1 Richiami di Matematica Finanziaria classica

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1 Ingegneria Finanziaria I 1 Richiami di Maemaica Finanziaria classica 12/12/2008 Copyrigh 2005 V. Moriggia 1 12/12/ Il valore emporale della monea Vale più un dollaro oggi di un dollaro fra un anno perché possiamo disporre con un anno di anicipo. Durane queso anno poremmo: meerlo soo il maerasso e irarlo fuori ra un anno invesirlo in aivià rischiose presarlo a chi è disposo a prendersi maggiori rischi (banche) e farcelo resiuire maggiorao di una piccola quoa (ineresse) V. Moriggia 1

2 12/12/ Il valore emporale della monea Preso C e mi resiuiscono C + piccola quoa (I): M = C + I da cui: i = I C e il empo? 12/12/ Leggi Finanziarie Capializzazione: M = C m( Aualizzazione: C = M v( C capializzazione M 0 aualizzazione V. Moriggia 2

3 12/12/ L.F. di Capializzazione (per il calcolo del valore fuuro di una somma disponibile oggi) ogni meodo di valuazione che soddisfi: Il monane di C per un invesimeno di duraa nulla è C: m(0) = 1 Il rascorrere del empo non fa diminuire gli ineressi maurai: m ( 0 12/12/ L.F. di Aualizzazione (per il calcolo del valore oggi di una somma che riceverò con cerezza in daa fuura) Legge univocamene associaa (o coniugaa) alla legge finanziaria di capializzazione: Se M è il monane di C, allora C è il valore auale di M : M M = C m( C = C = M v( m( 1 dove: v( = m( V. Moriggia 3

4 12/12/ Regimi di Capializzazione Ineresse semplice (solo sul cap. invesio) Ineresse composo [discreo] (anche su iner. maurai) Ineresse [composo] ( coninuo (inervalli infiniesimali) Ineresse anicipao m( m( = 1+ i m ( ) = (1 + i) m ) = r e 1 ) = 1 d regime miso (equivaleni) 12/12/ Regimi di Aualizzazione Scono razionale: Scono composo: 1 v( = 1 + i v( = = e 1 (1 + i) r Scono commerciale: v( = 1 d V. Moriggia 4

5 12/12/ Proprieà dei Regimi Finanziari Traslabilià nel empo M M +α M T M T+α + α Scindibilià nel empo T T + α C M M T 0 T 12/12/ Traslabilià o Uniformià m(, T ) = m( +α, T + α), T 0 T, α s.s.e asso i cosane V. Moriggia 5

6 12/12/ Scindibilià m ( 0, m(, T ) = m(0, T ), T 0 T s.s.e faore di capializzazione esponenziale: r m ( = e 12/12/ Tassi d Ineresse Composi Coninuamene La frequenza con cui viene composo un asso d ineresse è l «unià di misura» La «differenza» ra un asso composo rimesralmene e un asso composo annualmene è «analoga» alla differenza ra miglia e chilomeri V. Moriggia 6

7 12/12/ Equivalenza ra Capializzazione Esponenziale e Composa Supponiamo che la variazione isananea del monane m( sia proporzionale: al monane sesso m( per un valore cosane δ e alla variazione del empo a meno di un o( : m( = δm( + o( 1/ m( dm( lim = lim δm( + o( = δm( 0 0 d eq.diff. dm( dm( = δd = δd ln m( = δ + k m( m( m( = e δ+ k! 0+ k m(0) = e 1 k = 0 k = 0 m( = e δ 12/12/ Formule di Conversione Sia: R c un asso d ineresse composo coninuamene R m il asso d ineresse equivalene composo m vole l anno Le formule di conversione sono: m Rm 1+ m = e R c R R c m Rm = mln 1+ m R ( c / m 1) = m e V. Moriggia 7

8 12/12/ Frequenza dei assi In n anni: asso annuo capi. composa capializzao 1 vola l anno: C(1+i) n asso annuo capi. composa capializzao m vole l anno: C(1+i m /m) nm per m abbiamo la capializzazione coninua Ce rn Per n = 1 (anno) Ce r = C(1+i) = C(1+i m /m) m Per n = 1/2 (6 mesi) e m = 2 = 1 / Ce r ½ = C(1+i) ½ = C(1+i 2 /2) 2/2 = C(1+i 2 ( y ) dove ( y rappresena l inervallo di empo in anni 12/12/ Definizioni OPERAZIONE FINANZIARIA: successione di impori anche di segno opposo che si manifesano in epoche diverse RENDITA: successione di impori di uguale segno che si manifesano in epoche diverse V. Moriggia 8

9 12/12/ Impiego delle Rendie COSTITUZIONE DI CAPITALE: rendia in cambio di un imporo finale Quale rendia R equivale alla somma M T in T? AMMORTAMENTO: imporo iniziale in cambio di una rendia Quale rendia R equivale alla somma C disponibile oggi? 12/12/ Tipi di Rendie Perpeua o emporanea: A raa cosane o variabile: periodica o aperiodica: n < R i = R, i i =, i anicipaa o posicipaa: R 0 in 0 immediaa o differia: prima raa in 1 V. Moriggia 9

10 12/12/ Tipi di Ammorameno a quoe capiale cosani (all ialiana) la quoa ineressi decresce a rae cosani (alla francese) la quoa capiale cresce la quoa ineressi decresce con quoe di accumulazione (americano) la quoa capiale è cosane e viene deposiaa in un cono fruifero quoe ineressi cosani perché il capiale è versao 12/12/ Progeo d invesimeno Successione di inroii (posiivi) ed esborsi (negaivi) ceri F k, k=1,,n, di cui sono noe le scadenze k, k=1,,n. Disinguiamo: operazione d invesimeno: F 0 < 0 F k > 0, k > 0 operazione di finanziameno: F 0 > 0 F k < 0, k>0 V. Moriggia 10

11 12/12/ Crieri di scela fra invesimeni (o finanziameni) Meodo del Risulao Economico Aualizzao (REA) REA = k = 0 Meodo del Tasso Inerno di Rendimeno (TIR) TIR i ci sono differenze con il TAEG? n REA = 0, i.e. F (1 + i) k F? ( k 0 ) = n k = 1 F (1 + i ) k ( ) * * k /12/ PROPRIETÀ DEI TASSI D INTERESSE V. Moriggia 11

12 12/12/ Tasso d ineresse La percenuale non basa per descrivere un asso! base emporale di riferimeno (ad es. un anno, uniperiodale, ecc.) frequenza di capializzazione degli ineressi regime di capializzazione modalià di calcolo del raeo (day-coun denaro (bid) o leera (ask) 12/12/ Esempi di assi: Tasso di Riporo (Repo) Il asso di riporo è il asso d ineresse rilevane per moli arbiraggisi I conrai di riporo (repos o repurchase agreemens) sono accordi con i quali un isiuzione finanziaria vende ioli spo ad un alra isiuzione finanziaria e li riacquisa a ermine ad un prezzo che in genere è lievemene più alo La «differenza» ra il prezzo di riacquiso a ermine e il prezzo di vendia spo è l «ineresse» percepio dalla conropare V. Moriggia 12

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