Metodi Matematici per l Economia

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1 Metodi Matematici per l Economia Prof. Antonio Carbone Corso di Laurea in Economia Aziendale Disciplina Metodi Matematici per Economia Settore Disciplinare SECS-S/06 Metodi Matematici dell Economia e delle Scienze Attuariali e Finanziarie Il corso intende fornire agli studenti le conoscenze di base Obiettivi Formativi degli strumenti di Matematica che sono di largo utilizzo nello studio e nelle applicazioni dell Economia e della Finanza. Numero crediti 5+5 Propedeuticità Nessuna Modalità di svolgimento del Lezioni frontali ed esercitazioni per complessive ore 60 (30 corso per il Modulo 1 e 30 per il Modulo 2) Modalità di svolgimento dell'esame 1. L'esame consta di due parti: una prova scritta ed una prova orale. Modalità di svolgimento dell esame e valutazione 2. La prova scritta ha la durata di 90 minuti: durante il suo svolgimento non é consentito di uscire dall'aula per nessun motivo ed é consentito di ritirarsi entro 15 minuti dall'inizio della prova stessa. Durante la prova é consentito l'uso di un testo istituzionale e degli appunti di lezione. Non é consentito l'uso di eserciziari e di calcolatrici grafiche. 3. Il superamento della prova scritta consente di sostenere l'esame orale unicamente nell'appello al quale si riferisce la prova stessa. 4. Lo studente deve presentarsi sia alla prova scritta che a quella orale con un valido documento di riconoscimento e con libretto universitario (se ne è già in possesso); in caso contrario sarà escluso dalla prova stessa. 5. I compiti con esito negativo possono essere presi in visione solo dallo studente interessato unicamente in una riunione appositamente fissata ed indicata contestualmente agli esiti della prova scritta. Dopo tale riunione, gli elaborati

2 vengono cestinati. Eventuali osservazioni sulle prove scritte sufficienti potranno essere fatte durante la prova orale. 6. Gli orali si svolgono in ordine alfabetico, a partire da una lettera estratta a sorte durante la prova scritta. La lettera estratta verrà comunicata assieme ai risultati della prova scritta. Alla fine della prova orale, all'atto della firma del verbale, lo studente é pregato di controllare la completezza e l'esattezza del verbale stesso. Contenuti del corso Il corso è diviso in due moduli, ciascuno articolato in 30 ore di lezione frontale. Il primo modulo è propedeutico al secondo. Prerequisiti (argomenti trattati nel corso di Recupero dei debiti formativi nell area logico-matematica) Insiemi Specificazione di un insieme - Eguaglianza fra insiemi - Insieme vuoto - Operazioni fra insiemi: unione, intersezione, inclusione - Differenza fra due insiemi - Complementare di un insieme - Insiemi disgiunti - Insieme delle parti di un insieme - Prodotto cartesiano di due insiemi. Contenuti Numeri Cenni sui numeri naturali, interi, razionali - Irrazionalità di - I numeri reali - Intervalli della retta reale. Nozioni di topologia su R La retta reale - La retta reale ampliata - Intervalli - Intorno di un punto - Intorno circolare - Intorno bucato - Punto di accumulazione - Insiemi inferiormente limitati, superiormente limitati, limitati - Estremo inferiore ed estremo superiore di un sottoinsieme di numeri reali - Caratterizzazione dell'estremo inferiore e dell'estremo superiore di un sottoinsieme di numeri reali - Massimo e minimo di un sottoinsieme di numeri reali. Funzioni reali di una variabile reale Definizione di funzione - Dominio e codominio - Funzioni iniettive, suriettive, biiettive - Funzioni inferiormente

