Dinamica del pacchetto d onda Gaussiano

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1 Diamica del pacchetto d oda Gaussiao Suppoiamo di avere u sistema descritto da ua fuzioe d oda ormalizzata x ψ ψx π x e x x per cui si trova che la desità di probabilità di trovare la particella i x è ua distribuzioe Gaussiaa ρx x ψ π x e x x a ψp, ampiezza di probabilità di trovare la particella co impulso p, risulta essere p ψ ψp dx p x x ψ dx e ıpx h π h π x e x x 8π x h e p x h i cui abbiamo sostituito l espressioe della fuzioe d oda per gli autostati dell impulso ψ p x x p e abbiamo utilizzato la formula e ax +bx dx π a eb /a Per studiare l evoluzioe temporale di questo sistema, cerchiamo i coefficieti c E per rappresetare lo stato del sistema ψ ella base degli autostati E : c E E ψ. Al tempo t, ricordado che per ua particella libera gli autostati di Ĥ soo gli stessi di ˆp, avremo: c E t c p t c p 0e ıept h ψpe ıp t m h a fuzioe d oda dello stato del sistema ad u geerico tempo t si potrà scrivere come: ψx, t x ψ t dp x p p ψ t sostituedo allora l espressioe della fuzioe d oda per gli autostati dell impulso e l espressioe dei coefficieti dello sviluppo dello stato ella base degli autostati dell impulso c p t p ψ t, otteiamo l itegrale ψx, t dp e ıpx h π h 8π x h e p x h e ıp t m h

2 Per risolvere l itegrale ci avvaliamo della formula poedo a x h b ıx h. Otteiamo allora, per l evoluzioe temporale del pacchetto Gaussiao, l espressioe π 8π x x ψx, t π h h exp x + ıt h x + ıt h m h h m h π π h 8π x h exp x + ıt h m h + ıt m h e x x ıt h m h h x + t h m h dove x x. a probabilità di trovare la particella i ua posizioe x al tempo t, risulta essere ψx, t x x x exp π x + h t m x + h t m che rappreseta u distribuzioe Gaussiaa co variaza che cresce el tempo: x t x + h t m x Per scrivere meglio l ultima espressioe, calcoliamo p dp p ψp h x risultato otteuto sfruttado la formula dx x e αx π/α 3/. Potremo scrivere allora che la variaza del pacchetto Gaussiao varia el tempo secodo la legge: x t x + p m t x + v t dove v è la velocità quadratica media del pacchetto d oda, co cui, a tempi lughi, si allarga la Gaussiaa. Nell esempio cosiderato la particella libera si trova al tempo iiziale i uo stato descritto da ua distribuzioe di probabilità Gaussiaa, che o è u autostato dell eergia: l impulso iiziale della particella ha ua distribuzioe di probabilità gaussiaa co variaza p h x, duque avrà i geerale ua velocità iiziale o ulla. Co il passare del tempo la particella, pur coservado la sua eergia, si sposterà, portadosi i uo stato diverso da quello iiziale, che abbiamo espresso tramite la fuzioe d oda ψx, t. a probabilità di trovare la particella sarà allora descritta da ua gaussiaa che si allarga el tempo co velocità quadratica media v : co il passare del tempo sarà sempre più probabile trovare la particella i u puto qualsiasi dello spazio. Viceversa, il valor medio dell eergia ψ Ĥ ψ ψ ψ ψ ˆp ψ h m ψ ψ 8m x,

3 è costate el tempo. Esercizio Sia fx ua fuzioe periodica di periodo cosi defiita: a se < x < fx 0 se < x < o < x < Svilupparla i serie di Fourier e verificare che l armoica domiate e il coseo di periodo. Svolgimeto Poiche fx e ua fuzioe pari, el suo sviluppo i serie di Fourier si avrao solo i termii co il coseo: fx 0 A cosπ x Per trovare il valore dei coefficieti A, proiettiamo la fuzioe fx sulle rispettive basi π cos x: A fx cosπ xdx Osservado la forma di fx, ci aspettiamo che l armoica domiate si abbia per u periodo del coseo pari alla larghezza dell oda quadra, cioe per. Calcoliamo l espressioe dei coefficieti A per > 0: da cui A a A cosπ xdx a π 0 se è pari si π a π se, 5, 9... a π se 3, 7,... Effettivamete il massimo coefficiete si ha per. 3

