Matematica Generale a.a. 2016/17 Teoremi dimostrati nel corso. 1 Funzioni ad una variabile

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1 Matematca Generale a.a. 2016/17 Teorem dmostrat nel corso. ATTENZIONE!!!!. Nel corso d matematca generale sono stat presentat teorem per qual è rchesta la conoscenza del solo enuncato e teorem de qual è stata data anche la dmostrazone. Per conoscere l elenco completo de teorem enuncat nel corso, e qund rchest n sede d prova d esame, lo studente può consultare regstr delle lezon, dsponbl alla sezone Lnk a regstr delle lezon del sto: https://moodle.ec.unp.t/course/vew.php?d=385 In questo documento sono rportat esclusvamente teorem per qual è rchesta anche la dmostrazone. 1 Funzon ad una varable Teorema 1.1 (Teorema della permanenza del segno) Sa f : X R, X R, x 0 X punto d accumulazone d X. Se lm f(x) = l 0, allora esste un ntorno I x x0 del punto x 0, tale che f assume lo stesso segno d l per ogn x I, x x 0. Dmostrazone. Dalla defnzone d lmte s ha che per ogn ntorno d l d raggo ɛ > 0, esste un ntorno I d raggo δ > 0, I = (x 0 δ, x 0 + δ), tale che x I, x x 0, s ha l ɛ < f(x) < l + ɛ. Se l > 0, la tes è dmostrata sceglendo ɛ l. In questo caso nfatt, esste un ntorno I tale che 0 l ɛ < f(x) per ogn x I, x x 0. Analogamente, se l < 0, la tes è dmostrata sceglendo ɛ l. In questo caso esste un ntorno I tale che f(x) < l + ɛ 0 per ogn x I, x x 0. Teorema 1.2 (Teorema degl zer) Sa f : [a, b] R una funzone contnua tale che f(a)f(b) < 0. Esste allora un punto x (a, b) tale che f( x) = 0. Dmostrazone. Per l Teorema d Weerstrass, f ammette valore massmo e mnmo e tutt valor compres tra l massmo ed l mnmo. Indchamo con M l valore massmo e con m l valore mnmo. Poché f(a)f(b) < 0, s ha m < 0 e M > 0. Poché f assume tutt valor compres tra m < 0 e M > 0, esste un punto x (a, b) tale che f( x) = 0. Teorema 1.3 (Rapporto tra dervabltà e contnutà) Sa data una funzone f : X R, x 0 X punto nterno. Se f è dervable n x 0 allora f è contnua n x 0. 1

2 Dmostrazone. Dobbamo calcolare lm x x0 f(x). Per defnzone d lmte, x x 0 e qund lm f(x) = lm x x 0 (f(x) f(x 0 ) + f(x 0 )) x x0 ( f(x) f(x0 ) (x x 0 ) + f(x 0 ) x x 0 = lm x x0 Per la contnutà delle funzon y(x) = f(x 0 ) e g(x) = x x 0 e per l potes d dervabltà della funzone f, possamo applcare teorem sulla somma e prodotto de lmt da cu rsulta ( ) f(x) f(x0 ) lm f(x) = lm (x x 0 ) + f(x 0 ) x x 0 x x0 x x 0 = f (x 0 ) 0 + f(x 0 ) = f(x 0 ) ) ovvero, f è contnua n x 0. Teorema 1.4 (Condzone necessara d ottmaltà del I ordne o Teorema d Fermat) Sa f : X R, x 0 X, punto nterno ed f dervable n x 0. Se x 0 è punto d massmo o d mnmo relatvo per f, allora f (x 0 ) = 0. Dmostrazone. Per assurdo supponamo f (x 0 ) 0; dalla defnzone d dervata s ha f(x) f(x 0 ) lm = f (x 0 ) x x 0 x x 0 Se f (x 0 ) > 0, per l teorema della permanenza del segno, esste un ntorno I x0 d x 0 tale che f(x) f(x 0) > 0 per ogn x I x0, x x 0. Ne consegue che x x 0 { f(x) > f(x0 ) per x > x 0, x I x0 f(x) < f(x 0 ) per x < x 0, x I x0 ovvero x 0 non può essere né un punto d massmo né un punto d mnmo e questo contraddce l potes. In modo del tutto analogo s dmostra che non può essere f (x 0 ) < 0, da cu la tes. Teorema 1.5 (Teorema d Rolle) Sa f una funzone defnta e contnua nell ntervallo chuso e lmtato [a, b] e dervable nell ntervallo aperto (a, b), con f(a) = f(b). Esste allora almeno un punto x 0 (a, b) tale che f (x 0 ) = 0. 2

3 Dmostrazone. Poché f è defnta e contnua n un ntervallo chuso e lmtato [a, b], per l teorema d Weerstrass, f assume massmo e mnmo valore. Indchamo con M ed m rspettvamente l massmo ed l mnmo valore d f. Se M = m, f è costante e qund qualsas punto x 0 nterno all ntervallo soddsfa la tes del teorema n quanto la dervata d una costante è la funzone nulla. Se M m, poché f(a) = f(b), f assume almeno uno de due valor M o m n un punto nterno x 0 e qund, per l Teorema d Fermat, s ha f (x 0 ) = 0. Teorema 1.6 (Teorema d Lagrange) Sa f una funzone defnta e contnua nell ntervallo chuso e lmtato [a, b] e dervable nell ntervallo aperto (a, b). Allora esste almeno un punto x 0 (a, b) tale che f (x 0 ) = f(b) f(a) b a. Dmostrazone. Consderamo la seguente funzone auslara F (x) = f(x) f(b) f(a) (x a) b a e dmostramo che F soddsfa le potes del teorema d Rolle. Osservamo che f(b) f(a) (x a) è un polnomo d I grado e qund è una funzone b a contnua e dervable. D conseguenza, la funzone F è contnua nell ntervallo [a, b] perché dfferenza d funzon contnue e dervable nell ntervallo aperto (a, b) perché dfferenza d funzon dervabl n (a, b). Verfchamo che F (a) = F (b). f(b) f(a) F (a) = f(a) (a a) = f(a) b a f(b) f(a) F (b) = f(b) (b a) = f(b) f(b) + f(a) = f(a) b a Poché le potes del Teorema d Rolle sono verfcate, esste almeno un punto x 0 (a, b) tale che F (x 0 ) = 0. Essendo F (x) = f (x) f(b) f(a) rsulta b a da cu f (x 0 ) = F (x 0 ) = f (x 0 ) f(b) f(a) b a = 0 f(b) f(a). b a Teorema 1.7 (Conseguenze del Teorema d Lagrange.) Sa f una funzone defnta e contnua n un ntervallo I e dervable ne punt ntern all ntervallo I. 3

