Note di Algebra lineare. Prof. Domenico Olanda. Anno accademico

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1 Note di Algebr liere Prof. Domeico Old Ao ccdemico

2 Prefzioe Questo volume rccoglie gli pputi di lcue lezioi di lgebr liere e geometri d me svolte presso l Fcoltà di Scieze dell'uiversità "Federico II" di Npoli. L prim prte è dedict llo studio degli spzi vettorili di dimesioe fiit. L ozioe di determite di u mtrice qudrt e le rgioi del suo utilizzo soo gli spetti essezili del secodo cpitolo. Lo studio e l risoluzioe dei sistemi di equzioi lieri è l rgometo sviluppto el terzo cpitolo. Il qurto cpitolo è dedicto llo studio dei prodotti sclri di uo spzio vettorile rele. Il problem dell trigolzioe di u mtrice qudrt e dell digolizzzioe di u edomorfismo soo gli spetti essezili del quito cpitolo. L ultimo cpitolo, il sesto, è dedicto llo studio delle fuzioi lieri simmetriche. L vstissim lettertur sugli rgometi trttti o giustific l stesur di queste ote le quli ho solo lo scopo di iutre gli studeti che ho seguito le mie lezioi, ell preprzioe dell'esme. Srà utile per lo studete itegrre lo studio di questi pputi co l lettur di qulche ltro testo sugli stessi rgometi e di livello uiversitrio.

3 3 C A P I T O L O I Spzi vettorili

4 4. Gruppi belii. U'operzioe (iter) i u isieme S è u'ppliczioe : S S S di S S i S. Deoteremo co y l'immgie di sull coppi (, y) e leggeremo " composto y ". L'operzioe è dett ssocitiv se risult :,y,z S, ( y ) z = (y z ). L'operzioe è dett commuttiv se risult :,y S, y = y. U elemeto e di S è detto eutro rispetto ll'operzioe se risult : S, e = e = Evidetemete se esiste l'elemeto eutro rispetto ll'operzioe esso è ' uico Sio iftti e ed e' due elemeti eutri rispetto ll'operzioe, si h llor e = e e' = e'. Si (S, ) u isieme muito di u'operzioe e dott di elemeto eutro e. U elemeto ' è detto simmetrico dell'elemeto se risult : ' = ' = e Se l'operzioe è ssocitiv il simmetrico di u elemeto se esiste, è uico. Sio iftti ' ed " due simmetrici dell'elemeto, si h llor, i bse ll defiizioe ' = ' = " = " = e. e coseguetemete : '= ' e= ' ( ")= (' ) " = e " = " Si S u isieme muito di u'operzioe. L coppi (S, ) è dett u gruppo se soo verifict le segueti proprietà : ( i ) l operzioe è ssocitiv ; ( ii ) esiste l'elemeto eutro per l operzioe. ( iii ) ogi elemeto di S è dotto di simmetrico. Qudo l'operzioe è ltresì commuttiv il gruppo (S, ) è detto belio o commuttivo.

5 5 Qudo come sego per l'operzioe si us il simbolo +, si dirà che è stt dottt l otzioe dditiv ed i tl cso l'elemeto eutro, se esiste, si idic co 0 e viee detto zero ed il simmetrico di u elemeto viee idicto co - ed è detto opposto di. Se come simbolo per rppresetre l'operzioe si us il simbolo. si dirà che è stt dottt l otzioe moltiplictiv ; i tl cso l'elemeto eutro se esiste viee idicto co e viee detto uità ed il simmetrico di u elemeto viee idicto co - o co Dimo or lcui esempi di gruppi. e viee detto iverso di. ESEMPIO I. Si Z = {..-, -, 0,,.. } l isieme degli iteri reltivi e + l usule ddizioe tr iteri. Lo studete verifichi che ( Z, + ) è u gruppo belio. ESEMPIO II. Si Q l'isieme dei umeri rzioli e si + l'usule ddizioe tr umeri rzioli. Lo studete verifichi che l coppi (Q, +) è u gruppo belio. ESEMPIO II. Si Q* l'isieme dei umeri rzioli o ulli e si. l'usule moltipliczioe tr umeri rzioli. Lo studete verifichi che (Q*,.) è u gruppo belio. ESEMPIO III. Si R l'isieme delle -uple ordite di umeri reli. Defiimo i R l seguete operzioe di ddizioe: ( l,,..., ) + (y, y,..., y ) = ( l + y, + y,.., + y ) Lo studete verifichi che ( R, + ) è u gruppo belio. ESEMPIO IV. U mtrice A di tipo (m,) (co m, N ) d elemeti reli è u tbell di m umeri reli disposti su m righe ed coloe. Idicdo co ij il umero che si trov ell rig di posto i e ell colo di posto j A può così scriversi A =... m m m o semplicemete co A = ( ij ).

6 6 Idichimo co M m (R) l'isieme di tutte le mtrici di tipo (m,) co elemeti reli. Defiimo i M,m (R) l seguete operzioe di ddizioe : ( ij ) + ( b ij ) = ( ij + b ij ) Rispetto tle operzioe l'isieme M m (R) è u gruppo belio vete come elemeto eutro l mtrice 0 = ( 0 ) d elemeti tutti ulli e come opposto di ogi elemeto A=( ij ) l mtrice - A = (- ij ) ESEMPIO V. Si R l isieme dei umeri reli. Deotimo co R [,,.., ] l'isieme dei poliomi di grdo l più uo coefficieti i R elle idetermite (,.. ). Se o + i e b o +b b soo due sifftti poliomi si defiisce somm dei due il seguete poliomio o + b o + ( + b ) ( + b ) E' fcile verificre che rispetto tle operzioe l'isieme R [,,.., ] è u gruppo belio.. Nozioe di cmpo. Si K u isieme co lmeo due elemeti e muito di due operzioi itere che idicheremo rispettivmete co + e. Chimeremo somm e prodotto le due operzioi + e.. Supporremo che l operzioe + bbi elemeto eutro che idicheremo co 0 ed esist u elemeto diverso d 0 e che idicheremo co che si elemeto eutro per l operzioe prodotto. L ter (K, +,. ) è dett u cmpo se soo verificte le segueti proprietà : ) (K, +) è u gruppo belio ; ) il prodotto è ssocitivo e commuttivo ; 3) ogi elemeto diverso d zero h iverso ;

7 7 4) per ogi ter,b,c di K si h (b+c)= b + c (proprietà distributiv del prodotto rispetto ll somm ). I u cmpo vlgoo le segueti ulteriori proprietà : i) Per ogi K risult 0 = 0. Dimostrzioe. (b+0) = b = b + 0 e ciò implic 0 = 0. ii) Il prodotto di due elemeti è zero se e solo se uo dei due elemeti è zero. Si h cioé b = 0 se e solo se = 0 oppure b = 0. Dimostrzioe. Se =0 oppure b=0 per l i) è b = 0. Vicevers suppoimo b = 0. Se = 0 l'sserto è provto ; se 0 moltiplichimo mbo i membri dell'ugugliz b=0 per l'iverso - di. I tl modo si h : - (b)= -l 0 = 0 ; poiché il prodotto è ssocitivo risult - (b) = ( - )b = b = b = 0 e l'sserto è così provto. D quto or provto segue che se e b soo due elemeti di K diversi d zero llor il loro prodotto b è diverso d zero. Se poimo K* = K -{0} llor è fcile cotrollre che (K*,. ) è u gruppo belio. Soo esempi di cmpi : l'isieme dei umeri rzioli ; l'isieme dci umeri reli; l'isieme dei umeri complessi, (rispetto lle usuli operzioi di ddizioe e moltipliczioe).

