Metodi statistici per l analisi dei dati
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- Marcellina Romeo
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1 Metodi sttistici per l lisi dei dti Alisi dell Vriz (ANOVA) d u sigolo Itroduzioe Nell esempio precedete soo stte itrodotte le teciche più degute per cofrotre due trttmeti distiti ell cmpg sperimetle. I trttmeti possoo che essere visti come due differeti livelli di u (ell esempio precedete, il è l cocetrzioe di dditivo presete ell pst). Molti esperimeti implico però più di due livelli di u. I quest sezioe sro presetti metodi per l progettzioe e l lisi di esperimeti co diversi livelli del (o trttmeti) Cofroto tr più trttmeti
2 ANOVA Esempio itroduttivo U igegere tessile itede ivestigre l resistez di u uov fibr sitetic l vrire dell percetule di cotoe usto ell miscel. A tl rigurdo esegue delle prove di resistez su 5 diversi livelli di percetule i peso di cotoe: 5%, 0%, 5%. 30% e 35% 5 diversi modelli Le misure totli soo N.B. l successioe delle misure è stbilit i modo csule (rdomizzzioe delle misure) ANOVA Esempio itroduttivo Dti dell cmpg sperimetle Percetule di cotoe Osservzioi Totle Medi Cofroto tr più trttmeti
3 ANOVA Esempio itroduttivo L lisi grfic permette u prim vlutzioe qulittiv:.8 x ANOVA Procedur Obbiettivo: Implemetre u procedur rigoros che permett di stbilire se si osservo trttmeti sigifictivmete diversi o, equivletemete, se il livello del (l percetule di cotoe) h u imptto sull misur idividure evetulmete quli soo i trttmeti che differiscoo sigifictivmete Cofroto tr più trttmeti 3
4 ANOVA Nomecltur Percetule di cotoe Osservzioi Ogi sigol rig prede il ome di trttmeto Ciscu trttmeto è costituito d osservzioi (el cso i esme 5) L lisi è svolt su differeti trttmeti o livelli (el cso i esme 5) L sigol osservzioe è crtterizzt d due idici: x ij Idice i: si riferisce ll rig i-esim trttmeto Idice j: si riferisce ll j- esim osservzioe 7/57 ANOVA Nomecltur Modelli sttistici per i dti sperimetli: Modello delle medie i,,..., ij mi eij j,,..., ij j-esim osservzioe dl livello i-esimo m i Medi dell rispost l livello (trttmeto) i- esimo e ij Vribile letori ormle ssocit co l j-esim osservzioe Cofroto tr più trttmeti 4
5 ANOVA Nomecltur Modelli sttistici ltertivi per descrivere i dti sperimetli: Modello degli effetti ij m t i e ij i,,..., j,,..., ij j-esim osservzioe dl livello i- esimo m Medi complessiv t i Effetto del livello (trttmeto) i-esimo e ij Vribile letori ormle ssocit co l j-esim osservzioe ANOVA Studio del modello degli effetti Nomecltur ust el seguito: i ij j i j ij Somm di tutte le osservzioi per il trttmeto i-esimo Somm di tutte le osservzioi per tutti trttmeti i i N Medi del trttmeto i-esimo Grde medi del cmpioe di dti (N ) Cofroto tr più trttmeti 5
6 ANOVA Studio del modello degli effetti Si è iteressti testre l egugliz tr i diversi gruppi. Le ipotesi sttistiche possoo essere scritte: H 0 : H : m m m m i m m per lmeo u coppi (i,m) o, equivletemete: H 0 : t t t 0 H : t i 0 per lmeo u vlore i ANOVA Decomposizioe dell somm totle dei qudrti Si cosideri l somm totle dei qudrti SST: SST ij - i j È u misur dell vribilità complessiv presete ei dti. Co qulche pssggio: SST ij - i i - i j ij - i i - ij - i i - i j i j i j 0 Cofroto tr più trttmeti 6
