Capitolo 5 - I sistemi lineari

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1 Appuni di Teoria dei segnali Capiolo 5 - I sisemi lineari Definizioni principali... Esempio: moliplicaore...3 Esempio: sommaore...3 Esempio: derivaore...4 Esempio: inegraore...5 Esempio: sommaoria discrea...6 Esempio: riardo...7 Funzione risposa all impulso...8 Definizione...8 Imporanza della risposa all impulso...8 Sabilià (BIBO) di un sisema lineare empo-invariane... Premessa... Caso coninuo... Caso discreo... Esempio: riardo... 4 Esempio: inegraore... 5 Sisemi causali... 5 Definizione... 5 Caso coninuo... 5 Caso discreo... 6 Sisemi FIR causali... 7 Funzione risposa in frequenza... 8 Caso coninuo... 8 Caso discreo... 9 Esempio: sisema in reroazione... 9 Esempio: sisema passa-basso... Realizzabilià di un sisema lineare empo-invariane... 3 Esempio... 4 Esempio: filro passa-basso perfeo... 6 Esercizio... 8 Esercizio... 3 Filro di Hilber... 3 Definizione... 3 Risposa all impulso... 3 Trasformaa di Hilber Effeo del filro nel dominio della frequenza Segnale analiico Inviluppo complesso... 39

2 Appuni di Teoria dei Segnali - Capiolo 5 DEFINIZIONI PRINCIPALI Un sisema può essere viso come un qualcosa che, dao un ingresso x() coninuo o x(nt) discreo, opera su di esso una rasformazione e genera una uscia y() coninua o y(nt) discrea. Schemaicamene, possiamo indicare un sisema nel modo seguene: x() x(nt) T C T D y() y(nt) dove evidenemene [ ] D[ ] y( ) = T x( ) C y( nt) = T x( nt) caso coninuo caso discreo Def. Un sisema si dice lineare quando possiamo applicare ad esso il principio di sovrapposizione degli effei, ossia le proprieà di addiivià e di omogeneià. Vediamo cosa significa queso nel caso coninuo. Supponiamo di applicare due segnali in ingresso x() e g() e supponiamo che le rispeive rispose siano y() e z(); supponiamo adesso di applicare un nuovo ingresso che sia combinazione lineare degli alri due, ossia ax( ) + bg( ). Allora il sisema si dice lineare se la risposa a queso segnale è ay( ) + bz( ) ossia una combinazione lineare, con gli sessi coefficieni, delle corrispondeni rispose. Ovviamene lo sesso accade nel caso discreo. Def. Un sisema si dice inveribile quando possiamo ricavare l ingresso conoscendo solo la corrispondene uscia. Def. Un sisema si dice causale o anche non-anicipaivo quando il valore dell uscia ad un cero isane dipende SOLO dai valori dell ingresso relaivi all inervallo ]-,[. Def. Un sisema si dice sabile di ipo BIBO quando, applicando in ingresso un segnale limiao, noi oeniamo una uscia anch essa limiaa Def. Un sisema si dice empo-invariane quando, dai l ingresso x() e la corrispondene uscia y(), in corrispondenza di un nuovo ingresso x(- ) si oiene una uscia y(- ) In praica, quindi, diremo che un sisema è empo-invariane se, raslando nel empo a nosro piacimeno l ingresso x(), oeniamo sempre la sessa uscia, anch essa però raslaa come l ingresso.

3 I sisemi lineari Esempio: moliplicaore Consideriamo il sisema raffigurao qui di seguio: x() * y() Si raa del cosiddeo sisema moliplicaore: infai, dao il generico ingresso x(), l uscia y() è il prodoo di x() per un alra funzione g(). In queso caso, supponiamo ad esempio che g( ) = A cos πf + ϕ, per cui si ha, in generale, che ques alra funzione sia ( ) g() ( π ϕ) y( ) = x( ) A cos f + Vogliamo vedere se queso sisema è lineare e empo-invariane. Per farlo, dobbiamo ovviamene applicare le rispeive definizioni: consideriamo perciò due ingressi x () e x (): le rispeive rispose saranno y ( ) = x ( ) A cos πf + ϕ ( ) ( π ϕ) y ( ) = x ( ) A cos f + Adesso applichiamo in ingresso il segnale x( ) = ax ( ) + bx ( ) e valuiamo la risposa del sisema: y( ) = x( ) A cos πf + ϕ = ax ( ) + bx ( ) A cos πf + ϕ ( ) [ ] ( ) Da qui si deduce evidenemene che y( ) = ay ( ) + by ( ), ossia che il sisema è lineare. Passiamo a vedere se è anche empo-invariane o meno. Dao sempre l ingresso x () e la risposa y (), vediamo quale è la risposa al segnale x()=x (- ): ( π ϕ) ( π ϕ) y( ) = x( ) A cos f + = x ( ) A cos f + Da qui si noa che y( ) y( ), il che ci dice che il sisema non è empo-invariane. Esempio: sommaore Consideriamo adesso il sisema x() + y() g() 3

4 Appuni di Teoria dei Segnali - Capiolo 5 che prende il nome di sommaore in quano, dao il generico ingresso x(), l uscia y() è la somma di x() per un alra funzione g(). Supponiamo anche quesa vola che sia g( ) = A cos( πf + ϕ ), per cui si ha, in generale, che y( ) = x( ) + A cos πf + ϕ ( ) Vediamo anche qui se il sisema è lineare e empo-invariane. Cominciamo dalla linearià e consideriamo perciò due ingressi x () e x (): le rispeive rispose saranno ( π ϕ) ( π ϕ) y ( ) = x ( ) + A cos f + y ( ) = x ( ) + A cos f + Applicando in ingresso il segnale x( ) = ax ( ) + bx ( ), la risposa del sisema è ( π ϕ) [ ] ( π ϕ) y( ) = x( ) + A cos f + = ax ( ) + bx ( ) + A cos f + e da qui si deduce evidenemene che y( ) ay ( ) + by ( ), cioè che il sisema, quesa vola, NON è lineare. Passiamo a vedere se è empo-invariane o meno. Dao sempre l ingresso x () e la risposa y (), vediamo quale è la risposa al segnale x()=x (- ): ( π ϕ) ( π ϕ) y( ) = x( ) + A cos f + = x ( ) + A cos f + Si noa ancora una vola che y( ) y( ), per cui il sisema non è nemmeno empo-invariane. Esempio: derivaore Consideriamo adesso il sisema seguene: x() d/d y() Si raa quesa vola del cosiddeo derivaore, in quano l uscia è la derivaa rispeo al empo dx( ) dell ingresso: quindi y( ) =. d Verifichiamo ancora una vola linearià e empo-invarianza. Consideriamo due ingressi x () e x (): le rispeive rispose saranno d y d x ( ) = ( ) y d ( ) = d x ( ) Adesso applichiamo in ingresso il segnale x( ) = ax ( ) + bx ( ). La risposa del sisema è d y d x d ( ) = ( ) = ( ) + ( ) d [ ax bx ] 4