8 8 3. Spzi vettorili su u cmpo. Si (K, +,. ) u cmpo i cui elemeti sro detti sclri e si V u isieme i cui elemeti sro detti vettori co due operzioi : u di ddizioe tr vettori + : V V V e l'ltr di moltipliczioe ester * : K V V. l qule f corrispodere d ogi coppi (α, v) sclre- vettore cor u vettore idicto co α * v L isieme V è detto uo spzio vettorile sul cmpo K, rispetto lle operzioi + e *, se soo verificte le segueti proprietà : (3.) (V, +) è u gruppo belio ; (3.) α * v + α * w = α * (v + w) (3.3) α * v + β * v = (α + β ) * v (3.4) * v = v (co si è idict l'uità di K) (3.5) (α. β ) * v = α * ( β * v ) ( per ogi coppi di sclri α, β e per ogi coppi di vettori v, w di V ). Nel seguito per semplicità, scriveremo αβ ziché α. β ed αv ziché α * v. Idicheremo usulmete co lettere greche gli sclri e co lettere ltie i vettori. Il vettore ullo (elemeto eutro rispetto ll somm i V ) srà idicto co 0 distiguedolo così dllo zero di K che srà idicto co 0. Dimo or lcui esempi di spzi vettorili :

9 9 ESEMPIO. Si K u cmpo. Nell'isieme K ( N, ) delle -ple ordite di elemeti di K itroducimo le segueti due operzioi di somm e prodotto: ( l,,..., ) + (b l,b,...,b ) = ( + b, + b,..., + b ) α * ( l,,..., ) = (α l, α. α ) E' o difficile cotrollre che rispetto tli operzioi l'isieme K è uo spzio vettorile su K. Tle spzio è detto spzio vettorile umerico di dimesioe sul cmpo K. ESEMPIO. Nell'isieme M m, (K) delle mtrici di tipo m, d elemeti el cmpo K defiimo le segueti due operzioi di ddizioe e prodotto estero ( ij ) + ( b ij ) = ( ij + b ij ) α * ( ij ) = ( α ij ) Lo studete verifichi che rispetto tli operzioi l'isieme M m, (K) è uo spzio vettorile su K. ESEMPIO 3. Deotimo co K[,,.., ] l'isieme dei poliomi di grdo l più uo elle idetermite (,.. ) coefficieti el cmpo K. Defiimo i K[,,.., ] le segueti due operzioi di ddizioe e prodotto estero : ( o ) + (b o +b b ) = o + b o + ( + b ) ( + b ) α * ( o ) = α o + α α Si verifichi che rispetto tli due operzioi l'isieme K[,,.., ] è uo spzio vettorile sul cmpo K. Alizzimo or lcue proprietà vlide i uo spzio vettorile V su u cmpo K. Ricordimo che idicheremo co 0 il vettore ullo di V, cioè l'elemeto eutro rispetto ll somm

10 0 defiit i V, e co 0 lo zero di K.. Per ogi vettore v si h 0 v = 0. Dimostrzioe. Si scelg uo sclre α. Si h : (α + 0)v = α v + 0 v = α v e quest comport 0v = 0.. Per ogi sclre α risult α 0 = 0. Dimostrzioe. Si v u vettore, si h : α ( 0+ v)= α 0 + α v = α v e quest comport α 0 = Per ogi sclre α e per ogi vettore v risult : α v = 0 se e solo se è α = 0 oppure v = 0 Dimostrzioe. Se α = 0 oppure è v = 0 llor per e è α v = 0. Vicevers suppoimo α v =0 ed α 0. Moltiplicdo mbo i membri dell egugliz α v =0 per si h ( α v )= 0 = 0 α α α d cui segue ( α v ) = ( α ) v = v = v = 0. α α 4. Per ogi sclre α e per ogi vettore v si h : -(α v) = (-α)v = α(-v) Dimostrzioe. D (α v) + (-α)v = 0v = 0 segue che è (-α)v = -(α v). D α v + α(-v) = α 0 = 0 segue che è α(-v) = -(α v).

11 Si osservi che dll 4 segue che qudo si moltiplic u vettore v per lo sclre - si ottiee il vettore -v opposto di v. Si V uo spzio vettorile sul cmpo K. U sottospzio di V è u suo sottoisieme o vuoto H verificte le segueti due proprietà : ( i ) v, w H => v + w H ( ii ) α K, v H => α v H Ogi sottospzio cotiee lmeo il vettore ullo. Iftti poiché H è o vuoto esso possiede lmeo u vettore v. Moltiplicdo v per 0 si ottiee, per l (ii), cor u vettore di H e quidi H possiede il vettore ullo. Evidetemete scegliedo H = {0} oppure H = V si relizz u sottospzio. Tli sottospzi soo detti bli. Come si possoo costruire sottospzi o bli? Vedimo. Sio v,v,...,v h, h vettori ed α l, α,. α h, h sclri. Cosiderimo il vettore w dto d w = α l v + α v +. + α h v h il vettore w così otteuto si dice che è combizioe liere dei vettori v,v,...,v h o si dice che w dipede liermete di vettori v,v,...,v h. Gli sclri α l, α,. α h che figuro ell espressioe w = α l v + α v +. + α h v h soo detti i coefficieti dell combizioe liere. Si or H l'isieme dei vettori w ciscuo dei quli si u combizioe liere dei vettori v,..., v h. Evidetemete H è u sottospzio di V ; esso è detto sottospzio geerto di vettori v,..., v h e viee idicto col simbolo [v,v,...,v h ]. Qudo ogi vettore di V è esprimibile come combizioe liere dei vettori v l,...,v h cioè

12 qudo risulti V = [v,..., v h ] llor il sistem { v,v,...,v h } è detto u sistem di geertori per lo spzio vettorile V e lo spzio V è detto fiitmete geerbile ( i quto ttrverso u umero fiito di suoi vettori si possoo geerre tutti gli ltri ). Noi supporremo sempre che lo spzio vettorile V ssegto si fiitmete geerbile e o ridotto l solo vettore ullo. A titolo di esempio si cosideri lo spzio vettorile V = R i cui vettori soo le coppie ordite di umeri reli. Si scelgo i V i segueti sistemi di vettori : S = {(, 0 ), (0, )} S = { (, 0 ), (0, ), (, 3 ) } S 3 = { (, 0 ), (3, ) } S 4 = { (, 0 ), (4, 0) } I vettori di S soo u sistem di geertori i quto ogi coppi (, b ) risult u loro combizioe liere risultdo precismete (, b ) = (, 0 ) + b (0, ) I vettori di S soo ch essi u sistem di geertori i quto ogi ltr coppi (, b ) risult u loro combizioe liere risultdo d esempio (, b ) = (, 0 ) + b (0, ) + 0 (, 3 ) I vettori di S 3 soo ch essi u sistem di geertori se ogi ltr coppi (, b ) risult u loro combizioe liere cioè se si possibile trovre due umeri α e β tli che risulti : (, b ) = α (, 0 ) + β (3, ) Quest relzioe è equivlete :

13 3 (, b ) = (α + 3 β, β ) e quidi bst scegliere β = b ed α = 3b. I vettori di S 4 o soo u sistem di geertori i quto le sole coppie che si possoo costruire co le coppie (, 0 ), (4, 0) soo le coppie del tipo (, 0 ). Si osservi che i vettori di S soo u sistem di geertori m ltresì risulto quelli di S. Nel sistem S i due vettori soo etrmbi essezili perché co u solo dei due o si potrebbe costruire l ltro. Nel sistem S l ultimo vettore sembr ivece svolgere u ruolo mrgile per l costruzioe degli ltri vettori. Come si può decidere,i presez di u sistem di geertori, quli vettori sio idispesbili e quli o? Per rispodere quest domd occorre itrodurre l seguete ozioe dipedez ed idipedez liere di u sistem di vettori. Sio ssegti h vettori v,v,...,v h. Il vettore ullo è geerto di vettori v,v,...,v h i modo molto semplice qudo si moltiplichi oguo di essi per 0, si h cioè : 0 = 0 v + 0 v v h Se quest è l uic possibilità che bbimo per costruire il vettore ullo prtire di vettori v,v,...,v h llor tli vettori vegoo detti liermete idipedeti. Qudo i vettori o soo liermete idipedeti essi vegoo detti liermete dipedeti. Quidi ribdedo se i vettori v,v,...,v h soo liermete dipedeti llor esistoo h sclri α l, α,. α h o tutti ulli, tli che risulti α l v + α v +. + α h v h = 0 Le proposizioi che seguoo iuto stbilire se lcui vettori ssegti sio o meo liermete dipedeti. Proposizioe 3. I vettori v,v,...,v h soo liermete dipedeti se e solo se uo di essi dipede di rimeti.

