Sulla successione di Fibonacci

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1 Sulla successione di Fibonacci Filius Bonacii, Tiziano Penati Costruzione del modello Un allevamento di conigli sia composto da una popolazione strutturata A = F + N, dove F indica il numero di coppie fertili ed N il numero di coppie non ancora fertili in quanto appena nate. Si supponga che: ogni coppia fertile generi una nuova coppia (maschio+femmina) al mese; ogni coppia inizia a procreare dal secondo mese dalla nascita; ovvero ogni coppia neonata impiega un mese per passare dalla classe N alla classe F. Supponendo di partire con una sola coppia neonata, quindi non ancora fertile, ci si chiede come cresca nei mesi la popolazione totale. Indichiamo con A n, F n, N n le tre popolazioni all inizio del mese n. Si ha A = N = e F = 0. La crescita della popolazione totale può essere rappresentata col seguente grafo Mettere il grafo! da cui si deduce che all inizio del mese n il numero di fertili F n (in assenza di ogni tipo di rimozione, quindi in assenza di conigli morti o venduti) sarà la somma deelle coppie già fertili al mese precedente F n e da quelle che diventano fertili al mese n, ovvero N n ; Quindi F n = F n + N n = A n. () il numero di neonati all inizio del mese n sarà uguale al numero di coppie fertili al mese precedente N n = F n, N n = F n 2. (2)

2 In conclusione, combinando () con (2) abbiamo sia la legge di evoluzione della classe delle coppie fertili F n = F n + F n 2, n 3, (3) sia la legge di crescita della popolazione totale A n = F n + N n = A n + F n = A n + A n 2, n 3. (4) Osserviamo che le due leggi sono uguali, salvo che per le diverse condizioni iniziali. Infatti nel primo caso si ha F = 0, F 2 = mentre nel caso della popolazione totale si ha A = A 2 =. 2 Un modello con rimozione Supponiamo di modificare il modello precedente (quello originario risolto da Fibonacci) assumendo che agisca anche un meccanismo di rimozione. Questa ipotesi è del tutto naturale, se si assuma che dopo qualche generazione una coppia possa essere venduta o mangiata. Trascuriamo comunque altri fenomeni di morte (sia naturale sia per eventi casuali). A titolo esemplificativo, supponiamo che ogni coppia venga rimossa dopo che abbia generato due coppie. Quindi il percorso seguito da ogni coppia è schematizzabile come segue N F F R, dove R indica la classe dei rimossi. Al mese n, la popolazione totale si scrive ancora come A n = F n + N n. Per conoscere l evoluzione della popolazione, è necessario conoscere la legge di evoluzione della classe dei fertili F n. Osserviamo che: all inizio del mese n il numero di neonati sarà uguale alle coppie fertili al mese precedente N n = F n, N n = F n 2. all inizio del mese n, verranno rimosse le coppie che hanno appena dato alla luce la loro seconda coppia, ovvero quelle coppie nate tre mesi prima R n = N n 3, n 4 ; i valori iniziali di R n sono R = 0, R 2 = 0, R 3 = 0. 2

3 all inizio del mese n, il numero di coppie fertili sarà dato dalla legge () a cui dobbiamo sottrarre il numero di rimossi, quindi Infatti F n = F n + N n R n. Dalle leggi precedentemente ottenute, possiamo scrivere F n = F n + F n 2 F n 4, n. () F n = F n + N n R n = = F n + F n 2 R n = = F n + F n 2 N n 3 = = F n + F n 2 F n 4. L evoluzione del modello dipende dai primi quattro valori di F n F = 0, F 2 =, F 3 =, F 4 =. Esercizio. Dedurre la legge analoga a () nel caso in cui le coppie fertili vengano rimosse dopo la prima riproduzione. Da questi due esempi nasce un importante considerazione. Se l obiettivo è avere un controllo della dinamica delle due popolazioni, allora è necessario comprendere l evoluzione delle due successioni A n definite per ricorrenza. Mentre appare naturale che la successione di Fibonacci cresca, seppur meno chiaro sia con quale tasso (vedi sezione successiva), non è altrettanto evidente cosa faccia la successione A n nel caso si includa una rimozione. Da questa considerazione, nasce la necessità di studiare quali tecniche si possano applicare alle successioni definite ricorsivamente. 3 Studio qualitativo della successione di Fibonacci Veniamo ora allo studio della successione di Fibonacci. In questa breve sezione, diversamente da quanto fatto classicamente, affronteremo il problema con un approccio qualitativo, cercando di dedurre in maniera elementare il tasso di crescita della popolazione. 3

