FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale

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1 FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al più un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : = 1 associo il suo inverso). (ad un numero reale 4 2 2/3... e... 0 = 1/ 1/4 1/ 2 3/2... 1/e...? c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 1

2 Def. L insieme degli X a cui f associa uno e un solo elemento Y è detto dominio di f e si indica con dom(f). Si ha dom(f) X e si scrive: f : dom(f) X Y. dom(f) X Y N.B. dom(f) è l insieme degli X per i quali la corrispondente sta in Y. Es. f() = 1/ con X = Y = R. Se 0 = 1/ R 1 MA R, QUINDI dom(f) = R\{0} = (,0) (0,+ ). 0 Oss. dom(f), f associa ad uno e un solo elemento Y. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 2

3 Immagine Def. L unico elemento Y associato ad un elemento dom(f) si dice immagine di attraverso f e si scrive = f() (oppure f : = f()). im(f) X dom(f) Y = f() Def. Dato A dom(f), l insieme B = { Y : A : = f()} è detto immagine di A attraverso f e si può scrivere B = f(a). Def. L insieme im(f) = { Y : dom(f) : = f()} è detto immagine di f. Si ha l inclusione: im(f) Y. Es. f() = 1/ con X = Y = R. = 1/4 è l immagine di = 4 mediante f. L insieme immagine è: im(f) = R\{0}. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 3

4 Def. L insieme G(f) = {(,) dom(f), e = f() im(f)} X Y è detto grafico di f. Es. f() = 1/ con X = Y = R. X Y = R R = R 2 = piano cartesiano. G(f) = {(,) R 2 : = 1/} c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 4

5 Def. Una funzione si dice reale se Y = R. Def. Una funzione si dice a variabile reale se X = R. Il grafico di una funzione reale a variabile reale è l insieme dei punti (,) del piano cartesiano tali che = f(). Es. f : R R: f() = c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 5

6 Esempi di grafici A sinistra è rappresentato il grafico di una funzione = f(): ad una corrisponde un solo punto del grafico e quindi una ed una sola = f() = f() Il grafico a destra non può rappresentare una funzione = f(), in quanto esistono delle a cui corrispondono 2 o 3 punti del grafico e quindi 2 o 3 differenti, e ciò contraddice la definizione di funzione f : = f() c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 6

7 Controimmagine Def. Sia Y, la controimmagine di attraverso f è l insieme f 1 () = { dom(f) : f() = } dom(f). Es. Considerando la funzione di prima f() = 1, la controimmagine del valore = 3 è f 1 (3) = { R\{0} : 1/ = 3} = {1/3} La controimmagine di = 0 è f 1 (0) = { R\{0} : 1/ = 0} = Non c è alcun valore reale tale che 1/ = 0. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 7

8 Es. f : R R, f() = 2, dom(f) = R, im(f) = { R : 0} = [0,+ ).? f 1 (4) 01 4 = f() = f 1 (4) = { R : 2 = 4} = { 2,2} c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 8

9 f suriettiva Def. Una funzione si dice suriettiva se im(f) = Y, ovvero se ogni elemento di Y ha per controimmagine un insieme non vuoto, ovvero ogni elemento di Y è l immagine di almeno un elemento di dom(f). Esempi 01 = f() 01 = f() SURIETTIVA: im(f) = Y = R 1 01 NON SURIETTIVA: im(f) = R + {0}, Y = R c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 9

10 f iniettiva Def. Una funzione si dice iniettiva se ogni elemento di im(f) è immagine al più di un elemento di dom(f), o equivalentemente se 1, 2 dom(f), 1 2 f( 1 ) f( 2 ). Esempi = f() = f() INIETTIVA: f 1 ( 1 ) = { 1 } NON INIETTIVA: f 1 ( 1 ) = { 1, 2, 3 }, o f( 1 ) = f( 2 ) = f( 3 ) = 1 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 10

11 f biettiva Def. Una funzione f si dice biunivoca o biettiva se è sia iniettiva che surettiva, ovvero ogni elemento Y è immagine di uno e uno solo elemento dom(f). Osservazione: Sia D = dom(f) R e Y = R. Se invece di considerare f : D R, consideriamo f : D im(f), automaticamente abbiamo f suriettiva (facciamo coincidere il codominio con im(f)). Per definizione di im(f), ad ogni elemento im(f) corrisponde almeno un elemento D : = f(). c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 11