14 4 Dimostrzioe. Suppoimo che i vettori v,v,...,v h sio dipedeti. Esistoo llor h sclri α l, α,. α h o tutti ulli, tli che risulti (*) α l v + α v +. + α h v h = 0 supposto d esempio che si α l 0 dll (*) segue : v = - (α v +. + α h v h ) = β v +. + β h v h α vedo posto β i = - α α i i =,, h, e quidi bbimo mostrto che uo dei vettori, i questo cso v, dipede di rimeti. Vicevers suppoimo che uo dei vettori diped di rimeti e per fissre le idee suppoimo si l ultimo di essi dipedere di rimeti. Si quidi v h = α l v + α v +. + α h- v h-. D quest relzioe segue 0 = α l v + α v +. + α h- v h- - v h = α l v + α v +. + α h- v h- + (- )v h l qule mostr che i vettori soo liermete dipedeti i quto il vettore ullo è stto otteuto co sclri o tutti ulli figurdo tr essi lo sclre -. Dll proposizioe or provt segue quest proprietà che ci srà spesso utile el seguito. Proposizioe 3. Sio v e w due vettori etrmbi o ulli. I vettori v e w soo dipedeti se e sole essi soo proporzioli. U ltr coseguez dell proposizioe 3. è l seguete Proposizioe 3.3 Se uo dei vettori v,v,...,v h è il vettore ullo llor i vettori v,v,...,v h soo liermete dipedeti. Se due dei vettori v,v,...,v h soo tr loro proporzioli llor i vettori v,v,...,v h soo liermete dipedeti. Ovvimete l proposizioe 3. che crtterizz i sistemi di vettori liermete dipedeti equivle ll proposizioe che segue e che serve crtterizzre i sistemi di vettori liermete idipedeti.

15 5 Proposizioe 3.4 I vettori v,v,...,v h soo liermete idipedeti se e solo se essuo di essi dipede di rimeti. Ritordo gli esempi precedeti possimo llor osservre che :. I vettori di S soo idipedeti i quto o proporzioli.. I vettori di S soo dipedeti i quto il terzo vettore dipede dgli ltri due. 3. I vettori di S 3 soo idipedeti i quto o proporzioli. 4. I vettori di S 4 soo dipedeti i quto proporzioli. Le cosiderzioi che seguoo giustifico l importz di poter stbilire se lcui vettori ssegti sio o meo dipedeti. Sio ssegti h vettori e si H = [v,v,...,v h ] lo spzio d essi geerto. Se i vettori v,v,...,v h soo dipedeti, uo di essi, suppoimo v, dipede di rimeti ed llor fcilmete si ricoosce che lo spzio geerto d v,v,...,v h coicide co lo spzio W geerto di soli vettori v,...,v h. Al fie di vlutre d quli vettori si costituito H sembr quidi o essezile l presez del vettore v che può quidi essere elimito. Se che i vettori v,...,v h fossero dipedeti llor uo di essi suppoimo si v dipede di rimeti. M llor lo spzio W geerto d v,...,v h coicide co lo spzio T geerto d v 3,...,v h e così che v può essere elimito vedo costtto che risult H = W = T = [v 3, v 4,...,v h ]. Tle procedimeto iterto si rresterà qudo o c è più u vettore che dipede di rimeti e cioè qudo i vettori rimsti sio liermete idipedeti. Queste cosiderzioi mostro che se i vettori v,v,...,v h soo u sistem di geertori per lo spzio V essi soo tutti essezili se essi risulto idipedeti. U sistem di geertori idipedeti è dett u bse dello spzio vettorile. Molto importte per ciò che segue è il seguete : Teorem di Steiitz. Sio ssegti due sistemi di vettori S ={,,..., m } e T = { b,b,...,b t }. Se i vettori di S soo liermete idipedeti ed oguo di essi dipede di vettori di T llor il umero dei vettori di S è miore o egule l umero di vettori di T, risult cioè m t. Dimostrzioe. Fremo l dimostrzioe rgiodo per iduzioe sull crdilità t di T.

16 6 Provimo che il teorem è vero se t=. Se t= llor T possiede u sol vettore b e oi dobbimo provre che che S o può vere più di u vettore. Suppoimo per ssurdo che S bbi lmeo due vettori,. Poiché ogi vettore di S dipede di vettori di T si h = α b ed = β b. Poiché i vettori di S soo idipedeti o può essere il vettore ullo e quidi è α 0. Risult llor β b = e quidi è =. S h quidi due vettori proporzioli e ciò è ssurdo perché i α α suoi vettori soo liermete idipedeti. Suppoimo quidi t > e vero il teorem per t -. Poichè ogi vettore di S dipede di vettori di T sussistoo le segueti relzioi : = α l b + α b +. + α t b t = β l b + β b +. + β t b t.. m = γ l b + γ b +. + γ t b t Poiché i vettori di S soo idipedeti o può essere il vettore ullo e quidi lmeo uo degli sclri α l, α,. α t è o ullo e suppoimo si α l 0. Dll prim relzioe si può llor ricvre b come combizioe di, b,,b t si h cioè per b u espressioe del tipo b = δ l + δ b +. + δ t b t Sostituimo or tle espressioe di b elle relzioi = β l b + β b +. + β t b t.. m = γ l b + γ b +. + γ t b t rimste e trovimo llor che vlgoo relzioi di questo tipo - k l = ζ b +. + ζ t b t.. m - k m = η b +. + η t b t

17 7 I vettori w = - k l,.., w m = m - k m, i umero di m- soo idipedeti, i quto se uo di essi dipedesse di rimeti che i S ci srebbe u vettore che dipede di rimeti, ed ioltre oguo di essi dipede di vettori b,, b t che soo i umero di t-. Poiché per t- il teorem è vero si h m- t- e quidi è, come si volev, m t. U prim importte coseguez del teorem or provto è l seguete Proposizioe 3.5 Si V uo spzio vettorile e si B = { e, e,., e } u su bse di crdilità. Ogi ltr bse di V h crdilità. Dimostrzioe. Si B = { b, b,., b t } u ltr bse di V.Applicdo due volte il teorem di Steiitz si h t e t e quidi t =. Abbimo così provto che le bsi di uo spzio vettorile fiitmete geerbile ho tutte l stess crdilità. Dett l crdilità comue tutte le bsi l itero è detto l dimesioe di V. Al fie di forire ulteriori iterpetrzioi dell itero, dimesioe di V, è molto utile l seguete : Proposizioe 3.6 Se i vettori v,v,...,v h, w soo dipedeti metre i vettori v,v,...,v h soo idipedeti llor il vettore w dipede di vettori v,v,...,v h. Dimostrzioe. Per ipotesi poiché i vettori v,v,...,v h, w soo dipedeti esistoo sclri (α, α l, α,. α h ) o tutti ulli per cui risulti : (*) α w + α l v + α v +. + α h v h = 0 Se fosse α = 0 vremmo d (*) 0w + α l v + α v +. + α h v h = 0 + α l v + α v +. + α h v h = = α l v + α v +. + α h v h = 0 e quest per l suppost idipedez dei vettori v,v,...,v h comporterebbe ltresì α l =0, α =0,..., α h =0 e quidi gli sclri (α, α l, α,. α h ) srebbero tutti ulli cotro il supposto. Pertto risult α 0 e quidi d (*) segue : w = - α (α l v + α v +. + α h v h ) = β l v + β v +. + β h v h

