LEZIONE # 13. σ = E ε. Nella figura 13.2 a lato sono riportati alcuni moduli di elasticità E per materiali metallici.

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1 LEZIONE # 13 L misur de deformzione costituisce un settore dee misure meccniche tr i più sviuppti e diffusi ne ingegneri industrie, nche come misur primri per determinzione sperimente di mote tre grndezze fisiche (tensione, forz, pressione ). Si trtt essenzimente di misurre ungmento o ccorcimento (positivo o negtivo) di pezzi meccnici su oro superficie. Ogni eemento meccnico tridimensione che bbi un dimensione prepondernte sue rimnenti, ovvero per i que si possibie individure un sse principe, come st sezione ciindric ne figur 13.1 to, qundo viene sottoposto d un crico ssie P, mnifest un ungmento d L 1 L 2 ne medesim dimensione ssie. L vrizione L2 L1 prende i nome di ungmento o deformzione ssout, mentre ungmento retivo ( L2 L1 )/ L1 viene definito deformzione ssie ε. Come è noto, non potendo un forz P ppict ssimente produrre un espnsione de voume di un pezzo metico, d un deformzione di ungmento ssie ε si ccompgn sempre un contrzione de sezione de st. I restringimento de sezione non è uniforme ungo sse ed è mssimo in corrispondenz de mezzeri de st; esso può essere vutto computndo diminuzione de dimetro (dimensione trsverse) de st D2 D 1. Si definisce deformzione trsverse ε t i restringimento retivo de dimetro de st ( D2 D1 )/ D1. I rpporto tr deformzione trsverse e que ssie definisce ε t i coefficiente di Poisson ν =. Essendo i segno di ε ed ε t ε sempre discorde, i coefficiente ν è sempre negtivo. Te coefficiente h un vore vribie, second de mterie di cui è costituito i pezzo, e in genere v d ν = 0.2 fino otre ν = 0.. Figur 13.1 Per cciio si consider spesso un vore di riferimento ν = 0.3. Si teng ben presente che si trtt di un vore nomine, somente rppresenttivo di un motepicità di csi rei. Se si conosce i moduo di Young E de mterie, not deformzione ε, è possibie ricvre i vore de tensione σ = E ε. Ne figur 13.2 to sono riportti cuni modui di esticità E per mterii metici. Figur 13.2 A.A. 2009/10 LEZ #13 pg. 1

2 In genere è richiest un misur puntiforme de deformzione, ovvero interess determinzione de deformzione su di un regione moto picco de pezzo in esme. Questo perché un dee ppiczioni fondmenti de misur di deformzione è individuzione dee zone dove si concentrno e tensioni su struttur in esme. Ciò non di meno, ve pen inizire o studio de misur de deformzione ccennndo gi ΔL strumenti che reizzno te misur utiizzndo direttmente definizione ε =. Questi L strumenti vengono chimti estensometri meccnici. Lo strumento è ppicto su pezzo metico medinte due cotei distnz 0, uno fisso e tro mobie. Qundo i pezzo viene soecitto trzione, come mostrto in figur 13.3, esso si ung, provocndo rotzione degi indici. Se i cotei sono unghi e indice è ungo b, confondendo ngoo con su tngente, è possibie scrivere per indiczione in uscit λ : = θ λ = b θ rpporto ve quindi ε = = 0 = λ b λ b 0 Figur 13.3 Si riconosce fcimente che non si trtt di un misur puntue e deformzione che si ottiene in uscit d dispositivo è un deformzione medi ungo i trtto 0. Se poi si tent di reizzre strumenti con 0 moto piccoo, misur diviene imprticbie in qunto i cotei incidono i pezzo e si h difficotà d ppicre e mntenere in oco o strumento. A cus dee msse in gioco, eseguire misure dinmiche risut qusi impossibie, nche qundo indictore meccnico viene sostituito d un rggio ser. Gi estensometri sono comunque strumenti ssi sensibii e tutt oggi sono utiizzti nee ppiczioni dove non si richiede determinzione dee deformzioni oci, oppure per trtur degi tri trsduttori di deformzione. Un esempio di estensometro forte mpificzione meccnic è riportto sotto ne figur 13.. Con te strumento si riescono rggiungere mpificzioni de ordine di 1000 vote i 0. A.A. 2009/10 LEZ #13 pg. 2

