Esame di MATEMATICA CORSO BASE del

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1 Esame di MATEMATICA CORSO BASE del Cognome Matricola Nome Esercizio. Si consideri il seguente sistema x 3y + z =5 x ky +z = k kx y z = Si trovino il numero delle soluzioni al variare del parametro k e le soluzioni esplicite ) Per k =0o k =4il sistema non ha soluzioni. ) Per k 0e k 4il sistema ha soluzione unica x = 6 k 4k, y = k +8k +8, z = k +4k 8 k 4k k 4k Esercizio. Relativamente alla seguente funzione determinare: f(x) = x 5 (3x ), dominio Ä ä Ä, 3, 3 ä intersezioni con gli assi cartesiani A Ä 5, 0ä, B(0, 5) segno f(x) < 0 per x Ä, 3 ä Ä 3, 5 ä ; f(x) > 0 per x> 5 singolarità lim x /3 ±f(x) = comportamento all infinito lim f(x) =0 x ± equazioni cartesiane degli asintoti x = 3 (verticale); y =0 (orizzontale) intersezione tra la funzione e i suoi asintoti A Ä 5, 0ä con l asintoto orizzontale derivata prima e suo segno f (x) = 8 6x (3x ) 3 ; f (x) < 0 per x< 3 o x> 4 3 ; f (x) > 0 per 3 <x< 4 3

2 intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente f(x) crescente per 3 <x< 4 3 ; decrescente per x< 3 o x> 4 3 punti di massimo e minimo locali Ä 4, ä 3 39 è punto di massimo locale derivata seconda e suo segno f (x) = f (x) > 0 per x> x 46 (3x ) ; f (x) < 0 per x Ä, ä Ä 4 3, 4 ä 3 6 ; punti di flesso Ä 4, ä equazioni delle rette tangenti nei punti di flesso y = Ç x 4 å grafico Esercizio 3. Risolvere il seguente integrale: x + (x + x) 5 dx 5 34 Esercizio 4. Si scriva il polinomio di Taylor di terzo grado della seguente funzione nel punto x 0 =0 f(x) = x + 3x x x x3

3 Esame di MATEMATICA CORSO BASE del Cognome Matricola Nome Esercizio. Si consideri il seguente sistema kx y z =4 8x ky z = k Si trovino il numero delle soluzioni al variare del parametro k e le soluzioni esplicite ) Per k =4il sistema non ha soluzioni ) Per k 4il sistema ha soluzioni x = t, y = 8 k k 4 t, z = k t 6t k k 4 Esercizio. Relativamente alla seguente funzione f(x) = log(x 7) (7 x) 3 3 determinare: dominio Ä 7, ä intersezioni con gli assi cartesiani A (x 0, 0), dove 7 <x 0 < 4 (con l asse x) segno f(x) > 0 per x Ä 7,x 0ä ; f(x) < 0 per x>x0 singolarità lim x 7/ +f(x) = comportamento all infinito lim f(x) = 3 x equazioni cartesiane degli asintoti x = 7 (verticale); y = 3 (orizzontale a destra) intersezione tra la funzione e i suoi asintoti A (4, 3) con l asintoto orizzontale derivata prima e suo segno f (x) = f (x) > 0 per x> 7+e/3 6 log(x 7) (7 x) 4 ; f (x) < 0 per 7 <x< 7+e/3 ;

4 intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente crescente per x> 7+e/3 f(x) decrescente per 7 <x< 7+e/3 ; punti di massimo e minimo locali ( ) 7+e /3, 9e 3e è punto di minimo locale (e assoluto) derivata seconda e suo segno f (x) = f (x) < 0 per x> 7+e7/ 48 log(x 7) 8 (7 x) 5 ; f (x) > 0 per 7 <x< 7+e7/ ; punti di flesso ( ) 7+e 7/, 7 36e7/4 e 7/4 equazioni delle rette tangenti nei punti di flesso y = 7 36e7/4 + 3 ( ) x 7+e7/ e 7/4 e 7/3 grafico Esercizio 3. Risolvere il seguente integrale: e x x (x ) dx e e Esercizio 4. Tramite applicazione del teorema degli zeri delle funzioni continue, trovare, se esistono, due numeri interi consecutivi a, b tra i quali esista uno zero, indicato con x 0, della funzione Spiegare brevemente perché risulta a<x 0 <b. f(x) =x 3 + e x. Poiché la f(x) è continua nell intervallo chiuso [, 0] erisultaf( ) = ( e)/e < 0 e f(0) = > 0, segue che tra i due numeri interi consecutivi, 0, in virtù del teorema degli zeri delle funzioni continue, esiste x 0 (ovvero <x 0 < 0) che è uno zero della funzione f(x), cioèx 0 fornisce f(x 0 )=0.

