea Luigi Pashal Heaven Pashal Heaven (a) Esiste una strategia dominante per Andrea? E per Luigi? (b) Si individuino gli eventuali equilibri(in strategie dominanti e di Nash) di questo gioco. (c) Esiste un modo per garantire ad Andrea e Luigi l esito migliore del gioco? Provate a immaginarne uno. SOLUZIONE: Esaminiamo le strategie ottimali di Andrea e di Luigi. Se Andrea (Luigi) decide di andare al Pashal, Luigi (Andrea) preferisce andare all Heaven(3 > 1); se Andrea(Luigi) decide di andare all Heaven, Luigi(Andrea) preferisce andare al Pashal (2>1). Se ne deducono due conclusioni: a) nessuno dei due giovani dispone di unastrategiadominante;b)inquestogiocovisonodueequilibridinashinstrategiepure: unoincuiandrea vaall HeaveneLuigialPashalel altro,simmetrico,incuiandreavaalpashaleluigivaall Heaven. 9

10 Ma tutto sommato si presenta un problema: Luigi e Andrea come possono essere sicuri di finire in discoteche diverse? I due ragazzi si dovrebbero coordinare, ad esempio, decidendo di andare all Heaven a sabati alterni. Alternativamente, uno dei due potrebbe dichiarare pubblicamente di voler andare ogni sabato all Heaven. Supponete, ad esempio, che Andrea goda del vantaggio della prima mossa. Pertanto, sceglierà per primo dove andare a ballare e lo comunicherà a Luigi. Il gioco da simultaneo si trasforma in sequenziale e conviene rappresentarlo in forma estesa o ad albero. Per trovare l equilibrio (perfetto nei sottogiochi) 4 è necessario ricorrere all induzione a ritroso(o backward induction), partendo dai sottogiochi conclusivi e risolvendo il gioco a ritroso. In tal caso, la decisione finale spetta a Luigi. Andrea sa che se Luigi sceglie l Heaven (nodo più in alto),aluiconvienescegliereilpashalconseguendounpayoffdi2,seinveceluigisceglieilpashal(nodopiù in basso) ad Andrea conviene andare all Heaven ottenendo un payoff di 3. Quindi Andrea calcola i payoff che potrà conseguire a seconda della decisione che prenderà fin dall inizio (secondo una razionalità sequenziale), e adotterà quella strategia che gli farà conseguire il miglior risultato. In questo caso, la strategia migliore è (Heaven,Pashal)chefaconseguireadAndrea3eaLuigi2. Andrea Luigi Pashal HeavenHeaven (1,1) (3,2) Pashal Heaven (2,3) Pashal Figura ES2: Gioco in forma estesa (1,1) 3. Assenza di equilibri(l.v.) Si consideri un gioco in cui i payoff dei giocatori Sandra e Raimondo sono contenuti nella seguente matrice dei pagamenti: Sandra Raimondo Dormire Leggere Dormire Leggere Nel gioco rappresentato,"dormire" e"leggere" sono le strategie a disposizione di entrambi i giocatori. 4 Un sottogioco è una parte del gioco in forma estesa che inizia con un singleton e contiene tutti i nodi che seguono. Un equilibrio perfetto nei sottogiochi è un vettore di strategie di equilibrio che hanno la caratteristica di costituire un equilibrio di Nash di ciascun sottogioco. 10

