ESERCITAZIONE N.3 DETERMINANTI. il determinante di una matrice 1x1 è l elemento stesso det (a) = a. il determinante di una matrice 2x2 è :

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "ESERCITAZIONE N.3 DETERMINANTI. il determinante di una matrice 1x1 è l elemento stesso det (a) = a. il determinante di una matrice 2x2 è :"

Transcript

1 DETERMINANTI ESERCITAZIONE N 5 mrzo Ad ogni mtrice qudrt coefficienti in R ( o C o un qulsisi K cmpo) è ssocito un numero rele che or definimo,detto det(a),(d(a)) determinnte di A il determinnte di un mtrice x è l elemento stesso det () = Determinnti, sviluppo di Lplce Crtteristic di un mtrice il determinnte di un mtrice x è : det c b d = d-bc Teorem di Kronecker il determinnte di un mtrice nxn ( n>) è definito per Teorem di Rouché Cpelli e discussione ricorsività, trmite determinnti (n-)x(n-) secondo lo dei sistemi lineri trmite il teorem di sviluppo che illustrimo nell esempio seguente nel cso x Kronecker ESEMPIO Considerimo l mtrice A = sviluppimo secondo l prim rig R, ponendo così : e det A = - +(-) Roslb Brttero ogni elemento dell prim rig viene moltiplicto per il suo complemento lgebrico, che è il prodotto del minore complementre (determinnte dell sottomtrice x, ottenut cncellndo l rig e l colonn dell elemento stesso) per il numero (-) r+s, con r =posto di rig, s = posto di colonn

2 I complementi lgebrici, essendo ( meno del segno) minori di ordine x si snno clcolre e dunque : det A = 5 + = 7 Quindi in generle se A è un mtrice nxn, ponimo det A = deta - deta + + (-) +n n deta n con gli i elementi di R, A i = sottomtrice ottenut d A cncellndo l rig e l colonn i ( in ) IL TEOREMA DI LAPLACE fferm l possibilità di clcolre det(a) effettundo lo sviluppo lungo qulsisi rig o colonn Quindi conviene sviluppre lungo un rig /colonn in cui compino il mssimo numero di zeri ESEMPIO Clcolre det Conviene sviluppre lungo un line in cui compino il mggior numero di zeri e, se è il cso frne comprire qulcuno, usndo le proprietà precedenti Qu si può d es sostituire C con C +C, e il det A non cmbi, grzie ll proprietà det = det 4 4 PROPRIETÀ DI DET A le operzioni elementri sulle righe (o colonne) Scmbio: scmbindo due linee prllele ( righe o colonne), det A cmbi segno Prodotto: moltiplicndo un rig ( o colonn ) per R *, det A risult moltiplicto per Somm: ggiungendo d un rig (o colonn) il multiplo di un ltr rig ( risp colonn) det A non cmbi Or sviluppndo lungo R si ottiene det A = (-)( -4-8) = D discendono le seguenti proprietà, molto uste: 4 Se due linee prllele sono uguli o proporzionli llor il determinnte é zero 5 Se un line é combinzione linere di ltre linee prllele llor il determinnte é zero

3 4 ESEMPIO (sull proprietà 5) Si A = completimo l R così : R = R -R A= 7 5 Or se fccimo le seguenti trsformzioni elementri sulle righe : R R -R e poi R R +R si ottiene un rig di zeri, l terz Perciò det A = 6 INFINE UNA PROPRIETÀ BEN NOTA DA MC : Il determinnte di un mtrice tringolre, o digonle è il prodotto degli elementi sull su digonle principle det nn n n n = nn 5 ESERCIZIO Crtteristic di un mtrice Regol di Kronecker Clcolre l crtteristic delle seguenti mtrici : (A) (crtteristic o rngo di un mtrice A mxn) è definit come il mx n di righe ( o equiv- lentemente colonne) LI (A) coincide con il n di righe non nulle dell mtrice ridott sclini Vedimo se trovimo delle combinzioni lineri sulle righe o sulle colonne Ad esempio R = R R e R 4 = R -R quindi R ed R 4 non dnno lcun contributo i fini del clcolo di (A) ossi (A)= Or poiché per due righe essere linermente indipendenti signific non essere proporzionli (non multiple), ricvimo (A)= Or fccimo un'importnte digressione, prim di clcolre l crtteristic dell second mtrice

4 Relzione tr crtteristic e determinnte per mtrici qudrte Se A è un mtrice qudrt nxn, llor si h: (A)=n det(a) Per qulsisi mtrice ( qudrt o non ) è di grnde utilità l regol di Kronecker che consente il clcolo di (A) trmite i minori REGOLA ( TEOREMA) DI KRONECKER Se A è un mtrice mxn, si h : Se (A)< n e supponimo che non ci sino righe (colonne nulle), llor lmeno un rig ( o colonn) è CL di righe ( rispcolonne) e come bbimo già visto nell esempio, con opportune operzioni elementri ( che lterno l più il determinnte per un costnte moltiplictiv non null) ottenimo un rig null e quindi det A = (A)=p A possiede un minore M non nullo di ordine p Tutti i minori di ordine p+ che orlno M sono nulli Per B usimo l regol di Kronecker: L'equivlenz può essere cpit così: si può pssre ll mtrice ridott trmite operzioni del tipo somm di un rig con un multiplo di un'ltr rig ( che non lterno né determinnte, né crtteristic) e non è difficile verificre che per un mtrice tringolre ridott A si h : le righe ( colonne) sono L D <=> lmeno uno degli elementi sull digonle principle è nullo ( <=> det A = per l proprietà 6 ) B = Il minore individuto = È un minore di ordine non nullo Allor C,C sono LI e quindi (B) Per definizione il mx n di righe (colonne) LI è 4, d cui (B) 4 (B) 4 6 7

