Mo=V Max La distribuzione di frequenza si dice unimodale quando la Moda è unica, oppure bimodale quando la Moda è definita da due valori

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1 Sitetizzao u isieme di misure co u uico valore rappresetativo Idicatori di tedeza cetrale e di posizioe Dati qualitativi Idice (Idicatore) Defiizioe Dati Formula Nota Nomiale Ordiale Gamma Tabella aggiorata al: 26 ovembre 2011 Ampiezza dell'isieme dei dati grezzi G=x max x mi Scale Dati cosiderabili sia qualitativi che quatitativi Dati quatitativi Itervalli equivaleti Grezzi No Sì Sì Sì A= G k Ampiezza delle classi Raggruppati i classi k= umero delle classi No Sì Sì Sì Rapporti equivaleti Moda (o Valore modale) Moda (o Classe modale) Valore più frequete ella distribuzioe osservata Grezzi Raggruppati i classi Mo=V Max La distribuzioe di frequeza si dice uimodale quado la Moda è uica, oppure bimodale quado la Moda è defiita da due valori Sì Sì Sì Sì Media aritmetica (m o x soprassegato quado ci si riferisce al campioe, μ quado ci si riferisce alla popolazioe) Somma delle misure osservate diviso il umero delle osservazioi fatte Media aritmetica per dati raggruppati x i * x = valore i-esimo i =1 m, x= * = umero dei casi Proprietà della Media: Grezzi 1) la somma degli scarti dei sigoli valori dalla media è sempre uguale a zero 2) la somma dei quadrati degli scarti di ciascu valore dalla media è miore della somma degli scarti degli stessi valori da u qualsiasi altro umero (proprietà dei miimi quadrati) 1) si moltiplica la frequeza di ogi classe per il valore tipico corrispodete al Puto medio della classe 2) si somma e poi si divide per il umero dei casi m, x= k c=1 x c f c * x = valore tipico di ciascua classe * f = frequeza associata alla X c-esima * k = umero dei diversi valori * = umero dei casi Grezzi: 1) si ordiao le categorie 2) si calcolao le frequeze cumulate 3) si idetifica la posizioe mediaa 4) si trova, tramite la distribuzioe delle frequeze cumulate, il "valore" corrispodete POSMe= 1 2 Me= x POSMe * POSMe = caso idividuato * = umero dei casi * dispari: valore corrispodete a POSMe * pari: Media aritmetica dei valori attoro a POSMe Nota: se >30 al umeratore si può scrivere soltato ivece che +1 No Sì Sì Mediaa (Me o Md) Valore che occupa la posizioe cetrale i ua distribuzioe ordiata Raggruppati i classi: Formula geerale quado si ha a che fare co dati cotiui POSMe= 1 2 Me= X li POSMe f licum Amp f i Procedura: 1) si idividua la posizioe mediaa POSMe 2) tra le frequeze cumulate si idividua quella che "cotiee" POSMe 3) si trova il valore x, o la classe, che corrispode alla frequeza cumulata 4) ifie si calcola il valore esatto della Mediaa co la secoda formula, dove: Xli = limite reale iferiore della classe che cotiee la Mediaa flicum = frequeza cumulata della classe precedete a quella che cotiee la Mediaa Amp = ampiezza della classe che cotiee la Mediaa fi = frequeza della classe che cotiee la Mediaa Nota: le cosiderazioi fatte per la Mediaa soo valide per qualsiasi Quatile No esiste, ma si possoo cosiderare i valori subito prima e subito dopo No Sì Sì l l Pagia 1

