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1 Fondamenti di Informatica 2 Linguaggi e Complessità : Lezione 1 Corso Fondamenti di Informatica 2 Marco Schaerf, Linguaggi e Complessità : Lezione 1 1

2 Logica proposizionale Linguaggio matematico per ragionare sulla verità o falsità di proposizioni Composto da una sintassi (regole per costruire le frasi) e da una semantica (regole per assegnare un significato) Esempio di frase piove, f a-caldo, f a-caldo (e) (non)piove, piove (o)sole costituito da proposizioni atomiche (piove, f a-caldo, sole...) e da proposizioni complesse (fa-caldo piove, piove sole...) Corso Fondamenti di Informatica 2 Marco Schaerf, Linguaggi e Complessità : Lezione 1 2

3 Logica proposizionale: Alfabeto Un insieme non vuoto (finito o numerabile) di simboli proposizionali A = {A, B,..., P, Q,...}; Le costanti proposizionali, (per denotare il vero TRUE e il falso FALSE); I connettivi proposizionali (unario), e (binari); I simboli separatori ( e ). Corso Fondamenti di Informatica 2 Marco Schaerf, Linguaggi e Complessità : Lezione 1 3

4 Logica proposizionale: Formule Formule (dette anche proposizioni) L insieme Prop delle formule ben formate o formule del linguaggio proposizionale è l insieme definito induttivamente come segue: 1. Le costanti e i simboli proposizionali sono formule; 2. Se α è una formula ( α) è una formula; 3. Se α e β sono due formule, (α β) e (α β) sono formule. Nel seguito useremo la convenzione di denotare i simboli proposizionali con le lettere maiuscole (A, B,...) e le formule proposizionali con le lettere greche minuscole (α, β,... ). Corso Fondamenti di Informatica 2 Marco Schaerf, Linguaggi e Complessità : Lezione 1 4

5 Semantica: Sistema di valutazione Definiamo il dominio e gli operatori che ci permetteranno di dare una semantica (significato) alle nostre proposizioni. Il sistema di valutazione della logica proposizionale è costituito dal dominio B= {0, 1}, dove il simbolo 1 denota il valore di verità e 0 il valore di falsità ed un insieme di operatori (tabelle di verità ) su questo dominio Op= {Op, Op, Op } uno per ogni connettivo del linguaggio con Op : B B e Op e Op : B B B. Dove: Op (1) = 0 e Op (0) = 1 Op : α β α β Corso Fondamenti di Informatica 2 Marco Schaerf, Linguaggi e Complessità : Lezione 1 5

6 Op : α β α β Corso Fondamenti di Informatica 2 Marco Schaerf, Linguaggi e Complessità : Lezione 1 6

7 Semantica: Valutazione booleana Possiamo ora definire: Un assegnazione booleana V ai simboli proposizionali A è una funzione totale: V : A {1, 0}. Una valutazione booleana I V : Prop {1, 0} è l estensione a Prop di un assegnazione booleana, cioè I V (A) = V(A) se A A; I V ( ) = 1; I V ( ) = 0; I V ( α) = Op (I V (α)); I V (α β) = Op (I V (α), I V (β)). I V (α β) = Op (I V (α), I V (β)). Data V, si può facilmente dimostrare che l estensione I V esiste ed è unica. Notate che è una definizione ricorsiva (ricorsione strutturale). Corso Fondamenti di Informatica 2 Marco Schaerf, Linguaggi e Complessità : Lezione 1 7

8 Tautologie e contraddizioni Definizioni: Una formula proposizionale α è soddisfatta da una valutazione booleana I V se I V (α) = 1. Una formula proposizionale α è soddisfacibile se è soddisfatta da una qualche valutazione booleana I V. Una formula proposizionale α è una tautologia se è soddisfatta da ogni valutazione booleana I V. Una formula proposizionale α è una contraddizione se non è soddisfatta da nessuna valutazione booleana I V. Una formula α è una tautologia se e solo se α è una contraddizione. Corso Fondamenti di Informatica 2 Marco Schaerf, Linguaggi e Complessità : Lezione 1 8

9 Equivalenza logica Definizioni: α implica logicamente β (denotato α β) se e solo se per ogni valutazione booleana I V, ogniqualvolta I V (α) = 1 anche I V (β) = 1. α e β sono logicamente equivalenti o tautologicamente equivalenti (denotato α β) se e solo se I V (α) = I V (β) per ogni valutazione booleana I V. Corso Fondamenti di Informatica 2 Marco Schaerf, Linguaggi e Complessità : Lezione 1 9

10 Altri connettivi: 1 Siamo in grado di rappresentare la congiunzione e la disgiunzione di proposizioni, ma siamo in grado di denotare la nozione di implicazione tra proposizioni? Il fatto che una proposizione α implica un altra β viene denotato con α β Quale è il suo operatore (tabella di verità ) Op? Op : α β α β Nel caso in cui l antecedente (α) dell implicazione sia falso, l implicazione è vera. Corso Fondamenti di Informatica 2 Marco Schaerf, Linguaggi e Complessità : Lezione 1 10