7 ANOVA Decomposizioe dell somm totle dei qudrti I coclusioe si h: SST i j ij - i i - i j ij - i SSE Somm dei qudrti delle differeze ll itero dei trttmeti SS Tretmets Somm dei qudrti delle differeze tr i trttmeti ANOVA Decomposizioe dell somm totle dei qudrti Iterpretzioe dei termii Somm dei qudrti degli errori: SSE h u umero di grdi di libertà pri (N-) N è il umero totle di puti disposizioe è il umero di iformzioi usto per clcolre le medie dell sigol colo SSE MSE N - Si può dimostrre che il vlore tteso per MSE coicide co l vriz dell errore sperimetle: E MSE s Stim dell vriz comue ll itero dei trttmeti Cofroto tr più trttmeti 7
8 ANOVA Decomposizioe dell somm totle dei qudrti Iterpretzioe dei termii Somm dei qudrti dei trttmeti: Alogmete, si può fcilmete verificre che il umero di gdl di SS Tretmets è pri d (-) per cui: MS Tretmets SS - Tretmets Stim dell vriz tr i trttmeti Ache i questo cso si può dimostrre che E MS Trermets s t i i - ANOVA Decomposizioe dell somm totle dei qudrti Se l ipotesi ull H 0 : t i 0 per ogi i fosse ver: E MSE EMS s Trermets I presez di lmeo u trttmeto sigifictivmete diverso d zero (t i 0 per lmeo u i): E MS EMSE s Trermets Ituitivmete, l sorgete di vriz presete tr i trttmeti o è dell stess tur dell vriz presete ll itero dei trttmeti (misur verosimilmete geui dell errore sperimetle) Cofroto tr più trttmeti 8
9 ANOVA Decomposizioe dell somm totle dei qudrti I coclusioe l dispersioe totle dei dti può essere decompost i due distiti cotributi: SSTSSE+SS Tretmets Ioltre, i ssez di ifluez dei trttmeti, si h: SST ~ SSE cn - cn s s ~ - SS Tretmets s ~ c- Le VA SST, SSE e SS Tretmets soo idipedeti i quto soddisfo il teorem di Cochr (vedi lucido successivo) Decomposizioe dell somm totle dei qudrti Alisi sttistic Teorem di Cochr Sio Z i ~N(0,) per i,,, e Z i i Q Q... Q s dove s e ciscu Q i bbi i g.d.l. Allor Q, Q,,Q s soo VA di tipo c idipedeti co,,, s gdl se e solo se... s Cofroto tr più trttmeti 9
10 Decomposizioe dell somm totle dei qudrti Alisi sttistic I coclusioe, se l ipotesi ull fosse ver, il rpporto delle vrize F 0 SS SSE - MS N - MSE Tretmets Tretmets srebbe distribuito secodo u F di Fisher (-,N-) gdl Vlori di F 0» soo poco verosimili e porto l rigetto dell ipotesi ull di prtez ANOVA Ricett /. Scegliere u livello di sigifictività del test (i geere 0.05). Clcolre il vlore critico F,-,N- tle che: P F F -, -, N - 3. essedo F l Fisher (-,N-) gdl Cofroto tr più trttmeti 0
11 ANOVA Ricett / 4. Clcolre il rpporto F 0 delle vrize per il set di dti: F 0 SS SSE - MS N - MSE Tretmets Tretmets 5. Si cofrot il vlore F 0 osservto co il vlore critico F,-,N- 6. Se F0 F, -, N - Si rigett l ipotesi ull ed esiste lmeo u trttmeto sigifictivmete diverso dgli ltri ANOVA Tbell ANOVA Sorgete di vrizioe Somm dei qudrti i Grdi di libertà Errore SSE ij - N- MSE Totle SST - N- i - i j i i j ij Vriz F 0 SSTretmets Trttmeti - MS Tretmets F 0 MS MSE Tret. Cofroto tr più trttmeti
12 ANOVA Tbell Esempio Esperimeto Resistez dell fibr sitetic Sorgete di vrizioe Somm dei qudrti Grdi di libertà Vriz F 0 Trttmeti.35e e Errore 7.909e e+06 Totle 3.5e+08 4 Dlle tbelle si trov F 0.05,4,0.85 È possibile che clcolre il p-vlue per l sttistic test: P-vlue9.4e-06 Tbell ANOVA Sigolo Fttore Esempio Distribuzioe F di riferimeto per l sttistic dell esempio % F 0.05,4,0.85 F Cofroto tr più trttmeti