3 Figur 13. Gi estensometri sono nche utiizzti per crtterizzzione sttic di un mterie. Attrverso ppiczione di un crico d un provino di sezione not e misur de deformzione medi si ricostruiscono e curve sforzo-deformzione che definiscono bene se un mterie metico è duttie oppure frgie. Somente scopo di richimo, si riportno sotto in figur 13.5 i digrmmi di Hook per due mterii tipici: () duttie e (b) frgie. Figur 13.5 M i trsduttore di grn ung più utiizzto per misur dee deformzioni in cmpo industrie e scientifico è estensimetro eettrico resistenz. ε? ci si chiede, qu è grndezz in uscit? Estensimetro A.A. 2009/10 LEZ #13 pg. 3

4 Un prim rudimente reizzzione di estensimetro eettrico resistenz è riportt sotto ne figur Si trtt sempicemente di un pezzetto di fio F con resistenz, isoto eettricmente d pezzo sottostnte per mezzo di un bsett m reso soide i propri estremi con i pezzo stesso. Figur 13.6 Per qunto schemtico, te dispositivo funzion sugi stessi principi fisici dei moderni estensimetri fogio fotoinciso. L egge fisic di riferimento è rezione che esprime resistenz per mezzo de resistività specific de mterie de fio e dee sue crtteristiche geometriche = ρ. S Qundo i pezzo è soecitto in trzione, vrino unghezz e sezione S de fio, come se si trttsse di un provino ciindrico soide pezzo, nch esso soecitto in trzione. Vri nche resistività ρ cus de deformzione de reticoo cristino; purtroppo te vrizione non può essere espress in modo gevoe con un rezione mtemtic. L estensimetro fio rppresent ntento dei moderni trsduttori di deformzione. De prime prove, emerse però subito che con un singoo fio dritto, per qunto sottie, non si riusciv produrre vrizioni di resistenz misurbii in modo ffidbie ed ccurto con uno strumento commercie, nche qundo e deformzioni de pezzo sottostnte erno ingenti. Per questo trsduttore primordie emergev subito un difetto di sensibiità. L resistenz di bse er troppo bss. Per ovvire te probem venne proposto qusi subito di ungre i fio m, per non estendere di nuovo troppo unghezz di bse 0 su que misurre deformzione, si scese di ripiegre i fio form di serpentin e di incudero tr due fogi di crt. Er nto estensimetro grigi i cui schem è riportto di finco ne figur I fio può vere un sezione S di ppen 1/100 di miimetro, questo permette di imitre unghezz de fio in modo d reizzre un grigi con superficie tote di pochi mm 2. Figur 13.7 A.A. 2009/10 LEZ #13 pg.

5 Gi ccorgimenti ppen esposti consentono di vere un grigi con resistenz di bse che vri tr i Ω. Un trsduttore così concepito fornisce, in funzione dei vori di deformzione che normmente si osservno sui pezzi soecitti, vrizioni di resistenz in uscit pprezzbii con sicurezz. Dte e dimensioni ridotte, gi estensimetri grigi eseguono egregimente misure puntui de deformzione e sono nche in grdo di effetture misure dinmiche con frequenze di tgio fino 100kHz. Per ricvre curv di grduzione de trsduttore estensimetro eettrico resistenz, si effettu derivt ogritmic de rezione fisic di bse: = ρ S Estensimetro eettrico vendo un grndezz in ingresso espress in termini retivi, h senso esprimere in termini retivi nche grndezz di uscit! si h: derivndo: essendo: rimne: n = n ρ = n ρ + n n S S 1 d 1 dρ 1d 1 ds = + pssndo e differenze finite con Δ posto de d dt ρ dt dt S dt Δρ ΔS = + potendo considerre i Δt tutti egui, si sempificno ρ S 2 D ds π dd ΔS π ΔD π S = π = 2D = D Δ S = D ΔD dt dt Δt 2 Δt 2 π D ΔD ΔS 2 ΔD = = 2 = 2 εt S π 2 D D Δρ ΔD Δρ Δρ = + 2 = + ε 2ε t = + ε + 2 νε ρ D ρ ρ essendo i segno di ε t discorde con queo di ε. Esprimendo sensibiità come rpporto de vrizione retiv tr uscit ed ingresso de trsduttore: Δρ ρ F = = +1+ 2ν Immginndo per un ttimo di vere un vrizione de resistività Δρ nu in funzione de deformzione e considerndo un coefficiente di Poisson nomine di ν 0. 3 si otterrebbe d ccoo un sensibiità F Purtroppo vrizione Δρ/ρ non è nu ed è nche incognit! I costruttori di estensimetri procedono quindi ttrverso operzioni di trtur, si deformndo fii iberi, si deformndo un certo numero di trsduttori finiti, estrtti d otto di produzione. I vori A.A. 2009/10 LEZ #13 pg. 5