11 (a) Si verifichi l eventuale esistenza di strategie dominanti. (b) Si ordinino i possibili esiti del gioco attraverso il criterio di Pareto. (c) Esiste un equilibrio di Nash? SOLUZIONE: È facile verificare che in questo gioco nessun giocatore dispone di strategie dominanti. Inoltre, non esiste alcun equilibrio di Nash in strategie pure. Infatti, se Raimondo sceglie di dormire, Sandra vorrà dormire(5 > 1), se invece sceglie di leggere, Sandra vorrà leggere(4 > 3). Analogamente, se Sandra decide di dormire, Raimondo vorràsicuramenteleggere(4>2)ese,invece,decidedileggere,raimondovorràdormire(5>1). Questo gioco ha tuttavia un equilibrio in strategie miste. Secondo il criterio di Pareto, si possono classificare le strategie secondo gli esiti del gioco: (Dormire, Dormire) è pareto dominante rispetto a (Leggere, Leggere) in quanto i payoff che garantisce ai due giocatori è più alto per entrambi: (5, 5)>(4, 2). 4. Dilemma del prigioniero (L.V.) Consideriamo due imprese che operano in un paese in cui le leggi antitrust non sono particolarmente vincolanti. Per massimizzare i propri profitti le imprese possono decidere di colludere. I profitti derivanti dal colludere o dal non colludere sono riportati nella seguente matrice dei pagamenti: A B C NC C NC (a) Esiste un equilibrio in strategie dominanti e/o un equilibrio di Nash? (b) Come cambiano le cose se viene introdotta una nuova normativa antitrust più severa, tale da modificare la matrice dei payoff nel modo seguente? A B C NC C NC (c) Data la nuova normativa (punto b.), è possibile trovare un equilibrio collusivo se il gioco viene ripetuto più volte? SOLUZIONE: (a) Entrambe le imprese dispongono di una strategia dominante che consiste nel colludere, indipendentemente da quello che fa l impresa concorrente: infatti, se A(B) collude, a B(A) conviene sempre colludere, dato 11

12 che 120 > 110 (analogamente per B, 120 > 110); se A (B) non collude, a B (A) conviene sempre colludere, dato che70>60 (analogamente per A,70>60). Esiste pertanto un equilibrio in strategie dominanti(c,c), che è anche un equilibrio di Nash. (b) L introduzione della nuova normativa antitrust modifica i payoff dei giocatori e le strategie ottimali. Infatti, i giocatori dispongono di una nuova strategia dominante che è "non colludere". Infatti, se A sceglie di colludere, per B è meglio non colludere. Se, invece, A decide di non colludere, B continua a non colludere. Simmetricamente, se B decide di colludere per A è meglio non colludere. Se B non collude anche A continua a non colludere. Pertanto, si può identificare un unico equilibrio di Nash che è anche un equilibrio in strategie dominanti,(nc,nc). Il gioco prende la forma di un dilemma del prigioniero in cui l equilibrio che ne risulta è pareto dominato dalla condizione(c,c). (c) Se il gioco viene ripetuto un numero finito di volte T e il numero di ripetizioni è noto ad entrambe le parti, il risultato del gioco è una ripetizione dell equilibrio di Nash(non cooperativo) per tutte le T volte. Tuttavia, se il gioco one-shot è ripetuto un numero imprecisato di volte o infinite volte, è possibile che una soluzione cooperativa prevalga. Questa condizione prevale quando il vantaggio incrementale derivante da una defezione dall accordo collusivo è inferiore rispetto al valore atteso delle perdite che la defezione comporta. Intalcaso,ilvantaggioincrementale,VI,èdatodalladifferenzatrailpayoffdadefezione,110,eilpayoff derivante dalla collusione, 100: VI=p d p c = =10 Ilvaloreattesodelleperdite,VAP,èinveceparialladifferenzatrailpayoffdacollusioneeilpayoffda non cooperazione, opportunamente attualizzata: VAP = 1 r (pc p nc )= 1 r (100 60)=401 r Pertanto, alle due imprese converrà cooperare e colludere quando il valore atteso delle perdite è superiore al vantaggio incrementale. Nel caso specifico, le due imprese terranno fede all accordo collusivo quando il loro tasso di sconto intertemporale o tasso di impazienza è inferiore a 4: VAP > VI 40 1 r > 10 r<4 5. Dilemma del prigioniero(a.m.) Considerate due imprese sul mercato che possono decidere di collaborare (ad esempio formando un cartello) o di competere in maniera aggressiva. Se collaborano, ottengono un payoff pari a 8 ciascuna, mentresecompetonoilpayoffperentrambeèparia5. Seunasolaimpresacollabora,mentrel altra decide di competere, la prima riceve 1 e la seconda 14. Dopo aver rappresentato il gioco in forma 12

