10. La nozione di limite

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1 . L ozioe di limite L distz itrodott sull rett rele d(,b) = -b,, b R, permette di defiire u ozioe di viciz, trmite l ozioe di itoro. Si defiisce itoro di u puto u qulsisi itervllo perto (,b) coteete (quest o è l defiizioe più geerle di itoro, m per oi è sufficiete). Si può estedere l ozioe di itoro, defiedo itoro di + ogi itervllo del tipo (, + ) e itoro di ogi itervllo del tipo (, b). Si chimerà itoro simmetrico di di semimpiezz ε l itervllo perto ( ε, +ε). Dto u isieme A di umeri reli, si dice che (umero rele oppure, + o ) è puto di ccumulzioe per A se ogi itoro di cotiee puti di A diversi d. Come esempi cosiderimo: ) l itervllo (,): i suoi puti di ccumulzioe soo tutti i puti dell itervllo chiuso [,]; ) l itervllo [, + ): i suoi puti di ccumulzioe soo i puti di [, + ) e ioltre il simbolo + ; 3) l successioe, /, /3,, /, = {/}: l uico puto di ccumulzioe è lo ; 4) l successioe,, 3,,, = {}: l uico puto di ccumulzioe è + ; 5) l itervllo [,] uito l puto : soo di ccumulzioe solo i puti dell itervllo [,]. Si può otre che u puto di ccumulzioe può pprteere ll isieme (d es. i puti di (,) i) o quelli di [, + ) i )) oppure o (d esempio i puti e i ), il puto i 3)) e che i puti di u isieme possoo essere di ccumulzioe oppure o (d es. tutti i puti dell isieme i 3) o il puto i 5)). I sostz u puto è di ccumulzioe per u isieme A se d esso ci si può vvicire rimedo i A. L ide di limite è quidi molto semplice: è quel (evetule) vlore cui si vvicio i vlori dell fuzioe qudo l vribile si vvici d u vlore prefissto. È isito i quest pseudodefiizioe che per prlre di limite l vribile deve potersi vvicire l puto prefissto e che quidi quest ultimo deve essere u puto di ccumulzioe. Defiizioe. Si f: A R u fuzioe e u puto di ccumulzioe per A ( può essere u umero rele oppure + o ). Si dice che l ( può essere u umero rele oppure + o ) è il limite di f per tedete se per ogi itoro V di l esiste u itoro U di tle che U A, f() V e i tl cso si scrive lim f ( ) = l oppure f ( ) l Si può dttre quest defiizioe lle vrie situzioi: d esempio se si che l soo umeri reli si può scegliere V=(lε, l+ε) e U= ( δ, +δ). Poiché f() V sigific lε <f()< l+ε, ovvero f()l <ε, l defiizioe divet, i questo cso: per ogi ε >, esiste δ >, tle che, A, e <δ f() l <ε Se ivece =+ e l= si può scegliere V=(, b) e U=(, + ). Poiché U e f() V sigifico rispettivmete > e f()< b, l defiizioe divet, i questo cso: per ogi umero rele b, esiste u umero rele, tle che, A e > f()<b Alcue semplici proprietà dei limiti possoo essere immeditmete dimostrte, se si comprede che l ffermre l esistez del limite l per l fuzioe f, l tedere di, sigific semplicemete che i vlori f() dell fuzioe soo obbligti d essere rbitrrimete vicii l vlore l, pur di predere bbstz vicio (m distito d ). Di coseguez 3

