Esercizi di econometria: serie 1
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- Tiziano Marini
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1 Esercz d econometra: sere Eserczo E data la popolazone dell Abruzzo classcata n se categore d reddto ed n tre class d età come segue: Reddto: () L () L () L (4) L..... () L..... (6) Oltre L... Età: () Govan () Adult () Anzan S denscano ora le varabl casual { Categora d reddto} e { Classe d età} la unzone d denstà congunta la seguente: a. S costrusca la unzone d rpartzone congunta ( ) F b. S costruscano le unzon d rpartzone e denstà margnal. c. S dervno le unzon d denstà della varable casuale condzonate ad a. er denzone la unzone d rpartzone congunta è data dalla seguente espressone: F ) ( ) e sa poché la varable aleatora n esame è dscreta la unzone d rpartzone congunta s ottene come segue: F ) ( ) : : dove ( ) rappresenta la unzone d denstà d probabltà dscreta (o massa d probabltà). I rsultat sono rportat nella seguente tabella a doppa entrata:
2 Esercz d econometra sere Tabella : unzone d rpartzone congunta b. Le unzon d denstà margnal sono date dalle seguent espresson: ( ) ) e ( ) ( ) e rsultat sono rportat rspettvamente nell ultma colonna e nell ultma rga della seguente tabella a doppa entrata ( ) Tabella : unzon d denstà margnal. Le unzon d rpartzone margnal sono date dalle seguent espresson: F ( ) e F ( ) ( ) : : e rsultat sono rportat rspettvamente nell ultma colonna e nell ultma rga della tabella c. er denzone la unzone d denstà dscreta condzonata della varable aleatora dato è data dalla seguente espressone: ) ( ) ( ) rsultat sono rportat nella seguente tabella ( ) ( ) ( ) Tabella : unzon d denstà condzonata.
3 Esercz d econometra sere Eserczo Avete.. d lre da nvestre n un anno e due possbl nvestment nanzar: azon (A) e ttol d stato (T). S denscano le varabl casual { Rendmento delle azon } e { Rendmento de ttol d stato }. I rendment sono gudcat n condzon d ncertezza dalla seguente dstrbuzone d probabltà: A T - % % % 6%.. 8%... %.. a. S costrusca la unzone d rpartzone congunta ( ) F delle due varabl casual. b. S costruscano le unzon d denstà e d rpartzone margnal d e d. c. Qual è la probabltà che un ttolo renda pù del 6%? d. Qual è la probabltà che un azone da un rendmento postvo? e. Qual è la probabltà che un ttolo renda pù d un azone? a. Sulla base della denzone d unzone d rpartzone congunta data nel precedente eserczo s ottengono rsultat rportat nella seguente tabella a doppa entrata: - % % % 6%.. 8%...8 %...7 Tabella 4: unzone d rpartzone congunta. b. Sulla base della denzone d unzone d denstà margnal data nel precedente eserczo s ottengono rsultat rportat nella seguente tabella a doppa entrata rspettvamente nell ultma colonna e nell ultma rga della seguente tabella a doppa entrata - % % % 6%... 8%....6 % ( ) Tabella : unzon d denstà margnal. er le unzon d rpartzone margnal nvece rsultat sono rportat rspettvamente nell ultma colonna e nell ultma rga della tabella 4. c. La probabltà che un ttolo renda pù del 6% è data da: ( > 6) ( 6) F ( 6) ( > 6).. 8
4 Esercz d econometra sere d. La probabltà che un azone da un rendmento postvo è la seguente: ( > ) ( ) F ( ) ( > ).. 7 e. Inne la probabltà che un ttolo renda pù d un azone è par a: ( > ) ( 6 ) + ( 6 ) + ( 8 ) + ( 8 ) ( ) + ( ) ( > ) Eserczo Un mmagne da satellte RBV è composta da tre color (Rosso Verde e Blu per semplctà escluderemo l caso d compresenza d color). S sa che l ntera mmagne è composta da pel d cu blu 9 verd e 4 9 ross dstrbut a caso. S prenda una sezone quadrata d pel. a. Qual è la probabltà d ncontrare pel rosso e pel verd? b. Qual è la probabltà d ncontrare pel ross e pel blu? c. Qual è la probabltà d ncontrare almeno pel verd? d. Qual è la probabltà d ncontrare meno d pel ross? e. Qual è la probabltà d ncontrare pel verd e non pù d pel rosso? L espermento n esame consste nell estrarre senza remmssone 4 pel da una popolazone la cu numerostà è par a N 644 data la elevata numerostà della popolazone lo schema d estrazone descrtto è assmlable allo schema con rpetzone. Dal testo s rcava che: 4 ( R ) ( B) ( V) 9 9 a. er calcolare la probabltà rchesta ossa d ncontrare pel rosso e pel verd è possble utlzzare la dstrbuzone multnomale (trnomale) )!! n! ( n ) p! q n ( p q) nel caso n esame p rappresenta la probabltà d estrarre un pel rosso e q la probabltà d estrarre un pel verde sosttuendo valor s ottene: 4! 4!!! ( R V ). 88 b. Anche nel caso d calcolare la probabltà d ncontrare pel ross e pel blu è possble utlzzare la dstrbuzone trnomale dove p rappresenta la probabltà d estrarre un 4