2 Sitetizzao u isieme di misure co u uico valore rappresetativo Tabella aggiorata al: 26 ovembre 2011 Idicatori di tedeza cetrale e di posizioe Dati qualitativi Idice (Idicatore) Defiizioe Dati Formula Nota Nomiale Ordiale Scale Dati cosiderabili sia qualitativi che quatitativi Dati quatitativi Itervalli equivaleti Rapporti equivaleti Puto medio o cetrale (detto ache Xcetrale, Xc) Semisomma dei limiti iferiore e superiore p m = l l i s 2 Grezzi l = limite (iferiore e superiore) No Sì Sì Sì Quartile Decile Cetile (o Percetile) Detti geeralmete Quatili: valori della distribuzioe i corrispodeza dei quali la distribuzioe viee suddivisa i 4, 10 o 100 parti Grezzi: trovata la posizioe dei vari Quatili, si legge il valore corrispodete V PosQi Nota: per i dati raggruppati i classi si rimada alla relativa formula della Mediaa per poi aturalmete adattarla PosQ i = 1 4 i PosD i = 1 10 i PosC i = i Se la posizioe calcolata o è u itero, per trovare il valore corrispodete si applica la formula: V = V s V i q V i Vs = valore superiore Vi =valore iferiore q = la quatità che eccede la posizioe del Vi rappreseta No soltato la Sì Sì posizioe Pagia 2

3 Specificao la variabilità dei dati Idicatori di Variabilità (o Dispersioe) Dati qualitativi Idice (Idicatore) Defiizioe Dati Formula Nota Nomiale Ordiale Campo di Variazioe Tabella aggiorata al: 26 ovembre 2011 Esprime l'ampiezza della variazioe dei valori misurati Scale Dati cosiderabili sia qualitativi che quatitativi Dati quatitativi Itervalli equivaleti Grezzi Molto sesibile a valori aberrati. Corrispode alla Gamma. Se la distribuzioe di frequeza è i classi si calcola la differeza tra i puti medi delle classi estreme (sup e if) C v = x max x mi C v = p m Ksup p m Kif Rapporti equivaleti Differeza iterquatilica (DI) Idice di variabilità delle misure DI =Q 3 Q 1 o molto Raggruppati i classi No Sì Sì sigificativa Scarto Semplice Medio (SSM) o Scostameto Variaza (idicata co s 2 o V (x) quado ci si riferisce al campioe, σ 2 (sigma quadro) se ci si riferisce alla popolazioe) Media delle differeze, i valore assoluto, della Media della distribuzioe Media del quadrato degli scostameti dalla Media. La parte al umeratore viee defiita deviaza e può essere scomposta Grezzi Questo idice è molto meo usato rispetto alla variaza i=1 Poiché la somma degli scarti dalla media è zero, si sommao gli scarti x i x 2 elevati al quadrato. Se >30 al deomiatore si può mettere soltato al posto di -1. Il fatto che la Variaza è u valore quadratico e che quidi Grezzi s 2 i=1 = o ha la stessa uità di misura della Media, la rede poco descrittiva 1 ell'osservazioe immediata dei dati; per questo si usa spesso la Deviazioe stadard Raggruppati i classi c=1 k = umero delle classi Formula abbreviata (utile se si dispoe di ua calcolatrice) SSM= s 2 = s 2 = k 2 x i i=1 x i x f c x c x 2 f c i=1 x i 2 I pratica è sufficiete calcolare le somme delle x i e delle x i2. Deviazioe stadard (o scarto quadratico medio) Idica di quato, mediamete, i dati osservati si discostao dalla loro Media ed è la radice quadrata della Variaza s= i =1 Si idica co s se si tratta di dati osservati su campioi, metre si idica Grezzi x i x 2 co σ (sigma) se si tratta di distribuzioi teoriche riferite alla popolazioe. Spesso si idica ache come DS(x) s= k j =1 f j x c j x 2 Raggruppati i classi Rappreseta u idicatore di dispersioe relativa Coefficiete di Variazioe (CV) Sitetizza il rapporto tra la Deviazioe stadard e la Media CV = s x 100 Idica la dispersioe dei puteggi usado come uità di misura la media dei puteggi stessi: è quidi u idicatore di variabilità relativa Pagia 3

4 Utilizzati per adeguare la misura ad ua scala stadard co Media e Variaza ote Stadardizzazioe Dati qualitativi Idice (Idicatore) Defiizioe Dati Formula Nota Nomiale Ordiale puto z Stadardizzazioe dei valori della x attraverso i puti z Tabella aggiorata al: 27 ovembre 2011 Idica la posizioe del dato i termii di distaza dalla media La Distribuzioe Normale (DN) viee trasformata i Distribuzioe Normale Stadard (DNS) co μ=0 e σ=1 trasformado i valori della x i puti z z i = x i x s Se il puto z è egativo, sigifica che xi è al di sotto della Media, viceversa, se il puto z è positivo, xi è u valore sopra alla Media. * * * È possibile procedere a trasformazioi lieari dei puti z attraverso la formula: Y =a bz Y = x sz Scale Dati cosiderabili sia qualitativi che quatitativi Dati quatitativi T =50 10 z Valori di a e b per la formula: Questa trasformazioe i lieare evita i valori M = 50 scala T puti z egativi e decimali dei S = 10 puti z Itervalli equivaleti a = Media b = Deviazioe stadard Grezzi Dopodiché si possoo stadardizzare i valori della x co la formula dei puti z. I tal modo diveta possibile utilizzare u'uica Tavola (Tav. A) dove soo riportate le aree della curva i corrispodeza dei diversi valori di z Rapporti equivaleti scala ste (stadard te) Permette di otteere ua uova scala co 10 categorie stadardizzate puti z ste=5,5 2 z i Valori di a e b per la formula: M = 5,5 S = 2 scala staie (stadard ie) Permette di otteere ua uova scala co 9 categorie stadardizzate puti z staie=5 2 z i Valori di a e b per la formula: M = 5 S = 2 età metale età metale = puteggio otteuto attraverso dei test specifici Q.I.= --- età croologica 100 QI Quoziete di itelligeza puti z Procedura No No Sì No QI = z Q.I. 1) si calcola il puto z del Q.I. 2) si fa la trasformazioe lieare co i valori di a e b: M=100 e s=15 puti St puti z St=5 1 z i Valori di a e b per la formula: M = 5 S = 1 POSx è la posizioe che il valore di x occupa ella distribuzioe dei valori che deve essere prevetivamete ordiata i maiera crescete RP x i = POS x i Grezzi Nota: aturalmete è possibile calcolare ache i Raghi Quartili o Decili No Sì Sì Sì sostituedo il 100 al umeratore co, rispettivamete, 4 o 10 Pagia 4

5 Stadardizzazioe Raghi percetili (o quartili o decili) Il Rago percetile di u puteggio x, RP(x), è la percetuale di dati che assumoo u valore uguale o miore di x POScl xi = f licum x x li f ai i 1) si ordiao le classi (iseredo ache quelle macati) 2) si calcolao le frequeze cumulate 3) si idetifica la classe che cotiee il valore x 4) si determia la POScl(xi) Raggruppati i classi 5) si trasforma la posizioe i RP No Sì Sì Sì RP x i = POScl x i flicum = frequeza cumulata fio alla classe precedete xli = limite reale iferiore della classe che iclude x ai = ampiezza della classe che iclude x fi = frequeza della classe puto t (distribuzioe t di Studet ) La distribuzioe t di Studet viee utilizzata per defiire degli itervalli di cofideza per la media di ua popolazioe t i = X M i σ σ = s 1 Se la distribuzioe campioaria della media (DCM) o ha forma ormale (tipicamete quado <=30), se la variaza della popolazioe (σ 2 ) o è ota, allora si fa riferimeto alla distribuzioe "t di Studet" co dove (-1) gradi di libertà (GDL). No cooscedo la variaza della popolazioe (σ 2 ), la verifica dell'ipotesi sulla media della popolazioe (μ) si effettua sostituedo alla Deviazioe stadard (errore stadard) σ la sua stima Pagia 5

6 Scarto Semplice Medio (SSM) Valori (Xi) Xi-Media 4 0, , , ,250 4,25 5,500 Media = 4 δ= 1,375 Pagia 6

7 Variaza e Deviazioe stadard Valori (Xi) Xi-Media (Xi-Media) 2 4-0,250 0,06 7 2,750 7,56 2-2,250 5,06 4-0,250 0,06 4,25 12,75 Media = 4 s 2 = 4,250 Variaza s= 2,062 Deviazioe stadard Pagia 7