13 Tbell ANOVA Sigolo Fttore Clcolo semplificto Somme dei Qudrti I geere si ricorre softwre dedicti per il clcolo dei termii preseti el test ANOVA Nel cso si dovesse ricorrere d u clcolo mule, è possibile sfruttre delle espressioi più semplici: SST SS ij - i j Tretmets SSE SST - SS Tretmets ij - i j N i - i - i i N ANOVA Stim dei prmetri del modello Presetimo or stimtori per i prmetri del modello effetti sigolo: ij m ti eij Si può dimostrre che: m ˆ tˆ i i - i,..., Ioltre, uo stimtore putule di m i m+t i è: mˆ i i Cofroto tr più trttmeti 3
14 ANOVA Stim degli itervlli di fiduci dei prmetri Se si ssume che ciscu misur si idipedete e ormlmete distribuit si h che, per l sigol medi: i ~ N m i, s Se s fosse ot, si potrebbe usre l distribuzioe ormle per determire gli itervlli di fiduci. Come stim dell vriz è possibile comuque usre MSE (misur geui dell errore sperimetle) s MSE e bsre il clcolo dell itervllo di fiduci sull t di studet N- gdl. ANOVA Stim degli itervlli di fiduci dei prmetri U itervllo di fiduci per l medi del trttmeto i-esimo è quidi dto d: MSE - t /, N - mi i t /, i N - MSE Alogmete, u itervllo di fiduci per l differez di due medie m i -m k di trttmeti è dto d: MSE - - t m - m - i k t /, N - i k i k /, N - MSE D otre che l itervllo di fiduci risult più grde rispetto l cso dell sigol medi Cofroto tr più trttmeti 4
15 Verific degutezz del modello Alisi dei residui Defiizioe Dto il modello ij m t e i ij Si defiisce residuo e ij l distz tr l geeric osservzioe e l corrispodete previsioe del modello. e ˆ ij ij - ij ij - i Se il modello è deguto, i residui dovrebbero pprire sez u evidete struttur (il determiismo è ctturto completmete dl modello) Verific degutezz del modello Alisi dei residui Riportdo i residui su u crt probbilistic si può verificre u evetule devizioe dll ssuzioe di ormlità Norml Probbilit Plot Probbilit Dt Cofroto tr più trttmeti 5
16 Verific degutezz del modello Alisi dei residui Si possoo itrodurre i residui stdrdizzti: eij dij MSE Se i residui soo N(0,s ), i residui stdrdizzti sro VA pprossimtivmete di tipo stdrd (MSE è u stim di s ) d ij ~ N 0, e pertto (el 95% dei csi circ) - ij d Residui stdrdizzti d ij» si ritegoo icomptibili co l cmpg sperimetle (outliers) e soo pertto d rimuovere Verific degutezz del modello Alisi dei residui Digrmm dei residui rispetto ll ordie di esecuzioe delle prove sperimetli (tempo).5 Residui stdrdizzti Tempo Evetuli tred egtivi/positivi el grfico dei residui potrebbe suggerire che l ssuzioe di idipedez sugli errori è stt violt Cofroto tr più trttmeti 6
17 Verific degutezz del modello Alisi dei residui Digrmm dei residui rispetto lle previsioi del modello residui e i,j Previsioi del modello ht x 0 4 Ache i questo cso, o si osserv l presez di u struttur Cofroto tr i diversi trttmeti I seguito l rigetto dell ipotesi ull di prtez del test ANOVA, esistoo delle procedure per stbilire quli sio i trttmeti specifici che differiscoo sigifictivmete dgli ltri. U possibilità è rppresett dl cofroto tr tutte le coppie possibili delle medie dei trttmeti. N.B. Eseguire tutte le possibili combizioi di test sttistici su due trttmeti o risult l scelt più degut dto che porterebbe d u mplificzioe otevole dell errore di tipo I. U test deguto per il cofroto tr le diverse coppie dei trttmeti è il test di Tuke (953). Cofroto tr più trttmeti 7
