La lezione di oggi. I fluidi reali La viscosità Flussi laminare e turbolento. La resistenza idrodinamica

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2 La lezione di oggi I fluidi reali La viscosità Flussi laminare e turbolento La resistenza idrodinamica 2

3 La lezione di oggi Forze di trascinamento nei fluidi La legge di Stokes La centrifuga 3

4 ! Viscosità! Flusso laminare! Flusso turbolento! Resistenza idrodinamica! La legge di Stokes! La centrifuga 4

5 Definizione operativa di viscosità Domanda: come faccio a tener conto dell attrito tra le molecole di un fluido? Esperimento Lastra in moto con velocità v Δy" Fluido viscoso (magari miele ) F ηa Δv Δy Lastra fissata a terra di area A 5

6 ! η è la viscosità La viscosità! Si misura in Pa. s (pascal x secondo)! poise (P) 0.1 Pa. s (è una unità c.g.s...) 2 2 F/A [MLT ]/[L ] 1 1 DIMENSIONALMENTE [ML T ] 1 Δv/ Δy [LT ]/[L] Temperatura o C Olio di ricino (!) Acqua Aria Sangue Plasma x x x x x x x x 10-3 Nota: η sangue / η acqua e η plasma / η acqua rimangono ~ costanti tra 0 o e 37 o 6

7 ! Viscosità! Flusso laminare! Flusso turbolento! Resistenza idrodinamica! La legge di Stokes! La centrifuga 7

8 Un fluido ideale scorre in un condotto Pareti del condotto In ogni punto, i vettori velocità hanno modulo uguale Tutte le molecole viaggiano alla stessa velocità 8

9 Un fluido reale scorre in un condotto Pareti del condotto In ogni punto, i vettori velocità hanno modulo diverso Le molecole viaggiano a velocità diverse: " Vicino alle pareti sono ferme " Vicino al centro del tubo sono veloci 9

10 Il flusso laminare! Il fluido è reale! Non ci sono turbolenze (vedi dopo) 10

11 Il flusso laminare Se la velocità al centro è v max, si trova che la v media 0.5 v max PORTATA Q Av media 0.5Av max dove A è l area della sezione del condotto 11

12 Caduta di pressione dovuta alla viscosità Fluido non viscoso Fluido viscoso! Tubo orizzontale! Fluido viscoso! Lavoro per vincere le forze di viscosità! l energia meccanica non si conserva! Caduta di pressione 12

13 Caduta di pressione dovuta alla viscosità in un tubo cilindrico orizzontale Q ΔPπ R4 8ηl Legge di Hagen-Poiseuille 13

14 Esercizio Una grande arteria di un cane ha raggio interno di 4.0 mm. Il sangue scorre con una portata di 1.0 cm 3 /s. Si trovi: 1. Velocità media e massima del sangue Condizioni al contorno Q Av 1 v Q 1 v A Q m s π R 2-3 π ( m) 2 v Max ms v Max 2 v ms -1 14

15 Esercizio Una grande arteria di un cane ha raggio interno di 4.0 mm. Il sangue scorre con una portata di 1.0 cm 3 /s. Si trovi: 2. La caduta di pressione in un tratto lungo 10 cm Condizioni a contorno Q η ΔP π R 8 η l Pa s 8 ( Pa s)(0.1m)( η lq Δ P π R π ( m) -6 3 m s -1 ) 2.1Pa 15

16 Esercizio Una grande arteria di un cane ha raggio interno di 4.0 mm. Il sangue scorre con una portata di 1 cm 3 /s. Si trovi: 3. La potenza necessaria a mantenere la portata W L/ Δt F Δx/ Δt F v Δ P (πr 2 ) v (2.1Pa)(π ( ) 2 m 2 )( ms -1 ) W 16

17 ! Viscosità! Flusso laminare! Flusso turbolento! Resistenza idrodinamica! La legge di Stokes! La centrifuga 17

18 Il flusso turbolento Dissipazione di energia meccanica (maggiore rispetto al caso del flusso laminare) 18

19 Il numero di Reynolds! I vortici dissipano energia meccanica! La legge di Hagen-Poiseuille non è più valida! E il dominio della fisica non - lineare! Uso regole empiriche! Definisco il Numero di Reynolds (N R )! Nel caso di un tubo di flusso di raggio R, N R vale: N R 2ρvR η Sperimentalmente si trova che: " N R < 2000: flusso laminare " 2000 < N R < 3000: flusso instabile (può cambiare da laminare! turbolento " N R > 3000: flusso turbolento " esperimento: rubinetto dell acqua 19

