Corso di Analisi: Algebra di Base. 4^ Lezione. Radicali. Proprietà dei radicali. Equazioni irrazionali. Disequazioni irrazionali. Allegato Esercizi.

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1 Corso di Anlisi: Algebr di Bse ^ Lezione Rdicli. Proprietà dei rdicli. Equzioni irrzionli. Disequzioni irrzionli. Allegto Esercizi.

2 RADICALI : Considerto un numero rele ed un numero intero positivo n, noi chimeremo rdice ennesim del numero quel numero rele l cui potenz ennesim si ugule d. n dove il numero positivo n è detto indice dell rdice dove il numero rele è detto rdicndo. n Quindi se ponimo b dovremo vere che b n che port ll : n ( ) n e cioè l ennesim potenz dell rdice ennesim di un numero rele è ugule l numero stesso. Considerzioni che derivno dll definizione : se n Ν n n n Se l indice dell rdice è si prlerà di rdice qudrt e si ometterà l indice. Se l indice è si prlerà di rdice cubic, di indice di rdice qurt, ecc. L operzione medinte l qule si pss dl numero rele ll su rdice ennesim, è dett estrzione di rdice ennesim.

3 Potremo d or in vnti trovre nche un scrittur del tipo : n m con m che srà chimto esponente del rdicndo. Esempi : b b b b PROPRIETA DEI RADICALI np ) n p un rdice ennesim di è equivlente d un ltr rdice in cui si moltiplichi l indice e l esponente del rdicndo per uno stesso numero. np ) mp n m dividendo l indice di un rdicle e l esponente del suo rdicndo per uno stesso numero, si ottiene un rdicle equivlente l dto. ) n n n b n c b c il prodotto di due o più rdicli dello stesso indice è ugule d un unico rdicle vente ncor il medesimo indice m come rdicndo il prodotto dei singoli rdicndi. ) n n b n b il quoziente di due rdicli venti lo stesso indice è ugule d un rdicle ncor dello stesso indice m come rdicndo il rpporto tr i singoli rdicndi.

4 ) n n n b b dto un numero rele positivo b, il prodotto di tle numero per un rdicle è ugule d un unico rdicle vente come rdicndo il prodotto del rdicndo inizile per il numero b n (trsporto di un fttore sotto il segno di rdice). ) n m p n r dt l rdice ennesim di un potenz, ess è del tutto equivlente d un prodotto, tr un solo se m n potenz dell stess bse di quell inizile, m di esponente dto dl quoziente intero di m/n ed un rdice ennesim di potenz dell stess bse vente come esponente il resto intero del quoziente di m/n. n ) ( ) p n p l potenz p-esim di un rdicle, con p numero intero non negtivo, è ugule d un rdicle che h lo stesso indice del dto e per rdicndo l potenz p-esim del rdicndo dto. n Inftti srebbe : p n n n n... p-volte n n n n n n p m n ) b b n m m n il prodotto di due rdicli di indici diversi ci d un rdicle che h per indice il m.c.m. tr gli indici e come rdicndo il prodotto dei rispettivi rdicndi, ognuno di esponente l indice dell ltro rdicle. n n n n n 9) p l somm di due o più rdicli p-volte simili (stesso indice, stesso rdicndo) è ugule ll somm lgebric dei rdicli ( somm dei coefficienti ).

5 ) m n m n l rdice m-esim dell rdice n-esim di un numero rele positivo, è ugule ll rdice di indice mn del numero. Abbimo fino questo momento esminto lcune tr le proprietà e operzioni più importnti tr i rdicli dndo come definizione l ssunzione del numero come numero solmente positivo. