ISTITUTO TECNICO STATALE COMMERCIALE E PER GEOMETRI A. MARTINI Castelfranco Veneto (TV) Elementi di Logica

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1 settembre 008 Elementi di Logica 1. Nozioni preliminari La logica studia come funziona il pensiero e il ragionamento espresso attraverso degli enunciati Il ragionamento è un sistema di enunciati che permette di passare da certe premesse a una o più conclusioni. Un enunciato è una sequenza di suoni con contenuto linguistico (fonemi), organizzati in parole e frasi. (Non solo le lingue sono un esempio di questo linguaggio, anche la musica, la stenografia, ecc.) Gli enunciati possono essere espressi oltre che con linguaggio fonetico anche con linguaggio ideografico, cioè con segni (simboli) che non rappresentano suoni, ma parole o frasi intere e interi concetti. La matematica usa spesso un linguaggio ideografico (come i geroglifici egizi, il cinese, ecc.) Ogni enunciato deve rispettare particolari regole nella formazione delle parole (morfologia) e nella combinazione delle parole in frasi (sintassi). La proposizione è il significato di un enunciato ed è indipendente dal mezzo (ad esempio la lingua) utilizzato per esprimerlo: Nevica, It is snowing, Il neige, sono enunciati diversi ma la stessa proposizione. Una proposizione è tale se esprime un pensiero completo. Sole luminoso non è una proposizione; Il sole illumina la terra è una proposizione (vera). 1+1 è un enunciato (espressione) non è una proposizione; 1+1=3 è una proposizione (falsa) 1+ 1 è un enunciato scorretto dal punto di vista della sintassi è un enunciato sintatticamente corretto ma non è una proposizione. ( ) Una proposizione può essere vera o falsa. Indichiamo con lettere maiuscole le proposizioni: P, A, B, C. Una proposizione può essere affermata: P o negata: non P ( P, P ) not P Doppia negazione: si conviene che non ( non P) = P ( P ) = ( P) = P Due proposizioni possono essere congiunte: A e B ( A B ) ed è vera se entrambi sono vere A and B disgiunte: A o B ( A B ) ed è vera anche se una delle due non è vera. A or B Esempi. Un dato numero naturale è pari e dispari (falso) Un dato numero naturale pari non è dispari (vero) 16 è un numero pari e una potenza di (vero) Un dato numero è pari oppure dispari (vero) Un dato numero è positivo o negativo e, oppure si dicono connettivi.

2 settembre 008 In una proposizione P si distingue Esempio. P = La Terra è un pianeta del sistema solare. Soggetto: x = Terra. Predicato (proprietà affermata): pianeta del sistema solare. un soggetto (che si indica con x) che è ciò di cui si afferma e il predicato che è ciò che si afferma o proprietà. Un predicato può anche stabilire una relazione tra due o più soggetti (predicato diadico, triadico, ecc.). Esempio: La Luna è un satellite della Terra. Soggetti: Terra, Luna. Predicato, relazione: satellite di Esempio di predicato diadico: Verona si trova lungo la strada che collega Venezia e Milano Nei ragionamenti si usa qualsiasi proposizione, compresi i giudizi (Marco è buono), che non siano esclamazioni, invocazioni, comandi, domande (come stai?), auguri. Si dice argomento un insieme di proposizioni di cui una almeno sia conseguenza (conclusione) delle altre, che si dicono premesse, presentate a sostegno, a fondamento della verità della conclusione. Esempio di argomento (deduttivo): Tutti gli animali respirano, i pesci sono animali, i pesci respirano. premesse conclusione Gli argomenti possono essere deduttivi e induttivi. Argomenti deduttivi: le premesse vere assicurano la verità della conclusione Argomenti induttivi: le premesse vere rendono plausibile, probabile, possibile la conclusione Esempio di argomento induttivo: Paolo è spiritoso, se Paolo viene alla festa, ci divertiremo Gli argomenti deduttivi possono essere validi o non validi Gli argomenti deduttivi validi assicurano che se le premesse sono vere allora è vera anche la conclusione. Gli argomenti induttivi non possono essere validi.

