Esame Scritto Fisica Generale T-B/T-2

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1 Esame Scritto Fisica Generale T-B/T-2 (CdL Ingegneria Civile e Informatic Prof. B. Fraboni - M. Sioli VI Appello A.A /09/2014 Soluzioni Esercizi Ex. 1 Due cariche puntiformi 1 = + e 2 = sono poste rispettivamente nei punti x 1 = ( 1, 0, 0) m e x 2 = (1, 0, 0) m. Sul piano x = 0 (piano yz) è presente una densità di carica uniforme σ. y p σ x 4 + x 1 - x 2 x 3 x Sapendo che = 10 3 C e che E(x 3 = 2 m, 0, 0) = 0, calcolare: la densità di carica σ; b) la forza agente su una carica 0 = C posta in p = (1, 2, 0) m; il lavoro fatto dalle forze elettrostatiche per portare una carica 3 = 10 4 C da x 3 alla parte opposta x 4 = x 3. Sol. 1 Per il principio di sovrapposizione, il campo elettrico nel punto x 3 è la somma dei campi generati dalle due cariche e di uello generato dalla distribuzione piana. Date le direzioni dei campi, in x 3 è presente solo la componente lungo 1

2 x e la somma vettoriale si riduce alla somma algebrica delle componenti in x: E(x 3 ) = E x (x 3 ) = Da ui si ricava la densità di carica σ: b) 4πε 0 x 3 x 1 2 4πε 0 x 3 x σ = 0 2ε 0 σ = 4 9π = C m 2 Si scompone la forza agente sulla carica 0 posta nel punto p lungo gli assi x e y. Lungo x agiscono la carica + ed il piano, lungo y le due cariche + e. Separando per componenti, e tenendo in considerazione i segni delle cariche elettriche: si ottiene il risultato Il modulo della forza risulta: ( ) F x = x0 x 1 0 4πε 0 (r 01 + σ ) 3 2ε 0 F y = 0 ( y0 y 1 4πε 0 (r 01 ) 3 F = { Fx = 175 N F y = 14.5 N ) 4πε 0 y 0 y 2 2 F 2 x + F 2 y = 176 N Nel calcolare il lavoro, si può trascurare il contributo del piano carico per simmetria. Si considerano uindi solo i contributi dei campi generati dalle due cariche puntiformi: Ex. 2 L = 3 x3 E d r = 3 (V (x 3 ) V ( x 3 )) = x ( 3 = ) = 4 3 = J 3 4πε 0 3 4πε 0 3 4πε 0 Un condensatore piano di superficie S = 1 m 2, le cui armature distano tra loro d = 8.82 mm, si trova nel vuoto ed è connesso ad un generatore di f.e.m. V 0 = 10 V attraverso un interruttore (1), che rimane chiuso solo per un tempo t 1 = 1 µs, ed a tre resistenze uguali 3 = 4 = 5 = 2000 Ω, disposte come in figura. Calcolare: 2

3 la d.d.p. V e la carica Q del condensatore dopo il processo di carica; b) il lavoro W fatto dal generatore durante la carica e l energia elettrostatica U immagazzinata nella capacità. Al tempo t 1 = 1 µs l interruttore (1) è aperto e l interruttore (2) è chiuso, connettendo il condensatore ad un secondo circuito formato da due resistenze Problema 13. uguali 1 = 2 = 1000 Ω, disposte come in figura. Calcolare: Un condensatore piano di superficie Σ = 1m 2, le cui armature distano tra loro la corrente d = 8.82mm sulle si trova due in vuoto resistenze ed è connesso dopoad un tempo generatore t 2 di = forza 3.5 elettromotrice µs dalla chiusura dell interruttore V 0 = 10V attraverso un (2); interruttore (1) che rimane chiuso solo per un tempo t = 1µs e da 3 resistenze uguali 3 = 4 = 5 = 2KΩ, disposte come in figura. d) la Calcolare: d.d.p. V (A) V (B) nell istante t 2 = 3.5 µs; 1) la tensione V e la carica Q del condensatore dopo il processo di carica 2) Il lavoro W fatto dal generatore durante la carica e l'energia elettrostatica U immagazzinata nella capacità 3) Il campo elettrico E nel condensatore e) l energia totale dissipata durante la scarica fino all istante t 2 = 3.5 µs. 1 3 (1) C (2) A V B Sol. 2 Il condensatore, così caricato, viene successivamente connesso tramite l'interrutore (2) ad un secondo circuito formato da 2 resistenze uguali 1 = 2 = 1KΩ e disposte come in figura. Calcolare: La capacità del condensatore è: 4) la corrente sulle 2 resistenze uando t = 3.5µs 5) la differenza di potenziale V(A)-V(B) nell'istante t = 3.5µs 6) l'energia totale dissipata durante la scarica fino a t = 3.5µs 7) la potenza dissipata su ciascuna C = ε 0S delle 2 resistenze = 1 nf uando t = 3.5µs Soluzione: d Poichè il ramo (2) del circuito è aperto, uesto non entra nella fase di carica. La corrente La capacità circola del condensatore solo nellaè: maglia di sinistra, e la resistenza euivalente in fase di carica è: C = ε Σ 0 = 1nF (13.1) d Poichè il ramo (2) del circuito è aperto, uesto non entra nella fase di carica; la resistenza in fase di carica e è: = = 3000 Ω EQ = = 3KΩ τ = EQ C = 3µs (13.2) 5 da cui si ricava la costante di tempo τ 1 = e C = 3 µs. Dopo 1 µs il condensatore non Dopo è1µs completamente il condensatore non carico. è uindi completamente La d.d.p. V carico: dopo il processo di carica risulta: V 1 (1 µs) = V 0 (1 e t 1 τ1 ) = 2.83 V e la carica sul condensatore è Q 1 (1 µs) = C V 1 (1 µs) = 2.83 nc. 3