5 8 Or procedimo con l REGOLA DI KRONECKER e considerimo i minori di ordine orlnti il minore di ordine non nullo : Clcolimo quello in verde = = (-) =- Abbimo trovto un minore di ordine non nullo,quindi (B) Or ripetimo il processo, orlndo l sottomtrice il cui det è Sono 6 minori Se sono tutti nulli Kronecker ci grntisce che (B)=, ltrimenti ppen ne trovimo uno non nullo ripetimo l lgoritmo, se occorre, riprtendo dl nuovo minore Sviluppo lungo R Elemento di posto + = pri 9 Abbimo le due sottomtrici, Clcolimo il determinnte dell second = = -() +(-) = Abbimo trovto un minore di ordine 4 non nullo =>(B)=4 Osservzione Detto in ltre prole Kronecker fferm che: (X)=p equivle dire che le p righe (p colonne) che contengono il minore non nullo di ordine p sono LI e le righe ( colonne ) restnti sono loro CL sviluppo lungo R

6 Con Kronecker risprmi Se bbimo d esempio un mtrice 4x5 Il numero dei minori di ordine è : ! 4! 4 4 Il numero dei minori di ordine che orlno un minore di ordine (che supponimo non nullo) è : =6 L regol di Kronecker consente di risprmire il clcolo di 4 minori di ordine TEOREMA DI ROUCHÈ CAPELLI Se A M mxn (R), b M mx (R) Un sistem linere AX=b h soluzioni se e solo se (A) = (A b) e in tl cso h n- soluzioni con = (A) n=n incognite (colonne di A),m=nequzioni (righe di A, A b) ( ) A /b ( ) ( ) ( ) ESERCIZIO Il teorem di Rouché Cpelli Studire, usndo l tecnic dei minori, il sistem linere seguente, l vrire del prmetro rele (λ )x (λ )y λz λ (λ )y λz (λ )x λz λ Prtimo studindo (A): Clcolimo il determinnte di ordine mssimo di A: Sviluppo con Lplce lungo C ( ) ( ) ( )[( ) ] ( )( ) Risponde l problem di stbilire se ci sono soluzioni il seguente teorem : det (A),,- In questo cso il minore di ordine mssimo non nullo di A e nche di A/b ( A/b è un mtrice x4! ) è

7 quello clcolto, che è di ordine ( non ci sono in questo cso minori orlnti! ), quindi (A)= (A/b) (=) e llor per il teorem di RC ci sono soluzioni e sono n- = - = soluzioni, ossi un unic soluzione det (A) = =,,- = ( ) A /b ( ) A/ b ( ) ( ) (A/b) = (mtrice formt d R, R ) ( perché R =R ; R,R sono LI, non essendo un multipl dell ltr e llor per def l crtteristic è ) Quindi (A)= (A/b)= per RC ci sono n- = - = sol ni = ( ) A /b ( ) A /b ( ) ( ) Il minore segnto M diverso d zero, in A è orlto dl minore che dà det(a) = ( essendo C null ), quindi per Kronecker (A)= Mentre in A/b è orlto di minori e, di cui il I è nullo, mentre il II è diverso d zero ( lo sviluppo con Lplce lungo C dà determinnte: ) Quindi per Kronecker (A/b)= Si conclude per RC (A) (A/b) nessun sol ne = - ( ) A /b ( ) A /b ( ) ( ) (A/b) = (R R ) poiché R = R R e R sono LI non essendo proporzionli e quindi per def di crtteristic (mx n righe /colonne LI in A/b e quindi in A) si h (A)=(A/b)= Se ne deduce per il teorem di RC che ci sono n- = - = sol ni Termint l discussione, proseguimo l prossim esercitzione con l risoluzione

Determinanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler

Determinanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler Determinnti e crtteristic di un mtrice (M.S. Bernbei & H. Thler Determinnte Il determinnte può essere definito solmente nel cso di mtrici qudrte Per un mtrice qudrt 11 (del primo ordine) il determinnte

Dettagli

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo: Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri

Dettagli

Esempio Data la matrice E estraiamo due minori di ordine 3 differenti:

Esempio Data la matrice E estraiamo due minori di ordine 3 differenti: Minori di un mtrice Si A K m,n, si definisce minore di ordine p con p N, p

Dettagli

ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI

ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI 1. Richimi di teori Con Z indichimo l insieme dei numeri reltivi. Comincimo con il ricordre l definizione di quoziente e resto dell divisione di due numeri in Z. Definizione

Dettagli

Sistemi principali di normali ad una varietà giacenti nel suo o 2. Nota di

Sistemi principali di normali ad una varietà giacenti nel suo o 2. Nota di Sistemi principli di normli d un vrietà gicenti nel suo o 2. Not di Giuseppe Vitli Pdov. In un mio recente lvoro *) ho considerto, per ogni superficie il cui j si di 2 k dimensioni (k 2, 3), un sistem

Dettagli

MATRICI DETERMINANTI SISTEMI LINEARI TEORIA ED ESERCIZI

MATRICI DETERMINANTI SISTEMI LINEARI TEORIA ED ESERCIZI I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI DIPRTIMENTO DI GRRI FCOLT DI INGEGNERI DEI SISTEMI LOGISTICI E GRO- LIMENTRI LEZIONI DI GEOMETRI E LGEBR DISPENS MTRICI DETERMINNTI SISTEMI LINERI TEORI ED ESERCIZI

Dettagli

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n.