5 Esame di MATEMATICA CORSO BASE del Cognome Matricola Nome Esercizio. Si consideri il seguente sistema 3x + y = kx +y =4 9x +3y = k Si trovino il numero delle soluzioni al variare del parametro k e le soluzioni esplicite ) Per k 6il sistema non ha soluzioni ) Per k =6il sistema ha soluzioni x = α 3 Esercizio. Relativamente alla seguente funzione determinare:, y = α f(x) = Ä x x ä e 3 x dominio (, ) intersezioni con gli assi cartesiani (0, 0), (, 0) segno f(x) > 0 per x (0, ); f(x) < 0 per x<0 oppure x> singolarità la funzione non ha singolarità comportamento all infinito lim f(x) = ; lim x f(x) =0 x equazioni cartesiane degli asintoti y =0 (orizzontale a destra) intersezione tra la funzione e i suoi asintoti (0, 0), (, 0) con l asintoto orizzontale derivata prima e suo segno f (x) = Ä x 6x + ä e 3 x ; f (x) < 0 per 3 5 <x< 3+ 5; f (x) > 0 per x< 3 5 oppure x> 3+ 5 intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente f(x) decrescente per 3 5 <x< 3+ 5; crescente per x< 3 5 oppure x> 3+ 5

6 ( punti di massimo e minimo locali 3 5,f ( 3 )) 5 è punto di massimo locale; ( 3+ 5,f ( 3+ )) 5 è punto di minimo locale derivata seconda e suo segno f (x) =( 4x +6x 0) e 3 x ; f (x) > 0 per 4 6 <x< 4+ 6 ; f (x) < 0 per x< 4 6 oppure x> 4+ 6 punti di flesso ( 4 6,f ( 4 )) 6 e ( 4+ 6,f ( 4+ )) 6 equazioni delle rette tangenti nei punti di flesso y = f ( ) 4 ± 6 ( )( 4 ± 6 + f x 4 ± ) 6 grafico Esercizio 3. Risolvere il seguente integrale: 3 x x 3x + dx log 5 Esercizio 4. Stabilire se la funzione f(x) =x + e x soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange relativamente all intervallo [0, ] e, in caso affermativo, determinare il punto c (0, ) di cui alla tesi del teorema di Lagrange. Poiché la f(x) è continua nell intervallo chiuso [0, ] e derivabile nell intervallo aperto (0, ), segue che la f(x) soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange. Il punto c vale allora c = log(e ).

7 Esame di MATEMATICA CORSO BASE del Cognome Matricola Nome Esercizio. Si consideri il seguente sistema 3x y = k kx + y = 4x 3y =5 Si trovino il numero delle soluzioni al variare del parametro k e le soluzioni esplicite ) Per k e k 5 il sistema non ha soluzioni 3 ) Per k = oppure k = 5 il sistema ha soluzione unica. 3 Per k =: x = 5,y= 7 5 ; Per k = 5 3 : x =,y= 3 3 Esercizio. Relativamente alla seguente funzione determinare: f(x) =(3x ) e x dominio (, ) intersezioni con gli assi cartesiani Ä 3, 0ä, (0, ) segno f(x) > 0 per x> 3 ; f(x) < 0 per x< 3 singolarità la funzione non ha singolarità comportamento all infinito lim x f(x) = 0 ; lim f(x) = x equazioni cartesiane degli asintoti y =0 (orizzontale a sinistra) intersezione tra la funzione e i suoi asintoti Ä 3, 0ä, con l asintoto orizzontale derivata prima e suo segno f (x) =(6x ) e x ; f (x) < 0 per x< 6 ; f (x) > 0 per x> 6 intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente f(x) decrescente per x< 6 ; crescente per x> 6