18 Cofroto tr i diversi trttmeti Test di Tuke U volt rigettt H 0, si itede eseguire u test sttistico cofrotdo tutte le possibili combizioi di medie dei trttmeti: H 0 : H : m i m j m i m j per ogi coppi (i,j). Tuke h proposto u procedur per questo test delle ipotesi, l cui sigifictività complessiv è pri proprio d (el cso i cui le dimesioi del cmpioe sio uguli per tutti i trttmeti). Cofroto tr i diversi trttmeti Test di Tuke Si f riferimeto ll distribuzioe dell seguete sttistic studetizzt di itervllo: mx - mi q MSE T MSE dove mx e mi soo, rispettivmete, l mssim e miim medi cmpiorie, sul gruppo di medie cmpiorie. È possibile ricvre (d tbelle dispoibili i lettertur) i vlori criciti q (,f) dell sttistic, dove: f è il umero di gdl ssocito ll vriz MSE è il umero di trttmeti presi i cosiderzioe è il livello di sigifictività del test Cofroto tr più trttmeti 8
19 Cofroto tr i diversi trttmeti Test di Tuke Il test stbilisce che due medie soo sigifictivmete differeti se il vlore ssoluto delle loro differeze eccede: T q, f MSE Nel cso di dimesioi dei cmpioi o uguli i j : T q, f MSE i j Cofroto tr i diversi trttmeti Test di Tuke Esercizio Applichimo il test di Tuke ll esempio (co u livello di sigifictività 0.05): 5 trttmeti f0 gdl per l errore Dlle tbelle si trov q 0.05 (5,0)4.3 T q MSE , f Per cui, ogi coppi di trttmeti che differisce i vlore ssoluto per u vlore mggiore di 5.37 implic che le corrispodeti medie delle popolzioi soo sigifictivmete differeti. Cofroto tr più trttmeti 9
20 Cofroto tr i diversi trttmeti Test di Tuke Esercizio Le medie dei cique trttmeti soo: D cui è possibile vlutre quli soo le differeze sigifictive: Cofroto tr i diversi trttmeti Il metodo di Tuke o è l uico dispoibile i lettertur per cofrotre coppie di diversi trttmeti: Lest Sigifict Differece (LSD), sviluppto d Fisher Metodo di Scheffé Altri Cofroto tr più trttmeti 0
21 Verific degutezz del modello Alisi dei residui Esempio (egtivo) U igegere civile itede cofrotre quttro distiti metodi di stim degli scrichi idrici qudo soo pplicti sullo stesso sprticque Metodo di stim Osservzioi Totle Medi Verific degutezz del modello Alisi dei residui Esempio (egtivo) Tbell ANOVA per l esempio: Sorgete di vrizioe Somm dei qudrti Grdi di libertà Vriz F 0 P-vlue Metodi e- Errore Totle È evidete che esiste u imptto del metodo: i geere m i m k Cofroto tr più trttmeti
22 Verific degutezz del modello Alisi dei residui Esempio (egtivo) Si può ioltre otre che l dispersioe dei residui ted crescere co 3 residui e i,j Previsioi del modello ht Verific degutezz del modello Alisi dei residui L presez evetule di u struttur ei dti può essere dovut d u vriz o costte. L vriz delle osservzioi può, per esempio, crescere co i vlori ssuti d. Vriz o costte può essere idictiv di dti che seguoo u distribuzioe o-ormle, di tipo simmetrico I questi frgeti è possibile ricorrere trsformzioi o lieri dei dti per vvicire l dispersioe dei dti d u popolzioe di tipo Gussio Cofroto tr più trttmeti