6 de sensibiità che si ottengono d trtur di estensimetri per cciio e per uminio sono qusi sempre di F 2. Non soo i contributo di Δρ/ρ ument sensibiità de trsduttore, m fortuntmente, come evidenzito sotto ne figur 13.8, risut nche essere costnte per moti mterii fino deformzioni de 5 6 % quindi, i ftto di non conoscere egge di vrizione de resistività in funzione de deformzione ρ = ρ( ε ) non imit utiizzzione prtic degi estensimetri eettrici resistenz. Figur 13.8 In definitiv, è possibie esprimere curv di grduzione degi estensimetri eettrici resistenz con sempice rezione: = F ε dove i fttore F prende i nome di fttore di trtur, proprio per i modo con i que viene ricvto i suo vore, medinte trtur, ppunto. Ne prtic i vore di F è sempre fornito d costruttore. Esso rppresent nche mpificzione intrinsec de trsduttore. Per ottenere fttori F sensibimente mggiori di 2 si deve ricorrere trsduttori con un principio di funzionmento differente: gi estensimetri piezoresistivi semiconduttore. Per questi trsduttori è possibie esprimere vrizione di resistività direttmente Δρ in funzione deo stto di soecitzione = π ij σ ttrverso mtrice π dee costnti ρ piezoresistive. Ciò non di meno, gi estensimetri piezoeettrici sono poco utiizzti cus de oro non inerità e di un cert deictezz intrinsec che ne imit utiizzo in mbito industrie. Gi estensimetri eettrici resistenz sono oggi prodotti otti con tecniche di fotoincisione medinte rggi ser, per sportzione di mterie conduttore d fogio pieno. Ne consegue che i A.A. 2009/10 LEZ #13 pg. 6

7 fii non hnno più sezione circore m risutno ppittiti su supporto isonte. Queste tecniche di produzione vnzte consentono di ottenere d un'unic mtrice decine di trsduttori e con e forme più vrie. In t modo sono stti resi disponibii gi utenti estensimetri mutigrigi, cpci di misurre deformzione ungo più direzioni, come iustrto sotto ne figur Nei csi in figur è possibie misurre deformzioni : () trzione & compress. (b) XY con ssi 90 (c) rosett con ssi 120 (d) rdie e circonferen. Figur 13.9 Si teng nche presente che gi estensimetri sono trsduttori monouso, ovvero un vot incoti su pezzo non possono più essere stccti per essere riutiizzti. Per qunto rigurd e procedure di incoggio degi estensimetri, esse rppresentno un fse non secondri ne procedimento di misur estensimetrico, sono quindi rigidmente prescritte di costruttori. Essendo i conti studiti per trsferire megio deformzione d pezzo trsduttore, per non introdurre errore d inserzione oce, essi risutno piuttosto estici, quindi è importnte che o strto di conte si qunto più sottie possibie. Si teng presente che tuni errori ne fse di ppiczione, qui un errto posizionmento, i dnneggimento de isomento eettrico tr grigi e i pezzo, o incusione tr bsett ed i pezzo di micro-boe d ri, possono dr uogo d inconvenienti che inficino competmente misur de deformzione. Gi estensimetri grigi fotoincis non sono infine esenti d errori dovuti sensibiità trsverse, ovvero risentono in quche misur di un eventue deformzione che gisce su pezzo in direzione trsverse direzione de grigi. I probem è iustrto sotto ne figur e, non sempre può essere ritenuto trscurbie. A.A. 2009/10 LEZ #13 pg. 7

