POLITECNICO DI MILANO Facoltà di Ingegneria Industriale Fondamenti di Fisica Sperimentale, a.a I a prova in itinere, 10 maggio 2013

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1 POLITECNICO DI MILANO Facoltà di Ingegneria Industriale Fondamenti di Fisica Sperimentale, a.a I a prova in itinere, 10 maggio 2013 Giustificare le risposte e scrivere in modo chiaro e leggibile. Sostituire i valori numerici solo alla fine, dopo aver ricavato le espressioni letterali. Scrivere in stampatello nome, cognome, matricola e firmare ogni foglio. 1. Due blocchi sono uniti da una fune inestensibile di massa trascurabile che passa attraverso una carrucola priva di attriti anch essa di massa trascurabile. Il blocco di massa M = 3 kg poggia su un piano inclinato scabro con coefficiente di attrito statico µ S = 0.5 e coefficiente di attrito dinamico µ D = 0.3 come rappresentato in figura (α = 30 ). a) Si calcolino i valori minimo (m MIN ) e massimo (m MAX ) che può assumere la massa m del blocco appeso, affinché il sistema rimanga in equilibrio. Si immagini poi di portare la massa del blocco appeso al valore di 3 kg (m = M) e alla quota h = 10 cm dal suolo. Si lasci il sistema libero di muoversi e si calcolino: b) l accelerazione delle due masse; c) la velocità del blocco di massa m al momento dell impatto con il suolo. 2. Un blocco di massa M = 1 kg è appeso ad un piolo mediante una fune inestensibile di lunghezza l = 1 m e massa trascurabile. Una pallottola di massa m = 10 g si conficca nel blocco con velocità v 0 orizzontale (vedi l figura). a) Si dica di che tipo di urto si tratta e, motivando la risposta, si specifichi quali grandezze fisiche si conservano durante l urto. m v 0 Calcolare quindi: M b) l energia dissipata nell urto in funzione del modulo di v 0 ; c) il valore minimo del modulo di v 0 per cui il blocco compie un giro completo attorno al piolo; d) il valore minimo del modulo di v 0 che occorrerebbe per far compiere a M un giro completo se al posto della fune avessimo un asta rigida di massa trascurabile. 3. a) Si enunci il teorema del momento angolare (seconda equazione cardinale della dinamica) per un punto materiale soggetto ad una forza F, specificando le condizioni di validità e il significato delle grandezze introdotte. b) Si consideri un punto materiale, attaccato all estremo di una fune a sua volta vincolata ad un perno, in moto circolare su un piano scabro orizzontale. Supponendo che tra il punto materiale e il piano vi sia un coefficiente di attrito dinamico µ D, si utilizzi il teorema del momento angolare per dimostrare che il modulo della velocità del punto materiale diminuisce nel tempo fino ad annullarsi.. 4. a) Si calcoli la velocità minima v f che è necessario imprimere a un oggetto sulla superficie terrestre affinché questo possa allontanarsi indefinitamente dalla Terra b) Determinare la velocità della Terra nella sua orbita attorno al Sole approssimandone la traiettoria come un cerchio di raggio pari alla distanza media Terra-Sole D T-S = km. c) Determinare se e in quali condizioni un oggetto lanciato dalla superficie terrestre con la velocitè v f calcolata al punto a) è in grado di allontanarsi indefinitamente dal sistema solare (si considerino soltanto le attrazioni gravitazionali della Terra e del Sole, trascurando quelle degli altri pianeti) [G = 6, Nm²/kg 2 ; raggio della terra R T = km; massa della Terra M T = kg; massa del Sole M S = kg]

2 Esercizio 1 a) Bisogna considerare due casi: 1. M g senθ > mg (cioè, m < M senθ), allora la forza di attrito statico si opporrà ad un moto che porterebbe M a scendere ed m a salire. Se si considera il diagramma di corpo libero per i due corpi con i sistemi di riferimento come in figura, otterremo quindi: : 0; : 0; : 0. Otteniamo quindi: con ;. Da cui: 0.2 kg, che soddisfa la condizione iniziale imposta (m < M senθ). 2. M g senθ > mg (cioè m > M senθ), allora la forza di attrito statico si opporrà ad un moto che porterebbe M a salire ed m a scendere. Se si considera il diagramma di corpo libero per i due corpi con i sistemi di riferimento come in figura, otterremo quindi: : 0; : 0; : 0. Otteniamo quindi: con ;. Da cui: 2.8 kg, che soddisfa la condizione iniziale imposta (m > M senθ).