8 Proprietà della DCM Proprietà della Distribuzioe Campioaria della Media (DCM) rispetto alla Distribuzioe della popolazioe Parametri della Distribuzioe della popolazioe Parametri della Distribuzioe Campioaria della Media (DCM) Deviazioe Caso Media Variaza Forma Ampiezza () Media Variaza stadard (errore Forma stadard) 1 Nota Qualsiasi >30 x = 2 x = 2 x = Normale 2 Nota Normale Qualsiasi x = 2 x = 2 Normale x = 3 Igota Normale >30 2 x = s 2 x = campioe x = s campioe 1 1 Normale 4 Igota Normale 30 x = 2 x = s 2 campioe x = s campioe 1 1 t di Studet Pagia 8

9 chi quadrato chi quadrato Tipo formaggio Prefereze (fo) fo: frequeze osservate F1 20 ft: frequeze teoriche F2 39 F k Tipo formaggio F1 Prefereze (fo) 20 ft=/k 28 fo-ft -8 (fo-ft) 2 64 (fo-ft) 2 /ft 2,29 F ,32 F ,32 6,93 chi 2 Residuo stadardizzato Tipo formaggio F1 Prefereze (fo) 20 ft=/k 28 fo-ft -8 radice di ft 5,29 (fo-ft)/radice di ft -1,51 verifico se >±2 No F ,29 2,08 Sì F ,29-0,57 No Legeda iput formule risultato Pagia 9

10 Verifica delle ipotesi sulla forma della distribuzioe el caso di due campioi Verifica delle ipotesi sulla forma della distribuzioe el caso di due campioi Tavola di cotigeza: composizioe della tabella della distribuzioe dei soggetti per le varie categorie e calcolo dei margiali A B C =1A+1B+1C =2A+2B+2C =1A+2A =1B+2B =1C+2C =tot (righe+coloe) frequeze margiali di coloa ovvero: A B C frequeza margiale di riga Calcolo delle frequeze teoriche (ft): si calcolao per ogi cella moltiplicado i corrispodeti totali margiali di riga e di coloa e dividedo il prodotto per il totale geerale (ell'ipotesi che H0 sia vera) A B C 1 11,33 10,52 12, ,67 15,48 17,86 Cofroto tra frequeze osservate (fo) e frequeze teoriche (ft) Cella 1-A fo 20 ft 11,33 (fo-ft) 8,67 (fo-ft) 2 75,11 (fo-ft) 2 /ft 6,63 1-B 6 10,52-4,52 20,46 1,94 1-C 8 12,14-4,14 17,16 1,41 2-A 8 16,67-8,67 75,11 4,51 2-B 20 15,48 4,52 20,46 1,32 2-C 22 17,86 4,14 17,16 0,96 16,78 Chi 2 (X 2 ) Calcolo del Residuo stadardizzato per capire quale dei valori è più sigificativo Cella fo ft (fo-ft) (fo-ft)/ la radice di ft Verifica se è > 2 1-A 20 11,33 8,67 2,57 Sì C'è ua relazioe sigificativa 1-B 6 10,52-4,52-1,39 No 1-C 8 12,14-4,14-1,19 No 2-A 8 16,67-8,67-2,12 Sì C'è ua relazioe sigificativa 2-B 20 15,48 4,52 1,15 No 2-C 22 17,86 4,14 0,98 No Nota: calcolo semplificato del chi quadrato el caso di tabelle di cotigeza 2x2 A B A+B C D C+D A+B B+D N (totale) chi 2 N AD BC 2 = A B C D A C B D Pagia 10

11 Tabella sulla correlazioe lieare Livello di misura Relazioe tra 2 variabili misurate almeo su scale a itervalli equivaleti Relazioe tra 2 variabili dicotomiche e ordiali Idice di correlazioe r di Bravais-Pearso r phi Relazioe tra 1 variabile dicotomica e 1 variabile misurata almeo su scala a itervalli equivaleti r puto-biseriale (r pb ) Relazioe tra 2 variabili misurate su scala ordiale Relazioe tra 1 variabile su scala ordiale e 1 su scala a itervalli o rapporti equivaleti ρ (rho) di Spearma (rs) Pagia 11