5 I sisemi lineari ed è evidene che y( ) = ay ( ) + by ( ). Quindi, il derivaore è un sisema lineare. Vediamo se è anche empo-invariane o meno. Considerao sempre l ingresso x () e la risposa y (), vediamo quale è la risposa al segnale x()=x (- ): d y d x d ( ) = ( ) = ( ) d [ x ] Perché il sisema sia empo-invariane, deve accadere che y( ) = y ( ), dove y() è quella calcolaa prima. Effeivamene queso accade, in quano, in base alla relazione generale che dx( ) caraerizza il sisema, ossia y( ) =, si ha che d y ( ) = dx ( ) d Quindi, il derivaore è un esempio di sisema lineare empo-invariane. Esempio: inegraore Consideriamo adesso il cosiddeo inegraore: x() x( τ) y() La relazione ra ingresso ed uscia è cioè y( ) = x( τ) Verifichiamo sempre una vola linearià e empo-invarianza. Consideriamo due ingressi x () e x (): le rispeive rispose saranno y ( ) = x ( τ) y ( ) = x ( τ) Adesso applichiamo in ingresso il segnale x( ) = ax ( ) + bx ( ). La risposa del sisema è [ ] y( ) = x( τ) = ax ( τ) + bx ( τ) 5

6 Appuni di Teoria dei Segnali - Capiolo 5 Sfruando la proprieà di linearià degli inegrali, è chiaro che y( ) = ay ( ) + by ( ), per cui l inegraore è un sisema lineare. Vediamo se è anche empo-invariane o meno. Considerao sempre l ingresso x () e la risposa y (), dobbiamo verificare se la risposa al segnale x()=x (- ) è Vediamo allora quano vale ale risposa: y( ) = y ( ) = x ( τ) y( ) = x( τ) = x ( τ ) Operando il cambio di variabile s=τ-, abbiamo che y( ) = x ( s) ds e il secondo membro non è alro che y (- ). Quindi, dopo il derivaore, abbiamo oenuo che anche l inegraore è un sisema lineare empo-invariane. Esempio: sommaoria discrea Fino ad ora abbiamo esaminao solo esempi di sisemi empo-coninui, ossia di sisemi in cui ad ingressi coninui corrispondono uscie coninue. Vediamo ora un esempio di sisema empodiscreo e precisamene il seguene: x(nt) N k= x( kt) y(nt) per il quale cioè il legame ingresso-uscia è N y( nt) = x( kt) k= Vediamo se queso sisema (che è, ovviamene, l analogo dell inegraore nel caso discreo) è lineare e empo-invariane. Conrolliamo per prima la linearià: dai due ingressi x (nt) e x (nt), le rispeive rispose saranno y ( nt) = x ( kt) k= y ( nt) = x ( kt) N N k= 6

7 I sisemi lineari Adesso applichiamo in ingresso il segnale x( nt) = ax ( nt) + bx ( nt). La risposa del sisema è N [ ] y( nt) = x( kt) = ax ( kt) + bx ( kt) k= N k= Sfruando la proprieà di linearià dell operaore sommaoria, è chiaro che y( nt) = ay ( nt) + by ( nt), per cui la sommaoria è un sisema (discreo) lineare. Vediamo se è anche empo-invariane o meno. Considerao sempre l ingresso x (nt) e la corrispondene risposa y (nt), dobbiamo verificare se la risposa al segnale x( nt) = x ( nt n T) Vediamo allora quano vale ale risposa: N n y( nt) = y ( nt n T) = x ( kt) N k= è y( nt) = x( kt) = x ( kt n T) k= N k= Operando il cambio di variabile i=k-n, abbiamo che N n i= y( nt) = x ( it) e il secondo membro non è alro che y (- ). Quindi, così come l inegraore nel caso coninuo, anche la sommaoria è un sisema (discreo) lineare empo-invariane. Esempio: riardo L ulimo esempio (ovviamene per adesso) che consideriamo è il sisema cosiddeo riardo, ossia un sisema che, sia nel caso coninuo sia in quello discreo, opera semplicemene una raslazione del empo dell ingresso. Possiamo schemaizzare ale sisema, nei due casi, nel modo seguene: x() R C y()=x(-t) x(nt) R D y(nt)=x((n-n )T) E facile verificare come anche quesi due sisemi siano lineari e empo-invariani. 7

8 Appuni di Teoria dei Segnali - Capiolo 5 Funzione risposa all impulso DEFINIZIONE Quando abbiamo inrodoo il conceo di sisema, abbiamo deo che si raa di un qualcosa che, dao un ingresso x() coninuo (o x(nt) discreo), opera su di esso una rasformazione e genera una uscia y() coninua (o y(nt) discrea). Viso in queso modo, possiamo caraerizzare il sisema mediane la relazione y( ) = T x( ) caso coninuo C [ ] D[ ] y( nt) = T x( nt) caso discreo Vogliamo adesso inrodurre una nuova funzione che consena di caraerizzare ancora meglio i sisemi LINEARI TEMPO-INVARIANTI, in quano consene di legare direamene ingresso ed uscia e consene anche di dedurre alcune imporani proprieà sul sisema sesso. Def. Si definisce risposa all impulso di un sisema (lineare empo-invariane) l uscia prodoa dal sisema sesso quando in ingresso viene applicao l impulso uniario La risposa all impulso si indica generalmene con h() nel caso coninuo e con h(nt) in quello discreo: in base a come l abbiamo definia, essa soddisfa la relazione [ δ ] D[ δ ] h( ) = T ( ) C h( nt) = T ( nt) caso coninuo caso discreo E ovvio anche che, il sisema è empo-invariane, vale anche la relazione [ δ ] D[ δ ] h( ) = T ( ) C h( nt n T) = T ( nt n T) caso coninuo caso discreo IMPORTANZA DELLA RISPOSTA ALL IMPULSO Esaminiamo adesso solo il caso coninuo, riservando per dopo quello discreo (che comunque è formalmene idenico). L imporanza fondamenale della funzione h() sa nel fao per cui essa soddisfa la seguene: relazione y( ) = x( ) * h( ) Quesa relazione dice che, noa la risposa in frequenza del nosro sisema e noo un qualsiasi ingresso x() ad esso applicao, possiamo conoscere (dal puno di visa analiico) la risposa y() a ale ingresso semplicemene effeuando la convoluzione ra x() e h(). 8

9 I sisemi lineari Vediamo allora di dimosrare quella relazione. Per farlo, ci ricordiamo di una proprieà della funzione δ() secondo la quale x( ) = x( ) * δ ( ). Usando quesa proprieà possiamo scrivere che [ ] C[ ] y( ) = T x( ) = T x( ) * δ( ) Espliciando l espressione di quel prodoo di convoluzione, abbiamo che C y( ) = TC x( τ) δ( τ) Noi siamo supponendo che il sisema sia LINEARE, il che significa che è lineare la rasformazione T C : queso ci consene di passarla soo il segno di inegrale, oenendo [ ] y( ) = TC x( τ) δ( τ) Per definizione di inegrale, la quanià x(τ) è una cosane, in quano τ si suppone fissao: daa sempre la linearià di T C, possiamo irar fuori ale cosane e scrivere che [ ] y( ) = x( τ) TC δ( τ) Abbiamo inolre viso prima che h( ) = TC [ δ ( )], per cui y( ) = x( τ) h( τ) = x( ) * h( ) e queso era quello che volevamo rovare. Vediamo adesso cosa accade quando il sisema considerao è discreo. In queso caso, la risposa all impulso h(nt) è la risposa del sisema all impulso uniario discreo, ossia il segnale δ( nt) n = = T n Facciamo vedere che y( nt) = x( nt) * h( nt) La dimosrazione è analoga a prima: si pare dal ricordare la proprieà secondo cui x( nt) = Tx( mt) δ( nt mt) = x( nt) * δ( nt) m= 9