23 Verific degutezz del modello Alisi dei residui Esempio (egtivo) Trsformzioe o liere dei dti Selezioe empiric di u espressioe o liere per redere omogee l vriz ei trttmeti Si ssume che l devizioe stdrd e l medi sio legti d u legge di potez s m Per semplicità si cosidero solo leggi di potez per l trsformzioe: l * Il che implic che sussiste u relzioe del seguete tipo s * m l- Poedo l-, l vriz dei dti trsformti è costte Verific degutezz del modello Alisi dei residui Esempio (egtivo) Trsformzioe o liere dei dti Alcui esempi di trsformzioe: Relzioe tr s e m l- Trsformzioe s costte / s m s m 0 No trsformzioe ½ ½ Rdice qudrt 0 Logritmic 3/ s m 3/ - ½ Reciproc dell rdice qudrt m s - Reciproc Cofroto tr più trttmeti 3
24 Verific degutezz del modello Alisi dei residui Esempio (egtivo) Tordo ll esempio Si clcol l devizioe stdrd s i e medi per trttmeto Se sussiste l seguete relzioe per le popolzioi: s i m ovvero logs i log log i m i Si pprezz comuque u dipedez liere tr i logritmi delle devizioi stdrd e delle medie per i trttmeti log s log log i i Verific degutezz del modello Alisi dei residui Esempio (egtivo) Dl digrmm si evice u dipedez liere co pedez ½. D cui: log S i ~/ l - Si può pplicre l seguete trsformzioe o liere per redere omogee l vriz ei dti log i * Cofroto tr più trttmeti 4
25 Verific degutezz del modello Alisi dei residui Esempio (egtivo) Ripetedo l procedur co i dti trsformti Sorgete di vrizioe Somm dei qudrti Grdi di libertà Vriz F 0 P-vlue Metodi e- Errore Totle Dl puto di vist qulittivo, le cose o cmbio i modo sigifictivo Verific degutezz del modello Alisi dei residui Esempio (egtivo) L dispersioe dei residui risult più omogee l vrire di residui e i,j Previsioi del modello ht Cofroto tr più trttmeti 5
26 Stim dei prmetri col metodo dei miimi qudrti I seguito si userà il metodo dei miimi qudrti per l stim dei prmetri del modello sigoli fttori: ij m t e i ij Lo scopo è determire i vlori dei prmetri che redo miim l somm degli scrti qudrtici: L m, t i e ij ij - m -t i i j i j Stim dei prmetri col metodo dei miimi qudrti Le stime dei prmetri possoo essere determite prtire dlle derivte przili L m L t mˆ,ˆ t i i mˆ,ˆ t i 0 0 d cui si ottiee - i j - j i,,..., ij - mˆ - tˆ i 0 - mˆ - tˆ 0 i,,..., ij i Cofroto tr più trttmeti 6
27 Stim dei prmetri col metodo dei miimi qudrti Dopo qulche semplificzioe, si ottiee il seguete sistem di (+) equzioi lieri i (+) icogite: Nmˆ mˆ mˆ mˆ tˆ tˆ tˆ tˆ D otre che l prim equzioe è l somm delle restti equzioi. Le equzioi o soo liermete idipedeti. Esiste u soluzioe litic per il sistem m o è uivoc tˆ tˆ Stim dei prmetri col metodo dei miimi qudrti Impoedo dei vicoli l soluzioe è uivocmete determit. Per esempio: tˆ i i I corrispodez si ottiee m ˆ 0 tˆ i i - i,..., Cofroto tr più trttmeti 7
