Linee di Trasmissione

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1 in di Trasmission Si considri un tratto di ina di ungha infinitsima d carattriato dai quattro paramtri primari: R,, G, dtti rispttivamnt rsistna induttana (sri, conduttana capacità (parao pr unità di ungha da ina. Un ta tratto è rapprsntabi con ( Rd d (d ( Gd d (d - - Essndo i tratto di ina di ungha infinitsima, possiamo approssimar a primo ordin ottnndo: ( ( d ( d ( d( d( Appicando ggi di Kirchhoff aa rt in figura supponndo di ssr in rgim armonico, si ottin: ( ( d( d( ( ( ( R d ( ( G d ( d( ( R ( d d( ( G ( d ( ( avndo dfinito ( R ( G mpdna (sri pr unità di ungha da ina Ammttna (parao pr unità di ungha da ina

2 ( ( d ( d ( ( d ( d avndo dfinito a ostant di Propagaion da ina : ( ( G R ( α Si ottngono du souioni pr ( ( na forma: ( ( tanti di intgraion (, - (, - non sono tra oro indipndnti; infatti : ( d d( ( da cui souioni : ( ( ( S si dfinisc mpdna arattristica da ina, com : G R si ottin, pr a corrnt ungo a ina, sprssion: ( ( sistma di quaioni prcdnt può ssr posto na forma (dtta Equaion di Tgrafisti:

3 du grand (ostant di Propagaion (mpdna arattristica vngono dnominat ostanti Scondari da ina. Possiamo ì carattriar una ina di trasmission in bas a su tanti primari o a su tanti scondari: in ogni caso una coppia di grand compss. a souion, n tmpo d in rgim armonico, può ssr posta na forma: { } [ ] { } [ ] { } { } { } t t t t t t t R R R R R (,t ( α α α α α α du parti da souion possono ssr intrprtat rispttivamnt com ond di tnsion viaggianti na dirion - : infatti, pr tnr a fas tant co passar d tmpo, si dv viaggiar in un caso na dirion d positiv, n atro d ngativ. Fattor di Attnuaion di ntramb è α (misurato in Npr/m o in db/m. onsidrando a soa part progrssiva (, a distana ch si dv prcorrr pr riottnr a stssa fas (pr t fissato, cioè in un priodo spaia, è dfinita com ungha d onda λ: π λ λ π a ocità di Fas, v ph, ovvro a vocità aa qua si muov una suprfic quifas, è data da: ph ph v v dt d dt d -

4 Particoariando a souion ottnuta a caso sna prdit, si ottin: R G R α, N caso di struttur omogn sna prdit, con propagaion di tipo TEM (Transvrs Ectro-Magntic, è possibi dimostrar (dirttamnt da quaioni di Maxw ch si ha smpr: µ ε quindi una vocità di fas tant coincidnt con a vocità di propagaion d ond ttromagntich n mo considrato: v ph c tant µ ε Quindi, s si vogiono variar carattristich propagativ di una ina, non s n può variar ibramnt a gomtria: infatti, ciò varirbb una d du grand primari ( o ma a rimannt varirbb in modo invrso, mantnndo tant i prodotto. Si dv quindi variar sparatamnt o, aggiungndo ad smpio mnti concntrati opportunamnt distaniati (pupiniaion.

5 Supponiamo di considrar una ina di trasmission di ungha finita di trminara su un carico di impdna : -, in nostro scopo è dtrminar i vaor d impdna di ingrsso in. Tnsion corrnt sua ina sono dat da: ( ( ( on a scta di coordinat ffttuata, i carico impon ch sia: Dfinndo i officint di Rifssion d arico, (, i rapporto tra onda rifssa incidnt di tnsion su carico : ta impdna normaia, officint di rifssion officint di rifssion

6 A ingrsso da ina di trasmission si avrà: sinh h h sinh S si suppon ch a ina sia sna prdit, ossia : tan tan tan tan sin sin in Ossia: tan tan in onsidriamo ora di casi notvoi pr sprssion prcdnt