4 Positività La successione A n è positiva, ovvero A n > 0, n. Infatti è tale sia all inizio del primo mese A = che all inizio del secondo mese A 2 = ed è definita in maniera ricorsiva come somma dei due valori precedentemente assunti, che sono positivi. Monotonia Dall esser positiva, segue agilmente la monotonia In particolare possiamo scrivere A n = A n + A n 2 > A n. A n A n +. Crescita esponenziale Vogliamo mostrare che A n ha una crescita controllata da due esponenziali, ovvero che esitono tre costanti positive a e b e C tali che Ca n < A n < Cb n. Iniziamo con la stima superiore. Dalla relazione A n > A n 2 segue A n < 2A n, che iterata n volte fornisce la stima A n < 2A n < 2 2 A n 2 <... < 2 n A = 2 2n. Quindi C = /2 e b = 2. Analogamente, la stessa relazione fornisce anche la diseguaglianza A n > 2A n 2. Consideriamo n pari, ovvero n = 2k; allora iterando k volte si ottiene A 2k > 2A 2(k ) > 2 2 A 2(k 2) >... > 2 k A 2 = 2 k = 2 ( 2) 2k. Nel caso dispari n = 2k + si può mimare quanto appena fatto nel caso pari 2 A 2k+ > 2A 2(k )+ > 2 2 A 2(k 2)+ >... > 2 k A = 2 k, Si può formalizzare l argomento con il principio d induzione. 2 Grazie a Cesare Palmisani per aver trovato un errore nel precedente argomento, obbligandomi così a correggerlo. Ovviamente con un minimo di pazienza mi aspetto che stime migliori possano essere ottenute, tenendo distinte le costanti delle due stime o raffinando qualche passaggio. 4

5 ovvero A 2k+ > 2 ( 2) 2k+ > 2 ( 2) 2k+. Abbiamo in questo modo mostrato la stima inferiore quindi possiamo porre a = 2. A n > 2 ( 2) n ; 4 La successione di Fibonacci È opportuno riscrivere la successione F n+ delle coppie fertili come sistema di due successioni concatenate, ovvero ricordando che F n 2 = N n si ha { N n+ = F n (6) F n+ = F n + N n con dato iniziale N =, F = 0. Se denotiamo con U n il vettore bidimensionale ( ) Nn U n :=, (7) allora il sistema (6) si scrive in forma compatta come ( ) 0 U n+ = MU n, M :=. La dinamica della successione di Fibonacci è quindi equivalente a quella del sistema (dinamico) lineare piano associato alla matrice M. La soluzione di tale sistema si vede essere ( ) U n+ = M n U, U :=. (8) 0 Tale forma è efficace nel caso in cui M sia in forma diagonale: in tal caso, anche M n è diagonale e della forma ( ) M n λ n := 0 0 λ n. 2 In caso contrario è una rappresentazione della soluzione utile per eventuali stime asintotiche, ma non fornisce direttamente una scrittura esplicita della dinamica. F n

6 4. Piccolo excursus su matrici ed autovettori Ricordiamo che ogni matrice (quadrata di dimensione 2) rappresenta un applicazione lineare nel piano, ovvero una trasformazione di vettori. Per esempio, la matrice ( ) ( ) λ 0 0 M := = λ 0 λ, 0 rappresenta una dilatazione/contrazione di fattore λ, oppure la matrice ( ) 0 M :=, 0 0 rappresenta la proiezione lungo l asse delle ascisse, o ancora la matrice ( ) 0 M :=, 0 rappresenta una rotazione antioraria di angolo π/2. Assegnata una trasformazione, possono esistere dei particolai vettori che, una volta trasformati, preservano la loro direzione. In altre parole, può esistere un vettore U ed uno scalare (reale) λ tale che MU = λu ; l immagine λu di U tramite M è un vettore parallelo ad U, ovvero avente la stessa direzione. In tal caso diciamo che U è un autovettore associato all autovalore λ. Nei tre casi sopra citati, questo avviene solo per la dilatazione e la proiezione. Una rotazione, se di angolo non multiplo di π, non può preservare la direzione del vettore ruotato. Nel primo caso abbiamo, per esempio, M ( 0 ) = quindi (, 0) è u autovettore associato all autovalore. Nel secondo caso, invece, ogni vettore è un autovettore di autovalore λ. Questo secondo caso è un pò eccezionale. La procedura che consente di trovare eventuali autovettori e relativi autovalori di una matrice M si basa su una semplice osservazione di algebra lineare. Infatti, le componenti (X, Y ) di un autovettore U sono soluzioni del sistema (M λi) ( 0 ( ) X = Y ), ( ) 0 0 ; (9) tale sistema ammette soluzioni non banali, ovvero con almeno una componente non nulla, se e solo se det(m λi) = 0. (0) 6