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n. AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Si V uno spzio vettorile di dimensione finit n. Dicesi endomorfismo di V ogni ppliczione linere f : V V dello spzio vettorile in sé. Se f è un endomorfismo di V in V, considert

Dettagli

Facoltà di Economia - Università di Sassari Anno Accademico 2004-2005. Dispense Corso di Econometria Docente: Luciano Gutierrez.

Facoltà di Economia - Università di Sassari Anno Accademico 2004-2005. Dispense Corso di Econometria Docente: Luciano Gutierrez. Fcoltà di Economi - Università di Sssri Anno Accdemico 2004-2005 Dispense Corso di Econometri Docente: Lucino Gutierrez Algebr Linere Progrmm: 1.1 Definizione di mtrice e vettore 1.2 Addizione e sottrzione

Dettagli

Consideriamo la seguente tabella di numeri presi da un estrazione del lotto:

Consideriamo la seguente tabella di numeri presi da un estrazione del lotto: MAICI E DEEMINANI. LE MAICI Considerimo l seguente tbell di numeri presi d un estrzione del lotto: 7 8 > 8 7 H. 8 8 9 I numeri presenti sono disposti su righe e colonne. Essi costituiscono un insieme ordinto

Dettagli

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A.

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A. 88 Roberto Turso - Anlisi 2 Osservimo che per trovre le costnti A e B possimo nche rgionre così: se moltiplichimo l equzione + ( + 2)( + 3) = A + 2 + B + 3 per + 2, dopo ver semplificto, ottenimo + + 3

Dettagli

Laurea triennale in Scienze della Natura a.a. 2009/2010. Regole di Calcolo

Laurea triennale in Scienze della Natura a.a. 2009/2010. Regole di Calcolo Lure triennle in Scienze dell Ntur.. 2009/200 Regole di Clcolo In queste note esminimo lcune conseguenze degli ssiomi reltivi lle operzioni e ll ordinmento nell insieme R dei numeri reli. L obiettivo principle

Dettagli

Elementi di Calcolo Matriciale

Elementi di Calcolo Matriciale Corso di Lure in Disegno Industrile Corso di Metodi Numerici per il Design Lezione 7 Ottobre Elementi di Clcolo Mtricile F. Cliò Mtrici: Definizioni e Simbologi Lezione 7 Ottobre Elementi di Clcolo Mtricile

Dettagli

Lezione 14. Risoluzione delle equazioni algebriche.

Lezione 14. Risoluzione delle equazioni algebriche. Lezione Prerequisiti: Lezioni 8,. Risoluzione delle equzioni lgebriche. Si F un cmpo, e si K un chiusur lgebric di F. Si f ( ) F[ ] non costnte. Studimo i metodi di risoluzione per l equzione f ( ) = 0,

Dettagli

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio.

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio. Domnde preprzione terz prov. Considert, come esempio, l funzione nell intervllo [,], il cndidto illustri il concetto di integrle definito. INTEGRALE DEFINITO, prendendo in esme un generic funzione f()

Dettagli

Ingegneria Elettrica Politecnico di Torino. Luca Carlone. ControlliAutomaticiI LEZIONE II

Ingegneria Elettrica Politecnico di Torino. Luca Carlone. ControlliAutomaticiI LEZIONE II Ingegneri Elettric Politecnico di Torino Luc Crlone ControlliAutomticiI LEZIONE II Sommrio LEZIONE II Sistemi lineri e proprietà di unicità Concetto di Stilità Stilità intern ed estern Criterio di Routh

Dettagli

{ 3 x y=4. { x=2. Sistemi di equazioni

{ 3 x y=4. { x=2. Sistemi di equazioni Sistemi di equzioni Definizione Un sistem è un insieme di equzioni che devono essere verificte contempornemente, cioè devono vere contempornemente le stesse soluzioni. Definimo grdo di un sistem il prodotto

Dettagli

Sistemi lineari Sistemi lineari quadrati

Sistemi lineari Sistemi lineari quadrati Sistemi lineri Sistemi lineri qudrti Definizione e crtteristiche di sistem qudrto (/) Dti un mtrice qudrt A(n n) ed un vettore (colonn) b d n componenti; Determinimo in modo tle che: A b Quest relzione

Dettagli

FORMULARIO GENERALE DEI CORSI DI ISTITUZIONI DI MATEMATICHE

FORMULARIO GENERALE DEI CORSI DI ISTITUZIONI DI MATEMATICHE FORMULARIO GENERALE DEI CORSI DI ISTITUZIONI DI MATEMATICHE ALGEBRA LINEARE Operzioni tr mtrici Sino A = { ij } e B = {b ij } venti l stess imensione. L loro somm è l mtrice C i cui elementi sono {c ij

Dettagli

CORSO ZERO DI MATEMATICA

CORSO ZERO DI MATEMATICA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA ESPONENZIALI E LOGARITMI Dr. Ersmo Modic ersmo@glois.it www.glois.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero

Dettagli

7. Derivate Definizione 1

7. Derivate Definizione 1 7. Derivte Il concetto di derivt è importntissimo e molto nturle. Per vere un esempio concreto, penste l moto di un mcchin: se f(t) è l funzione che esprime qunt strd vete percorso fino d un certo istnte

Dettagli

LEZIONE 20. è lineare. Per la commutatività del prodotto scalare segue anche la linearità dell applicazione

LEZIONE 20. è lineare. Per la commutatività del prodotto scalare segue anche la linearità dell applicazione LEZIONE 20 20.1. Prodotti sclri. Definizione 20.1.1. Si V uno spzio vettorile su R. Un prodotto sclre su V è un ppliczione tle che:, : V V R (v 1, v 2 ) v 1, v 2 (PS1) per ogni v 1, v 2 V si h v 1, v 2

Dettagli

POTENZA CON ESPONENTE REALE

POTENZA CON ESPONENTE REALE PRECORSO DI MATEMATICA VIII Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI E. Modic mtemtic@blogscuol.it www.mtemtic.blogscuol.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele > 0 ed un numero rele qulunque,

Dettagli

SPAZI VETTORIALI. 1. Spazi e sottospazi vettoriali

SPAZI VETTORIALI. 1. Spazi e sottospazi vettoriali SPAZI VETTORIALI 1. Spzi e sottospzi vettorili Definizione: Dto un insieme V non vuoto e un corpo K di sostegno si dice che V è un K-spzio vettorile o uno spzio vettorile su K se sono definite un operzione

Dettagli

Determinanti. Prodotto vettoriale. Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

Determinanti. Prodotto vettoriale. Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milno Corso di Anlisi e Geometri 1 Federico Lstri federico.lstri@polimi.it I erminnti. Il prodotto vettorile. 11 Gennio 2016 Indice 1 Determinnti di mtrici 2 2 2 1.1 Clcolo del erminnte.

Dettagli

Equazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi

Equazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi Equzioni grdo Definizioni Clssificzione Risoluzione Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni Prendimo in esme le due espressioni numeriche 8 entrmbe sono uguli 7, e l scrittur si chim uguglinz

Dettagli

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b Integrle Improprio In queste lezioni riprendimo l teori dell integrzione in un vribile, l ide è di estendere l integrle definito nche in csi in cui l funzione integrnd o l intervllo di integrzione non

Dettagli

PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1

PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1 www.mtefili.it PNI 2005 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO È dto un trpezio rettngolo, in cui le bisettrici degli ngoli dicenti l lto obliquo si intersecno in un punto del lto perpendicolre lle bsi. Dimostrre

Dettagli

Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO ALGEBRA

Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO ALGEBRA Liceo Scientifico G. Slvemini Corso di preprzione per l gr provincile delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO ALGEBRA PROPRIETA DELLE POTENZE PRODOTTI NOTEVOLI QUESITO SUGGERIMENTO y è un espressione non

Dettagli

1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata

1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata Anlisi Mtemtic 2 1 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 1 INTEGRALI DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE 1 Il problem del clcolo dell re di un regione pin limitt Se si consider un

Dettagli

Operazioni sulle Matrici

Operazioni sulle Matrici Corso di Lure in Disegno Industrile Corso di Metodi Numerici per il Design Lezione 9 Ottore Operzioni sulle Mtrici F. Cliò Addizione e Sottrzione Lezione 9 Ottore Operzioni sulle Mtrici Pgin Addizione

Dettagli

8. Prodotto scalare, Spazi Euclidei.

8. Prodotto scalare, Spazi Euclidei. 8. Prodotto sclre, Spzi Euclidei. Ricordimo l definizione di prodotto sclre di due vettori del pino VO 2 (vle in modo del tutto nlogo nche in VO 3 ). Definizione: Sino v, w VO 2 e si θ l ngolo convesso

Dettagli

8. Matrice inversa 21 Risoluzione dei sistemi lineari con il metodo della matrice inversa, 24

8. Matrice inversa 21 Risoluzione dei sistemi lineari con il metodo della matrice inversa, 24 Indice Mtrici e sistemi lineri. Mtrici Trspost di un mtrice, Mtrice digonle e mtrice unità, Mtrici tringolri,. Operzioni con le mtrici Addizioni di mtrici, Moltipliczione per un numero, Prodotto tr mtrici,

Dettagli

B8. Equazioni di secondo grado

B8. Equazioni di secondo grado B8. Equzioni di secondo grdo B8.1 Legge di nnullmento del prodotto Spendo che b0 si può dedurre che 0 oppure b0. Quest è l legge di nnullmento del prodotto. Pertnto spendo che (-1) (+)0 llor dovrà vlere

Dettagli

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle

Dettagli

{ 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, }

{ 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, } Lezione 01 Aritmetic Pgin 1 di 1 I numeri nturli I numeri nturli sono: 0,1,,,4,5,6,7,8,,10,11,1, L insieme dei numeri nturli viene indicto col simbolo. } { 0,1,,, 4,5,6,7,8,,10,11,1, } L insieme dei numeri

Dettagli

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle

Dettagli

Minimi quadrati e problemi di distanza minima

Minimi quadrati e problemi di distanza minima Minimi qudrti e problemi di distnz minim Considerimo un mtrice rettngolre B, con elementi b ij, i 1,..., n, j 1,..., m, con m < n (quindi, più righe che colonne. Voglimo risolvere il sistem linere (1 Bx

Dettagli

Il problema delle aree. Metodo di esaustione.