28 Test geerli di sigifictività dell regressioe U prte fodmetle di quest procedur richiede l formulzioe e l scrittur delle equzioi ormli per il modello. Queste equzioi possoo essere otteute differezido l fuzioe miimi qudrti rispetto i prmetri igoti. Altertivmete, è possibile ivocre lcue regole che permettoo l scrittur dirett delle equzioi ormli per u quluque modello sperimetle Test geerli di sigifictività dell regressioe. Esiste u equzioe ormle per ogi prmetro d stimre el modello. L prte l secodo membro di ogi equzioe ormle è l somm di tutte le osservzioi che cotegoo il prmetro ssocito ll equzioe Esempio: il secodo membro dell equzioe ormle per stimre il prmetro m è dto che i tutte le osservzioi è previsto m. 3. L prte l primo membro di ogi equzioe ormle è l somm di tutti i prmetri del modello, dove ogi prmetro è moltiplicto per il umero di volte i cui ppre l secodo membro Esempio: ell equzioe ormle corrispodete t, i prmetri m e t compioo esttmete volte i e tutti gli ltri t k o soo preseti. Cofroto tr più trttmeti 8
29 Test geerli di sigifictività dell regressioe L riduzioe dell somm dei qudrti, ituitivmete, cosiste ell ricerc del modello che meglio si dtt i dti sperimetli Si cerc quidi di ridurre l vribilità presete ei dti itroducedo u modello che e spieg il più possibile L riduzioe ell vribilità o spiegt è l somm delle stime dei prmetri, ciscu moltiplict il secodo membro dell equzioe ormle corrispodete. Per esempio per il modello completo: ij Si h R m t e i ij m, ti mˆ tˆ tˆ mˆ tˆ i i i Test geerli di sigifictività dell regressioe Il termie R(m,t i ) è l somm dei qudrti spiegt dll regressioe del modello. L rimete vribilità che il modello o riesce ctturre è dt dll differez: SSE i j ij - R m, t i Cofroto tr più trttmeti 9
30 Test geerli di sigifictività dell regressioe Dte le defiizioi precedeti, è possibile implemetre u test geerico di sigifictività di regressioe per u esperimeto sigolo. Prtedo dl modello completo ij m+t i +e ij, come già visto, le corrispodeti equzioi ormli soo: Nmˆ mˆ mˆ mˆ tˆ tˆ tˆ tˆ tˆ tˆ Test geerli di sigifictività dell regressioe Co il vicolo: tˆ i 0 i Si ottegoo gli stimtori per m e t i : mˆ, tˆ i i - i,..., D cui è possibile ricvre l somm dei qudrti R(m,t) R m ti m ˆ ti i i -, gdl i ˆ i i i - i i i i i i N Coivolge equzioi ormli liermete idipedeti Cofroto tr più trttmeti 30
31 Test geerli di sigifictività dell regressioe L qutità SSE i j ij - R m, t i Vribilità totle presete ei dti N gdl Vribilità spiegt dl modello gdl h quidi N- gdl. Test geerli di sigifictività dell regressioe Si cosideri or il modello ridotto (i cui o soo cotemplti gli effetti: t i 0) ij m e ij Lo stimtore di m per il modello ridotto è mˆ Quidi, l somm dei qudrti spiegt dl modello è R m mˆ N gdl Cofroto tr più trttmeti 3
32 Test geerli di sigifictività dell regressioe È possibile quidi clcolre l somm dei qudrti dovut gli effetti {t i } come l differez tr: l vribilità spiegt dl modello completo e l vribilità del modello ridotto R tm Rm, t - Rm R modello completo- Rmodello ridotto i i - i N - gdl Test geerli di sigifictività dell regressioe D otre che R(t m) SS Tretmet È stto quidi mostrto u modo ltertivo per giugere ll pproprit sttistic per testre H0: t t t 0 F 0 i j R tm - ij - R - m, t N Cofroto tr più trttmeti 3
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. serie umeriche Def. (serie). Dt u successioe ( ) (co R per ogi ), si chim serie di termie geerle l successioe (s ), dove s è l somm przile -esim defiit d () s = + 2 +... + = k. L serie coverge (semplicemete)
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