3 limitate, superiormente limitate, limitate - Restrizione di una funzione - Massimi e minimi relativi e assoluti. Funzioni elementari: funzione di Kronecher - Funzione valore assoluto - Funzione razionale intera di 1 grado e forme particolari (funzione identica, funzione costante) - Funzione razionale intera di 2 grado - Funzione potenza n- esima - Funzioni trigonometriche. Funzioni strettamente crescenti, crescenti, strettamente decrescenti, decrescenti - Funzione composta - Funzione esponenziale - Funzione logaritmica - trigonometriche. Disequazioni. Testi di riferimento E.Allevi-M.I.Bertocchi-C.Birolini-G.Carcano- A.Gnudi-S.Moreni, Manuale Modulare di Metodi Matematici, Modulo 1 Calcolo a cura di Stefania Moreni, G.Giappichelli Editore, Torino E.Allevi-M.I.Bertocchi-C.Birolini-G.Carcano- A.Gnudi-S.Moreni, Manuale Modulare di Metodi Matematici, Modulo 2 Insiemi e spazi numerici a cura di Claudio Birolini, G.Giappichelli Editore, Torino Primo Modulo: Elementi di analisi combinatoria -Principio di induzione - Successioni numeriche Serie numeriche Algebra lineare. Elementi di analisi combinatoria Disposizioni, permutazioni, combinazioni; coefficienti binomiali; sviluppo della potenza di un binomio. Principio di induzione Successioni numeriche Definizione di successione, esempi, ricostruzione del termine generale di una successione, rappresentazioni grafiche; successioni definite per ricorrenza: successioni aritmetiche, successioni geometriche, proprietà grafiche, interesse semplice, interesse composto; successioni monotone, successioni limitate; comportamento asintotico di una successione, esempi per via grafica, concetto di limite, successioni convergenti, divergenti, irregolari, operazioni con i limiti, limite di polinomi e del rapporto di polinomi; limite di successioni monotone, limite di successioni

4 aritmetiche e geometriche; il numero e. Serie numeriche Definizione di serie, convergenza, esempi, serie geometriche e numeri periodici, qualche criterio di convergenza per le serie a termini non negativi e convergenza delle serie a segni alterni; applicazioni: valore attuale di una rendita. Algebra lineare Lo spazio R n - Vettori di R n - Operazioni di somma fra vettori di R n e di prodotto di uno scalare per un vettore di R n. Spazi vettoriali - Sottospazi vettoriali. Vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti. Generatori, basi e dimensione di uno spazio vettoriale. Matrici - Matrici particolari - Operazioni sulle matrici: somma, prodotto per uno scalare, prodotto fra due matrici. Determinanti - Calcolo di un determinante con la 1a regola di Laplace. Inversa di una matrice. Rango di una matrice - Teorema di Kronecker. Sistemi lineari: compatibilità e determinatezza - Teorema di Rouchè-Capelli - Regola di Cramer. Sistemi omogenei - Sistemi parametrici. Applicazioni lineari - Matrice associata ad un'applicazione lineare. Immagine, nucleo di un'applicazione lineare - Il teorema delle dimensioni. Applicazioni lineari iniettive, surettive - Isomorfismi - Endomorfismi. Autovalori, autovettori, autospazi. Secondo Modulo: Limiti di funzioni reali di una variabile reale Funzioni continue - Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale - Calcolo integrale - Elementi di calcolo differenziale per funzioni di due (o più di due) variabili. Limiti di funzioni reali di una variabile reale Definizione di limite di una funzione in un punto - Definizione di funzione divergente (negativamente, positivamente) in un punto. Teorema di unicità del limite - Limiti laterali - Condizione