Il problema delle aree. Metodo di esaustione. INTEGRALE DEFINITO. DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO. PROPRIETA DELL INTEGRALE DEFINITO. FUNZIONE INTEGRALE. TEOREMA DELLA MEDIA. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE. FORMULA DI LEIBNITZ NEWTON.

Dettagli

Seconda prova maturita 2016 soluzione secondo problema di matematica scientifico

Seconda prova maturita 2016 soluzione secondo problema di matematica scientifico Second prov mturit 06 soluzione secondo problem di mtemtic scientifico Skuol.net June, 06 Primo Problem Le tre funzioni proposte sono f () ( ) k f () 6 + 9k + f () cos( π k ). Punto Affinche l funzione

Dettagli

Matrici: Definizioni e Proprietà

Matrici: Definizioni e Proprietà Mtrici: Definizioni e Proprietà Alcune figure di questi ppunti riportno nei commenti esempi in linguggio MATLAB In tli esempi i crtteri di peso normle sono prodotti dl computer mentre i crtteri in grssetto

Dettagli

Capitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata

Capitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata Cpitolo 5 Integrli 5.1 Integrli di funzioni grdint Un concetto molto semplice m di fondmentle importnz per l trttzione dell integrle di Riemnn è quello di divisione di un intervllo [, b]. In sostnz si

Dettagli

CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE perché il sottoinsieme W di V sia sottospazio di V è che sia:

CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE perché il sottoinsieme W di V sia sottospazio di V è che sia: SPAZI VETTORIALI CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE perché il sottoinsieme W di V si sottospzio di V è che si: (λ w + µ u) V per ogni u, w V e ogni λ, µ R CONDIZIONE NECESSARIA (m NON SUFFICIENTE) perché

Dettagli

Le equazioni di grado superiore al secondo

Le equazioni di grado superiore al secondo Le equzioni di grdo superiore l secondo ITIS Feltrinelli nno scolstico 007-008 R. Folgieri 007-008 1 Teorem fondmentle dell lger Ogni equzione lgeric di grdo n h sempre n soluzioni, che possono essere

Dettagli

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così:

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così: Considerimo il seguente problem: si vuole trovre il numero rele tle che: = () L esponente () cui elevre l bse () per ottenere il numero è detto ritmo (ritmo in bse di ), indicto così: In prticolre in questo

Dettagli

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1 APITOLO 3 LE SIMMETRIE 3. Richimi di teori Definizione. Si dto un punto del pino; si chim simmetri centrle di centro (che si indic con il simbolo s ) l corrispondenz dl pino in sé che d ogni punto P del

Dettagli

Matematica I, Funzione integrale

Matematica I, Funzione integrale Mtemtic I, 24.0.2. Funzione integrle Definizione Sino f : A R, funzione continu su A intervllo, e c in A. L funzione che ssoci d ogni in A l integrle di f sull intervllo [c, ], viene dett funzione integrle

Dettagli

Radicali. Definizioni Variazioni di radicali Operazioni Razionalizzazione Radicali doppi Potenze con esponente razionale Esercizi

Radicali. Definizioni Variazioni di radicali Operazioni Razionalizzazione Radicali doppi Potenze con esponente razionale Esercizi Rdicli Definizioni Vrizioni di rdicli Operzioni Rzionlizzzione Rdicli doppi Potenze con esponente rzionle Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni n L espressione è comunemente dett rdice

Dettagli

Il calcolo letterale

Il calcolo letterale Progetto Mtemtic in Rete Il clcolo letterle Finor imo studito gli insiemi numerici (espressioni numeriche). Ν, Ζ, Q, R ed operto con numeri In mtemtic però è molto importnte sper operre con le lettere

Dettagli

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008 ANALISI REALE E COMPLESSA.. 2007-2008 1 Successioni e serie di funzioni 1.1 Introduzione In questo cpitolo studimo l convergenz di successioni del tipo n f n, dove le f n sono tutte funzioni vlori reli

Dettagli

corrispondenza dal piano in sé, che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' in

corrispondenza dal piano in sé, che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' in Cpitolo 5 Le omotetie 5. Richimi di teori Definizione Sino fissti un punto C del pino ed un numero rele. Si chim omoteti di centro C e rpporto ( che si indic con il simolo O, ) l corrispondenz dl pino

Dettagli

Quadriche in E 3 (C) L equazione cartesiana di una quadrica in coordinate non omogenee (x,y,z)

Quadriche in E 3 (C) L equazione cartesiana di una quadrica in coordinate non omogenee (x,y,z) Qudriche in E (C) L equione crtesin di un qudric in coordinte non omogenee (,,) Q:, +, +, +, +, +, +,4 + +,4 +,4 + 4,4. in coordinte omogenee (,,, 4 ) Q:, +, +, +, +, +, + +,4 4 + +,4 4 +,4 4 + 4,4 4.

