UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA FACOLTA DI SCIENZE STATISTICHE CORSO DI LAUREA SPECIALISTICA IN SCIENZE STATISTICHE ECONOMICHE, FINANZIARIE E AZIENDALI RELAZIONE FINALE: METODI STATISTICI PER LA GESTIONE AUTOMATICA DEI FONDI COMUNI RELATORE: CH.MO PROF. LISI FRANCESCO LAUREANDO: CANELLA FRANCESCO MATRICOLA: SEFA ANNO ACCADEMICO:

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3 A Valenina

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5 Indice e Sommario. 0. Inroduzione. p. 3. I fondi comuni d invesimeno. p. 7. Che cosa sono i fondi comuni. p. 7. Le caegorie di fondi comuni. p. 8.3 A che cosa servono. p. 0.4 Socieà di gesione, ruolo del gesore e come lavora. p..5 Diaman s.r.l. p. 5.6 La meodologia usaa da Diaman. p. 6.7 Definizione del problema. p. 9. La descrizione dei meodi. p. 5. Meodo di formazione dei gruppi. p. 6. La misura della disanza. p. 9.3 La scela delle variabili. p Come oenere i gruppi dal dendogramma. p L analisi e i risulai. p L analisi. p I risulai. p Conclusioni. p Riferimeni bibliografici. p. 6

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7 0. Inroduzione I fondi comuni d invesimeno si sono diffusi enormemene negli ulimi ven anni anche nel nosro paese, al puno che quasi ui i risparmiaori ne hanno sooscrio qualcuno almeno una vola o perlomeno sono sai solleciai a farlo dalla propria banca o da un promoore finanziario. L offera di srumeni di invesimeno è ormai vasissima e sempre più aricolaa e all aumenare delle opporunià divena difficile scegliere bene come allocare il risparmio sia per le famiglie che per gli eni isiuzionali quali banche, Sim o assicurazioni. Alla socieà di gesione e ai gesori è anziuo demandao il compio di riuscire a creare e promuovere prodoi compeiivi e che rispeino le esigenze dei clieni. Le armi in possesso dei gesori per perseguire quesi obieivi sono i risulai di gesione e di conseguenza gli sili di gesione. Il modo principale uilizzao per valuare la gesione è il confrono fra il rendimeno di un fondo comune e quello di un indice di mercao (benchmark). Infai per le sue caraerisiche di rappresenaivià, viene considerao dagli inermediari come riferimeno per capire se un iolo o un fondo dalle caraerisiche analoghe ha regisrao, in un dao periodo, migliori o peggiori performance in ermini di rendimeno rispeo al benchmark sesso. A seconda dell obieivo che il gesore si pone si possono idenificare due principali sili disini di gesione: la gesione passiva o la gesione aiva. La gesione passiva si basa sull assunzione che i mercai siano efficieni e che quindi per oenere le migliori performance sia meglio avere un porafoglio ampiamene diversificao che rappreseni l inero mercao di riferimeno. La gesione aiva si basa sull ipoesi che i mercai siano inefficieni almeno localmene e che non ue le informazioni rilevani siano incorporae nei prezzi dei ioli. 3

8 Di conseguenza i gesori meglio informai possono sfruare le inefficienze e conseguire exraperformance, cioè rendimeni superiori a quelli di mercao. La gesione aiva può essere messa in praica adoando due principali meodologie d invesimeno, spesso uilizzae insieme: la scela dei ioli sulla base dell analisi fondamenale (sock picking) e la scela dei empi di invesimeno in base all analisi dell evoluzione del mercao (marke iming). Esisono poi fondi a gesione quaniaiva nei quali il processo di selezione dei ioli e di asse allocaion è oalmene affidao ad elaborazioni maemaiche. Il vanaggio dei fondi a gesione quaniaiva sa nella ferrea disciplina e quindi nella oale mancanza di influenze psicologiche o emoive, come possono essere le mode per ceri seori borsisici e nei cosi di gesione molo bassi. E in ques ulima caegoria di gesori che può essere collocaa Diaman s.r.l., una socieà di consulenza a eni isiuzionali con la quale ho avuo l opporunià di collaborare. Sfruando un breve periodo di sage ho pouo sperimenare i problemi concrei che compora la gesione di un fondo sia in ermini di cosi che di scela delle meodologie da uilizzare. Il caso che ho analizzao in quesa esi riproduce la siuazione reale della gesione di un porafoglio di 30 ioli selezionai da un paniere di quasi 400, ui di area euro. La meodologia uilizzaa da Diaman prevede la divisione dei ioli in 5 gruppi, secondo informazioni exra-campionarie sui seori, e una selezione di 6 ioli da ogni gruppo fino a formare il porafoglio. L aggiornameno del porafoglio avviene con cadenza seimanale sulla base di un indicaore di acquiso e di vendia noo nell analisi ecnica come forza relaiva. Per la fase che si riferisce al raggruppameno vengono poi propose in alernaiva alcune possibili soluzioni basae principalmene sull analisi dei dai. Araverso le ecniche saisiche di classificazione basae sull analisi dei gruppi vengono formulae re propose: la prima è di raggruppare i ioli in base alle raieorie dei rendimeni, la seconda in base alla sruura di auocorrelazione delle serie dei rendimeni e dei rendimeni al quadrao, la erza in base ad una opporuna disanza ra modelli. Si propone infine una quara possibilià basaa su informazioni exracampionarie quali la nazionalià dei mercai in cui i ioli vengono quoai. Scopo della esi è, in primo luogo, valuare la bonà della meodologia nel suo complesso. Per far queso confroneremo le varie sraegie propose (inese come la combinazione ra procedura di raggruppameno e procedura di selezione dei ioli) 4

9 con un porafoglio di riferimeno (benchmark) secondo deerminai crieri. In secondo luogo ci si propone di isolare l effeo neo apporao dalla fase di selezione dei ioli mediane la forza relaiva e vedere qual è l effeo congiuno delle due procedure. Ques ulimo risulao è sao oenuo in due passi: prima depurando ogni sraegia di parenza dall effeo raggruppameno ramie esrazione casuale dei gruppi; poi, confronando i risulai oenui rispeo ad una sraegia che prevedesse ecniche casuali per enrambe le procedure. 5