8 Figur E dunque possibie schemtizzre un trsduttore estensimetrico con i bocco: ε Estensimetro eettrico Purtroppo, qundo si eseguono misure con gi estensimetri, in uscit d trsduttore non si ottiene somente vrizione di resistenz dovut deformzione meccnic de pezzo, indict d curv di grduzione = F ε. Gi estensimetri eettrici sono trsduttori pssivi, per funzionre hnno bisogno di essere imentti. L corrente che scorre ne grigi, per effetto Joue, provoc un riscdmento de fio e ne innz tempertur di un ΔT. Ciò signific che, insieme vrizione di resistenz dovut deformzione meccnic de pezzo, si h in uscit d ' trsduttore un contributo termico ggiuntivo = α ΔT, dove con α si è indicto i coefficiente termico di resistenz de mterie che costituisce i fio de estensimetro. Qundo si effettuno misure tempertur mbiente, corrente di imentzione de estensimetro è principe responsbie de riscdmento, m qundo e misure vengono effettute in condizioni mbienti severe, con temperture oci ssi diverse d que stndrd (25 C), estensimetro può vrire propri tempertur ssorbendo core d esterno. Quunque si cus di vrizione de tempertur de grigi, ess produce i contributo termico ggiuntivo riportto sopr. Come se A.A. 2009/10 LEZ #13 pg. 8

9 ' non bstsse, i riscdmento de grigi provoc un ungmento termico de fio = β ' ΔT. Essendo estensimetro in intimo conttto con i pezzo, i riscdmento ΔT provoc (ocmente) '' nche un ungmento de mterie sottostnte estensimetro = β '' ΔT, che non srà genermente egue queo de grigi. Ne risut un ungmento differenzie tr grigi de estensimetro e i mterie de pezzo sottostnte = ( β ' β '') ΔT che produce in uscit un '' secondo contributo termico = F = F ( β ' β '') ΔT. In definitiv, si ottiene in uscit: 1) = F ε dovut soecitzione meccnic! 2) T = [ α + F( β ' β '')] Δ T dovut somente gi effetti termici! i contributo (2) può ingnnre utente perché ppre in uscit d trsduttore come un ver e propri deformzione fittizi. Per questo motivo, ess prende i nome di deformzione pprente: 1 T α ε pp = = ( ) ΔT F + β ' β '' F Poiché i coefficienti α e β dipendono d mterie de fio de grigi mentre β dipende d mterie de pezzo sottostnte, è possibie minimizzre i contributo termico se si riesce α reizzre α + F ( β ' β '') = 0 ovvero = β '' β '. Gi estensimetri che riescono d pprossimre F te rezione si dicono utocompensti in tempertur. Si osservi che utocompenszione dipende d vore β de mterie sottostnte estensimetro e si reizz somente se estensimetro è incoto su mterie pproprito (cciio o uminio). In tre proe, gi estensimetri sono utocompensti in tempertur per un soo mterie, indicto d costruttore. Si teng presente infine che utocompenszione in tempertur non è mi perfett e dipende nzi d tempertur di voro degi estensimetri, come iustrto sotto ne figur Figur A.A. 2009/10 LEZ #13 pg. 9

10 Si consideri or esempio seguente: Se ε = 1, qunto mmont vrizione de resistenz = ε F d rievre se si st F misurndo un deformzione di 100μm/m con un estensimetro d 120Ω? 6 = Ω = 0.02Ω = 2mΩ con un vrizione de resistenz di soo o 0.02 % conviene utiizzre un metodo di zero. Te metodo è disponibie e si mette in prtic coegndo gi estensimetri ponte di Whetstone. I benefici derivnti d coegmento ponte di Whetstone verrnno iustrti ttrverso o studio de misur dee soecitzioni sempici. Per misur de deformzione di trzione si può fre riferimento coegmento riportto ne figur 13.12, dove e resistenze di competmento de ponte (3) e () sono stte ingobte ne potenziometro di zzermento D. Si immgini di effetture misur de deformzione di trzione de provino tempertur stndrd (25 C), medinte un soo estensimetro (1), incoto con grigi dispost ongitudinmente con sse de provino. Vgono contempornemente e rezioni: Δe = E 1 ε = 1 F che combinte tr oro dnno: Figur Δe 1 = Fε E 1 Δe = EF ε In definitiv, è come se vessimo coegto i trsduttore d un eemento di mnipozione de segne, per cui si può schemtizzre nuov cten come segue: / ε EST WB Δe curv di grduzione è que sopr! L estensimetro (2) non subisce cun deformzione in qunto è incoto su un pezzo deo stesso mterie de provino, posto di finco, e non è soecitto meccnicmente. Esso subisce però e medesime vicissitudini termiche di (1). I contributi termici (ε pp ) dei due estensimetri sono egui. A.A. 2009/10 LEZ #13 pg. 10