12 Funzione inversa Sia D = dom(f) R. Considero una funzione f : D im(f) (quindi suriettiva). Def. Se una funzione f è iniettiva sul suo dominio, possiamo costruire una funzione che ad ogni elemento im(f) associa l unico elemento dell insieme controimmagine. = f() f f 1 = f() 2 1 = f( 1 ) 1 2 = f 1 ( 2 ) Tale funzione è detta funzione inversa di f, viene indicata con f 1 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 12

13 Funzione inversa dom(f 1 ) = im(f), Grafico della funzione inversa 01 = im(f 1 ) = dom(f) = im(f) = f() im(f 1 ) = f 1 () 01 dom(f) dom(f 1 ) c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 13

14 01 = = im(f) = f() dom(f) = f() NON è iniettiva e NON è invertibile, ovvero la curva a destra non è il grafico di alcuna funzione, ad una corrisponde più di una c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 14

15 = = im(f) = f() dom(f) 1 f() NON è iniettiva e NON è invertibile, ovvero la curva a destra non è il grafico di alcuna funzione, ad una corrisponde più di una c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 15

16 Quindi: f : D R è invertibile se e solo se è suriettiva e iniettiva. f : D im(f) è invertibile se e solo se è iniettiva (è già suriettiva su im NOTA: quando analizzeremo l invertibilità, considereremo sempre f : D im(f) Esempio: f : R im(f), f() = 3 NON è invertibile sul suo dominio; (dom(f) = R, im(f) = {3}, f NON è iniettiva) = = = f() = 3 non è una funzione = f() c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 16

17 f : R im(f), f() = 3 +2 f è invertibile sul suo dominio; (dom(f) = R, im(f) = R, f è iniettiva) = = f() = = f 1 () dom(f 1 ) = im(f) = R, im(f 1 ) = dom(f) = R. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 17

18 f : R im(f), f() = e f è invertibile sul suo dominio; (dom(f) = R, im(f) = R +, f è iniettiva) = = f() = e 01 = = f 1 () = log e () dom(f 1 ) = im(f) = R +, im(f 1 ) = dom(f) = R. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 18

19 f : R im(f), f() = 2 f NON è invertibile sul suo dominio; (dom(f) = R, im(f) = R + {0}, f NON è iniettiva) 01 = = f() = c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 19

20 f : R + {0} im(f), f() = 2 f è invertibile sull insieme di definizione R + {0} (dom(f) = R + {0}, im(f) = R + {0}, f è iniettiva) = f() = 01 = = f 1 () = 01 dom(f 1 ) = im(f) = R + {0}, im(f 1 ) = dom(f) = R + {0}. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 20

21 Funzioni matematiche elementari Funzioni polinomiali e razionali retta: = f() = m +q, con m, q R assegnati. parabola: = f() = a 2 +b +c, con a, b, c R assegnati. cubica: = f() = a 3 +b 2 +c +d, con a, b, c, d R assegnati. razionale: = f() = 1/, = f() = ,... Funzioni trigonometriche seno: = sin() coseno: = cos() tangente: = tg() cotangente: = cotg(),... Funzioni trascendenti esponenzionale: = a, con a R + logaritmo: = log a (), con a R + \{1} caso particolare: a = e = (Numero di Nepero) Funzioni irrazionali radice: = (), = 3 ()... c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 21

22 Funzioni definite a tratti Sono funzioni reali di variabile reale (f : R R) definite da espressioni diverse su intervalli diversi: +2 se 0 1 f() = se 1 < 3 1 se 3 < c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 22

23 Funzione Valore Assoluto f : R R : f() = = { se 0 se < 0 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 23

24 Funzione Segno 1 se > 0 f : R Z : f() = sign() = 0 se = 0 1 se < 0 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 24

25 Funzione Parte Intera E la funzione che associa ad un numero reale il più grande numero intero (in Z) minore o uguale a : se = , [] = 3, se = 2, [] = 2, se = , [] = 13. f : R Z : f() = [] 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 25

26 Successioni Def. Una successione è una funzione reale (Y = R) a variabile naturale, ovvero X = N: a : N R : n = a(n) = a n. Il dominio di una successione è del tipo {n N, n n 0 } con n 0 un opportuno numero naturale. Es. a n = 1 n, in questo caso n 0 = 1. Es. a n = n+1 n 2, in questo caso n 0 = 3. Es. a n = ( 1) n, in questo caso n 0 = 0. Es. Il fattoriale di n: a n = n!, n N. 0! := 1, n! := n (n 1)! = n (n 1) (n 2) c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 26

27 Confronto tra f() = 1/ e a n = 1/n f() = 1/ a n = 1/n dom(f) = { R, 0}, dom(a) = {n N, n 1} c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 27