13 normale, si determini l equilibrio di Nash. Perché tale gioco, nell ipotesi che venga giocato una sola volta, presenta un dilemma del prigioniero? Cosa succede se il gioco viene ripetuto una seconda e ultima volta? SOLUZIONE: Il gioco viene rappresentato in forma normale nel seguente modo: 1 2 C G C G L equilibrio di Nash è dato da(g, G), quindi dall outcome(5, 5), che è anche equilibrio in strategie dominanti. Nel gioco one-shot (cioè ripetuto una sola volta) si verifica una situazione di dilemma del prigioniero in quanto sarebbe stato Pareto superiore per i giocatore un accordo collusivo che avrebbe garantito ad entrambi un payoff superiore. Giocando(C, C) avrebbero infatti ottenuto(8, 8). Se il gioco viene ripetuto una seconda ed ultima volta si ottiene lo stesso risultato di prima in entrambi gli stadi del gioco. I giocatori anticipano il risultato del secondo ed ultimo stadio del gioco, in cui si ripropone il dilemma del prigioniero. La mancanza di ulteriori ripetizioni del gioco porta infatti i giocatori a scegliere la strategia dominante e a cautelarsi quindi contro eventuali deviazioni del rivale. Procedendo per induzione a ritrososo i giocatori applicano poi lo stesso ragionamento anche nel primo stadio del gioco, scegliendo sempre la guerra nei prezzi. Il caso di ripetizione del gioco per un numero finito di periodi porta quindi lo stesso esito in ogni stadio del gioco stesso. 6. Equilibrio di Nash ed equilibrio in strategie dominanti(a.m.) RappresentareinformanormaleungiocoincuiappareunequilibriodiNashchenonèequilibrioin strategie dominanti. Rappresentare inoltre un caso in cui l equilibrio di Nash non esiste(in strategie pure). SOLUZIONE: A 1 A 2 B B A 1 A 2 B B Nellatabelladisinistral equilibriodinashèrappresentatoda(a 2,B 2 )manonèequilibrioinstrategiedominanti,datochea 2 dominaa 1 (18>2e15>7)maB 2 nondominab 1 (20>10ma0<3). Nellatabella di destra invece non esiste un equilibrio di Nash in strategie pure. 7. Guerra di prezzo o collusione? (A.M.) 13

14 Sia data la seguente rappresentazione in forma normale di un gioco non-cooperativo in cui sono presenti solo due imprese sul mercato, che possono decidere di colludere oppure di farsi guerra: 1 2 C G C G Dove C indica collusione e G guerra sui prezzi. Dopo aver spiegato perché il gioco è riconducibile, nella sua versione uniperiodale, al dilemma del prigioniero, si assuma che debba essere giocato ripetutamente un numero di volte infinito. Sotto quale condizione risulta conveniente deviare? SOLUZIONE: Nella sua versione uniperiodale il gioco è un dilemma del prigioniero in quanto l equilibrio di Nash (G, G) è differente dalla soluzione Pareto ottimale rappresentata da(c, C). Nel caso di ripetizione infinita del gioco si può applicare il cosiddetto folk theorem e desumere che le due imprese abbiano un interesse alla formazione di un accordo collusivo e ad arrivare quindi a(c, C). Tale accordo non è stabile se il vantaggio incrementale che una di esse ottiene nell unico periodo in cui riesce a deviare è superiore al valore atteso delle perdite future dovute al fatto che nei periodi successivi un altro accordo collusivo non sarà più possibile. Tradotto in formule questo corrisponde a: VI=30 25=5 VAP = 1 r (25 15)= 1 r.10 Conviene quindi deviare se: VI>VAP r>2. Inquestocasoèconvenientedeviarequandoilfattorediscontodell agente,rappresentatodaρ= 1 1+r èsufficientemente basso oppure quando il tasso di impazienza, rappresentato semplicemente da r, è sufficientemente alto(r>2). 8. Altri esercizi: Esercizi pagg (C-L). 14

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