18 8 vedo posto β i = - α α i i=,,.., h. Possimo or provre l seguete Proposizioe 3.7 L itero è dimesioe dello spzio vettorile V se e solo se esso esprime il mssimo umero di vettori idipedeti che V possiede. Dimostrzioe. Suppoimo che lo spzio V bbi dimesioe e si B={ e, e,., e } u su bse. Se v,v,...,v h soo h vettori idipedeti qulsisi di V, poiché oguo di essi dipede di vettori di B, i forz del teorem di Steiitz, risult h. Pertto è il mssimo umero di vettori idipedeti di V. Vicevers suppoimo che V possegg vettori idipedeti v,v,...,v e che tle umero si il mssimo umero di vettori idipedeti che V possiede. Se w è u quluque vettore diverso di vettori v,v,..., v llor il sistem v,v,..., v, w, otteuto ggiugedo w i vettori v,v,...,v, vedo crdilità + è costituito d vettori liermete dipedeti. Per l proposizioe 3.6, w è quidi combizioe liere dei vettori v,v,...,v. Poiché che i sigoli vettori v i dipedoo d v,v,...,v llor v,v,...,v è u sistem di geertori per V e quidi essedo tli vettori che idipedeti essi costituiscoo u su bse e pertto V h dimesioe. L proposizioe 3.6 suggerisce u metodo per costruire isiemi di vettori idipedeti ed u bse di V. Vedimo come. Si cosideri u vettore v o ullo. Per l proprietà 3. di pg 9 il vettore v è idipedete. Si H = [v ] lo spzio geerto d v. Se H = V llor {v } è u bse di V. Se H V llor si v u vettore scelto i V- H. I vettori {v, v } per l proposizioe 3.6 soo idipedeti. Si H = [v, v ] lo spzio geerto di vettori {v, v }. Se H = V llor {v, v } è u bse di V. Se ivece è H V possimo scegliere u ulteriore vettore v 3 i V - H che ggiuto i vettori {v, v } drà luogo d u sistem di tre vettori {v, v, v 3 } idipedeti. Se lo spzio h dimesioe tle procedimeto srà iterto volte e ci cosetirà di costruire u bse di V. Abbimo quidi provto l seguete Proposizioe 3.8 Si V uo spzio vettorile di dimesioe e sio e, e,.., e t, t, ( t < ), vettori idipedeti di V. Si possoo llor ggiugere ltri -t vettori opportui e t+, e t+,.., e i modo che e, e,.., e t e t+, e t+,.., e si u bse di V.

19 9 Al fie di forire lcue crtterizzzioi delle bsi di uo spzio vettorile ci è utile richimre lcue semplici defiizioi. Si X u sottoisieme di u isieme S, ed X si muito di u cert proprietà p. Si dice che X è mssimle rispetto ll proprietà p se ogi isieme Y che coteg proprimete X o h più l proprietà p. Si dice che X è miimle rispetto ll proprietà p se ogi su prte propri o h più l proprietà p. Simo or i grdo di provre lcue importti equivleze: Proposizioe 3.9 Per u sistem S = {v, v,, v } di vettori di uo spzio vettorile V soo equivleti le segueti ffermzioi : ) S è u bse (cioè u sistem di geertori idipedeti ) b) S è mssimle rispetto ll proprietà di essere idipedete c) S è miimle rispetto ll proprietà di essere u sistem di geertori. d) S è u sistem idipedete di crdilità mssim. e) S è u sistem di geertori di crdilità miim. Dimostrzioe. Provimo che ) e b) soo equivleti. Mostrimo che ) implic b). Se ggiugimo d S u ulteriore vettore w il sistem {v, v,, v, w} è costituito d vettori dipedeti i quto,vedo supposto che {v, v,, v } soo u sistem di geertori, w è combizioe liere di {v, v,, v }. Pertto l isieme S rispetto ll proprietà di essere costituito d vettori idipedeti è mssimle. Vicevers suppoimo di spere che l isieme S si costituito d vettori idipedeti e si mssimle rispetto tle proprietà. Se ggiugimo d S u ulteriore vettore w il sistem {v, v,, v, w} è costituito d vettori dipedeti per l suppost mssimlità di S rispetto ll proprietà di essere costituito d vettori idipedeti. Per l proposizioe 3.5, w è llor combizioe liere dei vettori di S. Per l rbitrrietà di w e teedo coto che ogi vettore v i dipede d v, v,, v è provto che S è u sistem di geertori. Provimo che ) è equivlete c). Provimo che ) implic c). Se si priv S= {v, v,, v } di u suo vettore d esempio di v, i vettori{v,, v } che resto o soo più u sistem di geertori i quto essedo {v, v,, v } idipedeti essuo dei suoi vettori può essere geerto di rimeti. Pertto S è miimle rispetto ll proprietà di essere u sistem di geertori. Vicevers se sppimo che i vettori di S soo u sistem di geertori m miimle rispetto tle proprietà llor i suoi vettori soo idipedeti. Iftti se fossero dipedeti uo di essi e, per fissre le idee,

20 0 si il primo, dipede di rimeti. M llor come già visto i precedez risult [v,, v ] = = [v, v,, v ] = V. Quidi che T ={ v,, v } è u sistem di geertori pur essedo u prte propri di S il che v cotro l suppost miimlità di S rispetto ll proprietà di essere u sistem di geertori. L equivlez tr ) e d) è stt già cquisit co l proposizioe 3.7. Provimo ifie l equivlez tr ) ed e). Provimo che ) implic e). Se trovssimo t vettori w, w,, w t che geero V per il teorem di Steiitz risult t. Quidi ogi ltro sistem di geertori h crdilità lmeo. L itero esprime quidi l miim crdilità di u sistem di geertori e quidi l isieme S come sistem di geertori h crdilità miim. Vicevers se sppimo che S è u sistem di geertori e che come tle h crdilità miim llor i vettori v, v,, v che lo costituiscoo soo idipedeti. Iftti se fossero dipedeti uo di essi e, per fissre le idee, si il primo, dipede di rimeti. M llor come già visto i precedez risult [v,, v ]=[v, v,, v ]= V.Quidi che T ={ v,, v } è u sistem di geertori pur essedo di crdilità - metre vevmo supposto che fosse l crdilità miim di u sistem di geertori. Dlle proposizioi provte segue che se uo spzio vettorile V fiitmete geerbile h dimesioe, l itero può che essere defiito come il umero mssimo di vettori idipedeti che V possiede o come il umero miimo di geertori di V. Possimo or vlutre l dimesioe dello spzio vettorile umerico illustrto ell esempio I. ESEMPIO I. (K, +,. K). I tle spzio i vettori (, 0,.., 0), (0,,0.. 0),..,( 0, 0,.., ) soo u sistem di geertori i quto risult : (,0,..0) + (0,,.. 0) (0,0,...) = (,,..., ) I prticolre si h che solo 0 (,0,..0) + 0 (0,,.. 0) (0,0,...) = (0, 0,... 0) il che prov che essi soo che idipedeti. I vettori (, 0,.., 0), (0,,0.. 0),..,( 0, 0,.., ) soo quidi u bse, dett bse coic, di K che h quidi dimesioe. Aver stbilito che l dimesioe di K si ci cosetirà di sper vlutre semplicemete che l dimesioe degli ltri spzi vettorili mostrti egli ltri esempi II e III.