4 ) se f (x) = 0 n ogn punto x nterno all ntervallo I, allora f è costante n I. ) se f (x) > 0 (f (x) < 0) n ogn punto x nterno all ntervallo I, allora f è crescente (decrescente) n I. Dmostrazone. ) Sano x un arbtraro punt d I. S deve dmostrare che f è costante, ovvero che f(x ) = f( x) per ogn x I. Supponamo dapprma che x < x: f è contnua nell ntervallo [x, x] e dervable n (x, x). Applcando l teorema d Lagrange alla funzone f nell ntervallo [x, x], s ottene che esste un punto x 0 tale che f (x 0 ) = f( x) f(x ), x x x 0 (x, x) Poché x 0 è un punto nterno dell ntervallo I, per potes f (x 0 ) = 0 da cu segue f( x) f(x ) = 0 e f( x) = f(x ). Se x < x, n modo del tutto analogo al caso x < x, x x s applca l Teorema d Lagrange all ntervallo [ x, x ] e s ottene f(x ) = f( x). La tes è dmostrata data l arbtraretà d x. ) S deve dmostrare che f è crescente n I ovvero che x 1, x 2 I con x 1 < x 2, rsulta f(x 1 ) < f(x 2 ). Applcando l teorema d Lagrange alla funzone f nell ntervallo [x 1, x 2 ], s ha che esste un punto x 0 (x 1, x 2 ) tale che f (x 0 ) = f(x 2) f(x 1 ). Tenendo conto dell potes f (x 0 ) > 0 s ottene f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 > 0 e qund x 1 < x 2 mplca x 2 x 1 f(x 1 ) < f(x 2 ). La tes è dmostrata data l arbtraretà d x 1, x 2. (La dmostrazone per l caso (f (x) < 0) è del tutto analoga). 1.1 Propretà delle funzon concave e convesse ad una varable. Teorema 1.8 Sa f : A R, A R, A aperto e convesso, f dervable n A. ) Se f è una funzone convessa e x A è punto crtco per f, allora x è punto d mnmo assoluto d f su A. ) Se f è una funzone concava e x A è punto crtco per f, allora x è punto d massmo assoluto d f su A. Dmostrazone. ) Poché f è convessa s ha f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) per ogn x, x 0 A Poché x A, sosttuendo l generco punto x 0 con l punto crtco x, la dsuguaglanza precedente dventa f(x) f( x) + f ( x)(x x) per ogn x A 4

5 Poché per potesf ( x) = 0 s ha f(x) f( x) per ogn x A da cu la tes. ) Analoga alla dmostrazone del punto ). Teorema. Sa f : A R, A aperto e sa I = [a, b] un ntervallo contenuto n A, f dervable n A. ) Se f è convessa n [a, b] e x I è punto d mnmo relatvo per f sull ntervallo I, allora x è punto d mnmo assoluto d f su I. ) Se f è concava n [a, b] e x I è punto d massmo relatvo sull ntervallo I per f, allora x è punto d massmo assoluto d f su I. Dmostrazone. ) Se x è un punto nterno all ntervallo, allora per la condzone necessara d ottmaltà del I ordne f ( x) = 0 e la tes segue dal teorema precedente. Resta qund da analzzare l caso x = a e x = b. Per assurdo s supponga che x non sa punto d mnmo assoluto, ovvero che essta un punto x I, tale che f(x ) < f( x). Poché f è convessa n I s ha ed n partcolare da cu f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) per ogn x, x 0 I Avendo supposto f(x ) f( x) < 0 s ha f(x ) f( x) + f ( x)(x x) f(x ) f( x) f ( x)(x x) f ( x)(x x) < 0 Se x = a s ha (x x) > 0 e necessaramente f ( x) < 0; d conseguenza f è decrescente n un ntorno destro d x = a e questo contraddce l potes che x sa d mnmo relatvo. Se x = b, (x x) < 0 e necessaramente f ( x) > 0; d conseguenza f è crescente n un ntorno snstro d x = b e questo contraddce l potes che x sa punto d mnmo relatvo. ) Analoga alla dmostrazone del punto ). 5

6 2 Funzon a due varabl Consderamo una funzone f : A R, con A R 2, aperto, f d classe C 1 ed un punto (x 0, y 0 ) A. Denotamo con f(x 0, y 0 ) e con H((x 0, y 0 ) rspettvamente l gradente e la matrce Hessana d f, calcolat n (x 0, y 0 ). Prma d presentare teorem enuncat e dmostrat a lezone, rchamamo alcune fondamental defnzon e rsultat. S consder l equazone parametrca d una curva (x(t), y(t)), t R e la restrzone d f su tale curva ϕ(t) = f (x(t), y(t)). Regola della catena o equvalentemente ϕ (t) = f x (x(t), y(t)) x (t) + f y (x(t), y(t)) y (t) ϕ (t) = f (x(t), y(t)) T (x (t), y (t)) Esempo 2.1 S consder f(x, y) = xy 2 + 3x 4y ed una curva la cu equazone parametrca ( ) è (x(t) = 5t, y(t) = t 2 + 1), t R. Il gradente d f è f(x, y) = y e la restrzone d f sulla curva è data da: ϕ(t) = f(x(t), y(t)) = 5t( t 2 + 2xy 4 1) 2 + 3(5t) 4( t 2 + 1). Sfruttando la regola della catena s ottene che la dervata d f lungo la restrzone è data da ϕ (t) = f ( 5t, t ) T (x (t), y (t)) ( ( t = ) ) ( ) 2 + 3, 2(5t)( t ) 4 2t = ( t 4 2t 2 + 4, 10t t 4 ) ( ) 5 2t = 25t 4 30t 2 8t + 20 Regola della catena e dervata drezonale S consder un punto ( (x) 0, y 0 )( A ed ) una( semretta ) s uscente da (x 0, y 0 ) d drezone d = (d 1, d 2 ), = x x 0 d1 y y 0 + t, t 0. Sa ϕ d d (t) la restrzone 2 d f su s ovvero ϕ d (t) = f(x 0 + td 1, y 0 + d 2 ). Applcando la regola della catena ϕ d(t) = f ( ( ) ) x 0 + td 1, y 0 T d1 + td 2 ϕ d(0) = f ( x 0, y 0) T ( d1 d 2 ) d 2 6