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11 . I fondi comuni d invesimeno.. Che cosa sono i fondi comuni. Il fondo comune d invesimeno è una cassa colleiva dove confluisce il risparmio di una pluralià di invesiori, denaro che viene invesio in valori mobiliari da socieà di gesione del risparmio (Sgr) iscrie ad un apposio Albo. Lo scopo principale di un fondo comune è quello di oenere, araverso una gesione colleiva, vanaggi in ermini di rendimeno, minori cosi, maggiore poere conrauale nell invesimeno e diversificazione del porafoglio. Di fao, chi invese personalmene i propri risparmi non diversifica con efficacia il rischio, non dispone di sufficieni informazioni e di analisi accurae, non può accedere ad alcuni mercai o ricorrere a ecniche sofisicae di gesione del rischio e può incorrere in maggiori cosi. Il fondo comune d invesimeno in generale non garanisce comunque alcun rendimeno a meno che non sia dichiaraamene un fondo a capiale garanio, proeo o con garanzia di rendimeno: il riorno per il sooscriore dipende soprauo dalle aivià in cui è invesio. Il parimonio del fondo è gesio in mone ed è ripario in quoe, ciò vuol dire che il sooscriore è proprieario di una fea del parimonio e non di queso o quel iolo in cui è invesio il parimonio del fondo sesso. Il valore di una quoa, visibile giornalmene, non è alro che il valore di mercao degli impieghi del fondo al neo delle spese e delle commissioni di gesione diviso per il numero delle quoe in circolazione in quel momeno. La performance o rendimeno di un fondo comune rappresena la variazione di ale quoa. 7

12 Le risorse versae dai sooscriori del fondo cosiuiscono un parimonio separao da quello delle socieà di gesione: quese ulime sono in buona pare conrollae da banche e da compagnie di assicurazioni e soddisfano requisii di solidià. I ioli che fanno pare del parimonio del fondo sono cusodii in una banca deposiaria, che è un isiuo compleamene separao dal parimonio della socieà che lo gesisce. Le socieà di gesione sono, inolre, soggee alla doppia vigilanza di Consob e Banca d Ialia. I fondi comuni d invesimeno sono aperi: l ingresso dei nuovi sooscriori è libero, così come è consenio in qualsiasi momeno rienrare in possesso del proprio invesimeno, che viene liquidao dalle socieà di gesione in base al valore della quoa. Il parimonio dei fondi comuni, perano, non è fisso, perché può aumenare o diminuire in relazione ai flussi di raccola e a quelli di rimborso: se le sooscrizioni superano i riscai, il parimonio regisra un incremeno, in caso conrario subisce una diminuzione. I fondi sono severamene disciplinai anche soo il profilo organizzaivo dei soggei che li gesiscono e soo il profilo della diversificazione dei porafogli. Analoghe ai fondi sono le Sicav (Socieà di invesimeno a capiale variabile) sia ialiane sia esere auorizzae al collocameno in Ialia; l unica differenza è che prevedono il dirio di voo in capo al sooscriore nelle assemblee della Sicav ( il cui parimonio è diviso in azioni). Fondi e Sicav apparengono, insieme ai fondi mobiliari e immobiliari chiusi, alla caegoria degli Organismi di invesimeno colleivo del risparmio. Nei fondi i cosi sono rappresenai dalle commissioni d ingresso a carico dei sooscriori e da quelle di gesione, prelevae dal fondo. Qualche fondo presena anche commissioni di rimborso (a carico dei sooscriori) e moli commissioni di incenivo (prelevae dal parimonio del fondo) che vengono applicae quando il rendimeno del fondo supera una cera soglia.. Le caegorie di fondi comuni. Esisono sul mercao vari ipi di fondi comuni con caraerisiche abbasanza definie in ermini di profilo rischio/rendimeno aeso. Vi sono fondi di liquidià (o moneari) che invesono soprauo in ioli obbligazionari a breve ermine; fondi obbligazionari che invesono in ioli obbligazionari a medio-lungo ermine; fondi 8

13 azionari domesici che invesono soprauo in ioli azionari del mercao ialiano; fondi azionari inernazionali che diversificano all esero. Dal luglio 003, i fondi comuni d invesimeno sono divisi in cinque macrocaegorie in base al peso dell invesimeno azionario: Assogesioni, l associazione di caegoria delle socieà di gesione di fondi, ha fissao limii d invesimeno per ognuna di esse. Ogni macrocaegoria si divide in caegorie sulla base di differeni crieri. La classificazione Assogesioni è adoaa da ui i fondi di dirio ialiano, da ui i fondi lussemburghesi sorici e da una buona pare dei fondi eseri armonizzai. Fondi di liquidià. Non possono invesire in azioni e desinano uo il porafoglio a obbligazioni e liquidià. I fondi di liquidià non possono invesire in srumeni privi di raing e gli srumeni finanziari deenui in porafoglio devono avere un raing non inferiore ad A (Moody s) o A (S&P). La duraion massima del porafoglio è 6 mesi, e non è ammessa la coperura del rischio di cambio. I fondi di liquidià si differenziano in quaro caegorie sulla base della valua di emissione dei ioli in porafoglio: fondi di liquidià area euro, area dollaro, area yen, area alre value. Fondi obbligazionari. Non possono invesire in azioni (con l eccezione degli obbligazionari misi, che possono invesire fino al 0% nelle Borse) e perano desinano uo il porafoglio a obbligazioni e liquidià. Si presano a soddisfare l esigenza di chi vuole far crescere il capiale nel medio periodo (3-5 anni). Su quesi archi emporali, il loro rendimeno finanziario è soliamene superiore a quello dei fondi di liquidià, ma l oscillazione della quoa (volailià) è superiore. La volailià degli obbligazionari è ano maggiore quano più è lunga la scadenza media dei ioli in porafoglio e ano maggiore l esposizione del rischio valuario. Si enga presene che l esposizione al rischio valuario dipende non solamene dalla percenuale di ioli in valua deenui in porafoglio, ma anche dal fao che quesi ioli siano coperi dal rischio di cambio oppure no. Assogesioni prevede 6 caegorie di fondi obbligazionari, di cui 4 specializzae e non specializzae. In realà, sono operaive 5 caegorie obbligazionarie. La classificazione dei fondi obbligazionari specializzai è basaa su due crieri: rischio di mercao (valua di porafoglio e duraion) e rischio di credio (giurisdizione dell emiene, ipologia dell emiene, merio crediizio). I loro invesimeni consisono in un invesimeno principale che copre almeno il 70% del porafoglio e 9