11 T 1 T 2 Ve inftti = = [ α + F( β ' β '')] ΔT m se i trsduttori vengono coegti come in figur su rmi contigui de ponte di Whetstone, i T Δe si eidono: 1 T T 1 T = 2 = 0 E Un coegmento pproprito degi estensimetri ponte di Whetstone consente quindi di eiminre intrinsecmente gi indesiderti effetti termici. Se, i fini de misur di deformzione, si vuoe rendere utie nche estensimetro (2) si potrebbe incore i trsduttore su pezzo soggetto deformzione con grigi rivot trsversmente sse di deformzione, come indicto ne figur di sotto. Ferm restndo eiminzione intrinsec dei contributi termici, un te configurzione comport che estensimetro (2) misur deformzione di contrzione trsverse de provino ε t = ν ε dove con ν si è indicto i coefficiente di Poisson. Figur in questo modo curv di grduzione de insieme estensimetri + ponte WB diviene: Δe = E F F F ( ε ε ) = ( ε ( νε )) = ε ( 1+ ν ) t i fttore tr prentesi ( +ν ) 1 prende i nome di fttore di ponte e rppresent un mpificzione ggiuntiv che si ottiene soo in virtù de disposizione opportun de estensimetro (2) su pezzo e de coegmento dei due trsduttori ponte di Whetstone su rmi contigui. Voendo rddoppire uteriormente i fttore di ponte, srebbe possibie ppicre su provino tri due estensimetri in modo specure i primi due, come indicto sopr ne figur Te disposizione competerebbe i ponte con tutti e quttro i rmi ttivi e consente di ottenere un fttore di ponte mssimo 2( 1+ν ) Le ε pp dovute i contributi termici sono ncor un vot eiminte d proprietà dei segni ternti de ponte. Un tbe con tutte e possibii configurzioni di estensimetri per misur de trzione è riportt titoo di esempio qui sotto. A.A. 2009/10 LEZ #13 pg. 11

12 Per misur dee deformzioni di fessione, è possibie fre riferimento configurzione riportt sotto ne figur I ponte di Whetstone è i medesimo de cso precedente. Figur 13.1 come si vede, per eiminre i contributi termici ed umentre i fttore di ponte, estensimetro (2) viene coegto su fcci inferiore de min sottopost fessione. In questo modo si ottiene che estensimetro (1) ppicto sue fibre tese, riev deformzioni di trzione, mentre estensimetro (2) ppicto sue fibre compresse, riev deformzioni di compressione, di intensità A.A. 2009/10 LEZ #13 pg. 12

13 egue (1) m di segno opposto. Per curv di grduzione de dispositivo estensimetri + ponte Δe 1 di Whetstone si ottiene in questo cso = F( ε f 1 ε f 2 ). E Δe F F F M essendo ε f 2 = ε f 1 si ottiene subito = ( ε f 1 ( ε f 1 ) = 2ε f = ε f con fttore di ponte E 2 egue 2. E possibie umentre i fttore di ponte competndo i ponte con tri due estensimetri, coegti finco dei primi due come mostrto sotto ne figur Figur Un tbe con tutte e possibii combinzioni di coegmento degi estensimetri per misur de deformzione di fessione è riportt qui di seguito A.A. 2009/10 LEZ #13 pg. 13