28 Funzioni monotone Sia I il dominio di una funzione f reale a valori reali, oppure un intervallo contenuto nel dominio di f. Def. La funzione f si dice monotona crescente su I se 1, 2 I, 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ). f( 2 ) f( 1 ) = f( 2 ) f( 1 ) I I Def. La funzione f si dice monotona strettamente crescente su I se 1, 2 I, 1 < 2 f( 1 ) < f( 2 ). c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 28

29 Analogamente si definisce una funzione monotona decrescente su I se 1, 2 I, 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ) e monotona strettamente decrescente su I se 1, 2 I, 1 < 2 f( 1 ) > f( 2 ). Proposizione. Se f è strettamente monotona sul suo dominio allora f è iniettiva. Dim. Sia f strettamente monotona crescente, allora 1, 2 dom(f) con 1 < 2 ( 1 2 ) si ha f( 1 ) < f( 2 ) e quindi f( 1 ) f( 2 ), ovvero f è iniettiva. Dimostrazione analoga si ha per f strettamente monotona decrescente. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 29

30 Il viceversa non è vero. La funzione { 1 0 f() = 0 = 0 è iniettiva senza essere strettamente monotona sul suo dominio dom(f) = R. f è decrescente su (,0), è decrescente su (0, + ), ma non è decrescente su tutto R Infatti per 1 = 1, 2 = 1, si ha f( 1 ) = 1 < f( 2 ) = 1. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 30

31 Funzioni composte Siano X, Y e Z tre insiemi in R. Siano f : X Y e g : Y Z. Definiamo una nuova funzione h : X Z detta funzione composta di f e g tale che h() = g(f()) Es. f() = sin() e g() = 2. La funzione composta è: h() = g(f()) = (sin()) 2. f() prende il posto di nella definizione di g. Es. Sia h() = log(2 +1). Posso vedere h() = g(f()) con g() = log() e f() = Es. Sia h() = Posso vedere h() = g(f()) con g() = e f() = c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 31

32 Dominio di una funzione composta Il dominio di una funzione f è il sottoinsieme di R su cui f è definita, ovvero l insieme dom(f) = { R : f() R}. Prendiamo f() = +2 1 e g() =, +2 h() = g(f()) = 1. dom(h) ( dom(f) e f() dom(g)) Quindi dom(h) sse R\{1} e +2 0, ovvero 1 dom(h) = (, 2] (1,+ ). Quando h() = g(f()), dom(h) = { dom(f) : f() dom(g)} c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 32

33 Oss. La composizione di funzioni non è commutativa: g(f()) f(g()) in genere. f() = sin() e g() = 2. g(f()) = (sin()) 2 mentre f(g()) = sin( 2 ). Proprietà. Se f e g sono invertibili e z = h() = g(f()), allora è invertibile anche h e vale h 1 () = f 1 (g 1 ()). Proprietà. Se f e g sono entrambe monotone crescenti (o entrambe decrescenti) allora g(f()) sarà monotona crescente. g(f()) sarà monotona decrescente negli altri casi. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 33

34 Funzione elevamento a potenza = α con R e α R. Distinguiamo vari casi: α = 0 = 0 = 1 funzione costante. dom(f) = R. im(f) = {1}. α = n N + = n. dom(f) = R. Senèpari, im(f) = R + {0} Se n è dispari, im(f) = R = n = 2 = c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Potenza con esponente reale cap2.pdf 34

35 α = n m Q\{0}, con n, m N+ primi fra loro, = n/m = m n. 10 = α 5 0 = 3/2 5 = 5/3 = 4/ n m Esempio dom(f) im(f) dispari pari = 3/2 R + {0} R + {0} dispari dispari = 5/3 R R pari dispari = 4/3 R R + {0} c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Potenza con esponente reale cap2.pdf 35

36 α > 0 irrazionale (α R + \Q + ). dom(f) = R + {0} e im(f) = R + {0} 2 = α = 3 = 2 = 1/ 2 = 1/ Se 1, definisco = α := sup{ n/m n : m α} Se 0 < 1, definisco = α := inf{ n/m n : m α} Se < 0, α non è definito. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Potenza con esponente reale cap2.pdf 36

37 α < 0 irrazionale (α R \Q ) Poniamo β = α, se α < 0 β > 0 e α = 1 α = 1 β Il dominio di α coincide con il dominio di α privato dello zero, ovvero è R +. Le funzioni α con α < 0 sono strettamente decrescenti su R +. = α = 3 = 2 = 1/ 2 = 1/ c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Potenza con esponente reale cap2.pdf 37