Dettagli

2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata

2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata . Teoremi per eseguire operzioni con i iti in form determint Vedimo dunque i teoremi che consentono il clcolo dei iti, ttrverso i quli si riconducono le situzioni rticolte semplici operzioni lgebriche

Dettagli

Rapporti e proporzioni numeriche

Rapporti e proporzioni numeriche Rpporti e proporzioni numeriche Rpporti. Per rpporto tr due numeri e b, di cui il secondo diverso d zero, s intende il quoziente estto dell divisione dei due numeri dti, cioè :b oppure /b. Ad esempio dire

Dettagli

Esercitazioni di Elettrotecnica: circuiti in regime stazionario

Esercitazioni di Elettrotecnica: circuiti in regime stazionario Università degli Studi di ssino sercitzioni di lettrotecnic: circuiti in regime stzionrio prof ntonio Mffucci Ver ottore 007 Mffucci: ircuiti in regime stzionrio ver -007 Serie, prllelo e prtitori S lcolre

Dettagli

TEOREMI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA ELEMENTARE

TEOREMI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA ELEMENTARE uthor: Ing, Giulio De Meo GEOMETRIA TEOREMI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA ELEMENTARE L somm degli ngoli interni di un poligono di n lti è (n - ) 180. L somm degli ngoli esterni di un qulsisi poligono vle 360.

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Calcolo integrale

Corso di Analisi Matematica. Calcolo integrale .. 2011/12 Lure triennle in Informtic Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle Avvertenz Questi sono ppunti informli delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Prte del mterile

Dettagli

8 Controllo di un antenna

8 Controllo di un antenna 8 Controllo di un ntenn L ntenn prbolic di un rdr mobile è montt in modo d consentire un elevzione compres tr e =2. Il momento d inerzi dell ntenn, Je, ed il coefficiente di ttrito viscoso, f e, che crtterizzno

Dettagli

U.D. N 15 Funzioni e loro rappresentazione grafica

U.D. N 15 Funzioni e loro rappresentazione grafica 54 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic U.D. N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic ) Le coordinte crtesine ) L distnz tr due punti 3) Coordinte del punto medio di un segmento 4) Le

Dettagli

Rappresentazione doppi bipoli. Lezione 21 1

Rappresentazione doppi bipoli. Lezione 21 1 Rppresentzione doppi bipoli Lezione 21 1 Connessioni doppi bipoli Lezione 21 2 Connessioni Generlità I bipoli hnno solo due possibilità di connessione: serie prllelo Avendo due porte i doppi bipoli hnno

Dettagli

Definiamo ora alcuni vettori particolarmente importanti detti versori.

Definiamo ora alcuni vettori particolarmente importanti detti versori. Prof. A. Di Mro I versori Definimo or lcni vettori prticolrmente importnti detti versori. Un versore è semplicemente n vettore di modlo nitrio. Normlmente gli ssi, e z vengono ssociti i versori i ˆ, ˆj,

Dettagli

" Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6

 Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6 CAPITOLO 6 Clcolo integrle 6. Integrle indefinito L nozione fondmentle del clcolo integrle è quell di funzione primitiv di un funzione f (). Tle nozione è in qulche modo speculre ll nozione di funzione

Dettagli

Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE. Giovanni Villani

Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE. Giovanni Villani Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE Giovanni Villani Matrici Definizione 1 Si definisce matrice di tipo m n una funzione che associa

Dettagli

Proiettività della Retta e del Piano.

Proiettività della Retta e del Piano. Introduzione. In queste note proponimo l clssificzione delle proiettività per l rett proiettiv ed il pino proiettivo su un corpo lgebricmente chiuso. Nel cso dell rett studieremo nche il cso del corpo

Dettagli

fattibile con le tecniche elementari che imparerai in seguito. Ad esempio il polinomio

fattibile con le tecniche elementari che imparerai in seguito. Ad esempio il polinomio Scomposizione di un polinomio in fttori Scomporre in fttori primi un polinomio signific esprimerlo come il prodotto di due più polinomi non più scomponibili Ad esempio 9 = ( 3) fttore 1 ( + 3) fttore +

Dettagli

Controlli Automatici. Trasformate L e Z e schemi a blocchi. Esercizi sulle trasformate L e Z

Controlli Automatici. Trasformate L e Z e schemi a blocchi. Esercizi sulle trasformate L e Z Controlli Automtici Trsformte L e Z e schemi blocchi Esercizi sulle trsformte L e Z Esercizi sulle trsformte L e Z Proposte di esercizi e soluzioni in tempo rele trsformt L di y(t) dt trsformt Z di y(i)

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle per funzioni di un vribile Lure in Informtic e Comuniczione Digitle A.A. 2013/2014 Università di Bri ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 1 / 40 1 L integrle come limite di

Dettagli

1 Integrale delle funzioni a scala

1 Integrale delle funzioni a scala INTEGRALE DELLE FUNZIONI DI UNA VARIABILE Teori di Riemnn 1 Integrle delle funzioni scl (1.1) Definizione Si dice suddivisione di un intervllo chiuso e limitto [, b] un sottoinsieme {,..., n } di [, b]

Dettagli

Note di geometria. Prof. Domenico Olanda. Anno accademico

Note di geometria. Prof. Domenico Olanda. Anno accademico 1 Note di geometri Prof. Domenico Olnd Anno ccdemico 008-09 Prefzione Questo testo rccoglie lcune lezioni di geometri d me svolte negli nni ccdemici 008-009 per gli studenti del corso di lure in Mtemtic

Dettagli

CORSO ANALISI MATEMATICA 1 A.A. 2015/2016. Testo consigliato

CORSO ANALISI MATEMATICA 1 A.A. 2015/2016. Testo consigliato Università degli studi di Cgliri CORSO ANALISI MATEMATICA 1 A.A. 2015/2016 Docente: Monic Mrrs 1 Anlisi Mtemtic 1 Testo consiglito con elementi di geometri e lgebr linere. M. Brmnti, C.D. Pgni, S. Sls