7 Dervata drezonale e drezon d crescta e decrescta Se ϕ d (0) > 0 allora d è una drezone d crescta locale per f uscente dal punto (x 0, y 0 ). Se ϕ d (0) < 0 allora d è una drezone d decrescta locale per f uscente dal punto (x 0, y 0 ). Propretà del gradente Sa f : A R, con A R 2, aperto, una funzone d classe C 1 ed un punto (x 0, y 0 ) A. I propretà. Sa f(x 0, y 0 ) (0, 0). La drezone d = f(x 0, y 0 ) è la drezone d massma crescta locale per f uscente da (x 0, y 0 ), mentre la drezone f(x 0, y 0 ) è la drezone d massma decrescta locale. II propretà. Sa f(x 0, y 0 ) (0, 0). Il vettore f(x 0, y 0 ), applcato nel punto (x 0, y 0 ), è ortogonale alla retta tangente alla curva d lvello passante per (x 0, y 0 ). Esempo 2.2 Sa data la funzone f(x, y) = log(3x) + y 3 e s consder la semretta uscente dal punto (1, 2) d drezone d = (3, 4). a) Sfruttando la regola della catena, calcolare ϕ (t) essendo ϕ(t) = f(1+3t, 2+4t), t 0. b) Stablre se la drezone d è d crescta o d decrescta locale per f uscente da (1, 2). c) Determnare una drezone d decrescta locale per f uscente da (1, 2), dversa dalla drezone f(1, 2). d) Stablre se la drezone u = (0, 2) è d crescta o d decrescta locale per f uscente da (1/2, 0). ( 1 ) ( 1 ) a) f(x, y) = x, f(1 + 3t, 2 + 4t) = 1 + 3t, 3y 2 3(2 + 4t) 2 ( ) ( ) 1 3 ϕ (t) = 1 + 3t, 3(4 + 16t + 16t2 ) = t + 12(4 + 16t + 16t2 ) ( ) ( ) 3 3 b) Poché ϕ (0) = f (1, 2) T = (1, 12) T = = 51 > 0, d = (3, 4) è una 4 4 drezone d crescta locale per f uscente dal punto (1, ( 2). ) c) Tutte le drezon d = (d 1, d 2 ), tal che f (1, 2) T d1 < 0 sono drezon d decrescta locale per f uscent da (1, 2). ( ) Ad esempo( d = ) (0, 1). 0 0 d) In questo caso f (1/2, 0) T = (2, 0) T = 0. Sfruttando la regola della 2 2 catena s ha che ϕ u(t) = f ( ) T ( ) 1 0 2, 2t 2 7 d 2 = 24t 2

8 D conseguenza per t > 0 s ha ϕ u(t) > 0 e qund u è una drezone d crescta locale per f uscente da ( 1 2, 0). 2.1 Massm e mnm lber, condzon d ottmaltà Teorema 2.1 (Condzone necessara d ottmaltà del I ordne) S consder una funzone f : A R, con A R 2 aperto, f d classe C 1. Se (x 0, y 0 ) A è punto d massmo o d mnmo relatvo, allora f (x 0, y 0 ) = (0, 0). Dmostrazone. S osserv prelmnarmente che essendo (x 0, y 0 ) un punto nterno ad A, ogn drezone d uscente da (x 0, y 0 ) è ammssble, nel senso che ɛ > 0 tale che ogn punto del tpo (x 0 + td, y 0 + td) con t (0, ɛ), appartene ad A. Se f (x 0, y 0 ) (0, 0), la drezone ammssble u = f (x 0, y 0 ) rsulta d crescta locale per f e qund (x 0, y 0 ) non può essere d massmo relatvo. La drezone ammssble u = f (x 0, y 0 ) rsulta d decrescta locale per f e qund (x 0, y 0 ) non può essere d mnmo relatvo. D conseguenza, s ha necessaramente che f (x 0, y 0 ) = (0, 0). Teorema 2.2 (Condzone suffcente d ottmaltà del II ordne) S consder una funzone f : A R, con A R 2 aperto, f d classe C 2. ) Se valgono le seguent condzon: f ( x 0, y 0) = (0, 0), 2 f ( x 0, y 0) < 0, e det H ( x 0, y 0) > 0 2 x allora (x 0, y 0 ) A è punto d massmo relatvo stretto per f. ) Se valgono le seguent condzon: f ( x 0, y 0) = (0, 0), 2 f ( x 0, y 0) > 0, e det H ( x 0, y 0) > 0 2 x allora (x 0, y 0 ) A è punto d mnmo relatvo stretto per f. Teorema 2.3 (Condzone necessara d ottmaltà del II ordne) S consder una funzone f : A R, con A R 2 aperto, f d classe C 2. ) Se (x 0, y 0 ) A è punto d massmo relatvo, allora valgono le seguent condzon: f ( x 0, y 0) = (0, 0), 2 f ( x 0, y 0) 0, 2 x 2 f ( x 0, y 0) 0, e det H ( x 0, y 0) 0 2 y ) Se (x 0, y 0 ) A è punto d mnmo relatvo, allora valgono le seguent condzon: f ( x 0, y 0) = (0, 0), 2 f ( x 0, y 0) 0, 2 x 8 2 f ( x 0, y 0) 0, e det H ( x 0, y 0) 0 2 y

