Teoria di Gamow dei decadimenti α

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Giulietta Belloni
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1 Istituzioni di Fisic Nuclere e Sunuclere Prof. A. Andrezz Lezione 4 Teori di Gmow dei decdimenti α

2 Legge di Geiger-Nuttll Il decdimento α è un decdimento due corpi: Energi fisst: E α ~Q α Si osserv un forte dipendenz di λ d Q: lnt / = + Q legge di Geiger-Nuttl Piccole vrizione di energi risultno in grndi differenze nelle costnti di decdimento: Esempio: 08 Po, Q=5. MeV, τ / ~0 8 s 86 Po, Q=8.6 MeV, τ / ~0-5 s Spiegzione qulittiv di questo comportmento propost d Gmow: Effetto tunnel quntistico

potenzile generto dl nucleo (A-4,Z-) Clssicmente l prticell è confint ll interno del rggio del nucleo.

3 Modello di Gmow (Krne cp. 8) L legge di Geiger-Muttll può venire spiegt fenomenologicmente dl modello di Gmow: Il nucleo (A,Z) è costituito d un prticell α, intrppolt nel potenzile generto dl nucleo (A-4,Z-) Clssicmente l prticell è confint ll interno del rggio del nucleo. In meccnic quntistic h un proilità P non null di ttrversre l rrier per effetto tunnel. All interno del nucleo, h un velocità: v = (Q + V 0) m Colpisce l rrier con frequenz Il rte di decdimento è fp. f = v / Per V 0 =30 MeV, Q=5 MeV, A=00: v=0.4c = m/s, f=3 0 Hz Ricveremo questo ordine di grndezz prlndo 3 dei modelli nucleri

4 Modello di Gmow L proilità di superre l rrier di potenzile è dt d: P = e G dove il fttore G è definito d un integrle sull zon clssicmente proiit G = m V r ( ( ) Q ) Per fissre le idee, considerimo il decdimento α del 3 Th (Z=90) dr = r o A /3 =.A /3 fm = 7.4 fm Q = 4.05 MeV ( V ( ) = Z )αc = 34. MeV ( = Z )αc Q = 6.5 fm ( ) = Z V r ( )αc r 4

5 Brrier di potenzile DIM Considerimo il moto di un prticell in presenz di un rrier di potenzile. Clcolimo desso l proilità di trsmissione di un ond pin: Effetto Tunnel L equzione di Schrödinger ( H 0 + V ( x ))Ψ = i Ψ t ( H 0 + V ( x ))ψ E = Eψ E divent nelle 3 regioni d ψ E dx Ψ( x,t ) = ψ E ( x )e iet/ + m Eψ E = 0 x < 0, x > d ψ E + m ( E V dx o )ψ E = 0 0 x cerchimo soluzioni dell form ψ E ψ E ψ E ( x ) = Ae ikx + Be ikx x < 0 ( x ) = Ce kox + De k ox 0 x ( x ) = Fe ikx x > ponimo k o = m V o E ( ) k = A mpiezz incidente B mpiezz rifless F mpiezz trsmess T = F A m E 5

6 Brrier di potenzile Per risolvere l equzione continuità dell funzione e dell derivt in x = 0 A + B = C + D trovimo A e B ika ikb = k o C k o D A B = i k o k C + i k o k D continuità idell funzione e dell derivt in x = Ce k o + De k o = Fe ik k o Ce k o k o De k o = ikfe ik Ce k o De k o = i k k o Fe ik ψ E ψ E ψ E ( x ) = Ae ikx + Be ikx x < 0 ( x ) = Ce kox + De k ox A = C + k o + D ik k o ik B = C k o + D ik + k o ik DIM 0 x ( x ) = Fe ikx x > In form mtricile l equzione è e k o e k o e k o e k o C D = e ik i k k o e ik F 6

7 Brrier di potenzile DIM L soluzione è immedit C D = e k o e k o e k o e k o Richimimo l soluzione per A e B A B = + k o / ik k o / ik k o / ik + k o / ik e ik i k k o e ik F C D = e (ik k o ) e (ik+k o ) e k o e k o e k o e k o ( + ik / k o ) ( ik / k o ) F = e k o e k o e k o e k o A B = eik F 4 ( + k o / ik )( + ik / k o )e ko + ( k o / ik )( ik / k o )e k o ( k o / ik )( + ik / k o )e ko + ( + k o / ik )( ik / k o )e k o = eik F 4 + i k k o k o k i k + k o k o k e ko + i e ko i k + k o k o k k k o k o k e k o e k o = eik F 4 4cosh k o i k k o sinhk k o k o i k + k o k o k sinhk o 7