3 b) Se m = M, siamo fuori dalle condizioni di staticità. Quindi il sistema comincerà a muoversi. In particolare il moto farà scendere m e salire M. In questo caso avremmo dunque: : ; : 0; :. Considerando che, otteniamo: e quindi (ricordando che m = M): m/s. c) Il sistema si muove con accelerazione costante. Su m avremo quindi le seguenti legge orarie (posizione e velocitò): Nel nostro caso, quando y(t) = -h si ottiene: ; m/s.

4 Esercizio 2 a) Quando a seguito di un urto due corpi restano attaccati formando un unico corpo, così come nel caso discusso dall esercizio, l urto viene definito completamente anelastico. Poiché nessuna forza esterna orizzontale agisce sul sistema, è possibile conservare la componente orizzontale della quantità di moto. Anche il momento angolare, rispetto al punto fisso del pendolo, si conserva perché il momento delle forze vincolari è nullo rispetto a tale polo. b) Per quanto osservato nel punto (a), possiamo scrivere l equazione di conservazione della quantità di moto:. da cui è possibile ricavare la velocità finale del sistema V. A seguito dell urto completamente anelastico, parte dell energia cinetica viene dissipata. Il suo valore in funzione della velocità iniziale è:. Poiché m < M il valore di E K è negativo (l energia è dissipata). c) Affinché il pendolo compia un giro completo di raggio l attorno al punto fisso, è necessario che vi sia una forza centripeta (F C ). Quest ultima può essere scritta in modo particolarmente semplice quando il pendolo si trova sulla verticale (rotazione di 180 ):, dove non riportiamo per semplicità il simbolo vettoriale perché sono tutte forze che agiscono lungo l asse y. La F C aumenta quanto maggiore è la tensione (T 0), dunque il suo valore minimo si avrà per T = 0 (solo sulla verticale). Possiamo allora scrivere:. Questa è la velocità minima che il corpo (m + M) deve avere dopo una rotazione di 180 affinché la fune resti in tensione. Trovandosi ad una quota 2l rispetto alla posizione di equilibrio stabile, il corpo (m + M) ha acquistato anche un energia potenziale. Conseguentemente, l energia meccanica totale del sistema è: 2. Poiché l energia meccanica del pendolo (da considerarsi dopo l urto!) si conserva, possiamo scrivere:

5 , dalla quale ricaviamo 5700 /. d) Nel caso di pendolo balistico con asta rigida, non è necessario che il corpo (m + M) abbia una velocità minima diversa da zero dopo una rotazione di 180 (l asta resta rigida anche senza una tensione applicata). In questo caso, la velocità può essere nulla e dunque l energia meccanica è solo potenziale quando il corpo è sulla verticale. Conseguentemente: dalla quale ricaviamo 2, 4626 /. Esercizio 3 b) Applicando il teorema del momento angolare, con riferimento al disegno mostrato in calce, si ottiene: d dl dv dv F dt dt dt dt m L att = M = M Rm = RFatt =, da cui si deduce che il modulo della velocità va riducendosi linearmente nel tempo fino ad annullarsi.

6 Esercizio 4 a) Per sfuggire all attrazione gravitazionale terrestre, un oggetto di massa m deve avere un energia totale almeno pari a 0. La velocità v f dalla Terra si ricava quindi dalla seguente espressione: km/s. Si noti che questa velocità è espressa in un sistema di riferimento solidale con il centro della Terra. b) La velocità v T della Terra si ottiene imponendo cha la sua accelerazione normale alla traiettoria moltiplicata per la massa della Terra sia uguale alla forza di attrazione esercitata dal sole: km/s. Si noti che questa velocità è espressa in un sistema di riferimento solidale con il centro del Sole. c) Un oggetto di massa m che viene lanciato dalla superficie Terrestre con velocità v S rispetto al Sole possiede un energia totale pari a: 2. Lanciando l oggetto con velocità v f rispetto alla Terra, questo avrà rispetto al Sole una velocità con modulo massimo pari a (v T + v f ) nel caso in cui l oggetto venga lanciato nella stessa direzione lungo la quale si sta spostando la Terra all istante del lancio. Si verifica che una velocità al momento del lancio con modulo pari a (v T + v f ) non è in grado di rendere positiva l energia totale dell oggetto.

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