5 necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite di una funzione in un punto. Algebra dei limiti: limiti di somma, prodotto, quoziente. Funzioni infinitesime, funzioni infinite - Principio di sostituzione degli infinitesimi - Principio di sostituzione degli infiniti. Limiti di forme indeterminate per la somma, la differenza, il prodotto, il quoziente di funzioni. Confronto fra funzioni infinitesime, confronto fra funzioni infinite - I simboli di Landau: "o" e "~ ". Teorema della permanenza del segno - Teorema del confronto - Limiti notevoli - Relazioni asintotiche - Uso delle relazioni asintotiche nel calcolo dei limiti. Funzioni continue Definizione di funzione continua in un punto e di funzione continua in un intervallo - L'insieme C ([a, b]). Continuità della combinazione lineare di due funzioni continue - Continuità del prodotto e del quoziente di due funzioni. Discontinuità di una funzione - Classificazione dei punti di discontinuità. Teorema globali sulle funzioni continue: 1 Teorema di Weierstrass (sui valori intermedi) - 2 Teorema di Weierstrass (di limitazione globale o di esistenza dei massimi e minimi assoluti) - Teorema di Bolzano (degli zeri) - Continuità della funzione composta. Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale Definizione di derivata - Interpretazione geometrica - Derivata sinistra e derivata destra - Legame tra derivabilità e continuità di una funzione in un punto - Retta tangente- Derivata delle funzioni elementari - Algebra delle derivate - Derivate successive - Derivata di funzioni composte. Legami fra il segno della derivata prima e la monotonia di una funzione. Crescenza e decrescenza di una funzione - Massimi e minimi relativi interni. Punti di non derivabilità: punti angolosi, punti cuspidali, punti a tangente verticale. Caratterizzazione dei massimi e minimi locali relativi.

6 Studio delle forme indeterminate: i teoremi di De L'Hospital. Calcolo integrale Primitive di una funzione - Metodi di integrazione: per decomposizione in somma, per parti, per sostituzione. Integrale definito e sua interpretazione geometrica Legame fra integrale definito e integrale indefinito. Calcolo differenziale per funzioni reali di due (o più di due) variabili reali Dominio, linee di livello, curve di indifferenza; limiti di funzioni in più variabili, derivate parziali e differenziale: equazione del piano tangente (cenni); condizioni necessarie del primo ordine per la determinazione dei massimi e minimi, esempi di soluzione di problemi di ottimizzazione libera e vincolata. Bibliografia d esame Testi consigliati e bibliografia di riferimento L.Scaglianti-A.Torriero, Matematica, Metodi e Applicazioni, Cedam, Padova M.Scovenna-A.Grassi, Matematica, Esercizi e temi d esame completamente risolti, Cedam, Padova L.Peccati S.Salsa A.Squellati, Matematica, per l Economia e l Azienda, Egea, Milano G.Anichini-G.Conti, Calcolo 1, Funzioni di una variabile, Pitagora Editrice, Bologna G.Anichini-G.Conti, Calcolo 2, Algebra lineare e geometria analitica, Pitagora Editrice, Bologna G.Anichini-G.Conti, Calcolo 3 Funzioni di più variabili e modelli matematici Pitagora Editrice, Bologna V.Aversa, Metodi quantitativi delle decisioni, Liguori Editore, Napoli V.Aversa-E.Melis, Appunti di Matematica-Introduzione ai corsi di Matematica di primo anno, Cedam, Padova G.C.Barozzi- C.Corradi, Matematica generale per le scienze economiche, il Mulino, Bologna M.Bertocchi-S.Stefani-G.Zambruno, Matematica per l'economia e la finanza, McGraw-Hill Italia, Milano A.Guerraggio, Matematica Generale, Bollati Boringhieri, Torino A.Carbone-V.Marino, Esercizi di Algebra lineare e geometria, Pàtron Editore, Bologna G.Conti-R.Rossi, 100 funzioni di esame risolte, Pitagora

7 Editrice, Bologna F.Modesti-E.Salinelli-M.Vignati, Matematica Generale, Esercizi e complementi, Giappichelli Editore, Torino Il numero delle ore a disposizione e gli obiettivi del corso impongono contenuti e metodologie che solo in parte di possono ritrovare sui testi indicati. Pertanto si potrà fare riferimento alle dispense delle lezioni del docente che saranno rese disponibili di volta in volta.

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