UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO - BICOCCA FACOLTÀ DI SOCIOLOGIA a. a Esame del STATISTICA

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1 FACOLTÀ DI SOCIOLOGIA a. a Esame del STATISTICA ESERCIZIO 1 U idagie sulle abitudii alimetari dei requetatori di u cetro itess ha moitorato il umero di caè cosumati i u gioro ormale e il geere dei rispodeti. I dati raccolti soo riportati ella tabella seguete. Geere Caè cosumati essuo da 1 a 4 da 4 a 8 maschi emmie a) Rappresetare graicamete la distribuzioe di requeza del geere di coloro che o cosumao caè; stabilire poi, mediate il calcolo dell opportua misura relativa di variabilità, se il umero quotidiao di caè è più variabile ra i maschi o ra le emmie. (3 puti) b) Stabilire se el collettivo osservato i due eomei soo statisticamete idipedeti. Giustiicare la risposta e, i caso di risposta egativa, valutare co u opportuo idice l itesità della relazioe statistica. ( Puti) c) Stabilire se il umero di caè cosumati gioralmete dipede (i media) dal geere; i caso aermativo valutare tale dipedeza co l opportuo idice ormalizzato, commetado il risultato umerico otteuto (4 puti) Si assuma ora che i dati i siao u campioe beroulliao di ampiezza di tutti i requetatori dei cetri itess el ord Italia. Sapedo che i tale popolazioe il umero di caè cosumati i u gioro è be iterpretato da ua v.c. Normale: d) Costruire u itervallo di coideza al 95% per il umero di caè quotidiai mediamete cosumati dai requetatori maschi.. Commetare il risultato otteuto co rierimeto ai cetri itess del ord Italia. (3 Puti) e) Veriicare, co u opportuo test statistico a livello di sigiicatività 99%, l ipotesi secodo la quale la percetuale di maschi che o bevoo caè, ra i requetatori di geere maschile dei cetri itess del ord Italia, è pari al 40%. ( Puti) ESERCIZIO Domade Teoriche 1) a. Descrivere la variabile casuale Biomiale, discutere le caratteristiche e orire u esempio di calcolo di probabilità di eveti di iteresse (3 Puti) b. Deiire le scale di rilevazioe (o scale di modalità) e dare ua classiicazioe precisado il livello di aalisi statistica cosetito. (3 Puti) c. Deiire lo Stadard Error di uo stimatore e discutere l utilità. Calcolare poi, espoedo i passaggi algebrici, lo stadard error della media campioaria (3 Puti) d. Esporre e discutere il criterio dei miimi quadrati per la determiazioe della retta di regressioe (3 Puti) ) Lo stimatore è ua variabile casuale che iterpreta tutte le possibili stime su tutti i possibili campioi di ampiezza 3) Le requeze codizioate descrivoo il comportameto di ua variabile statistica all itero di ua sotto-popolazioe omogeea rispetto all altra variabile 4) Uo stimatore T per u parametro igoto ϑ è o distorto se su tutti i possibili campioi: (1 Puto) a) i media ha variaza ulla E ( V ( T )) = 0 ; b) il suo errore quadratico medio MSE( T ) c) i media sovra-stime e sotto-stime si compesao E ( T ) = ϑ d) MSE ( T ) > V ( T ) è piccolo 5) La moda di ua variabile statistica è: (1 Puto) a) la modalità più elevata o l itervallo più ampio el caso di eomei cotiui; b) _ la requeza più elevata c) il valore più vicio alla media aritmetica; d) la modalità a cui è associata la requeza o la desità più elevata