10 Appuni di Teoria dei Segnali - Capiolo 5 In base a ale proprieà, abbiamo che y( nt) = TD [ x( nt) ] = TC [ x( nt) * δ( nt) ] = TC Tx( mt) δ( nt mt) m= Daa la linearià del sisema (e quindi di T D ) abbiamo poi che [ δ ] C[ δ ] y( nt) = TT x( mt) ( nt mt) = Tx( mt) T ( nt mt) m= Ma abbiamo deo che h( nt n T) = TD [ δ ( nt n T) ] C m=, per cui concludiamo che y( nt) = Tx( mt) h( nt mt) = x( nt) * h( nt) m= N.B. Le due dimosrazioni meono in evidenza come le due relazioni dimosrare valgano SOLO per i sisemi lineari empo-invariani Sabilià (BIBO) di un sisema lineare empo- invariane PREMESSA Abbiamo in precedenza già dao la definizione di sisema sabile di ipo BIBO: un sisema è ale quando, in corrispondenza di un ingresso limiao, si oiene una uscia anch essa limiaa. Vogliamo adesso vedere quali vincoli vengono imposi alla risposa impulsiva dal fao che il sisema è sabile. Ovviamene, ci riferiamo a sisemi lineari empo-invariani, sia coninui sia discrei, in quano solo per essi vale il conceo di risposa all impulso e solo per essi valgono inolre le relazioni y( ) = x( ) * h( ) caso coninuo y( nt) = x( nt) * h( nt) caso discreo CASO CONTINUO Cominciamo dal caso coninuo. Inendiamo dimosrare il seguene risulao: Teorema - Un sisema coninuo (lineare empo-invariane) è sabile SE E SOLO SE la risposa all impulso h() è una funzione assoluamene inegrabile

11 I sisemi lineari Deo in alri ermini, condizione necessaria e sufficiene affinché un sisema sia sabile è che valga la relazione < h( ) d < (dove nauralmene la scriura > è superflua in quano la funzione inegranda è ceramene posiiva). Dimosrazione Per dimosrare queso risulao, dobbiamo dimosrare evidenemene due implicazioni. Dimosriamo per prima quella secondo cui, nell ipoesi di h() assoluamene inegrabile, il sisema risula sabile. Le ipoesi sono dunque le segueni: il sisema è lineare empo-invariane; h() è assoluamene inegrabile; l ingresso x() applicao al sisema è limiao. Dobbiamo dimosrare che anche y(), risposa del sisema, è limiaa. Il puno di parenza è la relazione y( ) = x( ) * h( ) = x( τ) h( τ) Passando ai moduli, abbiamo che y( ) = x( τ) h( τ) In base ad una noa proprieà degli inegrali, possiamo passare il modulo all inerno dell inegrale e scrivere che y( ) x( τ) h( τ) x( τ) h( τ) Ora, dire che l ingresso x(τ) è limiao significa dire che x( τ) M τ, per cui abbiamo che y( ) M h( τ) = M h( τ) Essendo M un numero reale posiivo e avendo supposo che h() è assoluamene inegrabile, ossia che è evidene che anche y() è limiaa, ossia che h( ) d = N y( ) MN = M' Passiamo adesso alla implicazione inversa: nell ipoesi che il sisema sia sabile, dobbiamo far vedere che la risposa all impulso è assoluamene inegrabile.

12 Appuni di Teoria dei Segnali - Capiolo 5 Supporre il sisema sabile significa dire che, dao un qualsiasi ingresso limiao, la risposa a ale ingresso è anch essa limiaa. Consideriamo allora come ingresso limiao il seguene segnale: [ h τ ] x( τ) = sgn ( ) Si raa cioè del segnale che, in ogni isane τ, fornisce il segno (cioè + o -) del segnale h(τ) all isane -τ. La risposa a ale segnale sarà [ ] y( ) = x( ) * h( ) = x( τ) h( τ) = sgn h( τ) h( τ) Valuiamo in paricolare quesa risposa per = : [ ] y( ) = sgn h( τ) h( τ) La funzione inegranda è cosiuia dal prodoo della funzione h( τ ) per il suo segno: ale prodoo è evidenemene uguale al modulo della funzione sessa, per cui y( ) = h( τ) Ora supponiamo per assurdo che la esi non sia vera, ossia che, nonosane il sisema sia sabile, la funzione h() non sia assoluamene inegrabile: ciò significa che il valore dell ulimo inegrale ricavao non è finio, ossia che non è finio nemmeno il valore di y( ). Ma y( ) è il valore della risposa, valuaa all isane, all ingresso x(): dao che siamo supponendo che il sisema sia sabile e che x() sia un ingresso limiao, y( ) NON può essere infinio, per cui la esi deve essere necessariamene vera. CASO DISCRETO Il eorema appena dimosrao per il caso coninuo, vale anche per quello discreo: Teorema - Un sisema discreo (lineare empo-invariane) è sabile SE E SOLO SE la risposa all impulso h(nt) è una funzione assoluamene sommabile Deo in alri ermini, condizione necessaria e sufficiene affinché un sisema discreo sia sabile è che valga la relazione n= h( nt) < Dimosrazione Dimosriamo anche queso risulao, parendo dalla seconda implicazione: supponiamo cioè che il sisema sia lineare empo-invariane, che h(nt) sia assoluamene sommabile e che l ingresso x(nt) applicao al sisema sia limiao e facciamo vedere che anche y(nt), risposa del sisema, è limiaa.

13 I sisemi lineari Si pare anche qui dalla relazione Passando ai moduli si ha che y( nt) = x( nt) * h( nt) = Tx( mt) h( nt mt) m= y( nt) = Tx( mt) h( nt mt) Tx( mt) h( nt mt) T x( mt) h( nt mt) m= m= m= Ora, dire che l ingresso x(nt) è limiao significa dire che x( nt) M n, per cui abbiamo che y( nt) M T h( nt mt) m= Essendo M un numero reale posiivo e avendo supposo che h(nt) è assoluamene sommabile, è chiaro che anche y(nt) risula limiaa, ossia y( nt) M'. Passiamo adesso alla implicazione inversa: nell ipoesi che il sisema sia sabile, dobbiamo far vedere che la risposa all impulso è assoluamene inegrabile. Supporre il sisema sabile significa dire che, dao un qualsiasi ingresso limiao, la risposa a ale ingresso è anch essa limiaa. Consideriamo allora come ingresso limiao il seguene segnale: La risposa a ale segnale sarà [ ] x( nt) = sgn h( nt) [ ] y( nt) = x( nt) * h( nt) = Tx( mt) h( nt mt) = T sgn h( mt) h( nt mt) m= Valuiamo in paricolare quesa risposa per n=: [ ] m= y( ) = T sgn h( mt) h( mt) m= La funzione all inerno della sommaoria è cosiuia dal prodoo di una funzione per il suo segno, per cui è pari ancora una vola al modulo della funzione sessa: quindi y( ) = T h( mt) m= A queso puno, in modo analogo a quano fao nel caso coninuo, supponiamo per assurdo che la esi non sia vera, ossia che, nonosane il sisema sia sabile, la funzione h(nt) non sia assoluamene sommabile: ciò significa che il valore di quella sommaoria non è finio, ossia che non è finio nemmeno il valore di y(). Ma y() è il valore della risposa, valuaa all isane =, all ingresso x(nt): dao che siamo supponendo che il sisema sia sabile e che x(nt) sia un ingresso limiao, y() NON può essere infinio, per cui la esi deve essere necessariamene vera. 3