20 Esercizio Nella grande arteria di un cane, il raggio è 4.0x10-3 m, la velocità media del sangue 1.99x10-2 ms -1 e la viscosità η 2.084x10-3 Pa. s. La densità è ρ 1.06x10 3 kg. m -3. Trovare il numero di Reynolds e stabilire se il flusso sia o meno laminare. N R 2ρvR η 2 ( kg m -3 ) ( Pa s ms -1 )( Il flusso è quindi laminare -3 m) 20

21 ! Viscosità! Flusso laminare! Flusso turbolento! Resistenza idrodinamica! La legge di Stokes! La centrifuga 21

22 La resistenza idrodinamica! Fluido viscoso! Condotto con pareti rigide! Se voglio una portata Q devo applicare una ΔP! Definisco Resistenza di un condotto: r ΔP Q Unità di misura Pa. s. m -3 se utilizzo Poiseuille: Q ΔP π R4 8 η l r 8 η l πr 4 Analoga alla resistenza elettrica (legge di Ohm): " ΔP analoga a ΔV (differenza di potenziale) " Q analoga alla i (corrente) 22

23 Esercizio (parte I) Nell aorta umana di raggio interno r a 1 cm, la portata del sangue è Q 5 l/min. La viscosità del sangue è η Pa. s. Se vi sono capillari nel letto vascolare dell aorta, e ciascuno di essi ha un raggio interno di r c 4 µm, determinare: 1. La velocità media del sangue nell aorta 2. La velocità massima del sangue nell aorta 3. La velocità media del sangue nei capillari 23

24 Esercizio Domanda 1 La velocità media del sangue nell aorta Q A v media v media Q A Q π R 2! # 5 " l $! & 10-3 m 3 $! 1 min $ # & # & min %" l % " 60 s % m/s (3.14)(10-2 ) 2 Domanda 2 La velocità massima del sangue nell aorta v 2 max v media v max 2 v media 2 ( m /s) m/s 24

25 Esercizio Domanda 3 L area dei capillari si ottiene moltiplicando l area di 1 capillare per l area del singolo capillare ( 6 2 ) 2 π (4 10 m) 0.251m 9 A capillari (5 10 ) La portata è costante per l equazione di continuità Q A v media v media Q A capillari! # 5 " l min $! & 10-3 m 3 $! 1 min $ # & # & %" l % " 60 s % 0.33 mm/s m 2 25

26 Esercizio (parte II) Nell aorta umana di raggio interno r a 1 cm, la portata del sangue è Q 5 l/min. La viscosità del sangue è η Pa. s. Se vi sono capillari nel letto vascolare dell aorta, e ciascuno di essi ha un raggio interno di r c 4 µm, determinare: 4. La perdita di carico (ΔP/l) nell aorta 5. La perdita di carico media dei capillari nel letto vascolare dell aorta 6. La resistenza idrodinamica per unità di lunghezza nell aorta 7. La resistenza idrodinamica media per unità di lunghezza in ciascun capillare 26

27 Esercizio Domanda 4 Applico Poiseuille per calcolare la ΔP/l nell aorta Q ΔP π R 8 η l 4 ΔP l 8 η Q π R 4 # (8)( l &# )% 5 ( 10-3 m 3 & # 1 min & % ( % ( $ min ' $ l ' $ 60 s ' 100 N/m 3 (3.14)(10 2 ) 4 27

28 Esercizio Domanda 5 Applico Poiseuille per calcolare la ΔP/l nei capillari, sapendo che la portata in ciascun capillare è data da Q capillare ' % 5 & l min $ ' -3 m " % 10 #& l $ ' 1min " % # & 60 s $ " # m 3 /s Q ΔP π R 8 η l 4 ΔP l 8 η Q π R (8)( N/m (3.14)(4 10 )( ) ) 28

29 Esercizio r Q Domanda 6 Applico Poiseuille per calcolare la r/l nell aorta Q p p R4 8 l r l 8 R 4 r/l 8 η πr 4 (8) ( ) (3.14) (10-2 ) N s m -6 29

30 Esercizio Domanda 7 Applico Poiseuille per calcolare la r/l, usando il raggio del capillare r ΔP Q e usando Poiseuille r/l 8 η πr 4 r/l 8 η πr 4 (8) ( ) (3.14) ( ) N s m -6 30

31 Riassumendo fin qui Nei fluidi reali l attrito tra le molecole causa dissipazione dell energia meccanica che è maggiore quando si instaurano fenomeni di turbolenza 31