9 Osservazone 2.1 Consderamo un punto crtco (x 0, y 0 ) per l quale o le dervate parzal seconde pure n (x 0, y 0 ) hanno segno dscorde o det H (x 0, y 0 ) < 0. In vrtù della condzone necessara d ottmaltà del II ordne, (x 0, y 0 ) non è un punto né d massmo né d mnmo relatvo. 2.2 Problem d ottmo vncolato Teorema 2.4 (Condzon necessare d ottmaltà Karush-Kuhn-Tucker) 1 S consder l problema { max / mn f(x, y) (P ) : g (x, y) 0 = 1,..., m con f : R 2 R e g : R 2 R, = 1,..., m funzon d classe C 1. Sa (x 0, y 0 ) punto d massmo (d mnmo) relatvo per (P ) e I 0 l nseme degl ndc relatv a vncol aderent a (x 0, y 0 ), ovvero I 0 = { {1,..., m} : g (x 0, y 0 ) = 0}. Se g (x 0, y 0 ) con I 0, sono lnearmente ndpendent, allora l punto (x 0, y 0 ) verfca le seguent condzon d Karush-Kuhn-Tucker. f(x 0, y 0 ) = λ g (x 0, y 0 ) I 0 λ 0, (λ 0), I 0 g (x 0, y 0 ) 0, = 1,..., m Dmostrazone. Delle condzon d Kuhn-Tucker c lmtamo a fornre una gustfcazone geometrco-ntutva. Consderamo dapprma l semplce caso n cu l problema d estremo vncolato (P ) present un solo vncolo, ovvero sa del tpo: { max / mn f(x, y) g(x, y) 0 Supponamo che (x 0, y 0 ) sa d massmo relatvo per P (Il caso n cu (x 0, y 0 ) sa punto d mnmo relatvo, è del tutto analogo). Supponamo noltre che (x 0, y 0 ) appartenga alla frontera della regone ammssble S = {(x, y) R 2 : g(x, y) 0}, ovvero sa tale che g(x 0, y 0 ) = 0. Nel caso d un solo vncolo, la condzone d lneare ndpendenza de gradent de vncol equvale a supporre che g (x 0, y 0 ) (0, 0). Sfruttando le propretà del gradente, traccamo l vettore g (x 0, y 0 ) (0, 0) applcato n (x 0, y 0 ). Per la II propretà del gradente, g (x 0, y 0 ), applcato n (x 0, y 0 ), è ortogonale alla curva d lvello d equazone g(x, y) = g (x 0, y 0 ). Il punto (x 0, y 0 ) è aderente al vncolo, g (x 0, y 0 ) = 0 ed noltre per ogn (x, y) S s ha g(x, y) 0; da cò segue mmedatamente che g (x, y) g(x 0, y 0 ), (x, y) S. In vrtù della I propretà del gradente, g (x 0, y 0 ), applcato n (x 0, y 0 ), deve necessaramente puntare verso l esterno 1 Le condzon d Karush-Kuhn-Tucker sono conoscute anche come condzon d Kuhn-Tucker 9

10 della regone (ved fgura 1). Retta tangente alla curva d lvello 0 d g(x,y).!g(x 0,y 0 ) g(x,y)=0 S (x 0,y 0 ) Fgura 2. Gradente d g(x,y) n (x 0,y 0 ) Fgura 1: Gradente d g(x, y) n (x 0, y 0 ) Consderamo ora f(x 0, y 0 ); poché esso rappresenta la drezone d massma crescta locale uscente da (x 0, y 0 ) e poché per potes, (x 0, y 0 ) è un punto d massmo relatvo per f, f(x 0, y 0 ) non può puntare all nterno della regone S (ved fgura 2). Retta tangente alla curva d lvello d f(x,y), passante per (x 0,y 0 ) g(x,y)=0 g(x 0,y 0 ) f(x 0,y 0 ) (x 0,y 0 ) Fgura 2: Se (x 0, y 0 ) è punto d massmo relatvo, f(x 0, y 0 ) non può puntare dentro la regone S. Inoltre per la II propretà del gradente, f(x 0, y 0 ), applcato n (x 0, y 0 ), è ortogonale alla retta tangente alla curva d lvello f(x, y) = f(x 0, y 0 ). Tale retta tangente deve necessaramente essere tangente anche alla curva d lvello della funzone vncolare g(x, y) = g(x 0, y 0 ). In caso contraro nfatt, essterebbero drezon ammssbl che formerebbero con l vettore gradente un angolo acuto e che conseguentemente sarebbero drezon ammssbl d crescta locale uscent da (x 0, y 0 ), contraddcendo, ancora una volta, l ottmaltà d (x 0, y 0 ) (ved fgura 3). S ha qund necessaramente f(x 0, y 0 ) = λ g(x 0, y 0 ), λ 0. Consderamo ora l caso n cu la regone ammssble S del problema P sa defnta da due vncol come quell rappresentat n fgura 4. Anche n questo caso, sfruttando le propretà del gradente, traccamo vettor g 1 (x 0, y 0 ), g 2 (x 0, y 0 ) e f(x 0, y 0 ), applcat n (x 0, y 0 ) (Ved fgure 5). In partcolare : relatvamente al prmo vncolo (colore rosso n fgura), g 1 (x 0, y 0 ) è ortogonale alla retta tangente alla curva d lvello g 1 (x, y) = g 1 (x 0, y 0 ) e passante per (x 0, y 0 ). Inoltre g 1 (x 0, y 0 ) punta esternamente alla regone S, dato che per ogn (x, y) S s ha g 1 (x, y) 0. 10