Dettagli

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica Nome Cognome cls 5D 18 Mrzo 01 Problem Verific di mtemtic In un sistem di riferimento crtesino Oy, si consideri l funzione: ln f ( > 0 0 e si determini il vlore del prmetro rele in modo tle che l funzione

Dettagli

Variabile casuale uniforme (o rettangolare)

Variabile casuale uniforme (o rettangolare) Vribile csule uniforme (o rettngolre) Le crtteristic principle è che le sue relizzzioni sono equiprobbili Si pplic nelle situzioni in cui il fenomeno: Assume vlori in un intervllo limitto [,b] L probbilità

Dettagli

Esercizi sulle serie di Fourier

Esercizi sulle serie di Fourier Esercizi sulle serie di Fourier Corso di Fisic Mtemtic,.. 3- Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno Novembre 3 Sviluppo in serie di Fourier (esponenzile) In questi esercizi, si richiede di sviluppre

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Esponenzili e ritmi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se > 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se < 0, per tutti e soli gli Z Sono definite: ( ) ( ) ( ) 7 7 Non sono definite:

Dettagli

Introduzione e strumenti

Introduzione e strumenti Controlli utomtici Introduzione e strumenti Convenzioni generli ed elementi di bse Dll equzione ll rppresentzione grfic L lgebr dei blocchi Clcolo di funzioni di trsferimento di schemi interconnessi 2

Dettagli

Anno 2. Potenze di un radicale e razionalizzazione

Anno 2. Potenze di un radicale e razionalizzazione Anno Potenze di un rdicle e rzionlizzzione Introduzione In quest lezione impreri utilizzre le ultime due tipologie di operzioni sui rdicli, cioè l potenz di un rdicle e l rdice di un rdicle. Successivmente

Dettagli

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi SUGLI INSIEMI 1.Insiemi e operzioni su di essi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di clsse, totlità. Si A un insieme di elementi qulunque. Per indicre che è un elemento di A scriveremo A.

Dettagli

I radicali. Cos è un radicale? ESERCIZIO 2.1. Determina le C.E. dei seguenti radicali e delle seguenti espressioni contenenti radicali.

I radicali. Cos è un radicale? ESERCIZIO 2.1. Determina le C.E. dei seguenti radicali e delle seguenti espressioni contenenti radicali. I rdicli Cos è un rdicle? Il simbolo si chim rdicle e si legge rdice ennesim di. - n si chim indice dell rdice e deve essere un numero nturle mggiore di zero. Qundo l indice si sottintende e il rdicle

Dettagli

Modulo o "valore assoluto" Proprietà del Valore Assoluto. Intervalli

Modulo o valore assoluto Proprietà del Valore Assoluto. Intervalli Modulo o "vlore ssoluto" Dto x definimo modulo o vlore ssoluto di x il numero rele positivo x se x 0 x = x se x < 0 Es. 5 è 5. 2.34 è 2.34 Dl punto di vist geometrico x rppresent l distnz di x d 0. x x

Dettagli

DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA. Indice

DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA. Indice DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA ANNAMARIA MONTANARI Indice. Integrle di Riemnn.. Proprietà elementri dell integrle di Riemnn 5.2. Teorem fondmentle del clcolo integrle. Primitive 6.3. Integrle generlizzto

Dettagli

Successioni di Funzioni e Serie di Potenze

Successioni di Funzioni e Serie di Potenze Successioni di Funzioni e Serie di Potenze 1 Successioni di Funzioni e Serie di Potenze 1 Successioni di Funzioni Nel corso di nlisi di bse si sono studite le successioni numeriche. Qui considerimo un

Dettagli

Facoltà di Ingegneria

Facoltà di Ingegneria UNIVERSITA DEGLI STUDI DI CAGLIARI Fcoltà di Ingegneri Corso di Lure Specilistic in Ingegneri per l Ambiente e il Territorio TESINA DI CALCOLO NUMERICO Anlisi dell errore nei metodi di risoluzione dei

Dettagli

Sistemi II. Sistemi II. Elisabetta Colombo

Sistemi II. Sistemi II. Elisabetta Colombo Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico 2011-2012, http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmabio.html 1 2 3 con R.C.+ o 1.10 Rango massimo e determinante con R.C.+

Dettagli

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Funzione integrle Si y = f() un funzione continu in un intervllo [; ] e si 0 [; ]; l integrle 0 f()d si definisce Funzione Integrle; si chim funzione integrle in

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente

Dettagli

Esercitazione Dicembre 2014

Esercitazione Dicembre 2014 Esercitzione 10 17 Dicembre 2014 Esercizio 1 Un economi chius è crtterizzt di seguenti dti: A = 400 M = 250 γ = 1.5 (moltiplictore dell politic fiscle) β = 0.8 moltiplictore dell politic monetri z = 0.25

Dettagli

Risoluzione verifica di matematica 3C del 17/12/2013

Risoluzione verifica di matematica 3C del 17/12/2013 Problem 1 Risoluzione verific di mtemtic C del 17/1/01 Si clcolno le intersezioni tr le rette generiche del fscio proprio y x y 1, risolvendo il sistem: x y 1 y mx Si ottengono i punti di coordinte espresse

Dettagli

Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita

Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita 86 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit ) L definizione di equzione di seondo grdo d un inognit ) L risoluzione delle equzioni di