7 L equazione (0) si chiama equazione caratteristica e permette anzitutto di determinare gli autovalori della matrice M. Essa è un equazione di secondo grado, della forma λ 2 (T r(m))λ + det(m) = 0, dove T r(m) = M + M 22 si chiama Traccia e rappresenta la somma degli elementi sulla diagonale. Si vede quindi che possono esistere al massimo 2 autovalori reali. Gli autovettori associati si trovano poi risolvendo il sistema di equazioni sopra introdotto (9) per i valori di λ pari agli autovalori: osserviamo che sarà sempre sufficiente prendere una sola delle due equazioni disponibili, essendo le due equazioni dipendenti per i valori di λ considerati. Poichè l azione della trasformazione M su un autovettore U si riduce a moltiplicare lo stesso per un fattore λ, risulta altrettanto semplice scrivere l azione di qualunque potenza M n sull autovettore U M n U = λ n U. Questa è l osservazione che rende efficace l uso degli autovettori per studiare la dinamica dei modelli lineari a tempo discreto, come vedremo tra poco con un esempio. 4.2 Passaggio agli autovettori per modello di Fibonacci Calcoliamo gli autovalori della matrice M, risolvendo il sistema det(m λi) = 0, dove indico con I la matrice identità; si trova λ + = 2 ( + ) > 0, λ = 2 ( ) < 0. Osserviamo che, in quanto radici del polinomio caratteristico λ 2 λ, i due autovalori soddisfano λ + + λ = = T r(m), λ + λ = = det(m). Determiniamo gli autovettori associati, denotandoli con V ±. Si avrà per V + ( ) MV + = λ + V + V + = a ; λ + dove a è un numero qualunque. Allo stesso modo deduciamo ( ) MV = λ V V = a. λ 7

8 Data l arbitrarietà di a, scegliamo a =. I due autovettori ( ) ( ) V + =, V = λ + identificano due direzioni indipendenti, su cui decomporre il vettore dei dati iniziali U, ovvero è possibile mostrare che ( ) ( ) U = 2 V V. 0 Possiamo ora provare a riscrivere l azione di M n su U, sfruttando la decomposizione di U sulla base degli autovettori ( ) ( ) U n+ = M n U = 2 M n V M n V = () 0 ( ) ( ) = 2 λ n 0 +V λ n 0 V ; (2) La dinamica assume quindi una veste elementare: infatti, le due direzioni V ± non vengono modificate al variare di n, ed è sufficiente controllare come cambiano i coefficienti λ n ±. A questo proposito osserviamo che λ + >, λ <. Di conseguenza la successione U n+ avrà componente lungo V che tenderà a zero, cambiando ripetutamente il suo segno (infatti λ < 0), e resterà la componente dominante lungo V +, che avrà crescita esponenziale U n+ = ( Nn+ F n+ ) ( 2 0 ) λ n +V + = λ ( 2 0 ) ( ) λ n + λ n+ + Possiamo concludere che, dopo un numero di generazioni abbastanza alto (ma non troppo...), tanto le coppie fertili quanto quelle neonate crescono esponenzialmente con tasso λ +. Non solo, il rapporto tra fertili e neonati diventa praticamente costante e pari esattamente a λ +. In altre parole, pur crescendo esponenzialmente, la popolazione totale tende ad una distribuzione interna costante (equilibrio delle frequenze). Possiamo infatti scrivere A n+ = N n+ + F n+ N n+ + λ + N n+, N n+ A n+. + λ +. 8

9 4.3 Passaggio agli autovettori - bis Calcoliamo gli autovalori della matrice M, risolvendo il sistema det(m λ) = 0, dove indico con la matrice identità; si trova λ + = 2 ( + ) > 0, λ = 2 ( ) < 0. Osserviamo che, in quanto radici del polinomio caratteristico λ 2 λ, i due autovalori soddisfano λ + + λ =, λ + λ =. Scriviamo l evoluzione del sistema (6) utilizzando le due nuove variabili X n, Y n definite da { F n = λ + X n + λ Y n. (3) N n = X n + Y n Proviamo a dedurre l evoluzione della variabile Y n. Dalle (3) si ha quindi Y n = λ λ + (F n λ + N n ), Y n+ = (F n+ λ + N n+ ) = [( λ + )F n + N n ] = λ λ + λ λ + = [λ F n + N n ] = λ λ + λ + (λ + λ ) [F n λ + N n ] = = λ + Y n = ( λ + )Y n = λ Y n ; abbiamo in questo modo ottenuto Allo stesso modo si ottiene (farlo per esercizio) Y n+ = λ Y n. (4) X n+ = λ + X n. () La dinamica assume quindi una veste elementare nelle nuove variabili X ed Y X n+ = λ n +X, Y n+ = λ n Y, (6) con (ERRORE!!!) Y = X = F λ + λ =. (7) 9

10 A questo punto abbiamo tutti gli elementi per una scrittura esplicita di F n+ F n+ = λ n+ + X + λ n+ Y = ( λ n+ da cui si evince il comportamento asintotico F n+ λ n+ +, + λn+ compatibile con le stime ottenute nella sezione precedente 2 < 2 ( + ) < 2. ), (8) 0