21 Per giustificre l ostr ffermzioe sro molto utili le cosiderzioi che seguoo. Cocludimo tle umero illustrdo u esempio di spzio vettorile sul cmpo rele di dimesioe tre che srà molto utilizzto el cpitolo dedicto ll geometri litic. ESEMPIO IV. Si cosideri u puto A dello spzio rele S e si V A l isieme di tutti i segmeti orietti AP di primo estremo A, l vrire di P i S. Idicheremo co AP l lughezz del segmeto AP. Qudo P = A il segmeto corrispodete AA h lughezz zero, srà chimto segmeto ullo, e srà idicto co 0. Se v = AP e w = AP soo due elemeti o ulli di V A si defiisce somm di v e w il segmeto v + w = AT otteuto col seguete procedimeto i ) se AP ed AP ho direzioe divers, AT è l digole del prllelogrmm di lti AP ed AP ii ) se AP ed AP ho l stess direzioe δ e lo stesso verso ν llor AT è il segmeto che h l direzioe δ e verso ν e lughezz AT = AP + AP. iii) se AP ed AP ho l stess direzioe δ m verso opposto llor AT è il segmeto ullo se AP = AP. Se ivece è AP AP ( supposto AP > AP ) llor AT h l direzioe δ il verso di AP e lughezz AT = AP - AP. Se v = AP e w = 0 ssumeremo v + 0 = v Se v = AP ed α è u umero rele. Si defiisce α v = AT il segmeto così otteuto. Il segmeto AT è ullo se α = 0 oppure se v = 0. Supposto v = AP o ullo ed α 0, llor dett δ l direzioe di AP e ν il verso di AP, il segmeto AT h : direzioe δ, lughezz AT = α AP, verso ν se α > 0 e verso opposto se è α < 0. Si prov che l isieme V A co le due operzioi or defiite è uo spzio vettorile. I segmeti AP sro i seguito chimti vettori geometrici pplicti i A.

22 Lo spzio vettorile V A h dimesioe tre come or proveremo. Sio e = A U, e = AU ed e 3 = AU 3 tre segmeti o ulli e o complri. Tli vettori soo tli che essuo di essi può essere geerto dgli ltri due e soo quidi idipedeti. Ioltre, riferedoci i vettori idicti i figur, v P e 3 v A e e v b Si h AP = v = v + v = + b + v M è, per opportui sclri α, β, γ = α e, b = β e, v = γ e 3 e quidi è v = + b + v = α e +β e +γ e 3 I tre vettori e, e, e 3 soo quidi u bse di V A che h così dimesioe tre.

23 3 4. Isomorfismi tr spzi vettorili. Sio ssegti due spzi vettorili V e W costruiti sullo stesso cmpo K. U fuzioe f : V W tr V e W è dett u isomorfismo se ess è biettiv e liere cioè se vlgoo per ess le segueti proprietà :. f è biettiv.. f ( v + v ) = f( v ) + f( v ) 3. f ( αv ) = α f( v ) (per ogi coppi di vettori v, v e per ogi sclre α ) Se u fuzioe f di V i W verific solo le proprietà. e 3. m o è biettiv si dice che ess è u fuzioe liere di V i W. Gli isomorfismi soo quidi prticolri fuzioi lieri perché soo quelle biettive.qudo esiste u isomorfismo tr i due spzi vettorili tli spzi vegoo detti tr loro isomorfi. Si prov fcilmete che se f è u isomorfismo tle risult che l fuzioe f - compoedo due isomorfismi si ottiee cor u isomorfismo. e che Lo studete verifichi che se si ssoci d u poliomio o l (+)-pl ( o,,.. ) dei suoi coefficieti si relizz u isomorfismo tr gli spzi vettorili K[,..., ] e K +. Se si ssoci d u mtrice... m m m il vettore umerico (.,.,., m m. m ) di K m che si ottiee dispoedo i sequez ed i orizzotle u dopo l ltr le righe dell

24 4 mtrice si relizz u isomorfismo tr gli spzi vettorili M m, (K) e K m. Vedimo or se per ogi spzio vettorile possimo trovre u ltro mgri più semplice d esso isomorfo. Vedimo. Si quidi V uo spzio vettorile sul cmpo K di dimesioe e si B = ( e, e,., e ) u su bse ordit ( riferimeto ). Poiché i vettori e, e,., e soo u sistem di geertori per V ogi vettore v risult u loro combizioe liere si h cioè v = e e I umeri (,.., ) che cosetoo di esprimere v come combizioe di ( e, e,., e ) soo dette le coordite di v ell bse fisst. Mostrimo or che le coordite di v soo uivocmete determite d v e che quidi v si può scrivere i uico modo come combizioe liere dei vettori e, e,., e. Suppoimo quidi che v si stto otteuto che ttrverso gli sclri (y,..,y ) si bbi cioè v = y e y e D v = e e = y e y e segue ( - y ) e + ( y ) e +..+ ( y ) e = 0 e quest comport, per l idipedez di e, e,., e, ( - y ) = ( y ) =..= ( y ) =0 e cioè = y, = y,, = y Pertto gli uici sclri che do luogo v soo i umeri (,,., ). Quto provto ci cosete quidi di costruire u fuzioe tr V e K ssocido d ogi

25 5 vettore v di V l -pl (,,., ) delle sue coordite f : v V (,,., ) K Tle fuzioe, come è fcile verificre, è biettiv e liere e quidi è u isomorfismo tr V e K, detto coordizioe di V el riferimeto fissto. Abbimo così provto l seguete importte Proposizioe 4. Ogi spzio vettorile V sul cmpo K di dimesioe fiit è isomorfo llo spzio vettorile umerico K. Vedimo or quli soo i vtggi di ver cquisito u sifftto risultto. Tli vtggi ppriro chiri qudo si sio provte lcue proprietà degli isomorfismi che or dimo d illustrre elle proposizioi che seguoo. D qui i vti f : V W m è u ppliczioe liere tr gli spzi vettorili V e W m costruiti sullo stesso cmpo K e dimesioe fiit ed m rispettivmete. U proprietà otevole delle ppliczioi lieri è espress dl seguete Teorem fodmetle. U ppliczioe liere f : V W m è determit qudo si cooscoo i vlori che ess ssume sui vettori di u bse ordit (e, e,.,e ) di V. Dimostrzioe. Si quidi (e, e,.,e ) u bse ordit di V e suppoimo di cooscere i vettori immgie f(e ), f ( e ),,f (e ) Quest cooscez ci permetterà di clcolre f su u quluque vettore v di V. Iftti si v u quluque vettore di V. Poiché (e, e,.,e ) è u bse esistoo sclri (α, α,., α ) per cui si bbi v= α l e + α e +. + α e Applicdo f tle relzioe, teedo coto dell su lierità, si h :

26 6 f(v)= α l f (e )+ α f ( e ) +. + α f (e ) l qule prov l sserto. Proposizioe 4. U ppliczioe liere f tr V e W trsform il vettore ullo di V el vettore ullo di W. Ne segue che se f è iiettiv i prticolre se f è u isomorfismo esso trsform ltresì u vettore o ullo di V i u vettore o ullo di W. Dimostrzioe. Si v u vettore quluque di V, per l lierità di f risult f(v) = f(v + 0)= f(v) + f(0) d cui segue ovvimete f(0) = 0. Se f è iiettiv ed è v 0 llor f(v) f(0) = 0 Proposizioe 4.3 U ppliczioe liere f tr V e W trsform vettori dipedeti di V i vettori dipedeti di W. Ioltre se f è iiettiv ess trsform ltresì vettori idipedeti di V i vettori idipedeti di W. U isomorfismo coserv pertto co l su ivers l dipedez e l idipedez liere i quto trsform vettori dipedeti di V i vettori dipedeti di W e trsform vettori idipedeti di V i vettori idipedeti di W. Dimostrzioe. Sio v,v,...,v h, h vettori dipedeti di V. Poiché i vettori v,v,...,v h, soo dipedeti esistoo sclri (α l, α,. α h ) o tutti ulli per cui risulti : α l v + α v +. + α h v h = 0 Applicdo f d mbo i membri, teedo coto dell lierità e dell proposizioe 4. si h α l f(v )+ α f(v ) +. + α h f(v h ) = f( 0 ) = 0 l qule mostr che che i vettori trsformti f(v ), f(v ),, f(v h ) soo dipedeti. Suppoimo f iiettiv e sio v,v,...,v h, h vettori idipedeti di V. Dobbimo provre che che i vettori f(v ), f(v ),, f(v h ) soo idipedeti. Suppoimo quidi che (α l, α,. α h ) sio sclri co i quli si bbi α l f(v )+ α f(v ) +. + α h f(v h ) = 0 e vedimo se tli sclri soo tutti ulli.