2 FACOLTÀ DI SOCIOLOGIA a. a Esame del STATISTICA - SOLUZIONI ESERCIZIO 1 U idagie sulle abitudii alimetari dei requetatori di u cetro itess ha moitorato il umero di caè cosumati i u gioro ormale e il geere dei rispodeti. I dati raccolti soo riportati ella tabella seguete. Geere Caè cosumati essuo da 1 a 4 da 4 a 8 maschi emmie a) Rappresetare graicamete la distribuzioe di requeza del geere di coloro che o cosumao caè; stabilire poi, mediate il calcolo dell opportua misura relativa di variabilità, se il umero quotidiao di caè è più variabile ra i maschi o ra le emmie. (3 puti) Il geere (X) è u eomeo qualitativo omiale quidi il graico più opportuo è il graico a torta, per il quale è ecessario calcolare le percetuali o gli agoli corrispodeti a ciascua etta. Per rappresetarlo i rierimeto a coloro che o cosumao caè è ecessario utilizzare le requeze codizioate corrispodeti, ovvero le requeze della prima coloa. Gli agoli corrispodeti soo dati dalle segueti ormule: α M = = 40 αf = = Geere dei Rispodeti emmie 33.33% maschi 66.67% Il umero di caè cosumati è u eomeo di tipo quatitativo discreto, per potere valutare la variabilità è ecessario calcolare la variaza, ma per poterla corotare è ecessario utilizzare il coeiciete di variazioe (CV). Corotado rispetto al geere si dovrao di volta i volta utilizzare le rispettive requeze codizioate. Geere Caè cosumati essuo da 1 a 4 da 4 a 8 maschi emmie La media del umero di caè cosumati per i maschi è: 1 j x = j = + + = 1.

3 FACOLTÀ DI SOCIOLOGIA a. a Esame del STATISTICA - SOLUZIONI La variaza del umero di caè cosumati per i maschi è: = = = = 3.34 ( ) ( ) 1 j x j 1 1. Il coeiciete di variazioe del umero di caè cosumati per i maschi è: CV 3.34 = = = La media del umero di caè cosumati per le emmie è: j x = j = + + =. La variaza del umero di caè cosumati per le emmie è: = = = = 4.49 ( ) ( ) j x j x. Il coeiciete di variazioe del umero di caè cosumati per le emmie è: CV x x 4.49 = = = x Corotado i coeicieti di variazioe si può cocludere che il umero di caè cosumati è più variabile tra i maschi, 0.68 > b) Stabilire se el collettivo osservato i due eomei soo statisticamete idipedeti. Giustiicare la risposta e, i caso di risposta egativa, valutare co u opportuo idice l itesità della relazioe statistica. ( Puti) Utilizzado le requeze codizioate calcolate al puto precedete, ed osservado che al cambiare del geere, cambia la distribuzioe del umero di caè cosumati, si può cocludere che i due eomei o soo statisticamete idipedeti, ma coessi. Per valutare la coessioe, ovvero la relazioe tra i due eomei, è ecessario calcolare l idice chi quadro di Pearso, per sempliicare i calcoli è preeribile utilizzare la ormula operativa come segue: è quidi ecessario ormalizzarlo: ij χ = N 1 = = i j i.. j χ orm χ = = = χ max potedo così cocludere che la coessioe tra i due eomei è di circa il 8.17%. c) Stabilire se il umero di caè cosumati gioralmete dipede (i media) dal geere i caso aermativo valutare tale dipedeza co l opportuo idice ormalizzato, commetado il risultato umerico otteuto (4 puti) Avedo calcolato al puto a) la media del umero di caè cosumati per i maschi e per le emmie e osservado che soo diereti (.68 diverso da 3.78) possiamo cocludere che vi è dipedeza i media tra il umero di caè cosumati i u gioro ed il geere. L idice che ci permette di valutare la dipedeza i media è l idice eta quadro: 3