5 Esercz d econometra sere pel rosso e q la probabltà d estrarre un pel blu sosttuendo valor s ottene: 4! 4!!! ( R B ). c. robabltà d ncontrare almeno pel verd In questo caso è possble utlzzare la dstrbuzone bnomale! n! ( n ) p! n ( p) dove p rappresenta la probabltà d estrarre un pel verde sosttuendo valor s ottene: ( V ) ( V ) + ( V 4) ( V ) ( V 4)! 4! 4!! 9 ( 4 ) ( 4 ) 4! 4! ( V ) d. Volendo calcolare la probabltà d ncontrare meno d pel ross è possble ancora utlzzare la dstrbuzone bnomale dove p rappresenta la probabltà d estrarre un pel rosso sosttuendo valor s ottene: ( R < ) ( R ) + ( R ) + ( R ) ( R 4) ( R ) ( R ) ( R 4) 4!! 4! 4 4! 9 ( 4 ) 4! 4! 9 ( 4 ) ( R < ) e. er la probabltà d ncontrare pel verd e non pù d pel rosso è necessaro nvece utlzzare la dstrbuzone multnomale dove p rappresenta la probabltà d estrarre un pel verde e q la probabltà d estrarre un pel rosso sosttuendo valor s ottene: ( V R ) ( V R ) + ( V R ) 4!!!! ( V R ). 4!!!! 9 ( V R ) ( V R )
6 Esercz d econometra sere Eserczo 4 Due carte sono estratte da un mazzo d carte. Sa { numero d Ass} e { numero d Kng }. a. S rcavno le unzon d denstà e d rpartzone congunte d ed. b. S estraggano ora carte. Qual è la probabltà d avere un Asso condzonatamente al atto d non avere alcun Kng? a. Dalle potes dell eserczo s rcava che le v.a. e possono assumere tre sole determnazon { } { } ed noltre lo schema d estrazone è senza remmmssone. In tal caso la dstrbuzone d probabltà congunta può essere calcolata rcordando che lo spazo camponaro Ω è costtuto da 6 event elementar equprobabl cascuno de qual è dato da una coppa (ordnata) d carte estratte. Rcordando che n un mazzo d carte v sono 4 Ass e 4 Kng s ha che: l numero d coppe n cu sono present due Ass oppure due Kng sono par a 4 ; l numero d coppe n cu sono present un Asso e un Kng sono par a 4 4 ; l numero d coppe n cu sono present un Asso oppure un Kng sono par a 4 44 ; l numero d coppe n cu non sono present né un Asso né un Kng sono par a ; Sulla base d quest dat e applcando la denzone classca d probabltà è possble calcolare la dstrbuzone d probabltà congunta ( ) Tabella 6: unzone d denstà congunta. Alternatvamente è possble rcavare la dstrbuzone d probabltà congunta attraverso la relazone: ) ( ) dato che lo schema d estrazone utlzzato è senza remmssone la unzone d denstà appartene alla amgla pergeometrca ed è aclmente calcolable sulla margnale ( ) base de dat dell eserczo la unzone d denstà condzonata ( ) è anch essa aclmente calcolable n quanto l condzonamento al vercars d un dato evento equvale ad una modca dello spazo camponaro Ω ad esempo condzonare all evento A { ass } sgnca che l nuovo spazo camponaro Ω è costtuto da cas possbl valor assunt dalle unzon d denstà condzonate possono essere calcolat attraverso la dstrbuzone pergeometrca tenendo presente quanto detto prma. Questo secondo procedmento che non vene llustrato ne dettagl a causa della sua laborostà consente maggormente d evdenzare l atto che la dstrbuzone d probabltà congunta n esame è un esempo d dstrbuzone pergeometrca multvarata. La unzone d rpartzone congunta s ottene dalla seguente espressone: 6
7 Esercz d econometra sere F ) ( ) : : I rsultat sono rportat nella seguente tabella a doppa entrata: Tabella 7: unzone d rpartzone congunta. b. La probabltà d avere Asso condzonatamente al atto d non avere nessun Kng può essere calcolata attraverso la relazone: [ ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) In questo caso l numero d carte estratte è par a pertanto lo spazo camponaro Ω è pù complesso n quanto costtuto da un nseme d quntuple; s hanno qund event elementar. Sulla base d queste consderazon s ha: [( ) ( ) ] ( ) [( ) ( ) ] Eserczo La varable casuale doppa ( ) ha unzone d denstà congunta: ) + + θ se altrment a. A quale condzone sul parametro θ la ( ) è una unzone d denstà congunta? b. Rcavare le due unzon d denstà margnal. c. Rcavare la unzone d denstà d condzonata ad. d. Vercare che quest ultma sa eettvamente una unzone d denstà. a. Anché la unzone sopra ndcata rappresent una unzone d denstà devono essere soddsatte le seguent condzon: 7