11 g(x,y)=0!f(x 0,y 0 ) Drezone d crescta (x 0,y 0 )!g(x 0,y 0 ) Retta tangente alle curve d lvello g(x,y)=g(x 0,y 0 ) e f(x,y)=f(x 0,y 0 ) g(x,y)=0!f(x 0,y 0 )!g(x 0,y 0 ) (x 0,y 0 ) Fgura 3.a. Se (x 0, y 0 ) è punto d massmo relatvo, non esstono drezon d crescta locale ammssbl uscent da (x 0, y 0 ) 3.b. Se (x 0, y 0 ) è punto d massmo relatvo, allora deve necessaramente essere f(x 0, y 0 ) = λ g(x 0, y 0 ), λ 0. Fgura 3: (x 0,y 0 ) g1 (x,y)=0 g 2 (x,y)=0 S Fgura 5. Regone ammssble S defnta da due vncol Fgura 4: Regone ammssble S defnta da due vncol relatvamente al secondo vncolo (colore blu n fgura), g 2 (x 0, y 0 ) è ortogonale alla retta tangente alla curva d lvello g 2 (x, y) = g 2 (x 0, y 0 ) e passante per (x 0, y 0 ). Inoltre g 2 (x 0, y 0 ) punta esternamente alla regone S, dato che per ogn (x, y) S s ha g 2 (x, y) 0 l vettore f(x 0, y 0 ) (colore verde n fgura 5) deve necessaramente trovars all nterno del cono ndvduato da vettor g 1 (x 0, y 0 ) e g 2 (x 0, y 0 ) dato che n caso contraro, essterebbero drezon d crescta local ammssbl uscent da (x 0, y 0 ). S ha qund necessaramente che f(x 0, y 0 ) è combnazone lneare non negatva de gradent de vncol g 1 (x 0, y 0 ) e g 2 (x 0, y 0 ), ovvero: f(x 0, y 0 ) = λ 1 g 1 (x 0, y 0 ) + λ 2 g 2 (x 0, y 0 ), λ 1, λ

12 !g 2 (x 0,y 0 )!g 1 (x 0,y 0 )!g 2 (x 0,y 0 )!f(x 0,y 0 )!g 1 (x 0,y 0 ) g 2 (x,y)=0 (x 0,y 0 ) g1 (x,y)=0 g 2 (x,y)=0 (x 0,y 0 ) g1 (x,y)=0 Fgura 6. Fgura 5: Fgura 7. Alcune mportant osservazon sulle condzon d Karush-Kuhn-Tucker Osservazone 2.2 Le condzon d Karush-Kuhn-Tucker possono essere scrtte tenendo conto d tutt vncol che defnscono la regone nel seguente modo: f(x 0, y 0 ) = m λ g (x 0, y 0 ) =1 λ 0, (λ 0), = 1,..., m λ g (x 0, y 0 ) = 0, = 1,..., m g (x 0, y 0 ) 0, = 1,..., m Le condzon λ g (x 0, y 0 ) = 0, = 1,..., m sono dette condzon d complementaretà. In base a tal condzon, moltplcator assocat a vncol non aderent sono necessaramente null e qund la condzone f(x 0, y 0 ) = m λ g (x 0, y 0 ) è equvalente =1 a f(x 0, y 0 ) = λ g (x 0, y 0 ). I 0 Osservazone 2.3 I punt crtc appartenent alla regone ammssble verfcano le condzon d Karush-Kuhn-Tucker con moltplcator tutt null. Verfcano qund tal condzon sa come canddat massm che come canddat mnm. Osservazone 2.4 La condzone d lneare ndpendenza de gradent de vncol aderent a (x 0, y 0 ) può essere sosttuta con altre condzon che prendono l nome d condzon d qualfca de vncol. Il seguente esempo mostra che se vene a mancare una condzone d qualfca de vncol, (ad esempo gradent de vncol aderent ad un punto d ottmo non sono 12

13 lnearmente ndpendent), allora un punto d ottmo può non verfcare le condzon d Karush-Kuhn-Tucker. S consder l problema max x y (P ) : g 1 (x, y) = y + x 3 0 g 2 (x, y) = y 0 Tramte lo studo delle curve d lvello è facle stablre che l punto (0, 0) è punto d massmo relatvo e assoluto per l problema (P ). Il punto (0, 0) è aderente ad entramb vncol, e pur essendo d massmo, non verfca le condzon d Karush-Kuhn-Tucker. Infatt f(0, 0) T = (1, 1); g 1 (0, 0) T = (0, 1); g 2 (0, 0) T = (0, 1); Le condzon d Karush-Kuhn-Tucker sono così specfcate ( ) ( ) ( ) = λ 1 + λ da cu 1=0 mpossble. Osservazone 2.5 Se vale una condzone d qualfca de vncol, le condzon d Karush-Kuhn-Tucker sono condzon necessare. Da cò segue mmedatamente che punt che non verfcano tal condzon non sono né d massmo né d mnmo per l problema d ottmo. I punt che verfcano le condzon d Karush-Kuhn-Tucker sono punt canddat massmo o mnmo n base al segno de moltplcator d Lagrange. Tal condzon non sono n generale suffcent, come mostra l seguente esempo. S consder l problema max x 2 + y 2 2x 4y g (P ) : 1 (x, y) = x + y 6 g 2 (x, y) = y 0 g 3 (x, y) = x 0 Il punto (1, 0) verfca le condzon d Karush-Kuhn-Tucker come canddato massmo, ma non è un punto né d massmo né d mnmo, come s può verfcare rsolvendo l problema tramte le curve d lvello. La funzone Lagrangana Possamo scrvere le condzon d Karush-Kuhn-Tucker tramte la funzone Lagrangana. Pù precsamente consderamo l problema (P ) { max / mn f(x, y) (P ) : g (x, y) 0 = 1,..., m 13

14 con f : R 2 R e g : R 2 R, = 1,..., m funzon d classe C 1. Sa (x 0, y 0 ) ammssble per P e ndchamo con I 0 l nseme de vncol aderent a (x 0, y 0 ), ovvero I 0 = { {1,..., m} : g (x 0, y 0 ) = 0}. Denotamo con k la cardnaltà dell nseme I 0. S consder la funzone Lagrangana L : R 2 R k R L(x, y, λ) = f(x, y) I 0 λ g (x, y) Se vettor g (x 0, y 0 ), I 0 sono lnearmente ndpendent e (x 0, y 0 ) è punto d massmo (d mnmo) relatvo per (P ), allora esste λ 0 = (λ 0 ) I0, con λ 0 0, I 0 (λ 0 0, I 0 ) tale che (x 0, y 0, λ 0 ) è punto crtco per L, ovvero L ( x 0, y 0, λ 0) = 0 L ( x 0, y 0, λ 0) = 0 L ( x 0, y 0, λ 0) = 0 I 0 x y λ Esempo 2.3 S consder l problema max / mn (P ) : log(x) + log(y) x 1 y 1 3x + 2y 60 Stablre se esste un opportuno λ 0 (oppure λ 0) per l quale (10, 15, λ) è un punto crtco per la funzone lagrangana assocata. Il punto (10, 15) è aderente al vncolo 3x + 2y 60. La funzone Lagrangana è le cu dervate parzal sono L(x, y, λ) = log(x) + log(y) λ(3x + 2y 60) L x (x, y, λ) = 1 L 3λ x y (x, y, λ) = 1 L 2λ (x, y, λ) = 3x 2y + 60 y λ Dobbamo stablre se esste λ tale che (10, 15, λ) è un punto crtco per L, ovvero soluzone del sstema 1 3λ = 0 x 1 y 2λ = 0 3x 2y + 60 = 0 Il sstema ha soluzone per (10, 15, 1 ) che rsulta qund essere un punto crtco della 30 Lagrangana. 14

15 2.3 Propretà delle funzon concave e convesse Defnzone 2.1 Sa f : A R con A convesso. ) f è convessa se per ogn (x 0, y 0 ), (x, y) A s ha f ( λ(x 0, y 0 ) + (1 λ) (x, y) ) λf(x 0, y 0 ) + (1 λ) f(x, y), λ [0, 1]. ) f è concava se per ogn (x 0, y 0 ), (x, y) A s ha f ( λ(x 0, y 0 ) + (1 λ) (x, y) ) λf(x 0, y 0 ) + (1 λ) f(x, y), λ [0, 1]. Teorema 2.5 (Caratterzzazone del I ordne) Sa f : A R, A R 2 nseme aperto e convesso, f d classe C 1. ) f è convessa se e solo se vale la seguente condzone ( ) x x f(x, y) f(x 0, y 0 ) + f(x 0, y 0 ) T 0, (x, y), (x 0, y 0 ) A. y y 0 ) f è concava se e solo se vale la seguente condzone ( ) x x f(x, y) f(x 0, y 0 ) + f(x 0, y 0 ) T 0, (x, y), (x 0, y 0 ) A. y y 0 Teorema 2.6 (Caratterzzazone del II ordne) Sa f : A R, A R 2 nseme aperto e convesso, f d classe C 2. ) f è convessa se e solo se valgono le seguent condzon 2 f (x, y) 0, 2 x 2 f (x, y) 0, e det H (x, y) 0 (x, y) A. 2 y ) f è concava se e solo se valgono le seguent condzon 2 f (x, y) 0, 2 x 2 f (x, y) 0, e det H (x, y) 0 (x, y) A. 2 y Funzon concave e convesse e condzon d ottmaltà Teorema 2.7 Sa f : A R, A R 2, A aperto e convesso, f d classe C 1. ) Se f è convessa e (x 0, y 0 ) A è punto crtco per f, allora (x 0, y 0 ) è punto d mnmo assoluto per f su A. ) Se f è concava e (x 0, y 0 ) A è punto crtco per f, allora (x 0, y 0 ) è punto d massmo assoluto per f su A. 15

16 Dmostrazone. ) In vrtù della caratterzzazone del I ordne delle funzon convesse s ha : ( ) x x f(x, y) f(x 0, y 0 ) + f(x 0, y 0 ) T 0, (x, y) A. y y 0 Essendo (x 0, y 0 ) un punto crtco, ovvero f(x 0, y 0 ) T = (0, 0), rsulta f(x, y) f(x 0, y 0 ), (x, y) A, da cu la tes. ) Analoga alla ). Teorema 2.8 Sa f : A R, A R 2, A aperto, f d classe C 1. Sa X un sottonseme convesso d A. ) Se f è convessa su X e (x 0, y 0 ) X è punto d mnmo relatvo per f su X, allora (x 0, y 0 ) è punto d mnmo assoluto d f su X. ) Se f è concava su X e (x 0, y 0 ) X è punto d massmo relatvo per f su X, allora (x 0, y 0 ) è punto d massmo assoluto d f su X. Dmostrazone. ) Se (x 0, y 0 ) è punto nterno d X, allora per la condzone necessara d ottmaltà del I ordne f(x 0, y 0 ) = 0 e la tes segue dalla ) del Teorema 2.7. Se (x 0, y 0 ) è punto d frontera per X, supponamo per assurdo che non sa d mnmo assoluto ovvero che essta un punto (x, y ) tale che f(x, y ) < f(x 0, y 0 ). Poché X è convesso, punt( del segmento ) d estrem (x, y ), (x 0, y 0 ) appartengono ad X e qund x x 0 la drezone d = è una drezone ammssble uscente da (x 0, y 0 ). Inoltre, n y y 0 vrtù della caratterzzazone del I ordne delle funzon convesse s ha: ( ) x f(x, y ) f(x 0, y 0 ) + f(x 0, y 0 ) T x 0 y y 0 o equvalentemente f(x, y ) f(x 0, y 0 ) f(x 0, y 0 ) T ( x x 0 y y 0 Essendo f(x, y ) < f(x 0, y 0 ) s ha f(x, y ) f(x 0, y 0 ) < 0 da cu f(x 0, y 0 ) ( ) T x x 0 y y = ( ) 0 x f(x 0, y 0 ) T x 0 d < 0. D conseguenza, la drezone d = è una drezone ammssble d decrescta locale, n contraddzone con l fatto che (x 0, y 0 ) è punto d mnmo y y 0 locale. ) Analoga alla ). ). 16