38 Dominio di f() = (h()) g() Consideriamo h : R R e g : R R. A priori l esponente g() può assumere un valore reale positivo nullo o negativo. Quindi la funzione f() è ben definita se la base h() è definita e t.c. h() > 0 e se g() è definita, ovvero dom(f) = { dom(h) : h() > 0} dom(g) Es. Determinare il dominio di f() = dom(f) = ( 1+ 1 ). { R\{0} : 1+ 1 > 0 } R = = (, 1) (0,+ ) c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Potenza con esponente reale cap2.pdf 38

39 Funzioni polinomiali Una funzione si dice polinomiale se è del tipo f() = a n n +a n 1 n a 2 2 +a 1 +a 0 ovvero è un polinomio nella variabile. I coefficienti a i, con i = 0,...,n sono reali. n è detto grado del polinomio. Dominio: R, e a i R, l espressione a n n +a n 1 n a 2 2 +a 1 +a 0 è ancora un numero reale. Quindi dom(f) = R. Si definiscono radici o zeri di un polinomio i valori di R tali per cui f() = 0, ovvero sono le intersezioni tra il grafico di f() e l asse delle ascisse: = f() c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Classificazione funzioni cap2.pdf 39

40 Funzioni razionali Una funzione si dice razionale (o fratta) se è il rapporto di due polinomi: f() = a n n +a n 1 n a 2 2 +a 1 +a 0 b m m +b m 1 m b 2 2 +b 1 +b 0 a i,b j R, con i = 0,...,n e j = 1,...,m Dominio: R, e a i,b j R, numeratore e denominatore sono numeri reali. Il rapporto tra due numeri reali è un numero reale se il denominatore è diverso da zero. Quindi dom(f) = R\{insieme degli zeri del denominatore}. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Classificazione funzioni cap2.pdf 40

41 Funzioni esponenziali e logaritmiche Sia a R +. Una funzione si dice esponenziale se la variabile indipendente compare all esponente di a (detto base): f() = a Per le considerazioni fatte prima, poiché a > 0, f() assume valori reali R, quindi dom(f) = R e Imf = (0,+ ). Inoltre f(0) = a 0 = 1. Sia a 1. Una funzione si dice logaritmica se la variabile indipendente compare all argomento del logaritmo di base a: Ricordiamo che f() = log a () = log a = log a a = ovvero la funzione logaritmo è la funzione inversa dell esponenziale, quindi dom(f) = (0,+ ). c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Classificazione funzioni cap2.pdf 41

42 Funzioni iperboliche sinh() =: e e 2 cosh() =: e +e sinh() cosh() c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni iperboliche cap2.pdf 42

43 La relazione fondamentale tra sinh e cosh è: cosh 2 (t) sinh 2 (t) = 1 t R. sinh(t) e cosh(t) sono dette funzioni iperboliche perché un punto P = ( P, P ) del piano cartesiano con P = cosh(t) e P = sinh(t), al variare di t appartiene all iperbole di equazione 2 2 = 1. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni iperboliche cap2.pdf 43

44 Simmetrie di funzione Def. Una funzione si dice dispari se f() = f( ), dom(f) (equivalentemente f() = f( )). Es. f() = sin(), f() = 3 sono dispari = = sin() Verifica: scrivo f( ): f( ) = ( ) 3 +3( ) = ( 3 +3) = f(). scrivo g( ): g( ) = sin( ) = sin() = g(). c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Simmetrie e periodicità cap2.pdf 44

45 Def. Una funzione si dice pari se f() = f( ), dom(f) (è simmetrica rispetto all asse delle ordinate = 0). Es. f() = 2, g() = cos() sono funzioni pari = = cos() Verifica: scrivo f( ): f( ) = ( ) 2 = 2 = f(). scrivo g( ): g( ) = cos( ) = cos() = g(). c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Simmetrie e periodicità cap2.pdf 45

46 Funzioni periodiche Def. Una funzione si dice periodica di periodo T se dom(f) si ha f( +T) = f(). Es. f() = sin() con T = 2π = sin() T = 2π Verifica: f( +T): f( +T) = f( +2π) = sin( +2π) = sin() = f(). c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Simmetrie e periodicità cap2.pdf 46

47 Riferimento bibliografico Canuto-Tabacco, cap. 2. Esercizi: 1) Individuare dominio e insieme immagine delle funzioni elementari viste ad esercitazione e dire se sono monotone (crescenti o decrescenti) sul loro dominio, se sono iniettive, suriettive, biettive, invertibili. 2) Esercizi del cap. 2 del libro Canuto-Tabacco. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Simmetrie e periodicità cap2.pdf 47

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