14 un invesimeno residuale pari al massimo al 30% rappresenao da srumeni obbligazionari. Fondi bilanciai. Invesono in un mix di ioli di Sao, obbligazioni e azioni, in Ialia e all esero con un unico vincolo: la quoa del porafoglio desinaa alle azioni deve essere compresa ra il 0% e il 90%. Si adaano a chi vuol far crescere il capiale nel medio-lungo periodo (olre 5 anni), con un rendimeno poenzialmene superiore a quello degli obbligazionari e una volailià ovviamene maggiore per via della componene azionaria. Sono divisi in 3 caegorie: bilanciai obbligazionari bilanciai e bilanciai azionari a seconda del peso delle azioni in porafoglio (rispeivamene: 0-50, e perceno). Fondi azionari. Invesono prevalenemene (almeno il 70% del porafoglio) in azioni e sono adai a soddisfare l esigenza di chi vuole far crescere il capiale nel lungo periodo (7-0 anni e olre). La rischiosià dei fondi azionari, in generale, cresce all aumenare della specializzazione. I fondi azionari sono divisi in 8 caegorie (ue operaive), caraerizzae da un invesimeno principale pari almeno al 70% del porafoglio con emieni o specializzazioni definii dalle caegorie, e da un invesimeno residuale pari al massimo al 30% del porafoglio in ioli obbligazionari di qualunque emiene e in liquidià nella valua del mercao di riferimeno oppure in euro. Fondi flessibili. Non rienrano in alcuna delle precedeni caegorie, e sono i fondi più speculaivi, perché invesono senza resrizioni secondo i crieri fissai dal regolameno in liquidià, obbligazionario, azionario, euro e non euro a seconda delle aspeaive del gesore. Su quesi fondi, a differenza di ui gli alri, non c è obbligo di confrono con il paramero di riferimeno (benchmark)..3 A che cosa servono i fondi comuni. I fondi comuni servono a soddisfare una lunga serie di bisogni finanziari della famiglia, perché, al di là di ogni classificazione, si differenziano per il rischio/rendimeno aeso. La gamma dei bisogni finanziari che può essere soddisfaa dai fondi comuni è ampia: si pare dalla gesione delle eccedenze di liquidià di famiglia: il cono correne bancario, sul quale si possono accumulare quese eccedenze emporanee, infai, non è un invesimeno, ma un mezzo di pagameno: le cifre che resano sul cono endenzialmene perdono poere d acquiso. 0

15 C è poi un alra liquidià imporane, che è rappresenaa dalla riserva di sicurezza che in famiglia dovrebbe essere sempre enua a poraa di mano per froneggiare oneri imprevisi. Ebbene, in ui quesi casi possono funzionare i fondi comuni di liquidià perché sono quelli meno rischiosi: queso significa che, quand anche il riscao dovesse essere molo vicino alla sooscrizione, le probabilià di chiudere in perdia l invesimeno sono minime. I fondi comuni sono poi paricolarmene adai al bisogno finanziario che forse è più comune nell ambio delle famiglie, la crescia del capiale per vari scopi: ad esempio l acquiso di una casa, di un auo, ecc. Fondamenale è l orizzone emporale enro il quale si vuole realizzare quesa crescia: più è lungo, più rischi si possono prendere e, conseguenemene, più è elevaa la remunerazione che è legiimo aendersi alla conclusione dell invesimeno. Infine, i fondi comuni si possono presare anche all esigenza di fruire di una rendia periodica: è una necessia che si può manifesare non solamene quando si va in pensione, ma in qualsiasi fase della via, allorché le enrae correni siano insufficieni per manenere il enore di via desiderao..4 Socieà di gesione, ruolo del gesore e come lavora. Alla socieà di gesione è anziuo demandao il compio di promuovere il fondo, cioè di provvedere alla sua cosiuzione e di raccogliere mezzi finanziari presso i risparmiaori mediane l emissione e il collocameno delle quoe. In secondo luogo la socieà di gesione deve gesire le disponibilià monearie oenue dai parecipani invesendole nella o nelle caegorie di srumeni indicai nel regolameno del fondo e nel prospeo informaivo sooposi alla Banca d Ialia che accera la corrispondenza del loro conenuo alle disposizioni vigeni in ema di compleezza e di rasparenza dell informazione. Infine, dove il ipo di fondo lo prevede, la socieà di gesione ha la responsabilià di procedere al rimborso delle quoe del fondo al parecipane che abbia eserciao la domanda di riscao, meendo a disposizione di ques ulimo, il corrispondene conrovalore nei empi e nei modi indicai dal prospeo informaivo. La socieà di gesione (Sgr promoore) può delegare le scele di invesimeno in alune predefinie aree ad un alra Sgr o ad alri inermediari finanziari abiliai a presare servizi di gesione del parimonio.

16 Come ricordao, la gesione è effeuaa in mone e non su base individuale, come avviene di regola nel servizio di gesione parimoniale propriamene deo. Ciò significa non solo che è effeuaa nell ineresse di un insieme di soggei numeroso, non definio ex-ane e muevole nel empo, ma soprauo che ha per oggeo un parimonio comune o indiviso sulle cui componeni i parecipani non hanno alcuno specifico iolo. L aivià di gesione si svolge mediane operazioni di acquiso e di vendia e ogni alro ao di amminisrazione che sia rienuo opporuno o uile per incremenare il valore del fondo ed evenualmene disribuirne i proveni ai parecipani e che non sia precluso dalle norme legislaive, dalle disposizioni emanae dagli organi di vigilanza e dalle clausole del rendimeno del fondo. Nel regolameno e nel prospeo informaivo di ciascun fondo sono indicae le classi di srumeni finanziari (azioni, derivai, obbligazioni, fondi) nelle quali il gesore può invesire il parimonio e viene descria in sinesi la poliica di gesione che si inende seguire. Il processo decisionale relaivo alla disribuzione dell invesimeno ra le diverse caegorie di aivià finanziarie (azioni, obbligazioni, liquidià) si chiama asse allocaion. L asse allocaion si suddivide in sraegica e aica. Le scele di asse allocaion sraegica sono finalizzae all oimizzazione del rapporo rendimeno/rischio in relazione all orizzone emporale e alle aspeaive dell invesiore. Le scele di asse allocaion aica sono cosiuie dalla possibilià di modificare emporaneamene le scele sraegiche di lungo periodo per sfruare le opporunià che il mercao offre nel medio e breve periodo. La poliica di gesione descria nel regolameno e nel prospeo informaivo è sineizzaa nel cosiddeo benchmark, cioè in un indice rappresenaivo della composizione del porafoglio del fondo ideale in ermini di classi di aivià finanziarie (asse class), inese come azioni, ioli di Sao e liquidià, ioli domesici ed eseri, seori e aree geografiche. Il confrono fra il rendimeno di un fondo comune e quello di un indice di mercao, pur con ui i limii del caso, è un modo per valuare la gesione. Infai per le sue caraerisiche di rappresenaivià, viene considerao dagli inermediari come riferimeno per capire se un iolo o un fondo dalle caraerisiche analoghe ha regisrao, in un dao periodo, migliori o peggiori performance in ermini di rendimeno rispeo al benchmark sesso. Non ui gli esperi sono concordi sul ruolo del benchmark. Se per alcuni è un buon paramero con cui confronare la