17 Teorema 2.9 (Suffcenza delle condzon d Karush-Kuhn-Tucker) Sa dato l problema { max / mn f(x, y) (P ) : g (x, y) 0 = 1,..., m dove f : R 2 R, g : R 2 R, = 1,...m. Sa (x 0, y 0 ) punto ammssble per (P) ovvero (x 0, y 0 ) S = {(x, y) R 2 : g (x, y) 0 = 1,...m}. Sa I 0 = { {1,..., m} : g (x 0, y 0 ) = 0}. Se ) le funzon vncolar g, ( = 1,...m) sono convesse; ) la funzone obettvo f è convessa (concava); ) l punto (x 0, y 0 ) verfca le condzon d Karush-Kuhn-Tucker, ovvero f(x 0, y 0 ) = λ g (x 0, y 0 ) I 0 λ 0, (λ 0), I 0 g (x 0, y 0 ) 0, = 1,..., m allora (x 0, y 0 ) è punto d mnmo assoluto (massmo assoluto) per l problema P. 3 Matematca fnanzara 3.1 Rendte perodche. Montante e valore attuale Nota bene: n questa sezone rportamo soltanto la dervazone delle formule relatve al valore attuale ed al montante de var tp d rendte. In quanto segue consdereremo rendte perodche, temporanee, d n rate costant d mporto R, n regme d captalzzazone composta, convenzone esponenzale, tasso > 0. Per una trattazone esaustva sull argomento s rmanda a test consglat ed al materale messo a dsposzone sul portale d e-learnng. Rcordamo che l valore attuale d una rendta è dato dalla somma de valor attual delle sngole rate, calcolat n un dato regme d captalzzazone e rfert all stante n cu nza la costtuzone della rendta, mentre l montante d una rendta è dato dalla somma de montant delle sngole rate. In generale, l valore d una rendta ad una data epoca k è dato dalla somma de valor delle sngole rate alla suddetta epoca k. Indchamo con V, M e V k rspettvamente l valore attuale, l montante ed l valore all epoca k d una rendta d n rate, al tasso > 0; valgono le seguent relazon fondamental M = V (1 + ) n V = M (1+) n (1) V k = V (1 + ) k V k = M (1+) (n k) (2) 17

18 Rendta mmedata e postcpata: valore attuale e montante In una rendta mmedata la prma rata s rfersce al prmo perodo ovvero al perodo ntercorrente tra (t 0, t 1 ); se la rendta è postcpata, ogn rata R vene pagata o rscossa alla fne del perodo Rendta rfermento mmedata (Ved fgura postcpata. 6). Sapendo Montante che l montante d una n-1 R R R R R n R(1+) R(1+) n-3 R(1+) n-2 R(1+) n-1 Fgura 6: Asse temporale e montante d una rendta, mmedata e postcpata rendta è la somma de montant delle sngole rate s ha: 16 ovvero M = R + R(1 + ) + R(1 + ) R(1 + ) n 1 M = R [ 1 + (1 + ) + (1 + ) (1 + ) n 1] (3) Moltplcando ambo membr dell uguaglanza per (1+) s ottene: M(1 + ) = R [ (1 + ) + (1 + ) 2 + (1 + ) (1 + ) n] (4) Facendo la dfferenza membro a membro tra la (4) e la (3) s ottene M(1 + ) M = R[(1 + ) n + (1 + ) n 1 (1 + ) n 1 +,..., (1 + ) (1 + ) 1] da cu s rcava M = R[(1 + ) n 1] e qund M = R (1 + )n 1 Sapendo che l valore attuale è la somma de valor attual delle sngole rate, s ha: V = R(1 + ) 1 + R(1 + ) R(1 + ) n = R [ (1 + ) 1 + (1 + ) (1 + ) n] 18

19 Rendta mmedata postcpata. Valore attuale R(1+) -1 R(1+) -2 R(1+) -3 R(1+) -4 R(1+) -5 R(1+) -n n-1 n R R R R R R R R(1+) -n Fgura 7: Asse temporale e valore attuale d una rendta, mmedata e postcpata 15 Con procedmento analogo a quello vsto per l montante s rcava [ V (1 + ) V = R (1 + ) 1 ] (1 + ) +,..., + 1 (1 + ) 1 (n 1) (1 + ) 1 (n 1) (1 + ) n V = R[1 (1 + ) n ] V = 1 (1 + ) n R Possamo rcavare la formula del valore attuale, a partre da quella del montante, tenendo conto della relazone n (1), ovvero V = M (1 + ) = R(1 + )n 1 n (1 + ) n = R 1 1 (1+) n Rendta mmedata antcpata: valore attuale e montante In una rendta mmedata, la prma rata s rfersce al prmo perodo ovvero al perodo ntercorrente tra (t 0, t 1 ); n una rendta antcpata ogn rata R vene pagata o rscossa all nzo del perodo d rfermento (Ved fgura 8). Sapendo che l montante d una rendta è la somma de montant delle sngole rate s ha: ovvero M = R(1 + ) + R(1 + ) R(1 + ) n M = R [ (1 + ) + (1 + ) (1 + ) n] (5) Così come vsto nel caso d una rendta mmedata postcpata, moltplcando ambo membr dell uguaglanza per (1+) s ottene: M(1 + ) = R [ (1 + ) 2 + (1 + ) (1 + ) n+1] (6) 19