11 Altri connettivi: 2 Possiamo ora introdurre anche l operatore α β, che denota la relazione che le due formule (α e β) si implicano vicendevolmente (α β e β α). Il conseguente operatore Op è così definito: Op : α β α β Corso Fondamenti di Informatica 2 Marco Schaerf, Linguaggi e Complessità : Lezione 1 11

12 Definibilità di connettivi Dato un insieme di connettivi C e un connettivo c C per cui si abbia una funzione di verità f c = Op c, si dice che c si deriva dai (oppure si definisce in termini dei) connettivi di C se esiste una formula proposizionale F costruita usando solo i connettivi di C tale che f c f F. Esempio: Il connettivo si può definire in termini di {, } nel seguente modo: (α β) ( α β). α β α β α β ( α β) α β Corso Fondamenti di Informatica 2 Marco Schaerf, Linguaggi e Complessità : Lezione 1 12

13 Definibilità di connettivi: esempi (α β) ( α β) (α β) ( α β) (α β) ( α β) (α β) ( α β) (α β) (((α ) ) (β )) α α α α (α β) (α β) (β α) Corso Fondamenti di Informatica 2 Marco Schaerf, Linguaggi e Complessità : Lezione 1 13

14 Precedenza operatori la massima precedenza a, poi, nell ordine, ai connettivi,, e infine. La formula α β viene parentetizzata come (( α) ( β)). La formula α β γ viene parentetizzata come ((α β) γ). La formula α β γ δ ɛ viene parentetizzata come ((( α) ( β)) (γ (δ ɛ))). La formula α ( β γ) δ ɛ viene parentetizzata come (( α) (( β) γ) (δ ɛ)). Corso Fondamenti di Informatica 2 Marco Schaerf, Linguaggi e Complessità : Lezione 1 14

15 1. Idempotenza: α α α α α α 2. Associatività: Leggi 1 α (β γ) (α β) γ α (β γ) (α β) γ α (β γ) (α β) γ 3. Commutatività: α β β α α β β α α β β α Corso Fondamenti di Informatica 2 Marco Schaerf, Linguaggi e Complessità : Lezione 1 15

16 1. Distributività: Leggi 2 α (β γ) (α β) (α γ) α (β γ) (α β) (α γ) 2. Assorbimento: α (α β) α α (α β) α 3. Doppia negazione: α α 4. Leggi di De Morgan: (α β) α β (α β) α β Corso Fondamenti di Informatica 2 Marco Schaerf, Linguaggi e Complessità : Lezione 1 16

17 Leggi 3 1. Terzo escluso: α α 2. Contrapposizione: α β β α 3. Contraddizione: α α. Corso Fondamenti di Informatica 2 Marco Schaerf, Linguaggi e Complessità : Lezione 1 17

18 Funzioni booleane e insiemi di connettivi Definizione: Sia α una formula contenente esattamente n atomi distinti A 1, A 2,..., A n ; la funzione f α : {0, 1} n {0, 1} tale che f α (v 1, v 2,..., v n ) = I V (α) dove V è l interpretazione per cui V(A i ) = v i per ogni i = 1, 2,..., n è detta la funzione di verità (o funzione booleana) associata ad α. Quindi, ogni proposizione del calcolo proposizionale definisce una funzione n-aria (o connettivo n-ario), dove n è il numero degli atomi distinti che in essa compaiono. Per ogni n esistono 2 2n funzioni booleane distinte (cioè tante quanti sono i sottoinsiemi di {0, 1} n ). Nel caso di n = 2 esistono 16 connettivi distinti. Noi ne abbiamo introdotti 4, non indipendenti, nel senso che alcuni sono esprimibili in termini di altri. Corso Fondamenti di Informatica 2 Marco Schaerf, Linguaggi e Complessità : Lezione 1 18

19 Completezza di insiemi di connettivi Un insieme di connettivi logici C si dice completo se e solo se, data una qualunque f : {0, 1} n {0, 1} esiste una formula proposizionale α costruita mediante i connettivi dell insieme C tale che f f α. Esempi: Gli insiemi {, }, {, }, {nand} e {nor} sono completi. Corso Fondamenti di Informatica 2 Marco Schaerf, Linguaggi e Complessità : Lezione 1 19

20 Proprietà di rimpiazzamento Siano α[p], γ e δ formule proposizionali e sia I V una valutazione booleana. Se I V (γ) = I V (δ) allora I V (α[γ/p]) = I V (α[δ/p]). Si dimostra per induzione strutturale Se γ δ allora α[γ/p] α[δ/p]. Esempio Si consideri l equivalenza tautologica (A B) ( A B). Sia α[p] = (p (α β)). Si può facilmente verificare che ((A B) (α β)) (( A B) (α β)). Corso Fondamenti di Informatica 2 Marco Schaerf, Linguaggi e Complessità : Lezione 1 20

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