8 Esercz d econometra sere. ) + + ;. ) dd ossa ( ) La prma condzone è soddsatta θ> ; la seconda nvece è soddsatta quando: ( ) + + θ b. Le unzon d denstà margnal s ottengono a partre dalla dstrbuzone d probabltà congunta attraverso le relazon: ( ) ( ) ( ) rsultat sono rportat rspettvamente nell ultma colonna e nell ultma rga della seguente tabella a doppa entrata: θ θ θ θ( + θ+ θ ) θ θ θ 4 θ ( + θ+ θ ) θ θ 4 θ θ ( + θ+ θ ) ( ) θ( + θ+ θ ) θ ( + θ+ θ ) θ ( + θ+ θ ) Tabella 8: unzon d denstà margnal. c. La unzone d denstà dscreta condzonata della varable aleatora dato è data dalla espressone: ) ( ) ( ) rsultat sono rportat nella seguente tabella: d. Anché ( ) ( ) ( + θ+ θ ) θ ( + θ+ θ ) θ ( + θ+ θ ) Tabella 9: unzone d denstà condzonata. sa una unzone d denstà devono essere vercate le propretà:. ( ) ;. ( ) Come s può vedere dalla tabella 9 entrambe le condzon sono soddsatte. 8
9 Esercz d econometra sere Eserczo 6 S consderno pallne estratte senza remmssone da un urna che contene tre pallne numerate da a. Sa l numero della prma palla estratta ed l pù grande de due numer estratt. a. Trovare la unzone d denstà congunta d ed b. Trovare la probabltà ( ) Sa ora l pù pccolo de due numer ed l pù grande: c. Trovare la unzone d denstà congunta d ed d. Trovare la dstrbuzone d condzonata ad a. Lo spazo camponaro è dato dalle seguent coppe ordnate: {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Ω noltre dalle potes dell eserczo s ha che punt dello spazo camponaro sono equprobabl; la unzone d denstà congunta è data dalla seguente tabella a doppa entrata: b. ( ) /6 /6 /6 / /6 /6 /6 / /6 /6 / /6 / 4/6 / ( ) Tabella : unzon d denstà congunta e margnal. [( ) ( ) ] ( ) 4 c. Nelle nuove potes camba l nseme delle possbl determnazon assunte dalle varabl aleatore ed la unzone d denstà congunta è data dalla seguente tabella a doppa entrata: /6 /6 4/6 / /6 /6 / ( ) /6 / 4/6 / Tabella : unzon d denstà congunta e margnal. d. La unzone d denstà dscreta condzonata della varable aleatora dato è data dalla espressone d seguto rportata: ( ) ) e rsultat sono rportat nella seguente tabella: 9
10 Esercz d econometra sere ( ) Tabella : unzone d denstà condzonata. Eserczo 7 Rcavare la unzone d denstà congunta e la unzone d rpartzone congunta della dstrbuzone unorme bvarata denta nell ntervallo a b e c d. La unzone d denstà della varable aleatora unorme bvarata è data dalla seguente espressone: k per a b c d ) altrment per determnare l valore del parametro k è sucente mporre le seguent condzon:. ) ;. ) dd + + La prma condzone è soddsatta k ; la seconda condzone è soddsatta quando: b a d c kd d b a b d [ k] d k( d c) d ( d c) k[ ] c a b a k ( d c)( b a ) Alternatvamente è possble rsolvere l eserczo per va geometrca n quanto l parametro k è assmlable all altezza del paralleleppedo d seguto rportato l cu volume è par a Fgura
11 Esercz d econometra sere Eserczo 8 Sano ed varabl casual contnue con unzone d denstà congunta ( ) c < < < altrment Trovare l valore della costante c. Anché l espressone rappresent una unzone d denstà devono essere soddsatte le seguent condzon:. ) ;. ) dd + + La prma condzone è soddsatta c > ; l ntegrale doppo che gura nella successva condzone è dento su una regone normale. In va analtca s ha: cd d c d c d c Eserczo 9 Sano ed varabl casual contnue con unzone d denstà congunta: ) + ; altrment Rcavare la probabltà ( ) ( ; ) ( + ) d d [ ] + d [ ] 4 + d
12 Esercz d econometra sere Sa data la unzone d denstà ( ) < < < altrment Trovare le due unzon d denstà margnal. Eserczo Le unzon d denstà margnal sono date dalle seguent espresson: + ) - + ( ) ) - d d Il supporto della varable aleatora n esame è dato da una regone normale (ved g. ) sosttuendo valor s ottene: d [ ] ( ) d ( ) Fgura
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