20 Rendta mmedata antcpata. Montante n-1 R R R R R n R(1+) R(1+) n-3 R(1+) n-2 R(1+) n-1 R(1+) n Fgura 8: Asse temporale d una rendta perodca, mmedata e antcpata Facendo la dfferenza membro a membro tra la (6) e la (5) s ottene M(1 + ) M = R[(1 + ) n+1 + (1 + ) n (1 + ) n +,..., (1 + ) 2 (1 + ) 2 (1 + )] da cu s rcava M = R(1 + ) n+1 (1 + ) e qund M = R(1 + ) (1 + )n 1 Sapendo che l valore attuale è la somma de valor attual delle sngole rate, s ha: Rendta mmedata antcpata. Valore attuale n-1 R R R R R R R R R(1+) -1 R(1+) -2 R(1+) -3 R(1+) -4 R(1+) -5 R(1+) -n+1 18 n Fgura 9: Asse temporale e valore attuale d una rendta, mmedata e antcpata V = R(1 + R(1 + ) R(1 + ) n+1 = R [ 1 + (1 + ) (1 + ) n+1] 20 20

21 Con procedmento analogo a quello vsto per l montante s rcava [ ] 1 V (1 + ) V = R (1 + ) ,..., + (1 + ) 1 (n 2) (1 + ) 1 (n 2) (1 + ) n 1 V = R(1 + )[1 (1 + ) n ] V = 1 (1 + ) n R(1 + ) Possamo rcavare la formula del valore attuale, a partre da quella del montante, tenendo conto della relazone n (1), ovvero V = M (1 + ) = R(1 + )(1 + )n 1 n (1 + ) n = R(1 + ) 1 1 (1+) n Relazone tra valor d una rendta mmedata postcpata e mmedata e antcpata A partà d valore della rata R, numero delle rate n e tasso, l valore attuale (montante) d una rendta mmedata antcpata è uguale al valore attuale (montante) d rendta mmedata postcpata moltplcato per (1+), ovvero M a = (1 + )M p V a = V p (1 + ) (7) dove M a,v a ndcano rspettvamente l montante ed l valore attuale d una rendta antcpata, mentre M p,v p ndcano rspettvamente l montante ed l valore attuale d una rendta postcpata. Rendte dfferte Consderamo una rendta postcpata, dfferta d p perod, l cu asse temporale è rappresentato n fgura 10. Il valore attuale della rendta è dato da: V = (1 + ) p 1 (1 + ) n R Nel caso d una rendta dfferta d p perod, antcpata s ha la seguente struttura temporale. D conseguenza V = (1 + ) p+1 1 (1 + ) n R Il montante d una rendta postcpata (antcpata) dfferta d p perod è uguale al montante d una rendta mmedata postcpata (antcpata) d uguale rata, durata e tasso. S osserv nfne che una rendta postcpata dfferta d p perod è uguale ad una rendta antcpata dfferta d p + 1 perod con lo stesso numero d rate, stesso mporto R e stesso tasso. 21

22 Rendta postcpata dfferta d p perod p p+1 p+2 p+n-1 p+n R R R R (1+) -p!n 1! (1 + ) Valore della rendta R alla scadenza p! n! p 1! (1 + ) V = ( 1+ ) R Valore attuale della rendta Il montante d una rendta postcpata dfferta è Fgura 10: Asse temporale uguale montante e valoredella attuale rendta d postcpata una rendta dfferta, postcpata mmedata Rendta con antcpata lo stesso numero dfferta rate, d p stesso perod mporto R e stesso tasso p p+1 p+2 p+n-1 p+n R R R R 1! (1 + ) R(1 + ) (1+) -p!n Valore della rendta alla scadenza p V = (1 + ) 1 1! (1 ) R! p+ +! n Valore attuale della rendta Il montante d una rendta antcpata dfferta è Fgura 11: Asse temporale uguale emontante valoredella attuale rendta d antcpata una rendta dfferta, antcpata mmedata con lo stesso numero d rate, stesso mporto R e stesso tasso Ammortament d prestt ndvs Legame esstente tra le grandezze d un generco pano d ammortamento. Indchamo con A l ammontare del debto, R k la rata versata al perodo k, C k la quota captale al perodo k, I k la quota nteress al perodo k. D k ed E k rappresentano rspettvamente l debto resduo ed l debto rmborsato al perodo k. R k = C k + I k, I k = D k 1, E k = E k 1 + C k, D k = D k 1 C k A = E k + D k 22

23 Ammortamento talano Il metodo d ammortamento talano o unforme, prevede che a fronte d un captale A preso a prestto all epoca nzale, l debtore corrsponda n rate postcpate, d mporto varable R k, tal che le quote captal sano tutte ugual. Nell ammortamento talano qund: C k = C = A, k = 1,..., n, n l debto rmborsato all epoca k è par a E k = k A n, D k = (n k) n A. La quota nteress I k = D k 1 = (n k+1) A, da cu n I k+1 I k = (n k) (n k+1) A A = A. n n n Le quote nteress varano n progressone artmetca d ragone A. n R k = C k + I k = A + A (n k + 1). n n Ammortamento francese Il metodo d ammortamento francese o a rate costant, prevede che a fronte d un captale A preso a prestto all epoca nzale, l debtore corrsponda n rate postcpate, d mporto costante R. L mporto delle rate è determnato n base al prncpo d equvalenza fnanzara A = Ra n = R 1 (1+) n. In generale D k = Ra n k = R 1 (1+) (n k) I k = D k 1 = R 1 (1+) (n k+1) = R(1 (1 + ) (n k+1) ) C k = R I k = R R(1 (1 + ) (n k+1) ) = R (1 + ) (n k+1) analogamente s ha I k+1 = D k = R 1 (1+) (n k) = R(1 (1 + ) (n k) ) da cu C k+1 = R I k+1 = R R(1 (1 + ) (n k) ) = R (1 + ) (n k) ; facendo l rapporto tra due quote captale consecutve s ha: C k+1 C k = (n k) R (1 + ) (n k) R (1 + ) = (1 + ) = (1 + ), (n k+1) (n k+1) (1 + ) da cu C k+1 = C k (1 + ), ovvero le quote captal corrsposte alle vare scadenze sono n progressone geometrca d ragone (1 + ). Per tale motvo, l ammortamento francese è anche detto progressvo. 23

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