7 A - S a ungha d tratto di ina è pari ad un mutipo di λ/, ossia s si ha: λ λ,, λ,,k k in Quindi, aggiungndo un tratto di ina di ungha mutipa di λ/, s a ina è sna prdit, non si cambia impdna di ingrsso. Ovviamnt, visto ch a ungha d onda è funion da frquna, qusto è vaido ad una frquna singoa. B - S a ungha d tratto di ina è un mutipo dispari di λ/4, ossia s: λ 3 5 k, λ, λ,, λ k in ossia in - S i carico è un cortocircuito ( : X in tan impdna di ingrsso è dunqu puramnt rattiva d ha andamnto da tangnt: λ/4 λ/ 3λ/4 λ mdsimo comportamnto si ottin s impdna di carico è un circuito aprto (, caso n qua si ha: in cot an

8 D - S impdna di carico è pari a impdna carattristica da ina, ossia s: in n ta caso a ina è dtta adattata sua sua impdna carattristica. Non sist in qusto caso un onda rifssa: E possibi dfinir un officint di Rifssion ungo a ina ( com i rapporto tra onda di tnsion rifssa dirtta aa sion : ( Si noti ch n caso sna prdit cui si rifrisc sprssion sopra, i moduo d cofficint di rifssion è tant ungo a ina (dipnd sotanto da quo d carico mntr a fas varia. n gnra riman vaida a coppia di raioni: rchiamo ora di dtrminar a potna assorbita qua rifssa da carico. Qust utim possono ssr sprss in funion da potna incidnt d cofficint di rifssion d carico (si suppon ra: { } { } * * inc inc inc R R R P * * { } { } inc * rf rf rf P R R P * inc rf inc abs P P P P

9 a Prdita di Ritorno (Rturn oss è dfinita com i rapporto (di soito sprsso in dcib tra potna incidnt rifssa: og P P og R rf inc db > Pr una ina trminata con un carico non adattato (cioè di vaor divrso da, sistono quindi ond rifss ch intrfriscono con qu incidnti a formar una configuraion di ond staionari ungo a ina. nfatti, s si considra a tnsion ungo a ina si ha: S si considra si cacoa i moduo da tnsion, si ottin: ( [ ] { } { } sin 4 sin sin Quindi ( è una funion priodica ch oscia tra un vaor massimo (quando /nπ d un vaor minimo (quando / m π - π /: max min Ta funion si ript con priodicità λ π Rapporto di Onda Staionaria in Tnsion (ROS o otag Standing Wav Ratio, SWR, è dfinito com i rapporto tra tnsion massima minima sua ina: min max SWR SWR SWR

10 arta di Smith raioni trovat consntono di trasformar i piano compsso da variabi RX in quo da variabi ri vicvrsa. Dtrminiamo, in particoar, carattristich da prima trasformaion da a ; considriamo i uoghi di punti (rtt a rsistna tant vdiamo com vngono trasformati n piano da variabi. Si ottin: R R t R X r i R X Supponndo, sna prdita di gnraità, puramnt ra normaiando impdn a ta si ottin: Rˆ Xˆ r i Rˆ Xˆ Rˆ Xˆ Xˆ ( Rˆ Xˆ ( Rˆ Xˆ ossia: Rˆ Xˆ r i ( Rˆ Xˆ ( Rˆ Xˆ S da quaioni prcdnti si imina i paramtro X, si ottin a famigia di crchi, con paramtro R, dscritti da quaion sgunt: Rˆ Rˆ r i r Rˆ Rˆ X i Xˆ R R R r R - -

11 Si noti ch i smipiano R >, corrispondnt ai carichi passivi, vin trasformato n crchio di circonfrna cntrato n origin (crchio unitario d piano. iò è natura, visto ch pr carichi passivi onda rifssa dv ssr smpr minor in moduo di qua incidnt. Pr R (-, i crchi corrispondnti contngono i crchio unitario, rimanndo tra oro tangnti n punto (,. Pr R - quaion da circonfrna dgnra na rtta r. nfin, pr R < - circonfrn, smpr tangnti n punto (,, hanno cntro n smipiano r >. S si considrano ora n piano i uoghi (rtt carattriati da: X X n piano, iminando a variabi R com n caso prcdnt, si ottin a famigia di circonfrn con paramtro X dscritta da quaion: t i r i r Xˆ Tai circonfrn, con cntro sua rtta r, sono tra oro tangnti n punto (, giacciono n smipiano i > pr X > (impdn induttiv o n smipiano i < pr X < (impdn capacitiv; pr X a circonfrna dgnra n ass i : X i X X X r R - X - X -