17 performance del fondo e per avere una descrizione del profilo rischio/rendimeno aeso, per alri non è correo uilizzarlo come srumeno di valuazione della performance dal momeno che rappresena per sua naura un porafoglio sraegico da cui il gesore del fondo si può anche allonanare nel breve periodo per correi moivi di gesione finanziaria. Secondo quesa posizione, il benchmark rivese un ruolo fondamenale di comunicazione al pubblico della sruura ipica del porafoglio del fondo comune, uilizzabile per la sima del rischio aeso più che del rendimeno aeso. Di fao replicare o baere queso indicaore divena uno dei principali obieivi del gesore e come raggiungere ale obieivo divena il vero problema. A seconda dell obieivo che il gesore si pone si possono idenificare due principali sili disini di gesione: la gesione passiva o la gesione aiva. La gesione passiva si basa sull assunzione che i mercai siano efficieni e che quindi per oenere le migliori performance sia meglio avere un porafoglio ampiamene diversificao che rappreseni l inero mercao di riferimeno. Il gesore passivo, quindi, definisce l asse allocaion sraegica e la maniene assicurandosi che l andameno del valore del porafoglio del fondo sia sosanzialmene corrispondene all andameno degli indici di riferimeno. Numerosi fondi di invesimeno sono a gesione passiva e oengono quindi rendimeni lordi uguali ai rendimeni di mercao e di conseguenza il rendimeno neo per l invesiore è ano più alo quano più conenui sono i cosi di gesione. La gesione aiva si basa sull ipoesi che i mercai siano inefficieni almeno localmene e che non ue le informazioni rilevani siano incorporae nei prezzi dei ioli. Di conseguenza i gesori meglio informai possono sfruare le inefficienze e conseguire exraperformance, cioè rendimeni superiori a quelli di mercao. La gesione aiva può essere messa in praica adoando due principali meodologie d invesimeno: sock picking e marke iming. Nel primo caso il gesore dedica il proprio empo nell analisi delle singole azioni cercando di individuare, nell ambio dei ioli poenzialmene invesibili, quelli che offrono migliori opporunià in ermini di rischio/rendimeno. Spesso in quesi casi si ricorre all analisi fondamenale, analisi effeuaa sulla base dei dai di bilancio, di informazioni sociearie e di mercao. Nel secondo caso, il gesore cerca di prevedere l evoluzione del mercao azionario individuando il momeno più idoneo all implemenazione delle proprie sraegie di invesimeno. Una sraegia di queso 3

18 ipo può avvalersi dell analisi ecnica. Il presupposo dell analisi ecnica è che la conoscenza degli eveni borsisici passai facilia la previsione di quelli fuuri, perché le moivazioni e le variabili che influenzano i comporameni umani endono a ripeersi e quindi la semplice serie sorica dei prezzi di un iolo coniene informazioni uili a predirne l andameno fuuro. I dai sorici delle quoazioni possono essere sudiai su un grafico (analisi grafica) o elaborai con calcoli di varia naura per ricavare indicaori di acquiso e vendia (analisi quaniaiva). Ovviamene sia per quano riguarda l analisi fondamenale sia per quano riguarda l analisi ecnica divena imporane per il gesore capire quali variabili scegliere, come valuare gli indicaori e sabilire le azioni da compiere in base all orizzone emporale sul quale si vuole operare. Non esise un modo comune di operare ma ogni gesore in base alla propria esperienza uilizza ora l uno ora l alro indicaore. Esisono poi fondi a gesione quaniaiva nei quali il processo di selezione dei ioli e di asse allocaion è oalmene affidao ad elaborazioni maemaiche. Il vanaggio dei fondi a gesione quaniaiva sa nella ferrea disciplina e quindi nella oale mancanza di influenze psicologiche o emoive, come possono essere le mode per ceri seori borsisici e nei cosi di gesione molo bassi. Va comunque deo che nella praica i gesori non sempre scelgono rigidamene l uno o l alro sile: il rendimeno dei fondi è il risulao che si oiene mescolando gli sforzi voli a scegliere i ioli migliori con il enaivo di prevedere i movimeni del mercao in generale. Va aggiuno poi che soprauo per le gesioni aive risula ancor più difficile il confrono con il benchmark dal momeno che il fondo comune d invesimeno subisce dei cosi per la gesione aiva del porafoglio menre il benchmark per definizione è rappresenao da uno o più indici opporunamene pesai e non è soggeo a cosi di alcun genere. I cosi per la gesione possono essere individuai nei cosi di negoziazione, di selemen e di slippage. I cosi di negoziazione sono aribuibili al broker che è un inermediario finanziario che esegue gli ordini di acquiso e vendia ricevui dal cliene (per cono erzi). In qualià di negoziaore, riceve una commissione per il servizio fornio sia al momeno dell acquiso che al momeno della vendia. Il coso di regisrazione (selemen), a differenza dei cosi di negoziazione, è un coso fisso, indipendene dall ammonare dell operazione, e va dao alla banca 4

19 deposiaria del fondo ed è il coso di regisrazione dell operazione di acquiso o vendia. Infine con il ermine slippage ci si riferisce a quella differenza che si regisra, praicamene sempre, ra prezzo di mercao (come riporao dai circuii informaici o dalla sampa) e prezzo effeivo di esecuzione: è la differenza fra il prezzo sabilio a priori per una vendia (acquiso) di un aivià finanziaria ed il prezzo a cui effeivamene viene eseguio sul mercao. Tale differenza, non rappresena sempre una caiva esecuzione dell'ordine da pare del broker, quano piuoso un prezzo che si paga alla liquidià non perfea dei mercai. Anche sui mercai elemaici, dove i circuii riporano in empo reale i prezzi a cui vengono concluse le ransazioni, non è sempre deo che il prezzo che si oiene per effeuare un'operazione sia esaamene pari a quello quoao giuso un secondo prima: l'ordine porebbe essere roppo grosso oppure roppo piccolo; porebbe darsi che alcune conropari siano uscie (od enrae) dal (nel) mercao proprio in quel momeno o piú semplicemene che le condizioni di mercao siano muae. Peralro, il fondo comune reinvese i dividendi incassai sulle azioni possedue, i benchmark azionari no; inolre, spesso, vengono uilizzai dei benchmark depurai in modo forfeario dalle impose sui guadagni in cono capiale (in Ialia,5%). È quindi ineviabile che il rendimeno del fondo comune sia inferiore a quello del benchmark, a meno che la gesione aiva sia saa eseguia con una capacià ale da generare rendimeni superiori al benchmark per l inero ammonare dei cosi necessari per la gesione..5 Diaman s.r.l. Nel corso di uno sage, durao alcuni mesi presso la socieà Diaman s.r.l., ho pouo vedere più da vicino come vengono affronai i problemi inereni alla gesione dei fondi e quali sono le soluzioni propose. Dallo sage è naa una collaborazione col fine di uilizzare le meodologie saisiche nella valuazione e selezione dei ioli. Diaman s.r.l. è una socieà di consulenza finanziaria creaa con l obieivo di fornire un servizio di consulenza a clieni isiuzionali quali banche, Sim o assicurazioni. Tale socieà agisce nel mercao araverso meodologie proprie ed algorimi consolidai che mirano a scegliere con coninuià i migliori ioli sui mercai e a deerminare con margini d errore quano più risrei possibili i momeni d acquiso e 5