12 r di Pearso (per variabili a livello degli itervalli equivaleti) r di Pearso Cosumo pro capite di Tasso di mortalità per cacro sigarette el 1930 ai polmoi el 1950 Nazioe X Y XY X 2 Y 2 Islada Norvegia Svezia Daimarca Australia Olada Caada Svizzera Filadia Gra Bretaga Stati Uiti N X Y XY X 2 Y 2 Legeda iput umeratore ,45 XY-(( X* Y)/N) formule deomiatore ,32 Radice( X 2 -(( X) 2 )/N) * Radice( Y 2 -(( Y) 2 )/N) risultato r di Pearso= 0,738 Verifica delle ipotesi Co -2 gdl la r di Pearso si distribuisce come la t di Studet t= 3,277 t=r*radice((-2)/(1-r2)) 500 Diagramma di dispersioe (L. Evagelisti) Scatterplot 400 Valori della Y Nazioe Valori della X Pagia 12

13 rphi Variabili a b c d e f g h i j X Y r phi (per variabili dicotomiche e ordiali) Legeda Dom Y iput 1 0 formule 1 fa fb p Dom X risultato 0 fc fd q p' q' Dom X Dom Y r phi 0,07 r phi = ((fa*fd) (fb*fc)) / radice(p*p'*q*q') chi 2 0,04 chi 2 = * r 2 phi Pagia 13

14 puto-biseriale (rpb) r pb (puto-biseriale) Test attitudiale cui si può rispodere giusto (Y=1) o errato (Y=0) Esempio: verificare, p.e., se l item 3 va ello stesso verso del totale del test Domada: quado u soggetto ha u puteggio alto el test, rispode correttamete all'item 3 e viceversa? Soggetti Item 1 Item 2 Item 3 Item 4 Item 5 Item 6 Item 7 Tot (X) Tot (X) M X X-M (X-M) 2 a ,636 1,364 1,860 b ,636 2,364 5,587 c ,636 0,364 0,132 d ,636-2,636 6,950 e ,636 0,364 0,132 f ,636-2,636 6,950 g ,636-0,636 0,405 h ,636 1,364 1,860 i ,636 2,364 5,587 l ,636-1,636 2,678 m ,636-0,636 0, ,636 (X-M) 2 = (X-M) 2 /= 32,55 2,96 Legeda Procedura per passi Deviazioe stadard (s x ) radice( (X-M) 2 /)= 1,72 iput 1) calcolo la media del totale quado Item 3 =1 5,250 formule valori calcolati maualmete 2) calcolo la media del totale quado Item 3 =0 3) calcolo della deviazioe stadard (s x ) 3,000 1,72 risultato 4) coteggio degli co valore 1 8 5) coteggio degli co valore 0 6) 1 / 7) 0 / 8) radice(( 1 /)*( 0 /)) 9) calcolo del puto biseriale r pb 2 10) calcolo r pb 3 0,73 0,27 0,45 0,58 0,34 11) trasformazioe di r pb i t di Studet 2,150 Calcolo della s x della variabile cotiua Pagia 14

15 rs (o rho) di Spearma (correlazioe tra raghi) rho di Spearma C è cocordaza tra le due graduatorie? Soggetti X Y d = X-Y a b c d e d 2 = 20 Legeda iput rs= 1 - (6 * d 2 ) / ( * ( 2-1) formule rs= 0 valori calcolati maualmete risultato se 30: valori tabulati di rs i fuzioe di α e di se > 30: si trasforma rs i t di Studet co (-2) gdl d 2 t di Studet= rs * radice (( 2)/(1 - rs)) t di Studet= 0 Pagia 15

16 Regressioe semplice Y ' =a bx Regressioe semplice VI variabile VD variabile Valore teorico Per il calcolo dell'errore idipedete dipedete della VD stadard della stima soggetti X Y XY X 2 Y 2 Y' (Y-Y') (Y-Y') 2 a ,750 0,250 0,063 b ,875-6,875 47,266 c ,375-5,375 28,891 d ,000 2,000 4,000 e ,375 6,625 43,891 f ,500-4,500 20,250 g ,125 7,875 62,016 = ,38 Medie= 4,143 38,429 b= N XY X Y N X 2 X 2 a= Y b X b (coefficiete agolare)= 9,125 a (itercetta)= 0, Retta di regressioe (iterpolazioe della uvola dei puti) s e = Y Y ' 2 N 2 s e (errore stadard della stima)= 41,275 Y Y Y' 20 Legeda iput formule risultato X Pagia 16