32 ! Viscosità! Flusso laminare! Flusso turbolento! Resistenza idrodinamica! La legge di Stokes! La centrifuga 32

33 La legge di Stokes Un oggetto è immerso in un fluido viscoso, inizialmente in quiete. Se su di esso agisce una forza F, l oggetto accelera.! F! Per effetto della viscosità,sull oggetto inizia ad agire una forza di attrito viscoso F A! F A! F v La velocità cresce e con essa cresce la forza di attrito viscoso La velocità raggiunge un valore limite (e rimane costante) quando la forza di attrito viscoso eguaglia la forza esterna.! F A! v! F! F A! v lim! F! F A +! F 0 33

34 La legge di Stokes F A - 6 π η R v Quando la particella ha forma sferica e raggio R 34

35 ! Viscosità! Flusso laminare! Flusso turbolento! Resistenza idrodinamica! La legge di Stokes! La centrifuga 35

36 Verso la centrifuga... Qual è la velocità massima (ovvero la velocità limite, v T ) per una piccola sfera di raggio R, densità ρ che cade in un fluido di viscosità η e densità ρ o? y F d w A Velocità limite! Moto rettilineo uniforme! Accelerazione 0! Risultante delle forze 0! 4 3 A π R ρ0 3 F w d 6 π R η v 4 3 π R 3 T ρ g g Archimede Stokes peso F d + A w π R η v T + π R ρo g π R 3 ρ g Velocità limite v T 2 9 R η 2 g (ρ - ρ o ) 36

37 Esercizio Un globulo rosso del sangue può essere approssimato a una sfera di raggio 2.0 µm e densità kg m -3. Quanto tempo ci vuole per ottenere un sedimento di 1.0 cm: 1. Sotto l azione dell accelerazione di gravità della terra? v T Condizioni a contorno 2 2 R a (ρ - ρo ) 9 η (2 10 m) (9.81m s ) ( ) 10 kg m -3 9 ( Pa s) m s -1 " R 2.0 µm m " S 1.0 cm m " a 9.81 m s -2 Tempo di sedimentazione t s v m m s s ~ 3hr 37

38 ! Grandi accelerazioni La centrifuga! Velocità della molecola dipende da:! forza di trascinamento viscoso! massa della molecola m! fattore geometrico φr della molecola (per la sfera φ6π) *! densità della molecola ρ e del mezzo ρ 0! velocità angolare della centrifuga ω! accelerazione centripeta a ω 2 r (a>>g) Velocità limite v s m ϕrη a (1- ρ 0 ρ ) " Moto rettilineo uniforme " Spessore del sedimento x v s t centrifugazione " dimostrate la relazione * 38

39 Sfera: fattore geometrico v s m R a 1 0 V 1 R a 0 Per una sfera v s 4 R3 3 R a ( 0) 4 3 R 2 a ( 0) 2 9 ) R 2 ) 6 a ( 0) 39

40 Esercizio Un globulo rosso del sangue può essere approssimato a una sfera di raggio 2.0 µm e densità kg m -3. Quanto tempo ci vuole per ottenere un sedimento di 1.0 cm: 2. In una centrifuga con accelerazione uguale a g? v T " R m Condizioni a contorno " S 1.0 cm m 2 2 R a (ρ - ρo ) 9 η -6 2 (2 10 m) -3 9 ( Pa s) m s ( m s " a m s ) ( ) 10 kg m Tempo di sedimentazione t s v m m s s 40

41 Riassumendo Con la legge di Stokes spieghiamo il funzionamento della centrifuga Prossima lezione: I fenomeni molecolari 41

42 Esercizio A un paziente viene fatta un iniezione con un ago ipodermico lungo 3.2 cm e di diametro 0.28 mm. Assumendo che la soluzione iniettata abbia la stessa densità e viscosità dell acqua a 20 o C, trovare la differenza di pressione necessaria per iniettare la soluzione a 1.5 g/s 42

43 Esercizio A un paziente viene fatta un iniezione con un ago ipodermico lungo 3.2 cm e di diametro 0.28 mm. Assumendo che la soluzione iniettata abbia la stessa densità e viscosità dell acqua a 20 o C, trovate la differenza di pressione necessaria per iniettare la soluzione a 1.5 g/s Q ΔV Δt Δm kg s 3-3 ρ Δt 10 kg m 8 η l Q ΔP π R Pa m s Quale sarà la forza esercitata sullo stantuffo? 43