14 Appuni di Teoria dei Segnali - Capiolo 5 ESEMPIO: RITARDO Esaminiamo adesso alcuni esempi di sisemi sabili e alri di sisemi non sabili. Il primo che consideriamo è il sisema coninuo che abbiamo denominao riardo puro : x() R C y()=x(-t) Queso sisema (che sappiamo essere lineare empo-invariane) riceve dunque in ingresso il segnale x() e fornisce in uscia lo sesso segnale, ma raslao di una quanià T (>). Vediamo quano vale la risposa impulsiva di queso segnale, cioè la risposa fornia dal sisema quando in ingresso c è l impulso uniario: è ovvio che h( ) = x( T) = δ( T) Vediamo allora se h() è assoluamene inegrabile, al fine di sabilire se il sisema è sabile o meno: h( ) d = δ( T) d In base ad una noa proprieà della funzione δ(), si ha che δ( T) d = il che ci dice che, effeivamene, il nosro sisema è sabile. E inuiivo immaginare come anche il riardo nel caso discreo sia un sisema sabile: in queso caso, il sisema è x(nt) R D y(nt)=x((n-n )T) La sua risposa impulsiva è h( nt) = x( nt n T) = δ( nt n T) e, in base ad una proprieà della funzione impulso nel caso discreo, si ha che m= h( nt) = δ( nt nt) = m= 4

15 I sisemi lineari ESEMPIO: INTEGRATORE Un alro sisema lineare empo-invariane esaminao in precedenza è l inegraore: x() x( τ) y() La relazione ra ingresso ed uscia è y( ) = x( τ). Valuiamo anche qui la risposa impulsiva: per definizione, abbiamo inano che h( ) = δ ( τ ) d τ La funzione inegranda è l impulso uniario applicao in τ=; allora, in base alle proprieà della funzione δ(), quell inegrale vale quando < menre vale quando : h( ) = < Si noa dunque che h() risula essere il gradino uniario u(), che è evidenemene una funzione NON assoluamene inegrabile. Di conseguenza, l inegraore NON è un sisema sabile: se noi applichiamo un ingresso limiao, è possibile che l uscia non sia limiaa. Sisemi causali DEFINIZIONE La definizione di sisema causale è saa già daa: un sisema coninuo è causale quando, dao l ingresso x(), il valore della risposa all isane dipende SOLO dai valori di x() compresi nell inervallo di empo ]-,] (analoga definizione per i sisemi discrei). Al pari di quano fao per la sabilià, vediamo anche qui quali vincoli la causalià impone sulla risposa impulsiva. Ovviamene, supponiamo che i sisemi considerai siano lineari empo-invariani. CASO CONTINUO Cominciamo dal caso coninuo, per cui pariamo dalla relazione generale y( ) = x( ) * h( ) = x( τ) h( τ) 5

16 Appuni di Teoria dei Segnali - Capiolo 5 Per definizione di causalià, y() non può dipendere dai valori di x() successivi all isane, per cui l esremo superiore di inegrazione non può che essere : y( ) = x( ) * h( ) = x( τ) h( τ) Quindi, la causalià impone che valga la relazione x( τ) h( τ) = x( τ) h( τ) Quando accade queso?. L inegrale a primo membro può essere spezzao in due pezzi nel modo seguene: x( τ) h( τ) + x( τ) h( τ) = x( τ) h( τ) Da qui si ricava evidenemene che x( τ ) h( τ ) d τ = ossia che quesa è la condizione cui deve soddisfare h(τ) quando il sisema è causale. Ora, quell inegrale risula ceramene nullo quando h( τ) = τ >, ossia, anche, quando ossia anche, ponendo α=-τ, quando h( τ) = - τ < h( α) = α < Quindi, abbiamo rovao che un sisema è ceramene causale se la sua funzione di risposa all impulso è nulla negli isani precedeni allo zero. CASO DISCRETO Il discorso è analogo nel caso discreo. La relazione generale è y( nt) = x( nt) * h( nt) = Tx( mt) h( nt mt) m= Il sisema è causale se l esremo superiore della sommaoria divena n, ossia se accade che Tx( mt) h( nt mt) = m= n 6

17 I sisemi lineari ossia se h (nt mt) = m > n +, ossia, infine, ponendo k=n-m, se h( kt) = k < In base a quesa relazione, ci sono alcune imporani definizioni circa i sisemi discrei: quando esise solo un numero finio di valori di k per i quali h(kt), il sisema (discreo) si dice di ipo FIR ; quando, invece, esisono infinii valori di k per cui h(kt), il sisema si dice di ipo IIR. Sisemi FIR causali Consideriamo in paricolare un sisema discreo (lineare empo-invariane), di ipo FIR che sia anche causale. Dire che il sisema è causale significa dire che h( kt) = k < Dire, poi, che è di ipo FIR significa dire che quei pochi valori di k per i quali h(kt) sono ui posiivi. In base alla causalià, possiamo dunque scrivere che Sviluppiamo quesa sommaoria: y( nt) = x( nt) * h( nt) = Tx( mt) h( nt mt) m= y( nt) =... + Tx 444 ( T ) h( 444 nt+ 3 T) + Tx 44 ( T) h( 444 nt+ 3 T) + Tx 4 ( ) h 4 ( nt 3 ) + Tx 44 ( T) h ( nt 44 3 T) + Tx 4 ( T 4 ) h ( nt T) +... m= m= m= m= m= Essendo il sisema di ipo FIR, supponiamo che il numero di valori (posiivi) di k per i quali h(kt) sia L e, in paricolare, supponiamo che h( T) = α h( T) = α h( T) = α... h( L) = α Sulla base di ciò, è ovvio che y(nt) sarà la somma di un numero finio di ermini, che sono quelli in cui la funzione h non risula nulla: quindi L ( T) h T + ( ) y( nt) = Tx ( 4 nt ) h 44 ( 3 T) + Tx ( n ) ( )... Tx ( n L) T h( LT) m= n m= n m= n L 7

18 Appuni di Teoria dei Segnali - Capiolo 5 Funzione risposa in frequenza CASO CONTINUO Consideriamo un sisema lineare empo-invariane generico: x() x(nt) T C T D y() y(nt) In paricolare, per il momeno esaminiamo il caso coninuo, riservando per dopo quello discreo. Applichiamo in ingresso al nosro sisema il segnale esponenziale x( ) = e jπf. Valuiamo la risposa del sisema: jπf ( ) y( ) = x( ) * h( ) = x( τ) h( τ) = h( τ) x( τ) = h( τ) e τ Il ermine esponenziale può essere scisso in due ermini, per cui si ha che [ ] y h e j f e j f d e j f ( ) = ( τ) π π τ τ = π h( τ) e j π f τ Il ermini porao fuori dall inegrale non è alro che il nosro ingresso x(); l inegrale rimaso, invece, non è che la rasformaa di Fourier della funzione risposa all impulso h(), calcolaa nella specifica frequenza f : indicandola allora con H(f ), possiamo dunque concludere che y( ) x( ) H( f ) = Quesa relazione ci dice che, dao un generico sisema lineare empo-invariane, i segnali esponenziali non vengono da esso modificai, salvo la presenza di un faore moliplicaivo H(f ). Alla funzione H(f) si dà il nome di risposa in frequenza o funzione di rasferimeno del sisema. Vediamo nel deaglio come si può definire quesa funzione. Per farlo, consideriamo la relazione y( ) = x( ) * h( ). Se rasformiamo ambo i membri secondo Fourier, ricordando che la rasformaa di un prodoo di convoluzione è pari al prodoo delle rasformae, abbiamo evidenemene che Y( f ) = X( f ) H( f ),da cui Y( f ) H( f ) = X( f ) 8