27 7 Tle relzioe per l lierità di f equivle f( α l v + α v +. + α h v h ) = 0 Poiché f è iiettiv l uico vettore che si trsform el vettore ullo di W è il vettore ullo di V e così è : α l v + α v +. + α h v h = 0 Per l suppost idipedez dei vettori v,v,...,v h si h llor α l =α =. α h =0 e ciò prov che i vettori f(v ), f(v ),, f(v h ) soo idipedeti. Si f : V W u ppliczioe liere tr gli spzi vettorili V e W. Possimo cosiderre i sottoisiemi di V e W segueti: N ={ v V, f(v)= 0 } T = f(v) = { f(v), v V } Evidetemete N è o vuoto perché di esso f prte il vettore ullo ed è u sottospzio di V, detto il ucleo dell ppliczioe f metre T è u sottospzio di W ed è detto lo spzio immgie di f. Tli sottospzi, ucleo ed immgie, possoo essere usti per vlutre l iiettività e suriettività dell fuzioe f. Iftti l fuzioe f è suriettiv se solo se risult T = W. Ioltre Proposizioe 4.4 L fuzioe f è iiettiv se e solo se il suo ucleo è ridotto l vettore ullo. Dimostrzioe. Se f è iiettiv bbimo già osservto che l uico vettore che si trsform

28 8 el vettore ullo è il vettore ullo e quidi è N={ 0 }. Vicevers suppoimo che si N={ 0 }. Se per due vettori v e v risult f(v) = f(v ) si h per l lierità di f, f( v-v ) = 0 e così v-v N. M per ipotesi è N={ 0 } e quidi v - v = 0 e cioè è v = v. Pertto f è iiettiv. Utile per ciò che segue è l seguete proposizioe: Proposizioe 4.5. Si f : V W u fuzioe liere tr gli spzi vettorili V e W. Se e, e,., e soo geertori di V i vettori f(e ), f(e ),, f(e ) soo u sistem di geertori per lo spzio immgie T = f(v). I prticolre se f è u isomorfismo ed ( e, e,., e ) è u bse di V llor ( f(e ), f(e ),, f(e ) ) è u bse di W. Dimostrzioe. Si w u quluque vettore di T= f(v). Esiste llor u vettore v i V per cui si w = f(v). Poiché i vettori e, e,., e geero V si h per opportui sclri α l, α,. α Si h llor v = α l e + α e +.+ α e w = f(v) = f (α l e + α e +.+ α e )= α l f(e ) + α f( e ) +.+ α f( e ) l qule mostr che i vettori f(e ), f(e ),, f(e ) soo u sistem di geertori per lo spzio T. L prte file dell proposizioe è ovvi ricorddo che u isomorfismo trsform vettori idipedeti i vettori idipedeti. I sottospzi N e T ucleo ed immgie si codizioo viced come mostr l seguete Proposizioe 4.6. Si f : V W u fuzioe liere tr gli spzi vettorili V e W. Sio N e T gli spzi ucleo ed immgie di f. Dett l dimesioe di V,risult (*) dimn + dimt = Dimostrzioe. L proprietà (*) è ovvi se l fuzioe è iiettiv cioè se è N = { 0 }ed è ltrettto ver se è N = V. Suppoimo quidi N o ble e si h = dimn. Scelti h vettori e, e,., e h idipedeti i N cioè u su bse ggiugimo d essi ltri -h vettori di V, v h+,v h+,...,v i modo che i vettori e, e,., e h v h+,v h+,...,v sio u bse di V.

29 9 Se or mostrimo che i vettori f( v h+ ), f(v h+ ),..., f(v ) soo u bse per T si h dimt= -h e quidi l (*).Comicimo provre che soo idipedeti.sio α h+,α h+,., α sclri per i quli risulti α h+ f( v h+ )+ α h+ f(v h+ )+. + α f(v ) = 0 Per l lierità di f l relzioe scritt equivle f( α h+ v h+ + α h+ v h α v ) = 0 l qule mostr che il vettore α h+ v h+ + α h+ v h α v pprtiee l ucleo. Si h quidi, per opportui sclri α l, α,. α h α h+ v h+ + α h+ v h α v = α l e + α e,.+α h e h D quest relzioe segue α h+ v h+ + α h+ v h α v - α l e -α e,.-α h e h = 0 e quidi per l idipedez dei vettori e, e,., e h v h+,v h+,...,v si h come si volev α h+ = α h+ =. = α = 0. Provimo ifie che soo u sistem di geertori per T. Si w u quluque vettore di T= f(v). Esiste llor u vettore v i V per cui si w = f(v). Poiché i vettori e, e,., e h v h+,v h+,...,v soo u bse di V si h per opportui sclri α l, α,. α v = α l e + α e +.+ α h e h + α h+ v h+ + α h+ v h α v d cui segue, teedo coto dell lierità di f e del ftto che i vettori e, e,., e h soo el ucleo w = f(v)= f(α l e + α e +.+ α h e h + α h+ v h+ + α h+ v h α v )= = α h+ f(v h+ )+ α h+ f( v h+ ) +. + α f( v ) l qule mostr che i vettori f(v h+ ), f( v h+ ),.,f( v ) soo u sistem di geertori per lo spzio T.

30 30 Possimo cocludere tle umero provdo l seguete importte Proposizioe 4.7 Due spzi vettorili V e W costruiti sullo stesso cmpo e di dimesioe fiit soo isomorfi se e solo se essi ho l stess dimesioe. Dimostrzioe. Se c è u isomorfismo f : V W tr V e W bbimo già visto che se e, e,., e è u bse di V llor f(e ), f(e ),.,f(e ) è u bse di W e quidi V e W ho l stess dimesioe. Vicevers suppoimo che V e W bbio etrmbi l stess dimesioe. Se (e, e,., e ) è u bse ordit di V come già visto, ssocido d ogi vettore v = e e di V l -pl (,,., ) delle sue coordite f : v V (,,., ) K si relizz u isomorfismo tr V e K. Alogmete se (w, w,., w ) è u bse ordit di W, ssocido d ogi vettore w = y w y w di W l -pl ( y, y,., y ) delle sue coordite g : w W ( y, y,., y ) K si relizz u isomorfismo tr W e K. L ppliczioe g - f : V W essedo u fuzioe compost d isomorfismi è llor u isomorfismo tr V e W. Come coseguez di questo teorem possimo llor vlutre l dimesioe degli spzi vettorili illustrti egli esempi II e III del.3. Avedo già osservto che K[,,.., ] è isomorfo K + e che M m, (R) è isomorfo K m si h per quto or provto che dim K[,,.., ]= + e dimm m, (R) = m. Cocludimo tle umero co u proposizioe di cui fremo u grde uso elle ppliczioi successive.