3 settembre 008. Deduzione La deduzione o inferenza è il processo attraverso cui si arriva ad affermare la conclusione sulla base di una o più premesse accettate come punto di partenza. Principi fondamentali della logica: a) Identità: due oggetti sono uguali se sono lo stesso oggetto b) Non contraddizione: una proposizione non può essere vera e falsa contemporaneamente c) Terzo escluso: una proposizione o è vera o è falsa (logica bivalente) Principi di deduzione: a) Deduzioni elementari: basate sui precedenti tre principi. b) Sillogismi, proprietà transitiva. Esempi: se a inerisce ad ogni b, e se b inerisce ad ogni c, allora è necessario che a inerisca ad ogni c ogni animale è mortale, ogni uomo è animale, ogni uomo è mortale se tutti i castellani sono veneti e se tutti i veneti sono italiani, allora tutti i castellani sono italiani. se tutti i trapezi sono quadrilateri e se tutti i quadrilateri sono poligoni, allora tutti i trapezi sono poligoni se tutti i rettangoli sono parallelogrammi e se tutti i parallelogrammi sono trapezi, allora tutti i rettangoli sono trapezi. c) Riduzione all assurdo: B è conseguenza di A equivale a A è conseguenza di B Esempio: Siano r, s, t tre rette. r è parallela a t e s è parallela a t, allora r è parallela a s A r non è parallela a s, allora r non è parallela a t oppure s non è parallela a t B A B

4 settembre Implicazione Siano P e Q due proposizioni. La forma tipica del ragionamento, di un argomento, della deduzione è l implicazione da P a Q : se P allora Q P Q dove P è l ipotesi (antecedente) e Q è la tesi (conseguente o conseguenza di P ). L implicazione si legge anche: P implica Q da P segue Q Q se P P è condizione sufficiente per Q Q è condizione necessaria per P E possibile anche la doppia implicazione: se P allora Q e se Q allora P P Q Q se e solo se P P è condizione necessaria e sufficiente per Q L implicazione è sempre vera eccetto quando P è vera mentre Q è falsa Usando la negazione e i connettivi della congiunzione, disgiunzione e implicazione si possono esprimere i seguenti schemi di ragionamento sempre validi: non (A e non A) A o (non A) (A e B) B A e (A B) B Non contraddizione Terzo escluso (A B) e (B C) (A C) Transitività (A o B) e (non A) B (A B) (non B non A) Riduzione all assurdo (dimostrazione per assurdo) Esempio di dimostrazione per assurdo Parliamo di numeri naturali, interi positivi. Vogliamo dimostrare la proposizione P = I numeri primi sono infiniti (Euclide 300 ac) Partiamo da non P = I numeri primi non sono infiniti = Esiste un numero finito N prodotto di tutti i numeri primi non P N + 1 non è primo = N + 1 = k n (perché N + 1 è maggiore dell ultimo numero primo) N + 1 = k n k m + 1 = k n (perché N è il prodotto di tutti i numeri primi) 1 k m + 1 = k n n m = (per le proprietà dell uguaglianza tra numeri) k Q La proposizione Q è certamente falsa perché la differenza tra numeri interi sarebbe il numero frazionario 1 k mentre è vera la sua negazione non Q e per lo schema riduzione all assurdo si ha: (non P Q) (non Q non (non P) ) cioè (non P Q) (non Q P ).

5 settembre Quantificatori Spesso le affermazioni matematiche riguardano tutti i numeri (o altri oggetti) oppure affermano che esiste almeno un numero con una certa proprietà o anche che nessun numero ammette quella proprietà o, infine, che una data proprietà riguarda uno e un solo numero. Tutte queste espressioni evidenziate si dicono quantificatori, è sono tanto importanti da avere dedicati dei simboli speciali: Simbolo Nome Significato Quantificatore universale Tutti, qualsiasi, per ogni! Quantificatore esistenziale Esiste almeno un, per qualche Nessuno, non esiste alcun Esiste uno e un solo Nota: E (rovesciata) sta per "Exists" e A (rovesciato) sta per "All" Il primo è dovuto al matematico italiano Giuseppe PEANO ( ) Il secondo al matematico tedesco Gerhard Karl Erich GENTZEN ( ) per analogia con quanto fatto da Peano. La standardizzazione di questi caratteri tipografici pare sia avvenuta attorno al Esempio: x y : x = y x, y numeri naturali Per ogni numero naturale esiste almeno un numero naturale che è il suo quadrato Tutti i numeri naturali hanno un quadrato naturale La specificazione o definizione che, tale che si rappresenta con i due punti : o con il simbolo. Si può dire di più. Altro esempio x! y : x = y x, y numeri naturali Tutti i numeri naturali hanno un solo quadrato naturale x : x < 0 x numero naturale Non ci sono numeri naturali più piccoli di zero Che si può anche scrivere: x 0 x naturale Esercizi. Interpreta le seguenti proposizioni: 1) x : )! x : x = x =, x numero naturale 4, x numero naturale 3) x : x = 4, x numero intero relativo 4) x y z : x y = z x, y, z numeri naturali