19 I sisemi lineari Quindi, la risposa in frequenza di un sisema è la rasformaa di Fourier della funzione risposa all impulso e può essere ricavaa come rapporo ra la rasformaa dell uscia e la rasformaa dell ingresso. Ovviamene, si raa di una caraerisica del sisema, indipendene cioè dall ingresso. CASO DISCRETO Esaminiamo adesso il caso discreo. Come ingresso al nosro sisema (lineare empo-invariane), applichiamo il segnale esponenziale x( nt) = e jπf nt. La risposa del sisema è jπf ( n m) T y( nt) = x( nt) * h( nt) = Tx( mt) h( nt mt) = Th( mt) x( nt mt) = Th( mt) e = m= m= j f nt j f mt j f nt j f mt = Th( mt) e e = e Th( mt) e = x( nt) Th( mt) e m= m= m= π π π π jπfmt Abbiamo rovao che y(nt) è il prodoo di x(nt) per un faore cosane (quella sommaoria non presena ermini variabili, per cui è un numero). A ale faore cosane, come vedremo meglio nel seguio, si dà il nome di rasformaa di Fourier, discrea, del segnale h(), calcolaa ovviamene per f=f. Anche in queso caso, dunque, abbiamo rovao che = y( nt) x( nt) H( f ) m= ESEMPIO: SISTEMA IN RETROAZIONE Consideriamo il sisema schemaizzao nella figura seguene: α x() + * y() y(-t) T Vediamo inano quale effeo ha il sisema sull ingresso x(): la prima cosa è la moliplicazione di x() per una cosane α; si produce così il segnale y( ) = α x( ). Queso segnale, che già cosiuirebbe l uscia, viene prelevao e subisce un riardo, ossia una raslazione di una quanià T; si produce perciò il segnale y( T). Queso segnale viene sommao nuovamene all ingresso, per cui si produce il segnale y( T) + x( ). Infine, c è un ulima moliplicazione per α, per cui l uscia del sisema si può esprimere nella forma y( ) = αy( T) + αx( ) 9

20 Appuni di Teoria dei Segnali - Capiolo 5 Uno schema di queso ipo prende il nome di sisema in reroazione in quano l uscia viene riporaa in ingresso e quindi, si porebbe dire, conribuisce a modificare se sessa. Di queso sisema, nell ipoesi che sia lineare empo-invariane, ci ineressano la risposa all impulso h() e la risposa in frequenza H(f). Ovviamene, ci baserà deerminare una delle due funzioni e poi ricavare l alra rasformando o anirasformando secondo Fourier. Per prima cosa, esprimiamo in modo per noi più conveniene la y(): infai, in base alla espressione y( ) = αy( T) + α x( ) prima rovaa, è chiaro che per cui possiamo scrivere che [ ] y( T) = αy( T) + αx( T) y( ) = α αy( T) + αx( T) + αx( ) = α y( T) + α x( T) + αx( ) Facendo lo sesso discorso per y(-t) abbiamo che e quindi [ ] y( T) = αy( 3T) + αx( T) 3 3 y( ) = α αy( 3T) + αx( T) + α x( T) + αx( ) = α y( 3T) + α x( T) + α x( T) + αx( ) Procedendo in modo ricorsivo, per N ermini abbiamo che ( ) n+ n+ y( ) = α y ( N + ) T + αx( ) + α x( nt) Il ermine αx() può anche essere inglobao nella sommaoria, per cui abbiamo che ( ) N n= n+ n+ y( ) = α y ( N + ) T + α x( nt) A queso puno, facciamo l ipoesi che il segnale y() sia ad energia finia: quesa ipoesi implica, almeno a livello inuiivo, che il valore dell uscia, per, enda ad annullarsi, ossia N n= y( ) e che quindi il sisema risuli sabile. In paricolare, se y( ), possiamo esprimere la nosra uscia mediane l espressione N n y( ) = α α x( nt) n=

21 I sisemi lineari A parire da quesa espressione, siamo in grado di valuare la risposa impulsiva, ossia la risposa h() quando in ingresso è applicao l impulso uniario δ(): N n h( ) = α α δ( nt) n= Mediane una operazione di rasformazione secondo Fourier, possiamo anche oenere la risposa in frequenza: N N N n n n j fnt H( f ) = Fourier ( nt) Fourier[ ( nt) ] e n = = π αα δ αα δ αα = = n= n= = α N n= π ( αe ) j ft n Nel caso in cui α <, quella sommaoria non è alro che la serie geomerica di ragione cui concludiamo che = H(f ) α j αe πft α j ft e π, per A queso sesso risulao noi possiamo arrivare in modo molo più rigoroso: menre prima, per arrivare all espressione di h(), abbiamo ragionao esclusivamene nel dominio del empo, possiamo provare a ragionare nel dominio della frequenza. Infai, a parire dalla relazione y( ) = αy( T) + αx( ) operando una rasformazione di Fourier di enrambi i membri, abbiamo che j ft Y( f ) = Y( f ) e π α + αx( f ) da cui si ricava che jπft ( α ) e Y( f ) = αx( f ) La risposa in frequenza è definia come rapporo ra Y(f) e X(f), per cui oeniamo nuovamene Y( f ) H( f ) = = X( f ) e j π α ft α Per oenere h() dobbiamo anirasformare H(f): h() = Fourier αe jπft α = αfourier αe jπft = αfourier jπft [( αe ) ] =...

22 Appuni di Teoria dei Segnali - Capiolo 5 ESEMPIO: SISTEMA PASSA-BASSO Consideriamo il sisema seguene: x() + h () y() * α Vogliamo la risposa all impulso h() e quella in frequenza H(f) del nosro sisema, nell ipoesi, ovviamene, che esso sia lineare empo-invariane. Per prima cosa esaminiamo quale azione esercia il nosro sisema sul segnale in ingresso: la prima azione è quella eserciaa dal soosisema, la cui risposa all impulso è saa indicaa con h (). All uscia di queso soosisema, noi oeniamo il segnale y( ) = x( ) * h ( ). Traandosi di uno schema in reroazione, queso segnale passa per il moliplicaore e divena αy( ). Successivamene, esso viene sommao all ingresso, in modo da oenere il segnale αy( ) + x( ) ed enra nuovamene nel soosisema, in modo che il segnale in uscia sia infine [ ] y( ) = y( ) + x( ) * h ( ) α Per rovare h() e H(f), ci conviene evidenemene lavorare nel dominio della frequenza, ossia rovare H(f) e poi anirasformare per oenere h(). Allora, rasformando secondo Fourier ambo i membri di quella relazione abbiamo che [[ α ] ] [ α ] [ α ( ) * ( )] [ ( ) * ( )] α ( ) ( ) ( ) ( ) Y( f ) = Fourier y( ) + x( ) * h ( ) = Fourier y( ) * h ( ) + x( ) * h ( ) = = Fourier y h + Fourier x h = Y f H f + X f H f Da qui si oiene che e quindi anche che X f H f Y( f ) = ( ) ( ) αh ( f ) Y( f ) H ( f ) H( f ) = = X( f ) αh ( f ) Quindi, se è noa la risposa in frequenza del soosisema, siamo in grado di conoscere H(f) e, anirasformando, anche h(). Per esempio, supponiamo che H (f) sia la funzione seguene:

23 I sisemi lineari H (f) A -f +f f Analiicamene, la possiamo esprimere nel modo seguene: H ( A f f ) = [-f,+f ] alrimeni Di conseguenza, la risposa in frequenza del nosro sisema è e si raa perciò di un alro reangolo: A H( f ) = f < f αa A αa H(f) -f +f f Da un puno di visa praico, l effeo del sisema è dunque quello di lasciar passare, dao l ingresso, solo le frequenze comprese ra -f e +f e di azzerare ue le alre. Ecco perché queso sisema prende il nome di sisema passa-basso. Noa H(f), possiamo calcolarci h() anirasformando: h ( A ) = Fourier A rec f A = f A f sinc( f ) α α REALIZZABILITÀ DI UN SISTEMA LINEARE TEMPO-INVARIANTE Sulla base di queso esempio possiamo dare due definizioni ineressani: quando la funzione risposa all impulso h() è una funzione reale, si dice che il sisema è idealmene realizzabile ; 3

24 Appuni di Teoria dei Segnali - Capiolo 5 quando, invece, h() risula reale e anche CAUSALE, allora si dice che il sisema è fisicamene realizzabile. Nell esempio di prima, h() è una funzione sinc per cui è senz alro reale. Tuavia, essendo il sinc una funzione periodica, h() non è una funzione causale, per cui il nosro sisema è solo idealmene realizzabile. ESEMPIO Consideriamo il sisema rappresenao in figura: x() y() y( τ) z() T Abbiamo dunque un sisema cosiuio da due disini blocchi: in ingresso al primo blocco c è l ingresso x() del sisema complessivo; in uscia dal primo blocco c è il segnale y() che va in ingresso al secondo blocco (che è un inegraore) e l uscia z() di queso secondo blocco è anche l uscia del sisema complessivo. Di ques ulimo vogliamo conoscere la risposa in frequenza H(f). Abbiamo due modi di procedere: il primo modo è quello di lavorare nel dominio del empo, cioè di rovare quano vale la risposa impulsiva h() e poi di rasformarla secondo Fourier; il secondo modo è invece quello di lavorare nel dominio della frequenza, uilizzando la linearià della rasformaa di Fourier. Vediamo enrambi i meodi a cominciare dal primo. Per prima cosa, vediamo come è faa l uscia z() del nosro sisema: l ingresso x() viene subisce, nel primo blocco, un riardo e viene poi sorao da se sesso per dare y(), per cui abbiamo che y( ) = x( ) x( T). Successivamene, y() passa semplicemene per l inegraore, per cui possiamo concludere che l uscia del nosro sisema, in corrispondenza del generico ingresso x(), vale [ ] z( ) = x( τ) x( τ T) La risposa impulsiva è, per definizione, la risposa del sisema quando in ingresso viene applicao all impulso: ponendo allora x()=δ() e z()=h(), abbiamo che [ ] h( ) = δ ( τ ) δ ( τ T) d τ 4

25 I sisemi lineari Queso inegrale può essere risolo per via grafica; infai, la funzione inegranda può essere inerpreaa come il seguene segnale: δ( ) T Calcolarne l inegrale ra - e significa considerarne il segnale inegrao ossia, in alre parole, il segnale che, derivao, dà quei due impulsi. E facile allora verificare che ale segnale derivao è il seguene: T Infai esso vale per < e >T; in = passa repeninamene da a, da cui l impulso uniario del segnale derivao; poi si maniene cosane, per cui il segnale derivao è zero; infine in =T riorna bruscamene a zero, da cui l impulso uniario negaivo del segnale derivao. Il nosro h() è dunque l ulimo segnale disegnao, ossia un reangolo di alezza e base T, raslao di +T/: T h( ) = rec T Se quesa è la risposa all impulso, la sua rasformaa è la risposa in frequenza: T π H( f ) = Fourier rec = Tsinc( ft) e = Tsinc( ft) e T j f T jπft L alra srada per arrivare a queso risulao era lavorare in frequenza e considerare le funzioni di risposa in frequenza dei singoli blocchi di cui si compone il nosro sisema: infai, se l uscia y() del primo blocco in corrispondenza del generico ingresso x() è daa da y( ) = x( ) x( T), la sua rasformaa è Y( f ) = X( f ) X( f ) e j π ft 5

26 Appuni di Teoria dei Segnali - Capiolo 5 Quesa uscia y() passa araverso l inegraore: nel dominio della frequenza, queso equivale a moliplicare Y(f) per il ermine /jπf, per cui Z( f ) = X( f ) X( f ) e jπf jπft Infine, applicando la definizione di risposa in frequenza abbiamo che j Z f e H( f ) = ( ) X( f ) = jπf Quesa può essere opporunamene manipolaa: jπft jπft jπft jπft jπft jπft jπft jπft e e e e e e Te H( f ) = e = = sin( πft) = sin( πft) = jπf πf j πf Tπf = Te jπft sinc( ft) πft ESEMPIO: FILTRO PASSA-BASSO PERFETTO Consideriamo il seguene sisema lineare empo-invariane: x() H(f) y() -B +B f Queso sisema prende il nome di filro passa-basso perfeo in quano ha l effeo di lasciar passare il segnale in ingresso inalerao, ma solo enro un inervallo di frequenza presabilio, che in queso caso è [-B,+B]. Supponiamo allora di applicare in ingresso il segnale esponenziale A α x( ) = Ae 6

27 I sisemi lineari Ci poniamo il problema di deerminare il valore della banda B della risposa in frequenza affinché il segnale in uscia y() abbia il 9% dell energia del segnale in ingresso x(). Il primo passo è ovviamene quello di deerminare quano vale l energia del segnale in ingresso: applicando semplicemene la definizione di energia abbiamo che E x( ) d X = Sosiuendo l espressione di x() e considerando che esso è nullo per <, abbiamo che [ ] A E X = Ae α d = Ae α d = ( α) e α d = e α = e = α α α α α Quindi, a noi serve deerminare il valore B ale che l energia del segnale in uscia sia pari a.9/α. Per calcolare l energia del segnale in uscia dobbiamo conoscerne l espressione, in modo da poer applicare anche lì la formula E y( ) d Y = Tuavia, dao che conosciamo l ingresso x() e conosciamo la funzione di risposa in frequenza H(f), è più conveniene calcolare Y(f) e poi applicare la formula E Y( f ) df Y = Ricordando che Y(f) può essere espressa mediane la relazione Y( f ) = H( f ) X( f ), è ovvio che ci serve X(f). Applicando semplicemene la definizione di rasformaa di Fourier, abbiamo i segueni passaggi: [ ] [ ] α α α jπf α jπf ( α+ jπf ) X( f ) = Fourier Ae = AFourier e = A e e d = A e e d = A e d = ( α+ jπf ) A ( α+ jπf ) [ ] d [ e ] A = A D e = = ( α + jπf ) ( α + jπf ) jπf + α A queso puno, possiamo calcolarci l energia del segnale y(): abbiamo deo che la formula da applicare è E Y = X( f ) H( f ) df Sosiuendo l espressione di X(f) e considerando che la funzione di H(f), che è un reangolo, è solo quella di limiare gli esremi di inegrazione, abbiamo che 7