31 3 Proposizioe 4.8 Si f : V W u isomorfismo tr gli spzi vettorili V e W. U vettore v di V è combizioe liere dei vettori v, v,., v h se e solo se il vettore f(v) è combizioe liere dei vettori trsformti f(v ), f(v ).,f(v h ). Dimostrzioe. Suppoimo che v si combizioe liere dei vettori v, v,., v h si bbi cioè v= α l v + α v +.+ α h v h Applicdo f e teedo coto dell su lierità si h che è f(v)= α l f(v )+ α f(v )+.+ α h f(v h ). Vicevers suppoimo che il vettore f(v) si combizioe liere dei vettori f(v ), f(v ).,f(v h ) si bbi cioè f(v) = α l f(v )+ α f(v )+.+ α h f(v h ). Tle relzioe per l lierità di f equivle f(v) = f( α l v + α v + + α h v h ) e quest per l iiettività di f comport v = α l v + α v +.+ α h v h. 5. I sottospzi di uo spzio vettorile. I questo umero V è uo spzio vettorile di dimesioe fiit costruito su u cmpo K. Si H l fmigli di tutti i suoi sottospzi. L fmigli H h le segueti proprietà, di fcile dimostrzioe.. per ogi H, T H, H T H T dim H dimt dim H < dimt. l itersezioe di u fmigli di sottospzi è u sottospzio. I geerle l uioe di sottospzi o è u sottospzio. Mostrimo ciò co u esempio. Nello spzio vettorile V = R delle coppie ordite di umeri reli si cosiderio i due segueti sottoisiemi H e T. H = {(, 0 ), R } T = {(0, b), b R}

32 3 Fcilmete si ricoosce che H e T soo sottospzi metre il sottoisieme X = H T o è u sottospzio risultdo d esempio (, 0) X, (0, 5) X metre (,0) + (0,5) = (, 5) X. L proprietà cosete l seguete defiizioe. Si X u sottoisieme di V. Si chim sottospzio geerto d X il sottospzio [X] che si otteg itersecdo tr loro tutti i sottospzi che cotegoo X.Tle sottospzio è ovvimete il più piccolo sottospzio (rispetto ll iclusioe ) che cotiee X. H iteresse cosiderre lo spzio X qudo X si l uioe di due sottospzi H e T. Mostreremo or che tle sottospzio [H T ] che si ottiee itersecdo tr loro tutti i sottospzi che cotegoo H e T coicide col seguete sottoisieme di V L = { + b, H, b T} il qule cotiee tutti i vettori che si ottegoo sommdo tr loro u vettore di H ed u vettore di T. Evidetemete L è u sottospzio di V. Qudo si scelg b = 0 e si fcci vrire i H si ricoosce che tr i vettori di L ci soo i prticolre tutti quelli di H. Alogmete qudo si scelg = 0 e si fcci vrire b i T si ricoosce che tr i vettori di L ci soo i prticolre tutti quelli di T. Pertto L cotiee si H che T. Ioltre se u sottospzio J cotiee H e T llor cotiee che tutti i vettori + b co H e b T e quidi cotiee L. L è pertto il più piccolo sottospzio che cotiee H e T e quidi coicide co lo spzio [H T ] d essi geerto.lo spzio [H T ] viee che idicto col simbolo H T o H + T. L proprietà or provt per i sottospzi H e T può essere estes fcilmete d u umero fiito di t sottospzi H, H,, H t co t >. Idicdo co H + H + + H t lo spzio geerto d H H H t si prov fcilmete che esso coicide col sottospzio L seguete L = { t, H, H,, t H t } Provimo ifie l seguete importte proprietà : 3. per ogi H, T H si h ( formul di Grssm ). (3.) dim H + dim T = dim (H T) + dim (H + T)

33 33 Dimostrzioe. Possimo supporre che essuo dei due sottospzi H e T si coteuto ell ltro ltrimeti l (3.) è ovvi. Poimo h = dim H e t = dim T e sio ( e, e,., e h ) e (w, w,., w t ) rispettivmete u bse di H e u di T. Mostrimo che se H T ={ 0 } llor i vettori ( e, e,., e h w, w,., w t ) costituiscoo u bse di H+T e così l (3.) è provt. U vettore v di H + T è del tipo v = + b co H e b T. Essedo ( e, e,., e h ) e (w, w,., w t ) bsi di H e T si h : v = + b = α l e +α e +..+ α h e h + β w + β w +..+ β t w t l qule mostr che i vettori ( e, e,., e h w, w,., w t ) soo u sistem di geertori per H+T. Se essi risulto ltresì idipedeti llor soo u bse. Sio quidi α l,α,..,α h, β,β,..,β t sclri tli che risulti α l e +α e +..+ α h e h + β w + β w +..+ β t w t = 0. D quest segue α l e +α e +..+ α h e h = - ( β w + β w +..+ β t w t ). Posto = α l e +α e +..+ α h e h e b = β w + β w +..+ β t w t Ovvimete H e b T. Ioltre b T. D = -b segue llor che H T e b H T. M essedo per ipotesi H T = { 0 }si h = 0 e b = 0. M = α l e +α e +..+ α h e h = 0 e b = β w + β w +..+ β t w t = 0 comporto essedo ( e, e,., e h ) e (w, w,., w t ) vettori idipedeti α l =α =.=α h = β =β = =β t= 0 come si volev provre. Suppoimo quidi che si H T diverso dl vettore ullo e si i = dim H T. Sio ( e, e,., e i ) vettori idipedeti di H T cioè u bse di H T. Usdo l proposizioe 3.7 si possoo trovre h -i vettori v i+, v i+,., v h di H (H T ), scelti i modo che ( e, e,., e i v i+, v i+,., v h ) si u bse di H e si possoo trovre t -i vettori w i+, w i+,., w t di T H T scelti i modo che ( e, e,., e i w i+, w i+,., w t ) si u bse di T. Se provimo che i vettori ( e, e,., e i v i+, v i+,., v h w i+, w i+,., w t ) soo u bse per H + T, essedo i umero di i + h-i + t-i = h + t i si h

34 34 dim (H + T) = h + t i = dim H + dim T dim H T e cioè l (3.). Si v u vettore di H+T. Il vettore v è del tipo v = + b co H e b T. Essedo ( e, e,., e i v i+, v i+,., v h ) u bse di H e ( e, e,., e i w i+, w i+,., w t ) u bse di T si h v = + b = α l e +α e +..+ α i e i + α i+ v i+ +α i+ v i α h v h + γ l e + γ e γ i e i + β i+ w i+ + β i+ w i β t w t l qule mostr che v è combizioe liere dei vettori ( e, e,., e i v i+, v i+,., v h w i+, w i+,., w t ) i quli soo quidi u sistem di geertori per H + T. Mostrimo che soo idipedeti. Sio α l,α,., α h β i+,β i+,.., β t sclri tli che risulti α l e +α e + + α i e i + α i+ v i+ +α i+ v i+ + + α h v h + β i+ w i+ + β i+ w i+ +.+ β t w t = 0 D quest segue (**) β i+w i+ + β i+ w i β t w t = - ( α l e +α e +..+ α i e i + α i+ v i+ + α i+ v i α h v h ) Poimo b = β i+w + β i+ w +..+ β t w t ed = α l e +α e +..+ α i e i + α i+ v i+ +α i+ v i α h v h Or b T ed H. Quidi dll essere b = - segue che b H T. Poiché e, e..e i è u bse di H T. si h, per opportui sclri δ l, δ,.., δ i d quest segue b = β i+w i+ + β i+ w i β t w t = δ l e + δ e +..+ δ i e i δ l e + δ e +..+ δ i e i - β i+w i+ - β i+ w i β t w t = 0

35 35 e quest comport, essedo ( e, e,., e i w i+, w i+,., w t ) u bse, δ l = δ =..=δ i = β i+= β i+ =..=β t = 0 M se β i+= β i+ =..=β t = 0 d (**) segue α l e +α e +..+ α i e i + α i+ v i+ +α i+ v i α h v h = 0 dll qule segue, essedo ( e, e,., e i v i+, v i+,., v h ) u bse, α l =α =..=α i = α i+ =α i+ =..= α h = 0. Avedo provto che α l =α =..= α h = β i+= β i+ =..=β t = 0 i vettori (e, e,., e i v i+, v i+,., v h w i+, w i+,., w t ) soo idipedeti e l sserto è provto. Osservimo esplicitmete che ell dimostrzioe or ftt bbimo provto che se H e T ho i comue il solo vettore ullo uedo u bse di H d u bse di T si ottiee u isieme di vettori liermete idipedete, bse per lo spzio geerto d H e T. Tle proprietà co u semplice processo di iduzioe sul umero t di sottospzi può essere così geerlizzt. Proposizioe 5. Sio H, H,, H t, t ( t ) sottospzi di uo spzio vettorile V di dimesioe sul cmpo K. Se ogi H i itersec el solo vettore ullo lo spzio geerto di rimeti sottospzi llor uedo u bse di H, co u bse di H e.. co u di H t si ottiee u isieme di vettori liermete idipedete, bse per lo spzio H + H + + H t geerto d H H H t. Cocludimo tle umero itroducedo u utile ozioe. Due sottospzi H e T di uo spzio vettorile V soo detti supplemetri se risult H T ={ 0 } e H + T = V Per l formul di Grssm già provt, se H e T soo supplemetri risult : dim H + dim T =