20 vendia dei ioli sessi in maniera ale da massimizzare il rendimeno dei fondi deenui in gesione. La filosofia guida è quella di invesire nei mercai finanziari solo quando e dove conviene e che si preferisce rischiare di non guadagnare molo che rischiare di perdere molo. Per cercare di raggiungere quesi obieivi Diaman ha scelo di praicare una gesione aiva dei fondi basaa sull analisi quaniaiva dei ioli con l obieivo di cogliere le inefficienze del mercao e di ridurre sempre più al minimo la discrezionalià nelle scele di gesione. Quesa scela è basaa sulla convinzione che influenze psicologiche o emoive possano porare il più delle vole a commeere degli errori menre nel caso di un processo sisemaico e auomaizzao ali influenze non condizionano le scele. Ecco perché Diaman si adopera alla creazione di algorimi che forniscano segnali d acquiso e di vendia in forma il più auomaizzaa possibile e alla ricerca di indicaori che abbiano una buona capacià di previsione sulla base di qualche evidenza empirica o esperienza passaa. Capire l effeiva efficacia di quesi indicaori è uno degli obieivi di quesa esi. Per realizzarlo cercheremo di meerci in un caso il più reale possibile e in paricolare il più vicino alle abiudini di gesione di Diaman..6 La meodologia usaa da Diaman. Il primo passo consise nella definizione dell asse allocaion sraegica che viene svilppaa con l ineno di soddisfare le aspeaive dei clieni in ermini di rischio e rendimeno. Una vola sabilio il paniere dei ioli invesibili Diaman procede alla divisione del paniere in cinque gruppi araverso un analisi di dai exra-campionari basai sui seori. Il porafoglio viene parzialmene aggiornao con frequenza seimanale. In praica a urno i gruppi vengono analizzai e i ioli relaivi a quel gruppo preseni nel porafoglio sosiuii con quelli nuovi. La scela di dividere i ioli del paniere in gruppi è una scela non così inuiiva. Diaman giusifica ale scela soprauo da un puno di visa praico. In base alla propria esperienza afferma che una serie sorica finanziaria si muova per il 70% del empo secondo dei rend definii locali e qualora si riesca a definire un rend locale su una serie sorica, il rend si muove nella sessa direzione per un periodo superiore o uguale a cinque seimane. Sulla base di quese analisi ha scelo di aggiornare il proprio porafoglio con una frequenza di 5 giorni (cioè cinque seimane). Concenrare lo sesso giorno l acquiso e la vendia di un folo numero di ioli 6

21 significherebbe un fore esborso di denaro a causa dei cosi di negoziazione, di regisrazione e di selemen: sempre sulla base della propria esperienza ha simao che ci possa aendere un abbassameno della performance giornaliera di porafoglio aorno a 0,3%-0,5%. Dal momeno che l obieivo è creare una coninuià di risulai nella gesione del porafoglio eviando, dove possibile, srappi, soprauo verso il basso, ha pensao di diluire ali cosi nel empo. Perciò ha scelo di suddividere l insieme dei ioli considerai in cinque gruppi dai quali esrarre ogni seimana 6 ioli che vanno a rinnovare il porafoglio. In al modo l incidenza dei cosi è meglio assorbia dal porafoglio, incidendo una vola a seimana solamene per un quino. Il secondo vanaggio è quello di poer enere sempre parzialmene aggiornao il porafoglio seimana dopo seimana. Finora per selezionare i gruppi si è uilizzaa la classificazione per seori e i cinque gruppi vengono selezionai in base a valuazioni che devono garanire una cera diversificazione in ermini economici. Vengono selezionai cinque seori che siano il meno affini possibile e che garaniscano la crescia aesa maggiore. L analisi di ali gruppi viene rifaa con frequenza semesrale. Una vola sabilia l asse allocaion l aspeo che più ineressa è con che logica selezionare da ciascun gruppo i ioli sui cui invesire. Quello che Diaman si ripropone è invesire in quei ioli che si sanno comporando meglio della media e per far queso si serve di un indicaore dell analisi ecnica conosciuo come forza relaiva (Kaufman, 005). La definizione di forza relaiva, cui si farà riferimeno in seguio anche con l acronimo del ermine inglese RS (Relaive Srengh), si basa sul rapporo ra prezzo di un azione e quoazione dell indice azionario cui quesa fa riferimeno, ovvero: RS = i dove con P i e I si inendono rispeivamene il prezzo dell azione i-esima e la quoazione dell indice I, enrambi all isane. Diaman, fissao un isane 0, indicizza a 00 ue le serie. RS, P e I divenano, quindi, rispeivamene: * P RS i = I * i * P * i P I i P = 00 Pi i 0 * I = 00 I In queso modo si oengono due effei: il primo è di rendere confronabili le serie ra di loro; il secondo è quello di depurare ciascuna serie dall effeo di mercao, in I 0 7

22 maniera da poer misurare e confronare le variazioni relaive con maggiore immediaezza. Successivamene, viene effeuao sulle serie della forza relaiva il calcolo di due medie mobili semplici asimmeriche. L uilizzo delle medie mobili è largamene diffuso ra le aziende operani sui mercai finanziari nella deerminazione dei rend nelle serie dei prezzi. Infai, l applicazione di una media mobile permee di smussare l andameno di una serie e di eliminare o ridimensionare l erraicià della serie sessa. Nell analisi ecnica la media mobile è uilizzaa abbinaa alla serie dei prezzi per la deerminazione dei segnali di acquiso e di vendia: se la serie dei prezzi inerseca verso l alo la media mobile queso è un segnale di acquiso; se la inerseca verso il basso allora queso è un segnale di vendia. Queso perché la media mobile iene cono della media di k riardi. Se gli ulimi prezzi superano la media vuol dire che sanno salendo, viceversa il conrario. Va anche ricordao, però, che una media mobile con un basso numero di ermini ende a dare falsi segnali d inversione dei rend (e quindi d acquiso o di vendia) con frequenza ano maggiore quano minore è l ordine della media sessa, comporando perano il rischio di pervenire a decisioni fuorviani; viceversa all aumenare del numero di ermini su cui viene calcolaa la media mobile si regisra invece un migliorameno della capacià di discernimeno dei segnali fornii. Tuavia, poiché viene richieso un numero maggiore di osservazioni passae al fine di poer effeuare il calcolo, medie mobili con un alo numero di ermini endono a segnalare la presenza di un rend con un riardo sisemaico che può inficiare in maniera significaiva l efficacia dell operazione. Si raa quindi di rovare un giuso compromesso ra la velocià di reazione e la capacià di individuare un rend a cui si risponde applicando simulaneamene due medie mobili di diverso ordine. Operaivamene si definiscono due medie mobili semplici asimmeriche calcolae sulla serie della forza relaiva MM(k ) e MM(k ) ali che MM ( i) ( k j ) = k j k j s= 0 RS * i dove i si riferisce al iolo e j =, si riferisce alla media mobile con minor numero di ermini (k ) o maggior numero di ermini (k ) e si selezionano di vola in vola quei ioli che ha un isane fissao hanno il rapporo T maggiore. T MM = MM ( i) ( i) ( k) ( k ) 8