12 i a trattaion prcdntmnt ffttuata su trasformaioni da piano a piano è aa bas di uno dgi strumnti maggiormnt utiiati pr o studio di circuiti a tanti distribuit: a arta (o Abaco di Smith. Ta carta non è atro ch i crchio unitario d piano rapprsnta quindi tutt impdn a part ra positiva, corrispondnti a carichi passivi. Na carta sono indicati i uoghi di punti (tratti di circonfrn a vaor di rsistna o rattana tant, ì com drivabii dai cacoi prcdntmnt ffttuati. A B r Daa figura è possibi riconoscr acuni punti notvoi: i punto (-, (indicato con A corrispond a cortocircuito, i punto (, a impdna di normaiaion (, punto B, mntr i punto in figura (, corrispond a circuito aprto. E da tnr prsnt ch impdna di normaiaion, in appicaioni a frqun supriori a cntinaio di MH, vin di soito scta pari a 5 Ω (puramnt ra. a raion ch consnt di passar da piano da variabi impdna a quo da variabi cofficint di rifssion, può anch ssr scritta in trmini di ammttna: Si può facimnt notar ch a dipndna funiona è prssochè idntica, ad ccion ch pr i sgno d numrator. Pr ottnr quindi a arta di Smith rativa a ammttn, bastrà ffttuar una trasformaion di simmtria risptto a origin da carta rativa a impdn. n ta carta, ammttn di tipo capacitivo (con part immaginaria, o suscttana positiva occupano i smipiano i < mntr qu di tipo induttivo (con suscttana ngativa occupano i smipiano i >. A B i r

13 du cart (d impdn d ammttn vngono tavota utiiat insim, sovrapponndo com in figura. Daa dfiniion di officint di rifssion ungo a ina: S i sistma di rifrimnto vin cambiato invrtndo i vrso d ass, ossia considrando ungh positiv s ci si aontana da carico, si ottin: S, pr maggior gnraità, si considra i caso con prdit, sprssion prcdnt divnta: α Quindi, s si aggiung una ina (di impdna carattristica pari a qua di normaiaion in sri ad un carico di cofficint di rifssion, i cofficint di rifssion risutant avrà un moduo ridotto d fattor di attnuaion d una fas ch ruota in snso orario n piano. N caso sna prdit, qusto corrispond ad una rotaion in snso orario ungo una circonfrna di moduo, cntrata n origin (. Si noti ch a ungha ttrica da ina ch consnt di ffttuar una circonfrna compta va π, quindi una ungha fisica di λ/. Pr faciitar individuaion d rotaioni di fas consgunti a introduion di una ina, spsso sua carta di Smith vin aggiunta una scaa graduata strna, normaiata in fraioni di ungha d onda.

14 WAEENGHTS WAEENGHTS TOWARD TOWARD GENERATOR OAD s s p p X -X B -B

15 E uti, ao scopo di individuar a natura ( quindi a tituion di circuiti in fas di misura, dtrminar i comportamnto in frquna di smpici connssioni tra mnti concntrati (f << f : ircuito R- sri f ircuito R- sri f f f ircuito R- para. f ircuito R- para. f f f

16 ircuito R sri ircuito R para. f f f f ina di trasmission con trminata su f f

17 Una rt inar tmpo invariant -port ammtt normamnt una rapprsntaion matricia ch può ssr di divrsi tipi. Data a rt -port rapprsntata in figura: Sono possibii divrs rapprsntaioni, tra cui: A - Matric d ammttn di orto ircuito []: si ottin cortocircuitando port opportun pr ciascun paramtro, considrando tnsioni com grand appicat corrnti com grand risutanti: y y y y y, y y, y B - Matric d impdn a vuoto []: si ottin aprndo port opportun pr ciascun paramtro, considrando corrnti com grand appicat tnsioni com grand risutanti:,, - Matric di Trasmission o ABD: si ottin aprndo o cortocircuitando a porta di uscita considrando grand aa sconda porta com appicat qu aa prima porta com grand risutanti: D B A D, B, A Rapprsntaioni d rti inari Paramtri di Scattring Rapprsntaioni d rti inari Paramtri di Scattring