36 36 Si possoo costruire sottospzi supplemetri? L proposizioe che segue d rispost l quesito posto. Proposizioe 5. Si e, e,, e u bse di V.I sottospzi H = [ e, e,, e t ], T = [ e t+, e t+,, e ] geerti rispettivmete d e, e,, e t e d e t+, e t+,, e soo tr loro supplemetri. Dimostrzioe. Poiché { e, e,, e } è u bse di V llor per ogi vettore v di V si h : (*) v = α e + α e + + α t e t + α t + e t+ + α t+ e t++ + α e Posto = α e + α e + + α t e t e b = α t + e t+ + α t+ e t++ + α e l relzioe (*) mostr che è v = + b co H e b T e che quidi è H + T = V.Provimo ifie che è che H T = { 0 }. Si v u vettore di H T. Poichè e, e,, e t è u bse di H e e t+, e t+,, e è u bse di T, si h per opportui sclri α, α. α t, α t +, α t +.. α v = α e + α e + + αt e t = t α + e t+ + α t + e t++ + α e D quest segue α e + α e + + αt e t - t α + e t+ - α t + e t++ - α e = 0 e quest comport, essedo i vettori e, e,, e idipedeti, α = α = α t = t α + = α t + = = α = 0. Si h quidi v = 0 e ciò mostr per l rbitrrietà di v i H T che è H T = { 0 }. L proposizioe che segue iverte i u certo seso l proposizioe or provt

37 37 Proposizioe 5.3 Sio H e T due sottospzi supplemetri di dimesioi t e -t. Se { e, e,, e t } è u bse di H e { e t+, e t+, e } è u bse di T llor { e, e,, e t e t+, e t+, e } è u bse di V. Dimostrzioe. Per l dimostrzioe è sufficiete provre che i vettori e, e,, e t, e t+, e t+, e soo idipedeti. Sio quidi α, α, quli risulti D quest segue α t, t α +, α t +.., α sclri per i α e + α e + + α t e t + α t + e t+ + α t + e t++ + α e = 0 α e + α e + + α t e t = - α t + e t+ - α t + e t+ - - α e Posto = α e + α e + + α t e t e b = - α t + e t+ - α t + e t+ - - α e si h che H e b T m d = b segue llor che è = b H T. M essedo H e T supplemetri si h H T = { 0 } e quidi è = b = 0. Se il vettore = α e + α e + + α t e t = 0 si h per l idipedez di e, e,, e t, α = α = = α t = 0 e d b = - α t + e t+ - α t + e t+ - - α e = 0 si h per l idipedez di e t+, e t+, e che è α t + = α t + = = α = 0 e ciò prov l sserto. Qudo si teg coto dell proposizioe 5. e dell proposizioe 3.7 del cpitolo I è fcile verificre che sussiste l seguete proposizioe Proposizioe 5.4. Si H u sottospzio dello spzio vettorile V. E sempre possibile costruire u sottospzio T supplemetre di H. Cocludimo co u proprietà importte degli spzi supplemetri. Se H e T soo supplemetri sppimo che è per defiizioe V = H + T e che quidi ogi

38 38 vettore v dello spzio si ottiee come somm di u vettore di H e di u vettore b di T. Noi voglimo mostrre che l decomposizioe di v come somm di u vettore di H e di u vettore b di T è uic. Si h cioè : se v = + b e v = + b llor è = e b = b. Iftti d + b = + b segue - = b - b e quest comport che - H T e b - b H T. M poiché è H T = { 0 } si h - = 0 e b - b = 0 e quidi come si volev = e b = b. A titolo di esempio si cosideri lo spzio vettorile R delle coppie ordite di umeri reli. I tle spzio i sottospzi H = { (, 0 ), R } e T = { (0, b ), b R } soo supplemetri ed i ccordo co l proprietà sopr illustrt ogi vettore (, b ) di R (, b ) = (, 0 ) + ( 0, b ) si scrive i u sol modo come somm di u vettore di H e di uo di T.

39 39 C A P I T O L O II Mtrici e determiti

40 40. Itroduzioe. Abbimo visto l cpitolo precedete che se i uo spzio vettorile V di dimesioe e costruito sul cmpo K si fiss u riferimeto (e, e,., e ) è possibile costruire u isomorfismo tr V e K. Tle isomorfismo ssoci d ogi vettore v= e e di V l -pl (,,., ) delle sue coordite el riferimeto scelto. Poichè u isomorfismo coserv l dipedez e l idipedez liere, llor stbilire se h vettori v, v,., v h di V sio dipedeti o idipedeti equivle spostre tle idgie sugli h vettori umerici delle loro coordite. M c è u metodo semplice e veloce per stbilire se tli vettori umerici soo dipedeti o idipedeti? L rispost quest domd viee dt itroducedo l ozioe di determite di u mtrice qudrt, ozioe di cui or prleremo. Prelimirmete è però essezile fre le segueti osservzioi. Sio ssegti u certo umero di vettori umerici di ordie e sio. (,..., ), (b,..., b ),..., (w,..., w ). Se suppoimo che essi sio dipedeti, esistero opportui sclri α, β,., γ o tutti ulli tli che risulti : α (,..., ) + β (b,..., b ) γ (w,..., w ) = (0,..,0). Fissti s posti (i,i,...,i s ) tr i posti d d si cosiderio i vettori umerici di ordie s otteuti cosiderdo i oguo dei vettori umerici ssegti solo le compoeti di posto i i,i,..,i s, cioè cosiderimo i vettori,or di lughezz s, segueti ( i, i,..., is ) (b i,b i,...,b is ). (w i,w i,...,w is ) E ovvio che che essi soo dipedeti i quto co gli stessi sclri α, β,., γ o tutti ulli sopr dottti si h cor : α ( i, i,..., is ) + β (b i,b i,...,b is ) +. + γ (w i,w i,...,w is ) = ( 0,0,.,0 ). Usdo u liguggio poco preciso m espressivo possimo rissumere l'osservzioe ftt dicedo

41 4 che : se si " ccorcio " dei vettori umerici dipedeti essi resto dipedeti. Ne segue che se si " llugo " dei vettori umerici idipedeti essi resto idipedeti. Mostrimo quto detto co u esempio. Nello spzio V = R 4 delle qutere ordite di umeri reli i vettori (, 0,, ), ( 0, 3,, ), (4, 3, 9, 5 ) soo dipedeti risultdo : 8 (, 0,, ) + ( 0, 3,, ) (4, 3, 9, 5 ) = (0, 0, 0, 0) Le tre coppie (,), (, ), (9, 5 ) otteute ccorcido le tre qutere dte (cosiderdo di ogu solo gli ultimi due umeri) soo ch esse dipedeti risultdo cor 8 (, ) + (, ) (9, 5 ) = (0, 0) Sempre ello stesso spzio le due qutere (, 0,, ), ( 0, 3,, ) soo idipedeti i quto o proporzioli e così le due sestie (, 0,,,, ), ( 0, 3,,, 7, 5) otteute ggiugedo d ogu di esse ulteriori due umeri soo cor idipedeti. Dimo or l ozioe di determite di u mtrice qudrt.. Determite di u mtrice qudrt. Ad u mtrice qudrt A d ordie d elemeti i u cmpo K,si può ssocire uo sclre, elemeto di K, detto determite di A, e deotto co A o deta l seguete modo : Se = e cioè è A = ( ) llor si poe deta =. Vedimo come si clcol il determite qudo è. Si quidi A u mtrice qudrt d ordie co. Idichimo l mtrice A l seguete modo :