8 Brrier di potenzile DIM L soluzione finle è quindi: A B = e ik F coshk o + k k o ik o k sinhk o k + k o ik o k sinhk o Il coefficiente di trsmissione è T = F ( ) A = cosh k o + k k o + sinh k o 4k o k sinh k o T = + = k ( k o ) + 4k o k + sinh k o V 0 4E(V 0 E) sinh k o = ( ) + k + k o 4k o k sinh k o Per verificre l consistenz si può vedere che l somm dell ond trsmess e rifless: F + B = A 8

9 Effetto tunnel DIM Nell soluzione estt dell rrier di potenzile unidimensionle: T = + V 0 4E(V 0 E) sinh k o Il termine che h il peso mggiore nel denomintore è sinh k o = 4 eko + e k o ( ) T 6E(V 0 E) V 0 e k0 = 6k o k k ( + k o ) e k0 Il coefficiente in fronte ll esponenzile è O(). per fissre le idee prendimo il cso k~k o, 6k o k k ( + k o ) 4 L proilità di ttrversre l rrier di potenzile è quindi P 4e k0 = 4exp m (V o E) ( 9

10 Effetto tunnel Un potenzile generico, V(r), può essere visto come l sequenz di un serie di rriere infinitesime. Ciscun h un proilità di essere ttrverst dt d: P e k0dr = exp m (V(r) Q) dr ( L proilità di ttrversre l rrier complet è dt dl prodotto delle proilità di ttrversre le rriere infinitesimli P e k 0 dr = exp m (V(r) Q) dr ) ( Ovvero P e G dove G è il fttore di Gmow G = m (V(r) Q) dr 0

11 Fttore di Gmow Mettendo insieme i risultti ottenuti ottenimo che l proilità di decdimento per unità di tempo è dt d λ = fp = v 4e G = Q m e G Ricordimo che le pprossimzioni ftte rendono queste formule pplicili solo per trovre l ordine di grndezz dell vit medi Clcolimo desso G per il potenzile di Coulom G = m V r ( ( ) Q ) dr = Z ( )αc Q G = m ( Z )αc Q dr = r mq ( Z )αc Q r dr r = mq r dr = mq r r d r mq r dr

12 Fttore di Gmow DIM G = r mq r d r x dx = x x + rcsin x x G = mq x dx x = mq ( π rcsin )* +,- G = mq rccos ( = Z )αc Q G = m Q αc [ ( Z )] f f ( = rccos )* +,- G = mc Q α Z [ ( )] f

13 Decdimento α L vit medi risult pertnto τ = λ = m Q eg = m Q mc exp α [ Q ( Z )] f Vedimo che l formul trovt giustific l legge di Geiger-Nuttl lnτ = ln m Q + α mc Q Z [ ( )] f deole dipendenz d lnq fmiglie di curve in funzione di Z dipendenz d Q -/ 3

14 Decdimento α A Q [MeV] τ / [s] Modello di Gmow Il modello di Gmow spieg qulittivmente i dti: osservzioni uste per fissre i prmetri del modello decdimento con nuclei più grndi (es. C) soppressi dll mggiore rrier Coulomin Tell 8. del Krne 4

15 Decdimento α Decdimenti α possono vvenire su stti eccitti del nucleo figlio. Righe monocromtiche: permettono di determinre con precisione le energie di tli stti Figur 4. del Ds-Ferel 5

16 ESERCIZI 6

17 Esercizio (Esercizio 8.7 del Krne) Clcolre il Q-vlore del decdimento 4 R 0 Rn+α e, spendo che il tempo di dimezzmento è di 3.66 giorni, clcolre il fttore di Gmow. Stimre il tempo di dimezzmento per i possiili decdimenti 4 R P+ C e 4 R 0 P+ 4 C 7

18 Esercizio (Esercizio 8. del Krne) Decdimento α del 44 Cm Questo decdimento popol lo stto fondmentle del 40 Pu con rpporto di decdimento del 76.6 ed uno stto eccitto 0.86 MeV, con rpporto di decdimento clcolre Q vlore, energi e momento dell α ed energi cinetic del nucleo di Pu. Stimre il rpporto dei due modi di decdimento e confrontrlo con quello osservto 8

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