2 ) (Uicità del limite) Se il limite esiste è uico (o si può cotemporemete essere rbitrrimete vicii due vlori distiti). ) (Teorem dell permez del sego) Se il limite di u fuzioe f l tedere di e è u vlore positivo, oppure + (risp. egtivo oppure ) esiste tutto u itoro del puto, escluso l più il puto stesso, i cui l fuzioe si mtiee positiv (risp. egtiv) (sostzilmete evidete). 3) (Teorem del cofroto o dei crbiieri) Dte tre fuzioi f, g, h defiite i u isieme A e tli che per u opportuo itoro U di, puto di ccumulzioe di A, si bbi f() g() h() A U, llor lim f ( ) = lim h( ) = l implic che lim (poiché f e h si vvicio g( ) = l d l, che g, che è compreso tr le due precedeti deve vvicirsi d l) U commeto quest ultim ffermzioe è opportuo: si è prlto di limiti fiiti o ifiiti, precisdo però se + o, m escludedo il cso sez preciszioe del sego. I effetti lim f ( ) = sigific semplicemete lim f ( ) = +, m i questo cso il teorem del cofroto o vle, come eppure quello dell permez del sego. A volte può essere iteresste fr vvicire d soltto dll siistr o dll destr, oppure spere se f() tede d l dl di sopr o dl disotto; se, d esempio, tede d dll siistr e f() tede d l dl di sopr + si scriverà lim f ( ) = l e sigificherà che per ogi itoro V di l esiste u itoro U di tle che U A e < implic f() V e f() l oppure, el cso che si che sio fiiti per ogi ε >, esiste δ >, tle che, A, δ < < implic l f() < l +ε. I risultti precedetemete euciti e quelli che seguiro vlgoo i modo turle che per i limiti destri e siistri. 4) (limite dell somm) Il limite dell somm è l somm dei limiti, purchè quest ultim somm o di luogo d mbiguità, cioè: se i due limiti soo fiiti, l e l llor l somm tede l + l se uo dei limiti è + e l ltro è fiito o + llor l somm tede + se uo dei limiti è e l ltro è fiito o llor l somm tede 5) (limite del prodotto) Il limite del prodotto è il prodotto dei limiti, purchè quest ultimo prodotto o di luogo d mbiguità, cioè: se i due limiti soo fiiti, l e l llor il prodotto tede l l se uo dei limiti è + e l ltro è fiito e positivo o + llor il prodotto tede + se uo dei limiti è e l ltro è fiito e positivo o + llor il prodotto tede se uo dei limiti è + e l ltro è fiito e egtivo o llor il prodotto tede se uo dei limiti è e l ltro è fiito e positivo o llor il prodotto tede + 6) (limite del reciproco) Il limite del reciproco è il reciproco del limite, cioè: se il limite è fiito e diverso d, si l, llor il reciproco tede /l se il limite è + (o ) llor il reciproco tede + (o ) se il limite è+ (o ) llor il reciproco tede + (o ) 7) (limite del quoziete) Il limite del quoziete è il quoziete dei limiti, purchè quest ultimo quoziete o di luogo d mbiguità, cioè, chimti () e d() il umertore e il deomitore rispettivmete: se () tede l e d() l llor il quoziete ()/d() tede l / l se () tede u limite positivo e d() + ( ) llor il quoziete tede +() se () tede u limite egtivo e d() + ( ) llor il quoziete tede (+) se () tede +() e d() u limite positivo o + llor il quoziete tede +() se () tede +() e d() u limite egtivo o llor il quoziete tede (+) se () tede l e d() +() llor il quoziete tede 33

3 I ltre prole si soo ritmetizzti i simboli di + e el seguete modo: somm: l + =+, + + =+, l =, = ; prodotto: l> o l=+ l (+ ) = +, l ( ) = ; l< o l= l (+ ) =, l ( ) = + ; quoziete: l/(+ )= l/( )= ; l> o l=+ l/ +() = +() ; l> o l=+ l/ +() = (+). Gli uici csi che sfuggoo quest ritmetizzzioe soo:+,,,, che vegoo chimte forme di idecisioe. Ioltre, se si pes che (f()) g() =e g()log(f()), legte lle forme di idecisioe del prodotto (ll espoete) ci soo i csi,,. L filosofi del processo di pssggio l limite è sostzilmete che il limite di u fuzioe è esttmete quello che ci spettimo, slvo ei csi i cui ci si preseti u form di idecisioe: se > se < lim = se, lim + =, lim = + + se < + se > se > + se > lim =, lim, lim = = + + se < < se < < lim log = log se >, lim + log =, lim + = + log π lim si si, lim cos cos, lim tg tg, se = = = + kπ lim rcsi = rcsi, lim rccos = rccos, se ( k itero) π π lim rctg = rctg, lim rctg =, lim rctg = + Attezioe le fuzioi seo e coseo o mmettoo limite ll ifiito i quto cotiuo d oscillre ssumedo tutti i vlori compresi tr e +. Abbimo visto egli esempi precedeti che molte fuzioi ssumoo come limite il vlore ssuto dll fuzioe el puto: tli fuzioi si dicoo cotiue. Più precismete: Defiizioe: Si f:i R u fuzioe defiit i u itervllo I e si u puto di I. Diremo che f è cotiu i se lim f ( ) = f ( ). L fuzioe f si dice cotiu i I se è cotiu i tutti i puti di I. I prticolre le fuzioi potez, le fuzioi espoezili, i logritmi, le fuzioi trigoometriche e le loro iverse soo cotiue el loro isieme di defiizioe. Alcui esempi di forme di idecisioe. si : lim = Che si trtti di u form di idecisioe è evidete; ioltre h seso porsi il problem dell esistez del limite perché l isieme di defiizioe dell fuzioe è tutto l sse rele privto dello, che quidi è puto d ccumulzioe. Dll prim figur del prgrfo 7. Fuzioi trigoometriche discede che il trigolo AOD è coteuto el settore circolre AOD, su volt coteuto el trigolo COD e l stess relzioe vle per le ree Are AOD < Are AOD < Are COD cioè si < < tg 34