4 b) Il lavoro compiuto dal generatore, visto che è stato attraversato dalla carica Q 1, è dato da L gen = Q 1 V 0 = 28.3 nj mentre l energia accumulata nella capacità è U C = Q2 1 2C = 4 nj Durante la fase di scarica l interruttore (1) è aperto mentre (2) è chiuso. La corrente circola solo nella maglia di destra sulle resistenze 1 e 2. Si avrà una nuova costante di tempo τ 2 = ( )C = 2 µs. La corrente sulle due resistenze all istante t 2 = 3.5 µs vale d) i = V 1 e t 2 τ 2 = 246 µa Nota la corrente dal punto, è immediato calcolare la d.d.p. fra i punti A e B come caduta di potenziale ai capi della resistenza 2 : e) V (A) V (B) = i 2 = 246 mv L energia totale dissipata durante la scarica è pari alla variazione di energia immagazzinata nel condensatore: Ex. 3 U = 1 2 C V C V 2 2 = 3.9 nj Una spira rettangolare di altezza L = 160 cm e larghezza L/2 si muove con velocità costante v = 12 m/s, entra in una regione in cui è presente un campo magnetico di intensità B = 6 T, ortogonale alla spira, la attraversa completamente ed esce. La regione con campo magnetico è profonda h = 30 cm. Determinare: la corrente indotta mentre la spira entra nella regione con campo magnetico, se la resistenza è = 20 Ω; b) il lavoro compiuto dalla forza che trascina la spira fino a che uesta è uscita completamente; 4

5 Una spira rettangolare di altezza L=160cm e larghezza L/2 si muove con velocità costante v=12m/s, entra in una regione in cui è presente un campo magnetico B=6T, ortogonale alla spira, la attraversa completamente ed esce. La regione con campo magnetico è profonda h=30cm. Determinare: 1. La corrente indotta mentre la spira entra nella regione con campo magnetico, se la resistenza è =20Ω. 2. Il lavoro fatto dalla forza che trascina la spira fino che uesta è uscita completamente. 3. Il valore assoluto della carica che ha percorso la spira uando la spira è a cavallo della regione con campo magnetico. L v B L/2 h Soluzione: il valore assoluto della carica che ha percorso la spira uando essa è a cavallo della regione con campo magnetico. Sol. 3 La forza motrice indotta, calcolabile dalla variazione del flusso, vale: FEM = vbl (24.1) La corrente indotta è uindi: i = FEM i = vbl = = 5.76A (24.2) 20 La forza che agisce sulla spira, uando vi è variazione di flusso e uindi corrente indotta, è: F = ibl = vb2 L 2 (24.3) Essa agisce essenzialmente sul ramo verticale della spira che si trova immerso nel campo magnetico. Ciò avviene due volte, uando il primo dei tratti verticali entra nel campo magnetico e uando il secondo ne esce. In tutte le altre posizioni (spira a sinistra o a idestra ind = E ind della regione con campo magnetico, ed anche spira a cavallo della stessa regione) il flusso = 1 di B è costante dφ( B) e non dt vi = BLv né FEM = 5.76 A indotta né forza. La forza fa perciò lavoro per due tratti di lunghezza pari ad h: W = 2 Fh = 2vB2 L 2 h = = J (24.4) 20 La carica si calcola con la legge di Felici, dalla variazione di flusso: La corrente indotta nella spira è data dalla legge di Faraday-Neumann-Lenz: b) Sui rami di circuito agisce una forza magnetica, e visto che la spira si muove con velocità costante sarà presente una forza esterna uguale e contraria alla forza magnetica: F = df = i d l B Tale forza agisce solo sui rami di circuito ortogonali allo spostamento, dato che sui rami paralleli i contributi sono uguali ed opposti e uindi si annullano. Su ciascun ramo lungo L agisce la forza esterna, uindi il lavoro totale compiuto per fare sì che la spira attraversi completamente la regione con il campo magnetico è L = 2 F h = 2 L i ind B h = 2 B2 L 2 v h = 33.2 J La carica che ha percorso la spira mentre essa è a cavallo della regione con il campo magnetico è data dalla legge di Felici: Φ( Q = B) = BLh 0 = C 5

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