23 La scela dell ordine delle medie mobili viene oenua ramie massimizzazione della funzione r(k,k ) rispeo k e k in ( 0,T) e si scrive dove Y ( k,k ) max k, k { r( k, k )}, con r( k, k ) Y ( k, k ) ( k, k ) T = Y è il valore del rendimeno capializzao di un porafoglio all isane [ 0,T] che è sao creao in 0 ed uilizza per la selezione dei ioli il crierio T. La massimizzazione avviene gruppo per gruppo e non è alro che una serie di prove simulae, al variare degli ordini delle medie mobili, dell applicazione del rading sysem sul passao in cui i ioli selezionai sono quelli con il miglior rapporo ra il valore della media mobile di ordine più basso e la media mobile di ordine più alo. Tal scela si giusifica dal momeno che una maggiore disanza ra le due medie implica un rend più evidene e quindi un minore rischio d incorrere in falsi segnali. La coppia di medie mobili, che possiamo definire oima, viene uilizzaa da quel momeno in poi per la selezione dei ioli fuuri. o.7 Definizione del problema. Le analisi svole hanno voluo recuperare le meodologie uilizzae da Diaman inegrandole con delle propose alernaive di raggruppameno basae sulle ecniche saisiche di cluser analysis. Abbiamo simulao di dover gesire un porafoglio che possedesse solamene ioli europei. I ioli del paniere selezionao e sul quale si sono fae le analisi provengono da mercai di area euro e in paricolare: Ialia, Francia, Germania, Spagna, Porogallo, Finlandia, Ausria, Belgio e Olanda. Fanno pare del paniere ui i ioli che nei rena giorni precedeni alla daa di formazione del paniere hanno regisrao un valore medio di capiale scambiao giornalmene pari o superiore a Queso accorgimeno ha l obieivo di ogliere ui quei ioli, definii soili in finanza, cioè che presenano scarsi volumi scambiai, per i quali sarebbe più difficile la vendia o l acquiso di quanià elevae d azioni. Su queso insieme di ioli è saa applicaa quindi una meodologia che prevedesse più modi alernaivi di formare i ioli in gruppi e una selezione dei ioli da invesire basaa sulla procedura di Diaman sulla forza relaiva (vedi Figura). Fine della esi è, in primo luogo, valuare la meodologia nel suo complesso; in secondo luogo capire quale sia l effeo neo apporao rispeivamene dalla procedura di selezione dei ioli e quale l effeo congiuno delle due procedure. 9

24 CLUSTER ANALYSIS SELEZIONE TITOLI (RS) ESTRAZIONE DEI 30 TITOLI CHE FORMANO IL PORTAFOGLIO g Figura: rappresenazione grafica della procedura di gesione che si inende seguire. Lo scopo dell analisi dei gruppi è quello di classificare unià saisiche, per le quali sono sae misurae le modalià di differeni variabili in un numero inferiore e relaivamene conenuo di gruppi. Alla base degli algorimi di clusering vi è il conceo di disanza. L obieivo che ci si prefigge è infai quello di massimizzare la disanza infra-gruppi e minimizzare, al empo sesso, quella inra-gruppi. Quando si affrona il problema della scela delle variabili è giuso sapere che si raa di un problema cruciale dell analisi e che la scela lascia larghi margini di soggeivià. La classificazione dovrebbe fondarsi su ui gli aspei che si riengono imporani per gli scopi prefissai, e queso porebbe indurre ad ampliare il più possibile le variabili rilevae. Occorre ener presene che l aggiuna di variabili con scarso poere di discriminazione ra i gruppi, ovvero con bassa qualià dei dai, può peggiorare i risulai rendendo meno niida la classificazione oenua. Quaro sono i ipi di variabili che si inende proporre. La prima proposa è di selezionare i gruppi in base ai rendimeni logarimici dei prezzi di chiusura giornalieri dei ioli. 0

25 r, Χ = r i, r n, T, con r ln( p ) ( p ) i =, ln dove: i =,, n è il numero corrispondene al iolo; j =,, T l isane emporale; r i,j è il rendimeno logarimico relaivo al iolo i-esimo al empo j-esimo. In queso modo ci si propone di caurare le raieorie simile delle serie dei rendimeni dei ioli. La seconda proposa invece ha come obieivo di recuperare la relazione che esise, ai vari riardi, ra i rendimeni e i rendimeni al quadrao in modo ale da suddividere i ioli in base alla sruura che manifesano sulla media e sulla volailià. Per oenere queso risulao si sono uilizzae le funzioni di auocorrelazione semplici e parziali. X () ρ, = () ρ n, ρ () i, s ρ (), k ρ () n, k ρ (), ρ () n, ρ () i, r ρ (), k ρ () n, k P (), P () n, P () i, s P (), k P () n, k P (), P () n, P () i, r () P, k () Pn, k dove ρ () i,s è la funzione di auocorrelazione semplice rispeo alla i-esima serie dei redimeni logarimici, al s-esimo riardo; ρ () i,r è la funzione di auocorrelazione semplice rispeo alla i-esima serie dei redimeni logarimici al quadrao, al r-esimo riardo; P () i,s è la funzione di auocorrelazione parziale rispeo alla i-esima serie dei redimeni logarimici, al s-esimo riardo; P i,r è la funzione di auocorrelazione parziale rispeo alla i-esima serie dei redimeni logarimici al quadrao, al r-esimo riardo; k è il numero di riardi considerai.