4 Esercizio d esoero del 9//003 Si cosideri ua particella libera di muoversi i u segmeto di lughezza x v [ /, /] e descritta dalla fuzioe d oda: ψx A x x per x <.. Calcolare il coefficiete A affichè la fuzioe d oda sia ormalizzata.. Calcolare l evoluzioe temporale della fuzioe d oda e l eergia media dello stato descritto da ψx, t. 3. Calcolare la probabilità associata a ciascuo dei possibili risultati di ua misura di eergia per il calcolo degli itegrali si ricorda che x e ıkx dx d ı dk e ıkx dx.. Dire quale valore dell eergia ha probabilità massima. 5. Calcolare l errore che si commette ella stima dell eergia media approssimado lo stato ψx co l autofuzioe corrispodete all autovalore più probabile. 6. Calcolare l impulso medio dello stato descritto da ψx. Soluzioi stazioarie per la buca di poteziale tra / e / Dobbiamo risolvere l equazioe agli autovalori Ĥ ψx E ψx co e ioltre Ĥ ˆp h + Ux m m x + Uˆx Ux 0 / x +/ Ux x < / x > +/. Semplicemete co ua traslazioe della soluzioe della buca di poteziale tra 0 e otteiamo ψ p x ψ d x cos + π x si π x Ep hπ + m hπ E d m

5 Soluzioe. Per ormalizzare la fuzioe d oda scriviamo: + ψ xψx dx da cui A + x x dx A 7 80 duque dovrà essere A 80/ 7 e ıφ, i cui la fase potrà essere messa a zero seza perdita di geeralità.. Notiamo che la fuzioe d oda ψx, che descrive lo stato del sistema, è dispari: duque gli autostati dell eergia i cui posso decomporre lo stato dovrao avere la stessa parità della ψx. Risolvedo l equazioe di Schrödiger stazioaria, sceglieremo allora le soluzioi ormalizzate: ψd x sik x co k π Per scrivere l evoluzioe temporale della ψx, calcoliamo i coefficieti della decomposizioe dello stato ψ ella base degli autostati dell hamiltoiaa E : c E ψ + E x x ψ dx + Sostituedo, dovremo calcolare gli itegrali: [ 80 + c 7 x 3 sik xdx ψ d x ψxdx + x sik xdx Avvaledoci della formula suggerita dal testo, avremo, per il primo itegrale: [ + ] [ + x 3 ] + sik xdx Im x 3 e ıkx dx Im ı d3 dk 3 e ıkx dx svolgedo la derivata, si ottiee: + x 3 sik xdx [ ] + [ ] d3 dk 3 cosk xdx d3 dk 3 si k k [ 3 k 6 ] 3 k si k + k 3 3 cos k 8k ] 5

6 Aalogamete, per il secodo itegrale si avrà: [ + ] x sik xdx Im ı d + e ıkx dx dk [ k si k ] cos k k d + cosk xdx dk Sommado i due termii calcolati, per i coefficieti della decomposizioe dello stato ψ ella base degli autostati dell hamiltoiaa risulta: c 680 [ 3 k 3 cos k + k 6 ] k si k ricordado che k π/, rimae: c 3 π Il coefficiete trovato rappreseta la proiezioe dello stato del sistema sul geerico autostato di eergia E h k m π h m. evoluzioe temporale del sistema sarà rappresetata da: ψx, t c e ıet h ψ x π 3 πx si 3 Per calcolare l eergia media dovremo calcolare: E t ψ Ĥ ψ t t ψ ψ t 0 ψ e ıĥt h Ĥe ıĥt h ψ 0 0 ψ ψ 0 exp ıπ h m t poichè l espoeziale, che è ua fuzioe dell hamiltoiaa, commuta co l hamiltoiaa stessa, il calcolo dell eergia media ad u geerico tempo t si riduce al calcolo dell eergia media all istate iiziale effettivamete l eergia media del sistema si dovrà coservare el tempo. Ricordado che la fuzioe d oda è ormalizzata ed itroducedo l operatore idetità avremo: E + 0 ψ x Ĥ x ψ 0 dx + ψ x h d m dx ψxdx 80 h + 6x 7 3 m x dx h m 6

7 3. a probabilità di misurare l eergia E è data dal modulo quadro di c : P E c π 6 6. a misura di eergia più probabile si ha per, per cui P E 95/π e il valore dell eergia è E h k m π h m 5. Se approssimiamo lo stato ψx co l autofuzioe corrispodete all eergia più probabile E, commetteremo u errore, ella stima dell eergia, di E E E E π 0.06 E 6. Calcoliamo l impulso medio dello stato ψx: p + ψ x ı h d ψxdx 0 dx poichè derivado ottego ua fuzioe pari i x, che moltiplicata per la fuzioe dispari ψ x dà acora ua fuzioe dispari. 7