4 (si ricordi che il cerchio che si cosider h rggio e che l re del settore circolre è dto dl prodotto del rggio () per l lughezz dell rco, che vle, diviso ; ioltre l golo è compreso tr e π ). Se or si cosider l prim disugugliz e si moltiplic per e si divide per, si si ottiee < ; se ivece si cosider l secod disugugliz e si ricord che si <, d cui moltiplicdo per cos si ottiee cos si cos < < quidi: lim,5 si tg = si h cos Poiché tutte le fuzioi che compioo ell precedete cte di disuguglize soo pri, tle cte vle per ogi [-π/, π/]; se or si pplic il teorem del cofroto, poiché l fuzioe coseo tede qudo si l vribile tede, che tede. cos cos : lim =. Si può otteere dl precedete ricorddo che dlle formule di bisezioe si h che cos = si e si cos si si lim t t = = ( = ) lim = lim poedo t t t = t t,5 π/ π/ si / cos log ( + ) : lim = log, lim =, lim =. (per oi log è il logritmo i bse e) Verificheremo questi limiti co Ecel. Per il primo limite scriveremo ell prim rig i vlori di :.,.,.5, 3 e 8 (dll cell B ll F), ell prim colo i vlori di d.,. e così vi fio. (d A A), il vlore del log ed ifie cor i vlori dell egtivi d -. fio (d A4 A). Per i vlori dell fuzioe bst digitre =(B$^$A-)/$A ell cell B (ricordre l uso del $), ricopire e icollrlo i tutte le celle d B F e d B4 F; ifie i B digitimo =LN(B) (ricordimo che LN st per logritmo turle ed è il simbolo di Ecel per l fuzioe logritmo i bse e)e icollimo fio F. Se or si cofroto i vlori del logritmo si co quelli ssuti dlle fuzioi i puti vicii, si h l precis seszioe del feomeo dell covergez.. 35

5 Nello stesso modo si può operre per il terzo limite, dopo ver osservto che, per itero positivo, il limite è coseguez dell formul del biomio di Newto, iftti: (+) k -= -= k = k k = + k = k +.. ove i putii idico poteze di di grdo superiore, e quidi ( + ) lim = k = k k = + termii che vo se. Per il cso geerle si possoo predere come vlori di : -5, -, -.5,.5,.5 e gli stessi vlori di di prim. Ache i questo cso l covergez risult evidete. Nello stesso modo si può operre se si cosider il secodo limite (qui o ci soo d scegliere i vlori di ): frlo per esercizio! : lim + b = +, se > e b>. Questo sigific che, pur di predere bbstz grde, l espoezile co bse > super u qulsisi potez. Può essere iteresste osservre quello che cpit i lcui csi prticolri. Ad esempio se =b= il quoziete vle se =,.4 se =,.67 6 se =, 36

6 .7 95 se =. Se ivece =. e b=5 il quoziete vle. se =,.6-5 se =, se =, m vle già.47 6 se =. b : lim + = +, se b>. log Questo sigific che, pur di predere bbstz grde, le poteze co espoete positivo crescoo più rpidmete del logritmo. Operdo come già ftto i precedez, poedo ell prim rig lcui vlori di b:,.5,.,.,. (cioè oltre ll potez prim, l rdice qudrt, l rdice decim, cetesim e millesim) e ell prim colo lcui vlori dell :,,,, = 9,, 5, 38 (quest ultimo è i prtic il umero più grde co cui Ecel riesc e lvorre e si oti che Ecel idic co E^ l potez, cosicché.75e^9 = due milirdi cetosetttumil ciqueceto) si ottiee l tbell qui fico, d cui risult evidete il crescere verso l ifiito ei primi 34 tre csi, m o el qurto e ttomeo el quito: i reltà bisog rrivre perché log superi il vlore, m per = i vlori dei rpporti elle ultime due coloe soo già dell ordie di grdezz di 9 e (= milirdi) rispettivmete. (Per cpire l eormità di questi umeri si pesi che, vlutdo i 5 milirdi di i l età del ostro uiverso, l su vit è durt solo secodi e il suo ttule dimetro misur poco più di 9 millimetri.) ε [ ] : lim log =, per ogi ε>.,5 -,5 I ltre prole l dre ll ifiito del logritmo ε = qudo l su vribile tede è così debole - ε =,5 d essere cotrstto dll dre di u ε =, qulsisi potez positiv del suo rgometo. -,5 Per redere più evidete l questioe si propoe il grfico fico delle fuzioi ε log per diversi vlori di ε. - b [ ] : lim + = +,, per ogi b> e >. Ache di questo tipo di limite ci si può fcilmete covicere co teciche loghe lle precedeti. È opportuo covicersi or che esistoo delle scle di rpidità co cui le fuzioi tedoo ll ifiito oppure. Ad esempio se + si h l seguete scl di rpidità di crescit: log (>) b (b>) α (α>) β (β>α) 37