28 Appuni di Teoria dei Segnali - Capiolo 5 E Y + B A A = H( f ) df = df = A df = A j f + j f + π α π α jπf + α π + α B + B B + B B ( f) df A queso puno, per comodià poniamo w=πf: oeniamo E Y = A + πb πb Quello è un inegrale immediao e dà w + α dw = A + πb πb w α + w dw E Y = A + πb α α α A arcg w = arcg arcg πb πb πb Imponendo adesso che E X =.9/α, si rova il valore richieso di B. ESERCIZIO Consideriamo il sisema seguene: + i() R + x() - C y() - Abbiamo dunque un semplice circuio in cui in ingresso c è una ensione x() e, come uscia y(), viene consideraa la ensione ai capi del condensaore. Vogliamo conoscere la funzione di risposa all impulso h(). In primo luogo, osserviamo che parlare di risposa all impulso presuppone che il sisema sia lineare empo-invariane: queso è effeivamene vero in quano nel circuio compaiono un resisore ed un condensaore enrambi lineari e empo-invariani. Il problema della deerminazione di h() può essere facilmene risolo servendosi proprio della rasformaa di Fourier, ossia, in definiiva, rovando la risposa in frequenza H(f) e poi anirasformandola. La prima cosa da fare è individuare quale legame inercorre, nel dominio del empo, ra ingresso x() e uscia y(). Lo possiamo fare semplicemene applicando la legge di Kirchoff delle ensioni e le relazioni di lao di resisore e condensaore. In base alla LKT (applicaa in senso aniorario) abbiamo che x( ) y( ) V ( ) = R 8

29 I sisemi lineari In base alla relazione di lao del resisore, abbiamo che x( ) y( ) Ri( ) = da cui, espliciando la correne, si ha che i( ) = x( ) y( ) R Adesso, la relazione di lao del condensaore dice che i C dv C dy C ( ) ( ) ( ) = = d d per cui, eguagliando i secondi membri delle due espressioni rovae per i(), oeniamo x ( ) y ( ) = C dy( ) R d Espliciando la x() si oiene quindi x RC dy ( ) ( ) = + y( ) d Quesa è una equazione differenziale nella incognia y(). Allora, se poniamo x()=δ() e la risolviamo, roviamo proprio la h(). Tuavia, nonosane la risoluzione dell equazione non sia complicaa, possiamo fare molo più in frea lavorando nel dominio della frequenza: infai, se rasformiamo secondo Fourier ambo i membri di quella equazione (usando il eorema di derivazione nel empo) oeniamo che X( f ) = RC( jπf ) Y( f ) + Y( f ) da cui Y( f ) H( f ) = = X( f ) + jπrcf Noa la risposa in frequenza, dobbiamo anirasformarla per oenere h(). Come si anirasforma quella funzione? Ci basa ricordare di un risulao rovao in precedenza e precisamene che Fourier e a [ ] = a + jπf Se, al denominaore a secondo membro meiamo in evidenza a, oeniamo Fourier e a [ ] = a πf + j a e quindi anche che 9

30 Appuni di Teoria dei Segnali - Capiolo 5 Fourier ae a [ ] = πf + j a Allora, ponendo a =, oeniamo RC RC Fourier e = RC + jrc π f ossia che l anirasformaa di H ( f ) = + jπrcf h( ) = è la funzione RC e RC che era ciò che andavamo cercando. Adesso poniamoci un alro problema: noa h() (ossia noe le caraerisiche del nosro sisema), vogliamo la risposa del sisema all ingresso T x( ) = rec T T Il problema è di immediaa risoluzione in quano sappiamo che vale la relazione y( ) = x( ) * h( ), per cui y( ) = x( τ) h( τ) La funzione x() è un semplice reangolo, il quale ha dunque il solo effeo di resringere l inervallo di inegrazione: quindi T T y h d RC e RC d RC e RC T e RC d e RC T D e RC d e RC T ( τ ) τ τ e RC ( ) = ( ) = = =... = = τ τ τ τ τ 3

31 I sisemi lineari ESERCIZIO Consideriamo adesso ques alro circuio: R + i() + C x() y() - R C - L ingresso è la ensione x() e l uscia y() è la ensione ai capi di C e/o di R. Troviamo anche in queso caso la funzione di risposa all impulso h(). Il meodo è lo sesso del caso precedene: applicando la LKT alla maglia di sinisra e le relazioni di lao di resisore e condensaore oeniamo che i( ) = x( ) y( ) + C d R d [ x( ) y( ) ] In modo analogo, per la maglia di desra oeniamo Eguagliando le due relazioni oeniamo y( ) i C dy ( ( ) ) = + R d da cui x( ) y( ) C d y( ) [ x y ] C dy ( ( ) ( ) ) + = + R d R d x( ) C dx ( ) y( ) C dy ( ) C dy ( ) y( ) + = R d R d d R Trasformando secondo Fourier oeniamo R + C j f X f ( C C ) j f R R Y f = ( π ) ( ) π ( ) e quindi Y( f ) H( f ) = = X( f ) + C ( jπf ) R + + ( C + C ) jπf R R 3

32 Appuni di Teoria dei Segnali - Capiolo 5 Filro di Hilber DEFINIZIONE Sappiamo che un qualsiasi sisema lineare empo-invariane può essere caraerizzao in modo esremamene compleo mediane la sua funzione di risposa all impulso h(), o, equivalenemene, dalla sua funzione di rasferimeno (che è la rasformaa di Fourier della funzione di risposa all impulso). Consideriamo allora una paricolare sisema avene la seguene funzione di rasferimeno: j f > H ( H f ) = f = j f < Un sisema avene quesa funzione di rasferimeno prende il nome di filro di Hilber e ci appresiamo a sudiarne le caraerisiche. La prima cosa che osserviamo è che la funzione H H (f) presena una disconinuià nel puno f=: per convenzione si pone = il valore della funzione in f=, ma è bene ricordare che si raa di una disconinuià e che, di conseguenza, alcuni dei risulai che ci appresiamo a ricavare vanno presi un po' con le pinze. RISPOSTA ALL IMPULSO Ricaviamo la funzione di risposa all impulso h() del nosro sisema: sappiamo che [ H ] h ( ) = Fourier H ( f ) H per cui la prima cosa da fare è esprimere in modo per noi più comodo la H H (f). E facile verificare che essa si può esprimere in due alri modi, del uo equivaleni ra loro: H ( f ) = j sgn( f ) = e π H j sgn( f ) In paricolare, prendiamo la prima espressione, che dobbiamo adesso anirasformare. Per effeuare quesa anirasformaa, uilizziamo due risulai precedenemene ricavai: il primo è la rasformaa di Fourier del segnale sgn(), che sappiamo essere [ ] Fourier sgn( ) = jπf 3

33 I sisemi lineari L alro è la proprieà di dualià, secondo la quale s( ) S(f ) S() s( f ) Nel nosro caso, l applicazione della proprieà di dualià ci pora a dire che sgn( ) jπ jπf sgn( f ) Ricordando inolre che la funzione sgn è una funzione dispari, abbiamo che f jπ sgn( ) Infine, porando il ermine j al secondo membro, possiamo concludere che π jsgn( f ) Dao, allora, che H ( f ) = H j sgn( f ), deduciamo che h ( H ) = π Quesa funzione h H () presena due caraerisiche imporani: essa è REALE ma non è causale, per cui sappiamo di poer affermare che queso sisema è solo IDEALMENTE REALIZZABILE, menre non è possibile oenerlo nella praica. Da un puno di visa grafico, la funzione h H () ha il seguene andameno: 33