4 FACOLTÀ DI SOCIOLOGIA a. a Esame del STATISTICA - SOLUZIONI η 1 xi i. ra N i = 1 = = 3 tot 1 j. j N j = 1 È quidi ecessario calcolare la media e la variaza margiale: = j. j = = 3.18 N tot j. j N j = 1 = = 3.18 = 4.16 Quidi si calcola la variaza ra i gruppi: ra x i i. N i = 1 = = 3.18 = 0.7 E per cocludere si ottiee il seguete idice: η ra tot 0.7 = = = Ovvero, variado l idice tra 0, idipedeza i media, ed 1, massima dipedeza, la dipedeza è molto bassa. Si assuma ora che i dati i siao u campioe beroulliao di ampiezza di tutti i requetatori dei cetri itess el ord Italia. Sapedo che i tale popolazioe il umero di caè cosumati i u gioro è be iterpretato da ua v.c. Normale: d) Costruire u itervallo di coideza al 95% per il umero di caè quotidiai mediamete cosumati dai requetatori maschi.. Commetare il risultato otteuto co rierimeto ai cetri itess del ord Italia. (3 Puti) Il testo richiede di ricavare u itervallo di coideza per la media, essedo elle codizioi di distribuzioe Normale e variaza igota, tuttavia è grade, quidi si dovrà ricavare il seguete itervallo: s x i x ± z i α È quidi ecessario stimare la variaza: s = = 3.34 = x i x i E ricavare dalle tavole lo z-score: 1 α = 0.95; α = 0.05 ; 0.05 α = ; P ( Z z ) α È allora possibile ricavare l itervallo utilizzado la media calcolata al puto c) x i s 3.37 x ± z ; 3.04 i α = ± = [ ] = ; z α =

5 FACOLTÀ DI SOCIOLOGIA a. a Esame del STATISTICA - SOLUZIONI e) Veriicare, co u opportuo test statistico a livello di sigiicatività 99%, l ipotesi secodo la quale la percetuale di maschi che o bevoo caè, ra i requetatori di geere maschile dei cetri itess del ord Italia, è pari al 40%. ( Puti) La popolazioe di rierimeto soo i maschi che requetao i cetri itess el ord Italia, ovvero = 55. La percetuale di maschi che o bevoo caè è duque: L ipotesi ulla che vogliamo testare è 0 Quidi il valore empirico si ricava come: z p p p( 1 p) α = = = = Metre dalle tavole si ricava il valore critico come: ˆ 10 p = = H : p ˆ = 0.40, a tale scopo si utilizza la seguete statistica test: p p0 = Z p( 1 p) 5.5 α = ; ( ) 1 α = 0.99; α = 0.01; P Z z α = ; z α =.58 Essedo 5.5 <.58, si riiuta l ipotesi ulla, ovvero la percetuale dei maschi che o bevoo caè o è del 40%. ESERCIZIO Domade Teoriche 1) a. Descrivere la variabile casuale Biomiale, discutere le caratteristiche e orire u esempio di calcolo di probabilità di eveti di iteresse (3 Puti) libro di testo pag. 305 b. Deiire le scale di rilevazioe (o scale di modalità) e dare ua classiicazioe precisado il livello di aalisi statistica cosetito. (3 Puti) libro di testo pag. 1-4 c. Deiire lo Stadard Error di uo stimatore e discutere l utilità. Calcolare poi, espoedo i passaggi algebrici, lo stadard error della media campioaria (3 Puti) libro di testo pag. 350 d. Esporre e discutere il criterio dei miimi quadrati per la determiazioe della retta di regressioe (3 Puti) libro di testo pag. 55 ) Lo stimatore è ua variabile casuale che iterpreta tutte le possibili stime su tutti i possibili campioi di ampiezza 3) Le requeze codizioate descrivoo il comportameto di ua variabile statistica all itero di ua sotto-popolazioe omogeea rispetto all altra variabile 4) La Uo stimatore T per u parametro igoto ϑ è o distorto se su tutti i possibili campioi: (1 Puto) a) i media ha variaza ulla E ( V ( T )) = 0 ; b) il suo errore quadratico medio MSE( T ) c) i media sovra-stime e sotto-stime si compesao E ( T ) = ϑ d) MSE ( T ) > V ( T ) è piccolo 5) La moda di ua variabile statistica è: (1 Puto) a) la modalità più elevata o l itervallo più ampio el caso di eomei cotiui; b) la requeza più elevata c) il valore più vicio alla media aritmetica; d) la modalità a cui è associata la requeza o la desità più elevata 5

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