7 el seso che il rpporto tr u delle fuzioi dell eleco e u che l precede, tede + se +. Alogmete se + si h l seguete scl di rpidità di crescit: log / (>) / b (b>) α / (α>) β / (β>α) cor el seso prim eucito (d esempio = + il che equivle log se log log + ) Ricordimo che u fuzioe defiit su u isieme A, si dice crescete (risp. decrescete) i A, se implic f( ) f( ) (risp. f( ) f( )). Si prl di fuzioe strettmete crescete (o strettmete decrescete) se f( ) < f( ) (risp. f( ) < f( )). U fuzioe si dice (strettmete) mooto se è (strettmete) crescete o decrescete. Esiste u importte teorem che rigurd l esistez del limite per fuzioi mootoe: Si f:a R u fuzioe mooto e si u puto di ccumulzioe per A. Allor esiste, fiito o ifiito, si il limite destro lim + f () che il limite siistro lim f ( ) ( meo che si u estremo di A, el qul cso esiste solo uo dei due limiti). Più precismete se l fuzioe è crescete: + L = lim + f ( ) = if f ( ) L = lim f ( ) = sup A, > A, < f ( ); metre se l fuzioe è decrescete L = lim f ( ) = sup f ( ), L + = lim + f ( ) = if A, > A, < f ( ). Ioltre il limite è u umero rele se l fuzioe è limitt. Il precedete teorem si può pplicre ll successioe + che, come bbimo visto, è crescete e limitt: quidi mmette limite e tle limite è, come visto, il umero e. [ ] : lim e + + = [ ] : lim = o Bst porre =e log e ricordre che log tede, se tede zero. Il pssggio l limite per le fuzioi composte preset qulche problem, el seso che, g(t) se t t e f() l se, o implic ecessrimete che f(g(t)) l se t t, tuttvi questo ftto estremmete turle cpit ell strgrde mggiorz dei csi, d esempio se f è cotiu el puto o se il vlore o è ssuto dll fuzioe g i prossimità del puto t. L + L. Proprietà delle fuzioi cotiue Abbimo visto l defiizioe di fuzioe cotiu i termii di limite; voglimo vedere or lcue proprietà di tli fuzioi, proprietà che, tr l ltro, giustifico l ggettivo cotiuo. 38