34 Appuni di Teoria dei Segnali - Capiolo 5 TRASFORMATA DI HILBERT Consideriamo adesso un generico segnale empo-coninuo s() e facciamo su di esso due ipoesi fondamenali:. la prima è che sia ad energia finia, il che significa che { } E = S s ( ) d R. la seconda è che sia ad area nulla (o anche a media nulla), ossia, in definiiva, che S(f = ) = dove S(f) è la rasformaa di Fourier di s() (rasformaa che sicuramene esise daa l ipoesi di prima). Adesso supponiamo che queso segnale venga poso in ingresso al filro di Hilber. Vogliamo valuare quano vale la risposa y(). In base alla noa relazione y( ) = s( ) * h ( ), abbiamo che H y( ) = s( τ) π ( τ ) Il segnale y() così calcolao prende il nome di rasformaa di Hilber del segnale s(). In verià, è bene ricordare che il ermine rasformaa è un po' improprio: infai, menre con le rasformae classiche (Fourier e Laplace) il dominio di arrivo è diverso da quello di parenza, in queso caso si raa sempre dello sesso dominio, quello del empo. Ad ogni modo, viene usaa quesa espressione e il simbolo che si usa soliamene è $s(). EFFETTO DEL FILTRO NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA Adesso facciamo lo sesso discorso di prima, cioè la deerminazione della risposa del sisema, ma nel dominio della frequenza: la relazione da uilizzare è in queso caso Y( f ) = S(f ) H H ( f ). Per capire quale effeo abbia il filro, ossia la funzione H H (f), sul segnale in ingresso, ossia S(f), valuiamo quano valgono modulo e fase di H H (f): sapendo che j f > H ( H f ) = f = j f < è subio chiaro che H ( H f ) = f 34

35 I sisemi lineari Queso ci consene di dire subio che il filro non ha alcun effeo sul modulo di S(f), ossia lo lascia inalerao. y Passiamo alla fase: ricordando che la fase del generico numero complesso z=x+jy è z = arcg, z noi abbiamo che ( ) H ( f ) arcg f > H = arcg ( + ) f < e quindi H H ( f ) = π π f > f < Da qui si deduce che l effeo del filro è quello di lasciare inalerao il modulo del segnale in ingresso e di effeuare, di ale segnale, una roazione di 9 in anicipo per le frequenze negaive e in riardo per quelle posiive. Se volessimo diagrammare l andameno grafico della funzione H ( f ), avremmo quano segue: H ( H f ) H SEGNALE ANALITICO Consideriamo un generico segnale empo-coninuo s(): facciamo, come unica ipoesi, quella per cui esso sia rasformabile secondo Fourier e indichiamo con S(f) la sua rasformaa. Meiamo queso segnale in ingresso ad un sisema lineare empo-invariane che abbia come funzione di rasferimeno il gradino uniario: H A (f) f 35

36 Appuni di Teoria dei Segnali - Capiolo 5 Indicaa con y() l uscia del sisema, supponendo che anch essa sia rasformabile secondo Fourier e che Y(f) sia la sua rasformaa, sappiamo che vale la relazione Y( f ) = S(f ) H A ( f ). Daa la sruura di H A (f), si capisce subio che il segnale in uscia di queso sisema non è alro che il segnale in ingresso, privao però delle componeni di frequenza negaiva, che vengono ue azzerae. Il segnale y() così oenuo prende il nome di segnale analiico del segnale s(). In generale, si dirà analiico un qualsiasi segnale empo-coninuo che presena spero nullo per f<. Tano per fare un esempio, se lo spero del segnale fosse S(f) f C f lo spero del suo segnale analiico sarebbe il seguene: S+(f) f C f Una osservazione imporane è la seguene: perché un qualsiasi segnale y() possa essere analiico, è necessario che sia un segnale complesso. Infai, se y() fosse reale, varrebbe la cosiddea proprieà di simmeria hermiiana del suo spero, secondo la quale * S( f ) = S ( f) [ S f ] = [ S f ] [ S f ] = [ S f ] Re ( ) Re ( ) Im ( ) Im ( ) e queso evidenemene non consene che la pare negaiva dello spero sia nulla menre quella posiiva no. Adesso, vediamo di calcolare quano vale la funzione di risposa all impulso h A () del nosro sisema. Sappiamo bene che h ( ) = Fourier H ( f ) A [ A ] Per effeuare quesa anirasformaa, uilizziamo re risulai precedenemene ricavai: il primo è la rasformaa di Fourier del segnale u(), che sappiamo essere 36

37 I sisemi lineari Fourier[ u( ) ] = + δ( f ) jπf L alro è la proprieà di dualià, secondo la quale s( ) S(f ) S() s( f ) Nel nosro caso, l applicazione della proprieà di dualià ci pora a dire che u( ) + δ( f ) jπf + δ( ) u( f ) jπ Il erzo risulao che sfruiamo è la proprieà di scala, secondo la quale Applicandolo in queso caso, abbiamo che s( ) S(f ) ( ) s( ) S f + δ( ) u( f ) jπ + δ( ) u( f ) jπ Ricordando inolre che l impulso di Dirac è una funzione pari, concludiamo che Dao che H A (f)=u(f), possiamo scrivere che + δ( ) u( f ) jπ ha ( ) = + δ( ) jπ Quesa è evidenemene una funzione complessa, il che significa che il nosro sisema non è idealmene realizzabile né ano meno fisicamene realizzabile. Volendo rappresenare graficamene quesa funzione, possiamo diagrammare la sua pare reale, che è semplicemene un impulso di area ½ posizionao nell origine, e il coefficiene della pare immaginaria, che ha un andameno del ipo seguene: 37

38 Appuni di Teoria dei Segnali - Capiolo 5 [ h A ] Im ( ) A queso puno, così come abbiamo fao prima per il filro di Hilber, ricaviamo l espressione analiica dell uscia del sisema nel dominio del empo, cioè del segnale analiico di s(): sappiamo inano che Sosiuendo l espressione di h A (), oeniamo y( ) = s( ) * h A ( ) = s( τ) h A ( τ) y( ) = s( ) * h A ( ) = s( τ) δ( τ) d j π( τ) τ Scomponendo in due l inegrale abbiamo y( ) = s( τ) δ( τ) s( τ) jπ( τ) Il primo inegrale, in base alla proprieà di seaccio della funzione impulso di Dirac, vale proprio s(), per cui y( ) = s( ) s( τ) jπ( τ) Il secondo inegrale, invece, se poriamo fuori il ermine /j, è proprio la rasformaa di Hilber del segnale s(), per cui possiamo concludere che il segnale analiico di s() ha l espressione j y ( ) = s ( ) + s $( ) Di solio, il segnale analiico viene indicao con il simbolo s + (). E evidene, dalla sua espressione, che è possibile ricavare da esso il segnale di parenza s(), che è infai pari al doppio della sua pare reale: quindi 38

39 I sisemi lineari + [ ] s( ) = Re s ( ) Quesa relazione indica una corrispondenza biunivoca ra s() ed il suo segnale analiico, per cui ques ulimo può cosiuire una rappresenazione alernaiva di s(). INVILUPPO COMPLESSO Sia dao il generico segnale s() che supponiamo essere rasformabile secondo Fourier. Abbiamo + j appena definio il segnale analiico di s() come s ( ) = s( ) + s $( ), dicendo che si raa di s() salvo per il fao che le componeni negaive del suo spero sono ue nulle. A parire dal segnale analiico di un cero segnale s(), è possibile definire un uleriore segnale, sempre legao a s(): si raa del segnale definio mediane la relazione ~ s( ) s + ( ) e j f = π e che prende il nome di inviluppo complesso del segnale di parenza s(). Per capire di cosa si raa, conviene come al solio riferirsi al dominio della frequenza: infai, è evidene, applicando la proprieà di raslazione in frequenza, che la rasformaa di Fourier di queso segnale è ~ + S( f ) = S ( f + f ), ossia, a meno del faore, è lo spero del segnale analiico raslao, verso sinisra, di f. Tano per fare un esempio, supponiamo che il nosro segnale di parenza abbia il seguene spero: S(f) Allora, lo spero del suo segnale analiico è S+(f) f C f f C f menre quello dell inviluppo complesso, a meno del faore è 39