Dettagli

Moto in due dimensioni

Moto in due dimensioni INGEGNERIA GESTIONALE corso di Fisic Generle Prof. E. Puddu LEZIONE DEL 24 SETTEMBRE 2008 Moto in due dimensioni Spostmento e velocità Posizione e spostmento L posizione di un punto mterile nel pino è

Dettagli

Algebra matriciale a.a. 2007/2008 Nicolò Macciotta. Università degli studi di Sassari - Facoltà di Agraria

Algebra matriciale a.a. 2007/2008 Nicolò Macciotta. Università degli studi di Sassari - Facoltà di Agraria Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott Università degli studi di Sssri - Fcoltà di Agrri Corso di Lure Specilistic in PRODUZIONI ANIMALI IN AMBIENTE MEDITERRANEO Scuol di Dottorto di Ricerc in SCIENZE DEI

Dettagli

Valore del parametro Tipo di Equazione Soluzioni Equazione di I grado x = 4. Equazione Spuria x 1 = 0 x 2 = 5 Equazione Completa con < 0

Valore del parametro Tipo di Equazione Soluzioni Equazione di I grado x = 4. Equazione Spuria x 1 = 0 x 2 = 5 Equazione Completa con < 0 Equzioni letterli di II grdo Un equzione letterle di II grdo è un equzione che contiene, oltre l letter che rppresent l incognit dell equzione, ltre lettere, dette prmetri, che rppresentno numeri ben determinti,

Dettagli

Geometria Analitica Domande, Risposte & Esercizi

Geometria Analitica Domande, Risposte & Esercizi Geometri Anlitic Domnde, Risposte & Esercizi. Dre l definizione di iperole come luogo di punti. L iperole è un luogo di punti, è cioè un insieme di punti del pino le cui distnze d due punti fissi F e F

Dettagli

Esercizi su spazi ed operatori lineari

Esercizi su spazi ed operatori lineari Esercizi su spzi ed opertori lineri Corso di Fisic Mtemtic 2,.. 2013-2014 Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno 23 Ottobre 2013 1 Spzio L 2 Esercizio 1. Per = 0, b = 1, dire quli delle seguenti funzioni

Dettagli

Equazioni parametriche di primo grado

Equazioni parametriche di primo grado Polo Sivigli Equzioni prmetriche di primo grdo Premess Come si s dll lgebr elementre, si chim equzione un uguglinz fr due espressioni letterli che si verific soltnto ttribuendo prticolri vlori lle lettere,

Dettagli

Equazioni di 2 grado. Definizioni Equazioni incomplete Equazione completa Relazioni tra i coefficienti della equazione e le sue soluzioni Esercizi

Equazioni di 2 grado. Definizioni Equazioni incomplete Equazione completa Relazioni tra i coefficienti della equazione e le sue soluzioni Esercizi Equzioni di grdo Definizioni Equzioni incomplete Equzione complet Relzioni tr i coefficienti dell equzione e le sue soluzioni Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni Un equzione è: Un uguglinz

Dettagli

Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 PROBLEMA ) L prbol di equzione V ' (0,0). y h sse di simmetri prllelo ll sse delle ordinte e vertice in L prbol di equzione

Dettagli

ipotenusa cateto adiacente ad α cateto opposto ad α ipotenusa cateto adiacente ad α ipotenusa cateto adiacente ad α

ipotenusa cateto adiacente ad α cateto opposto ad α ipotenusa cateto adiacente ad α ipotenusa cateto adiacente ad α Trigonometri I In quest prim prte dell trigonometri denimo le funzioni trigonometriche seno, coseno e tngente e le loro funzioni inverse. Vedremo nche come utilizzrle nell risoluzione dei tringoli. Comincimo

Dettagli

5 2d x x >12. con a, b, c e d parametri reali. Il grafico di f (x) passa per l origine del sistema di riferimento

5 2d x x >12. con a, b, c e d parametri reali. Il grafico di f (x) passa per l origine del sistema di riferimento Questionrio Risolvi quttro degli otto quesiti: L Città dello sport è un struttur sportiv progettt dll rchitetto Sntigo Cltrv e mi complett, situt sud di Rom Rispetto l sistem di riferimento indicto in

Dettagli

1 COORDINATE CARTESIANE

1 COORDINATE CARTESIANE 1 COORDINATE CARTESIANE In un sistem di ssi crtesini (,) un punto P è identificto dll su sciss e dll su ordint : Asciss : distnz di P dll sse delle ordinte Ordint :distnz di P dll sse delle scisse P(-4,4)

Dettagli

Unità 3 Metodi particolari per il calcolo di reti

Unità 3 Metodi particolari per il calcolo di reti Unità 3 Metodi prticolri per il clcolo di reti 1 Cos c è nell unità Metodi prticolri per il clcolo di reti con un solo genertore Prtitore di tensione Prtitore di corrente Metodi di clcolo di reti con più

Dettagli

1. Proprietà della somma di matrici. 1. (A + B) + C = A + (B + C) qualunque. 2. A + B = B + A qualunque siano le matrici

1. Proprietà della somma di matrici. 1. (A + B) + C = A + (B + C) qualunque. 2. A + B = B + A qualunque siano le matrici Matrici R. Notari 1 1. Proprietà della somma di matrici 1. (A + B) + C = A + (B + C) qualunque siano le matrici A, B, C Mat(m, n; K). 2. A + B = B + A qualunque siano le matrici A, B Mat(m, n; K). 3. Sia

Dettagli