8 Teorem degli zeri. Si f u fuzioe cotiu su u itervllo I. Sio e b due puti di I i cui l fuzioe ssume vlori di sego opposto (d esempio f()< e f(b)>). Esiste llor lmeo u puto c i cui f si ull. Dimostrzioe. Suppoimo che si f()< e f(b)> e cosiderimo il puto medio dell itervllo + b [,b], c =. Se f(c)= bbimo trovto ciò che cercvmo, se f(c)< sceglimo come uovo itervllo [c,b] i modo che gli estremi l fuzioe bbi sego opposto, se, ltrimeti, f(c)> sceglimo come uovo itervllo [,c]; per coerez di otzioe, idicheremo co e b gli + b estremi del uovo itervllo. A questo puto ricomicimo d cpo cosiderdo c = puto medio dell itervllo [,b ] e studido il sego di f(c ). Se o simo così fortuti d trovre u puto medio i cui f si ull, si costruiscoo due successioi di puti: gli estremi siistri e gli estremi destri degli itervlli costruiti = b b b b =b crtterizzti dl ftto che f( )< e f(b )>. Ioltre, poichè d ogi pssggio si dimezz l mpiezz degli itervlli, si h che b b b b b b =, b = =,, b = =, cioè l distz tr e b tede l crescere di. A questo puto le due successioi { } e {b } soo mootoe (l prim crescete, l secod decrescete) e limitte (etrmbe coteute ell itervllo [,b]), quidi per il teorem sull esistez del limite per fuzioi mootoe, etrmbe covergoo e si α il limite di { } e β quello di {b }. Poiché, però, b tede deve essere α deve coicidere co β e chimimo c questo vlore comue, che risult itero ll itervllo (,b). Se or fosse f(c)>, potremmo scegliere ε = f(c)/ e trovre u itoro di c, del tipo U=(cδ, c+δ), i modo che U, c implichi f() (f(c) - ε, f(c) + ε), ovvero f()>f(c)-ε =f(c)-f(c)/=f(c)/> per ogi U; d ltrode i U, che è u itoro di c, ci soo che puti dell successioe {b }, che coverge c e i cui l fuzioe f h sego <: impossibile! Nello stesso modo si può rgiore se si suppoe f(c)<, prededo ε = f(c) / e l successioe { }. Si coclude che deve essere f(c)=, e il teorem è dimostrto. Appliczioe: stbilire che l fuzioe f()=cos si ull i u puto compreso tr e π/ e determirlo co u pprossimzioe iferiore /. L fuzioe è cotiu, ioltre f()= e f(π/)= π/. Ioltre d ogi pssggio dell costruzioe delle due successioi pprossimti { } e {b } si dimezz l distz tr le due pprossimzioi b e : di coseguez se l itervllo iizile misur π/, dopo u pssggio misurerà π/4, dopo due π/8, dopo pssggi π/ + e questo umero è più piccolo di / se = (iftti π/ =π/496). 39

9 Si può procedere come segue: ell prim rig si mettoo le didsclie, + b, b, c =, f( ), f(b ), f(c ). L secod rig è fcile d completre: simo l psso, quidi =, i due estremi dell itervllo soo = e b =π/ (=PI.GRECO()/), il puto medio si clcol come =(B+C)/ e i vlori ssuti dll fuzioe soo, ell colo E, =B-COS(B) che deve poi essere copito (Ctrl+C) e icollto (Ctrl+V) elle coloe F e G. A questo puto vo messi elle cselle B3 e C3, il puto medio i D e uo dei due precedeti estremi B o C i modo che i segi ssuti d f sio opposti: el ostro cso i B3 si poe =B e i C3 si poe =D. Si copi or il coteuto delle celle E, F, G i E3, F3, G3 e si procede come sopr (ttezioe: i vlori ell colo E devoo essere sempre egtivi e quelli ell colo F sempre positivi). Nell esempio si è dti u po oltre il psso, per otteere le prime 4 cifre decimli estte del puto i cui l fuzioe si ull e cioè.739. L più importte coseguez del teorem degli zeri è l seguete: Se f è u fuzioe cotiu su u itervllo I e sio e b due puti di I i cui l fuzioe ssume vlori diversi. Allor f ssume ell itervllo di estremi e b tutti i vlori compresi tr f() e f(b). Suppoimo iftti che f()<f(b), e che d si u vlore compreso tr f() e f(b), cioè tle che f() < d < f(b). Se or cosiderimo l fuzioe g()=f()-d, si h g() = f()-d< e g(b) = f(b)-d>. Quidi per il teorem degli zeri esiste lmeo u puto c i cui g(c)=, m questo sigific f(c)=d. Questo risultto sigific che u fuzioe cotiu su u itervllo può pssre d u vlore d u ltro solo pssdo per tutti i vlori itermedi, cioè che il suo grfico o può fre slti, ovvero cor che deve tle grfico deve essere cotiuo el seso bitule del termie. U ltr importte proprietà delle fuzioi cotiue (che o dimostreremo) rigurd l esistez del mssimo e del miimo. Si f u fuzioe (o ecessrimete cotiu) defiit su u isieme A (o ecessrimete u itervllo). Diremo che M è il vlore mssimo ssoluto per f i A se M f() per ogi A. Ogi puto M i cui tle vlore mssimo è ssuto si dice puto di mssimo ssoluto. Alogmete diremo che m è il vlore miimo ssoluto per f i A se m f() per ogi A e ogi puto m i cui tle vlore miimo è ssuto si dice puto di miimo ssoluto. Teorem di Weierstrss. Se f è u fuzioe cotiu su u itervllo I chiuso e limitto llor f mmette mssimo e miimo ssoluto i I. 4

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