14 E nche possibie trre o strumento termine direttmente in unità di misur de momento fettente M f. Si noti che nee ppiczioni rei, gi stti tensioni e e deformzioni che ne conseguono non si presentno qusi mi in form sempice, seprti uno d tro m esistono tutti contempornemente in sovrpposizione su pezzo in esme. Di ciò si deve tenere conto qundo si nizz i segne proveniente d un ponte estensimetrico, come rissunto ne cso de trzione + fessione de figur di to. Figur Un esempio importnte di stto tensione bissie è rppresentto d misur de deformzione di torsione di un bero. Le direzioni principi de tensione su superficie ciindric estern si trovno ungo e eiche incinte di 5 rispetto sse de bero. Lungo queste direzioni vnno coocti, come indicto ne figur 13.17, gi estensimetri mezzo ponte o ponte intero. Per e deformzioni rievte di singoi trsduttori ve rezione: ε1 = ε3 = ε 2 = ε. I ponte di Whetstone viene configurto competmente bordo de bero e, ne cso moto frequente di un bero sottoposto torsione, perché trsferisce un potenz meccnic ( W = C ω ) medinte rotzione ω, occorre prevedere un metodo per invire bero rotnte corrente di imentzione de ponte e preevre d bero rotnte i segne di squiibrio Δe. I più dee vote è sufficiente un sistem conttti striscinti. A.A. 2009/10 LEZ #13 pg. 1

15 Figur L configurzione ponte intero su bero è preferit, si per minimizzre infuenz dee resistenze dei conttti striscinti che invino i segne fuori d bero rotnte, si per motivi di compenszione dee possibii deformzioni ssii o di fessione che potrebbero esistere su bero. Δe F F L curv di grduzione è = ( ε1 ε 2 + ε 3 ε ) = ε 5 con fttore di ponte. E Dentro sezione de bero sottoposto torsione, tensione di tgio ument procedendo ungo i rggio, d centro verso periferi, e rggiunge i vore mssimo τ mx = 2ε 5 G proprio su superficie estern, come indicto sotto in figur Con G si è indicto i moduo di esticità tngenzie de mterie mentre ε 5 è deformzione rievt d ciscun estensimetro ungo e eiche di mssim tensione. Figur A.A. 2009/10 LEZ #13 pg. 15

16 I momento torcente M t su superficie può essere ccoto come: dove J p è i momento d inerzi pore de sezione de bero. M t 2τ mx J p ε = = d 5 G J d p Anche ngoo γ de deformzione di scorrimento tngenzie su superficie de bero e rotzione retiv φ di due sezioni de bero distnz possono essere ccoti prtire d misur de deformzione di torsione. Per ngoo di scorrimento γ ve sempice rezione: Figur γ τ mx = 2ε G = 5 J p mentre per ngoo di rotzione retiv φ dee sezioni si h: ϕ 2 γ = ε d = 5 Esistono in commercio mote centrine per e misure estensimetriche, qusi tutte sono equipggite con ponti di Whetstone. Ciscun ponte può ccomodre d uno quttro estensimetri, second dee circostnze e dee necessità. In gergo un singoo ponte viene chimto cne estensimetrico. d J p Ogni cne estensimetrico deve vere possibiità di essere bincito, per mezzo di reostti interni, e di essere trto per mezzo di resistenze di shunt, e qui simuno eettricmente un deformzione not su rmo de ponte. L ε eettric si ottiene, come mostrto to in figur 13.20, connettendo tempornemente in preo d un rmo de ponte un resistenz not, che produrrà quindi su que rmo un vrizione g s = F ε eettric dove Δ = g + g g s Figur Uno schem di principio per un tipico cne estensimetrico è riportto titoo d esempio ne figur 13.21, mentre uno schem eettrico competo di regotore de imentzione de ponte, di reostti di bincimento e di resistenze di shunt per cibrzione è riportto sotto ne figur A.A. 2009/10 LEZ #13 pg. 16

17 Figur Figur Note: Figure 13.6 courtesy of: Brnc F.P. Misure Meccniche ed. ESA Figure 13.2, 13.3, 13., 13.5, 13.8, 13.10, 13.11, 13.13, 13.15, 13.16, 13.17, 13.18, 13.19, courtesy of: Doebein E.O. Mesurement systems, ppiction nd design McGrw Hi Figure 13.1, 13.7, 13.9, 13.12, 13.1, 13.20, courtesy of: Bechwith, Mrngoni, Lienhrd Mechnic Mesurements Addison & Wesey A.A. 2009/10 LEZ #13 pg. 17

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