S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II. Esercizi svolti di Fisica generale II - Anno 1996

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Lazzaro Gatto
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1 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II Esercizi svolti di Fisica generale II - Anno ) Esercizio n 1 del 24/7/1996 Una regione di spazio é sede di un campo elettrico descrivibile dalla funzione potenziale: Φ = k (sin axsin by) e αz con α = ( a 2 + b 2) 1/2 dove a, b, e k sono costanti Calcolare il campo elettrico E e la densitá di carica ρ in funzione di x, y e z Si ha: E = Φ = x Φˆx y Φŷ z Φẑ = = k [a(cos axsin by)e αzˆx + b(sinaxcos by)e αz ŷ + α(sinaxsin by)e αz ẑ] ρ si calcola dalla ǫ 0 E = ρ = ρ = ǫ0 E Segue ǫ 0 E E x = ǫ0 x + ǫ E y 0 y + ǫ E z 0 z = = ǫ 0 k [ a 2 (sinaxsin by)e αz b 2 (sinaxsin by)e αz + α 2 (sinaxsin by)e αz] = = [ǫ 0 k(sinaxsin by)e αz ] (a 2 + b 2 α 2 ) = 0 cioè la funzione potenziale descrive un campo esterno alla distribuzione stessa ESFIS96-1

2 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 96-2) Esercizio n 2 del 24/7/1996 Una sfera conduttrice di raggio a ha una carica Q distribuita uniformemente sulla sua superficie Se la sfera é rivestita da uno strato sferico dielettrico, di costante dielettrica ǫ r, di raggio interno a e raggio esterno b, calcolare la carica superficiale di polarizzazione sulla superficie interna e su quella esterna del dielettrico nonché la densitá volumica di carica di polarizzazione all interno del dielettrico b a Sia Q la carica libera distribuita uniformemente sulla superficie della sfera conduttrice Calcoliamo il campo elettrico nello strato dielettrico applicando il teorema di Gauss: D ˆn da = Q = D4πr 2 = Q Segue: Inoltre S E = Q 4πǫr 2 êr P = ǫ 0(ǫ r 1) 4πǫr 2 Qê r σ P = P ( ê r ) = ǫ 0(ǫ r 1) 4πǫr 2 Q Q P(r=a) = ǫ 0 (ǫ r 1) Q ǫ = Q P (r=b) sulla sfera di raggio a, + su quella di raggio b Tenendo presente che in coordinate sferiche per una funzione vettoriale A dipendente solo dalla variabile r, si ha: A = 1 r 2 r (r2 A r ) possiamo scrivere: P = P = 1 [ r 2 r r 2 ǫ 0(ǫ r 1) 4πǫr 2 Q ] = 0 ESFIS96-2

3 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 96-3) Esercizio n 3 del 24/7/1996 Una sfera di materiale magnetico, di permeabilitá magnetica relativa µ r = 1000 e raggio a = 1 cm, é posta in un campo magnetico uniforme di modulo B 0 = 1000 G; calcolare il momento magnetico indotto sulla sfera B 0 Segue Sappiamo dalla teoria che: ma χ m = µ r 1, quindi Il momento magnetico indotto è: B int = 3µ r µ r + 2 B 0 M = χ m H int = χ m 3 µ r + 2 H 0 m = 3(µ r 1) µ r + 2 M = 3(µ r 1) µ r + 2 H 0 m = MV 4 3 πa3 B 0 µ 0 = 0997A m 2 ESFIS96-3

4 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 96-4) Esercizio n 4 del 24/7/1996 Una calamita a forma di barra cilindrica, di lunghezza l = 5 cm e diametro d = 1 cm, é uniformemente magnetizzata nella direzione assiale e sia M = 10 3 A/m Calcolare: a) il momento magnetico della barra; b) la densitá lineare della corrente superficiale di magnetizzazione; c) il modulo del vettore induzione magnetica al centro della calamita M Il momento magnetico della sbarra è: m = MV = Mπ d2 4 l = 103 π = A m 2 La densità della corrente superficiale di magnetizzazione è: j M = M ˆn il cui modulo è: j M = 10 3 A/m e la direzione è ê φ La barra è quindi equivalente ad un solenoide tale che In = j M Pertanto per il calcolo dell induzione magnetica al centro della calamita basta porre z = 0 nella formula del campo del solenoide: B z(z=0) = a l 1 + l2 /4 a 2 µ 0 2 j M = µ 0 2 j M = µ j M = = 2 µ 0 2 j M = µ 0 j M = 4π = Wb/m 2 = 1257Gauss che coincide con quello del solenoide infinitamente lungo ESFIS96-4