18 Esistono atri tipi di rapprsntaion (ad s. matric H, matric di trasmission invrsa. Si può passar da una rapprsntaion a atra con smpici quivan, a mno ch a matric di partna non sia singoar, n qua caso non tutt rapprsntaioni sono possibii. Si noti ch a matric ABD è particoarmnt uti in quanto consnt di ottnr immdiatamnt a matric di più rti -port connss in cascata smpicmnt ffttuando i prodotto d matrici rativ a singo rti -port. notr a matric ABD ha sgunti proprità: - S i circuito è simmtrico, A D - S i circuito è rciproco AD - B 3 - S i circuito è sna prdit, A,D R, B, notr, a rapprsntaion in trmini di matric ABD sist smpr (ì non è pr rapprsntaioni [] []. acoiamo, a titoo di smpio, a matric ABD di acun rti smpici: A - mpdna sri: D, B, A D B A B - Ammttna parao : D, B, A D B A

19 - a a D B A D - Tratto di ina di trasmission sna prdit, sin sin sin sin D B A

20 rapprsntaioni d rti -port inari sin qui vist non sono dirttamnt misurabii a frqun maggiori di quach cntinaio di MH. Si prsntano infatti divrsi probmi: - Pr misurar i paramtri [] o [] è ncssario, in bas aa dfiniion, misurar tnsioni a vuoto o corrnti di cortocircuito, spsso ai capi di dispositivi di dimnsioni moto picco (d ordin di quach cntinaio di micron. iò comporta, vist frqun in gioco, impossibiità di imporr dirttamnt tai tipi di chiusur: impor a quach distana da piano di rifrimnto d dispositivo significhrbb poi imporr un carico di tipo rattivo non d trminaioni idai (insrion di una ina di trasmission tra a trminaion i dispositivo da misurar. - n un circuito a microond tnsioni corrnti variano moto rapidamnt attravrsando i circuito stsso, in virtù d dimnsioni ridott, comparabii con a ungha d onda d sgna: divnta quindi poco significativo misurar tnsion o corrnt sparatamnt, ma si prfrisc misurar grand gat ad una combinaion d du (potna ch non variano significativamnt ungo una ina. 3 - Na misura di dispositivi attivi, condiioni di cortocircuito o circuito aprto corrispondono spsso a on di potnia instabiità di dispositivi quindi qusti utimi non sarbbro misurabii. Pr ovviar a qusti probmi, pr a carattriaion di rti a microond si utiiano paramtri gati a ond (di tnsion di corrnt incidnti rifss ch si propagano n circuito da misurar. cofficint di rifssion è stato prcdntmnt introdotto com i rapporto tra ond di tnsion rifssa incidnt. n bas a ta dfiniion, i cofficint di rifssion sarbb univocamnt gato aa soa onda di tnsion: si potrbb anaogamnt dfinir un cofficint di rifssion gato a rapporto d ond di corrnt. Pr gnraiar ta dfiniion, si può utiiar a sgunt: b a rativa ad un onda incidnt rifssa sprss com combinaion inar di : a b

21 Si noti ch, con qusta dfiniion, onda incidnt rifssa hanno ntrambi dimnsioni di [W½ ], in modo ta ch i oro quadrato abbia dimnsioni di una potna. ndipndntmnt daa dfiniion adottata, i conctto di cofficint di rifssion può ssr stso a caso mutiporta in manira moto smpic: si considri a rt -port di figura: a a b [S] b A du port incidono du ond a a da ss vngono rifss b b. Prndndo com variabii indipndnti ond incidnti com dipndnti rifss, a dscriion da rt risutant è d tipo: b b S S S S [] b [ S][] a a a a matric risutant vin dnominata Matric di Diffusion o Scattring. om si può notar daa dfiniion di ond incidnti rifss, pr a misura di ta rapprsntaion dv ssr introdotta un impdna di normaiaion (ch può anch ssr diffrnt pr du port. Daa rapprsntaion introdotta si ha: S S b a b a a, a S S b a b a a a Quindi, pr ottnr i cofficint S i bisognrà annuar onda incidnt aa porta opportuna, ossia chiudra su un carico adattato: ciò è quivant a trminara su impdna di normaiaion. N caso di circuiti con un numro di port suprior a du, a dfiniion è immdiatamnt stndibi. Pr a matric di scattring vagono sgunti proprità: - Pr una rt rciproca, S i S i - Pr una rt passiva, S i n 3 - Pr una rt rciproca sna prdit: i S i n