8 punti di massimo e minimo locali (, ) 3e/3 6 è punto di minimo locale; derivata seconda e suo segno f (x) =(x +4)e x ; f (x) < 0 per x< 3 ; f (x) > 0 per x> 3 punti di flesso Ä 3, 3e /3ä equazioni delle rette tangenti nei punti di flesso Ç y = 3e /3 3e /3 x + å 3 grafico Esercizio 3. Risolvere il seguente integrale: x log(x ) dx 5 log 3 8 Esercizio 4. Dimostrare la validità del limite lim x x x = scrivendo la disuguaglianza relativa alla funzione e determinando un opportuno insieme delle x che soddisfino tale disuguaglianza Poiché per ogni M>0la disuguaglianza risulta dimostrato il limite dato. x x >M è soddisfatta dalle x>m,

9 Esame di MATEMATICA CORSO BASE del Cognome Matricola Nome Esercizio. Si consideri il seguente sistema kx +3y + z = 3 x + ky +z = k Si trovino il numero delle soluzioni al variare del parametro k e le soluzioni esplicite ) Per k 6 il sistema ha soluzioni ) Per k =6 il sistema ha soluzioni. Per k =6: x = α, y = β, z = 3 6α 3β Per k 6: x = α, y =α, z = k α 36α 6 k Esercizio. Relativamente alla seguente funzione determinare: f(x) = 7x 4 x x dominio (, 0) Ä 0, ä Ä, ä intersezioni con gli assi cartesiani Ä 4 7, 0ä segno f(x) < 0 per x<0 oppure <x< 4 7 ; f(x) > 0 per 0 <x< oppure x> 4 7 singolarità lim x 0 ±f(x) =±, lim x / ±f(x) = comportamento all infinito lim f(x) =0 x ± equazioni cartesiane degli asintoti x =0, x = (verticali); y =0 (orizzontale) intersezione tra la funzione e i suoi asintoti Ä 4 7, 0ä, con l asintoto orizzontale derivata prima e suo segno f (x) = 4x +6x 4 ; f (x) < 0 per x<0 (x x) oppure 0 <x< 4 oppure x> 4+ ; f (x) > 0 per 4 <x< 4+, con x intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente f(x) decrescente per x<0 oppure 0 <x< 4 oppure x> 4+ ; crescente per 4 <x< 4+, con x

10 ( punti di massimo e minimo locali 4,f ( 4 )) 7 7 è punto di minimo locale; ( 4+,f ( 4+ )) 7 7 è punto di massimo locale derivata seconda e suo segno f (x) = 56x3 96x +48x 8 ; f (x) < 0 per x<0 (x x) 3 oppure <x<; f (x) > 0 per 0 <x< oppure x> punti di flesso (, 3) equazioni delle rette tangenti nei punti di flesso y = x +5 grafico Esercizio 3. Risolvere il seguente integrale: (e )/ 0 log(x +) x + dx 4 Esercizio 4. Dimostrare la validità del limite x lim x / x = scrivendo la disuguaglianza relativa alla funzione e determinando un opportuno insieme delle x che soddisfino tale disuguaglianza Poiché per ogni M > 0 la disuguaglianza 6M <x<, risulta dimostrato il limite dato. x x < M è soddisfatta dalle x tali che

11 Esame di MATEMATICA CORSO BASE del Cognome Matricola Nome Esercizio. Si consideri il seguente sistema x y +z =3 x + ky 3z = k kx +6y z = Si trovino il numero delle soluzioni al variare del parametro k e le soluzioni esplicite ) Per k =5 il sistema non ha soluzioni. ) Per k = 4 il sistema ha soluzioni x =8 α, y =5 7α, z =α 3) Per k 4 e k 5 il sistema ha soluzione unica x = 6 5 k, y = k + k 5, z = k 4 k 5 Esercizio. Relativamente alla seguente funzione f(x) = 5 7x x 3x + determinare (si utilizzi l identità 7x 3 45x +93x 63 = (x 3)(7x 4x + ) ove occorra): dominio intersezioni con gli assi cartesiani segno singolarità comportamento all infinito equazioni cartesiane degli asintoti intersezione tra la funzione e i suoi asintoti derivata prima e suo segno f (x) = 7x 30x +3 (x 3x +)

12 intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente punti di massimo e minimo locali derivata seconda e suo segno f (x) = (7x3 45x +93x 63) (x 3x +) 3 punti di flesso equazioni delle rette tangenti nei punti di flesso grafico Esercizio 3. Risolvere il seguente integrale: 0 3+ x dx log 5 7 Esercizio 4. Data la funzione f(x) = log(x +3) eivalorix 0 =0ex =, determinare il punto c di cui alla tesi del teorema della formula di Taylor, sviluppando il polinomio di Taylor fino al grado n =. 3 c = 4 6 log(5/3) 3