26 La erza proposa (Orano, 004) si basa sulla marice dei parameri α e β provenieni da un modello AR()-GARCH(,) per le medie e le varianze condizionae di ciascuna serie Y dei rendimeni logarimici: Y φ = ε Y con ε = η σ, I N( 0 σ ) ε, ~ Ν( 0,) ~, η σ = ω + αε + βσ dove φ è il paramero ar() riferio alla i-esima serie; ω, α, β sono i parameri del modello garch(,) simao per la singola serie. La marice dei dai divena: α α Z = α n β β β n dove α i, β i sono i parameri del modello GARCH(,) simao per la i-esima serie con i =,, n. Dal momeno che le serie da modellare sono numerose si è deciso di selezionare un unico modello per ue le serie. Si è scelo il GARCH(,) perché quello comunemene uilizzao per le serie finanziarie. La presenza di una componene AR(), invece, ha la funzione di filrare la serie da evenuali presenze auoregressive sulla media condizionaa per una migliore sima della varianza condizionaa. Si aggiunge, infine, una quara proposa basaa non su crieri saisici ma su informazioni exra-campionarie. Ipoizziamo di dividere uo il paniere dei ioli in cinque gruppi in base alla nazionalià del mercao in cui sono quoai. Queso per vedere se gli sforzi saisici effeuai sono da considerarsi opporuni o se sono facilmene superabili da divisioni più semplici ed immediae. Una vola effeuae le analisi per i gruppi proseguiremo l analisi così come è previso nella procedura Diaman. Uilizzeremo dei dai fuori dal campione uilizzao per la creazione dei gruppi come periodo di esing e regisreremo come si sarebbero comporai i nosri quaro rading sysem.

27 Per la valuazione ci serviremo di grafici, della performance di periodo, di indicaori come il drawdown e il empo medio di recupero e infine della serie dei rendimeni a re mesi calcolai a una seimana l uno dall alro. In cosa consisono e come veranno uilizzai verrà spiegao nel capiolo 3. 3

28 4

29 . La descrizione dei meodi. Una vola definia la sraegia uilizzaa e prima di mosrare e commenare come si sono svole le analisi illusriamo con quali meodi è possibile raare i dai e dividere i ioli in gruppi. In queso capiolo ci occuperemo, quindi, dei meodi saisici per la classificazione delle unià in gruppi omogenei. Moli sudi svoli sinora ammeono l imporanza crescene di riuscire a caurare le caraerisiche delle serie finanziarie (Yee, 005 o Mcciché e al., 004), di cercare di raggruppare le serie in gruppi (ad es. Dose e Cincoi, 005 o Kalpakis, 00 ) e, uscendo dall ambio finanziario, più in generale, ue le serie emporali proponendo anche approcci e meodi nuovi in alernaiva a quelli più comuni (Wang e al., 004 o Diggs e al., 003). I meodi più diffusi rimangono aualmene l analisi discriminane e l analisi dei gruppi (o cluser analysis). Nel primo caso è noo a priori che le n unià osservae apparengono a due o più popolazioni differeni. Per ogni unià si conosce il corrispondene veore dei valori delle p variabili. L obieivo dell analisi discriminane è quello di sabilire un crierio per assegnare correamene uleriori unià alla rispeiva popolazione di apparenenza, minimizzando la probabilià degli errori di aribuzione. L analisi dei gruppi, o cluser analysis, è invece un meodo ipicamene esploraivo: esso consise nella ricerca delle n osservazioni p-dimensionali di gruppi di unià ra loro simili, non sapendo a priori se ali gruppi omogenei esisono effeivamene nel daase. La cluser analysis ha dunque l obieivo di riconoscere gruppi che appaiono con nauralezza nelle osservazioni. Per il ipo di problema che è sao preso in considerazione in quesa esi è ques ulimo il meodo saisico che uilizzeremo e che illusreremo più da vicino nei prossimi paragrafi, menre ralasceremo la discussione e l approfondimeno del meodo dell analisi discriminane. 5

30 Preseniamo, quindi, la eoria che sa alla base della cluser analysis araverso una discussione sulla scela delle variabili, elencando definendo le misure di disanza i meodi di formazione dei gruppi più comunemene uilizzai.. Meodo di formazione dei gruppi. In queso paragrafo ci limiiamo a considerare solamene i meodi che individuano parizioni dell insieme delle n unià saisiche. L obieivo è quello di classificare ali unià in gruppi con le caraerisiche di coesione inerna (le unià assegnae ad un medesimo gruppo devono essere ra loro simili) e di separazione eserna (i gruppi devono essere il più possibile disini). I meodi di formazione dei gruppi vengono disini in gerarchici e non gerarchici. I meodi gerarchici consenono di oenere una famiglia di parizioni, con un numero di gruppi da n a, parendo da quella banale in cui ue le unià sono disine per giungere a quella, pur banale, in cui ui gli elemeni sono riunii in un unico gruppo. I meodi non gerarchici forniscono un unica parizione delle n unià in g gruppi, con g fissao a priori. Da come è sao presenao il problema di cui inendiamo occuparci porebbe sembrare ques ulima la scela migliore. Infai avendo bisogno di dividere le unià saisiche in cinque gruppi la scela più naurale porebbe sembrare quella di porre g uguale a 5. Purroppo quesa modalià nasconde delle insidie. Il vero moivo che ci ha porao ad accanonare ale procedura risiede nel fao che dipende foremene dall unià saisica rispeo alla quale cominciare il raggruppameno. Un procedimeno di queso ipo può fornire più soluzioni possibili e quindi anche molo diverse ra loro inroducendo una componene erraica nella scela dei ioli che può risulare difficile da gesire e soprauo da moivare. Per queso prenderemo in esame solamene i meodi gerarchici. Caraerisiche generali dei meodi gerarchici. Un meodo di classificazione gerarchico presena le segueni caraerisiche: - considera ui i livelli di disanza, che indicheremo con γ - i gruppi che si oengono ad ogni livello di disanza comprendono i gruppi oenui ai livelli inferiori. 6