5 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 96-5) Esercizio n 1 del 14/9/1996 Due dipoli elettrici sono disposti come nelle figure a) e b): p 1 p 2 p 1 p 2 a) b) Se essi sono egualmente distanziati, esprimere, nei due casi, la forza esercitata fra i dipoli in modulo, direzione e verso Per un dipolo posto nell origine di un sistema di riferimento si ha: E( r) = k 3( p r) r r2 p r 5 Un altro dipolo posto alla distanza r da esso è sottoposto ad una forza F = ( p E ) a) p 1 p 2 p 1 r = 0 E 1 ( r 2 ) = k p 1 [ ( F 1 2 = p 2 k p 1 r 3 )] Se la congiungente i due centri è l asse x si ha: r 3 = ( k p ) 1p 2 r 3 F 1 2 = ˆxp 1 p 2 k d 1 dx x 3 = +p 1p 2 k 3 x 4 ˆx Quindi la forza è repulsiva b) p 1 p 2 E 1 ( r 2 ) = k 3p 1x 2ˆx p 1 x 2ˆx 2 x 5 = kp 1 x 3 ˆx ( ) F 1 2 = 2 p 2 kp 1 x 3 ˆx = kp 1 p d 2ˆx dx 2 x 3 = kp 6 1p 2 x 4 ˆx La forza è attrattiva ed è il doppio di quella relativa al caso a) ESFIS96-5

6 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 96-6) Esercizio n 2 del 14/9/1996 Un anello isolante filiforme di raggio a = 1 m giace sul piano xy con il centro posto nell origine del sistema di riferimento In esso é distribuita in modo uniforme una carica di densitá lineare λ = 10 8 C/m Quanti giri al secondo deve effettuare la spira attorno all asse z per produrre una corrente di 1 µa? Valutare in tal caso il campo di induzione magnetica nei punti dell asse z situati ad una distanza dal centro pari a d = 05 m e d = 1 m z Se l anello carico é in rotazione attorno al proprio asse, esso é equivalente ad una spira in quiete percorsa da corrente La quantitá di carica che attraversa una sezione di tale spira nel tempo dt é quella che é depositata su un archetto dell anello pari a dl = vdt, essendo v il modulo della velocitá di ciascun elemento di filo Risulta, quindi: dq = λdl = λvdt = λωadt essendo ω la velocitá angolare di rotazione Ne segue: I = dq dt = λωa da cui: ω = I λa = T = 2π ω = 2πλa I Il numero di giri per unitá di tempo é l inverso del periodo: n = I 2πλa = 10 6 = 16 giri/s 2π 10 8 ESFIS96-6

7 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II Il campo di induzione magnetica generato dall anello in rotazione é, quindi: B z = µ 0 4π I 2πa 2 (a 2 + z 2 ) 3/2 = B z = (1 + z 2 ) 3/2 In definitiva z = 05 = B z = Wb/m 2 z = 1 = B z = Wb/m 2 ESFIS96-7

8 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 96-7) Esercizio n 3 del 14/9/1996 Una barra metallica di lunghezza l = 1 m é disposta secondo una direzione parallela all asse y di un sistema di riferimento Essa si muove, nella direzione dell asse x con una velocitá v = 60 Km/h, in una regione dello spazio dove esiste un campo di induzione magnetica uniforme di modulo B = 1000 G e orientato secondo la direzione dell asse z positivo Valutare, in modulo e segno, la differenza di potenziale indotta fra gli estremi della sbarra y B + v x z Si ha: Del resto fem ind = l E dl = l ( v B ) dl = vbl : 3600 = x : 1 v = 1667m/s B = 10 1 Wb/m 2 l = 1m Ne segue: fem ind = = 167V olt ESFIS96-8

9 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II Il senso della ddp è dato dal verso di v B: ˆx ŷ ẑ v 0 0 = ŷvb 0 0 B Quindi il campo elettrico è diretto lungo l asse y negativo La ddp è positiva da y positivo a y negativo ESFIS96-9

10 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 96-8) Esercizio n 4 del 14/9/1996 Una lunga barra cilindrica di lunghezza l e di piccola sezione trasversale é magnetizzata assialmente e sia M = ẑm Calcolare B sull asse della barra, nei punti situati: a) alle estremitá della barra e b) al centro di essa M Sulla superficie cilindrica vi sarà una corrente di magnetizzazione j M = M ˆn Poichè M è diretto lungo ẑ e ˆn lungo ê ρ, il verso di j è dato dal prodotto ẑ ê ρ = ê φ Quindi la barra è equivalente ad un solenoide molto lungo tale che Pertanto il campo B al centro vale: ni = j M B = µ 0 ni = µ 0 j M = µ 0 M Alle estremità si ha: B µ 0 2 M Fine Esercizi Fisica II ESFIS96-10

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