31 Perano, quando due o più unià si uniscono ra loro esse non possono venire separae nei passi successivi alla procedura. Un meodo gerarchico genera una famiglia di parizioni delle n unià parendo da quella in cui ue le unià sono disine, ricavando successivamene quelle con (n- ),(n-), gruppi, per giungere sino a quella in cui ue le unià sono riunie in un unico gruppo. Un ampia classe di meodi gerarchici si fonda sull impiego iniziale d una marice di disanze D calcolaa per le n unià saisiche. In al caso la procedura seguia per individuare i gruppi d elemeni si aricola nelle fasi segueni: i) si individuano nella marice D le due unià con la minore disanza e si riuniscono a formare il primo gruppo. Si oiene una parizione con (n-) gruppi di cui (n-) cosiuii da singole unià e l alro formao da due unià. ii) si ricalcala la disanza del gruppo oenuo dagli alri gruppi, ricavando una nuova marice delle disanze, con dimensioni diminuie di uno. iii) Si individua nella nuova marice delle disanze la coppia di unià con minore disanza, riunendole in un unico gruppo. iv) si ripeono le fasi ii) e iii) sino a quando ue le unià sono riunie in un solo gruppo. Le differenze ra i vari meodi gerarchici consisono nel crierio uilizzao per calcolare la disanza ra due gruppi di unià. Prima di vedere da vicino le principali, definiamo alcuni puni di riferimeno sui quali basare la descrizione paricolare. Si considerino due gruppi C e C e siano n e n le rispeive numerosià. Sono possibili diverse definizioni di disanza ra i due gruppi, che idenificano alreani meodi gerarchici. Ecco un possibile elenco: meodo del legame singolo, meodo del legame compleo, meodo del legame medio, meodo del legame medio dei gruppi, meodo del cenroide e meodo di WARD. a) meodo del legame singolo. La disanza ra due gruppi è definia come il minimo delle n e n disanze ra ciascuna delle unià d un gruppo e ciascuna delle unià dell alro gruppo: ( C, C ) = min( d ), per r C, s C d rs 7

32 b) meodo del legame compleo. La disanza ra due gruppi è definia come il massimo delle n n disanze ra ciascuna delle unià d un gruppo e ciascuna delle unià dell alro gruppo: ( C, C ) = max( d ), per r C, s C d rs Adoando queso meodo, ue le disanze ra le unià del primo gruppo e quelle del secondo sono minori o uguali alla disanza ra i due gruppi così definia. c) meodo del legame medio. La disanza ra due gruppi è definia come la media arimeica delle n n disanze ra ciascuna delle unià d un gruppo e ciascuna delle unià dell alro gruppo: d n n ( C, C ) d, per r C, s C = r s rs d) meodo del legame medio dei gruppi. È una variane del modello precedene. La disanza ra due gruppi è definia come la media arimeica delle disanze ra ue le possibili coppie di unià del nuovo gruppo che si oiene. Indicando con m = (n + n ) il numero complessivo di unià dei due gruppi considerai, ale disanza è la seguene: d, s C m m = d, per r C, m m r= s> r ( C C ) rs ( ) / e) meodo del cenroide. La disanza ra due gruppi è definia come la disanza ra i rispeivi cenroidi: ( C, C ) d( x x ) d =, Ovviamene, il calcolo del cenroide d un gruppo di unià richiede la conoscenza dei rispeivi valori delle p variabili, che si possono leggere nella marice dei dai. Facciamo noare che, per un principio di coerenza, la disanza ra i cenroidi deve essere del medesimo ipo uilizzao nella marice delle disanze. Il cenroide del nuovo gruppo che si forma può essere calcolao in funzione dei cenroidi dei due gruppi di parenza: cenroide ( C C ), n + n Il meodo del cenroide presena analogie con il meodo del legame medio: in ques ulimo, infai, si considera la media delle disanze ra le unià del uno e 8 x n + x n =

33 dell alro gruppo, menre nel meodo del cenroide si individua dapprima un cenro di ciascun gruppo e poi si misura la disanza ra essi. f) meodo di WARD. Lo sudio svolo da principio ha viso come proagonisi due meodi: il meodo del legame compleo e il meodo di Ward. Poi ci siamo concenrai semplicemene su ques ulimo dal momeno che il primo non forniva dendogrammi chiari e quindi complicava la procedura. Nel meodo di Ward si definisce espliciamene una funzione obieivo. Dao che lo scopo della classificazione è quello di oenere gruppi con la maggiore coesione inerna, si considera la scomposizione della devianza oale (T) delle p variabili in devianza nei gruppi (W) e devianza fra i gruppi (B): con T = T = W + B p n g p nl p g ( xis xs ), W = ( xis xs, l ), B = nl ( xs, l xs ) s= i= l= s= i= s= l= dove, daa una parizione in g gruppi, T: è la devianza oale delle p variabili, oenua come somma delle devianze delle singole variabili rispeo alla corrispondene media generale x s ; W: è la devianza nei gruppi, cioè la somma delle devianze di gruppo; B: è la devianza fra i gruppi, cioè la somma delle devianze delle medie di gruppo rispeo alla corrispondene media generale. Ad ogni passo della procedura gerarchica si aggregano ra loro i gruppi che comporano il minor incremeno della devianza nei gruppi, cioè che assicurano la maggiore coesione inerna possibile.. La misura della disanza. Se immaginiamo la nosra marice di dai di dimensioni nxp, dove n sono i ioli e p sono le variabili che engono i rendimeni giornalieri, possiamo affermare che finora nei paragrafi precedeni abbiamo esaminao le relazioni ra varabili ed i meodi che si propongono di conseguire una riduzione delle dimensioni dello spazio R p e cioè delle colonne. La formazione di gruppi omogenei di unià, che è lo scopo dei prossimi 9

34 paragrafi, può inerprearsi, invece, come una sora di riduzione delle dimensioni dello spazio R n, poiché si riuniscono le n unià in g sooinsiemi, che dovrebbero corrispondere a caegorie, o classi, delle sesse. Per poer affronare queso ema si deve illusrare il conceo di prossimià ra unià saisiche che per quano deo sinora individuano i veori riga nella marice dei dai. Con il ermine generico di prossimià ci si riferisce sia al conceo di rassomiglianza ra le unià, sia a quello di diversià. Un indice di prossimià ra due generiche unià saisiche è definio come una funzione dei rispeivi veori riga nella marice dei dai. Le informazioni fornie dagli indici di prossimià ra coppie d elemeni cosiuiscono una premessa per l individuazione di gruppi di unià omogenee. Gli indici di similarià vengono abiualmene disini a seconda che si applichino a fenomeni quaniaivi oppure qualiaivi. Nel nosro caso, avendo noi marici formae solamene da variabili quaniaive, considereremo ed esporremo solamene misure di disanze opporune per le variabili scele. Definizione di disanza. Si dice disanza ra due puni corrispondeni ai veori x, y R p una funzione d(x,y) che gode delle segueni proprieà: ) non negaivià: d ) idenià: 3) simmeria: p ( x, y) 0 x, y R ( x, y) = 0 x y d = d p ( x, y) = d( y, x) x, y R 4) disuguaglianza riangolare: d p ( x, y) d( x, z) + d( y, z) x, y, z R Uno spazio con riferimeno al quale sia definia una disanza è deo spazio merico. Con riferimeno ad n unià saisiche, calcolando la disanza ra ciascuna delle possibili coppie d elemeni, si oiene una marice delle disanze di dimensione n x n. Per la definizione di disanza, ale marice è simmerica e presena valori ui nulli sulla diagonale principale. Inolre la marice è definia posiiva. 30

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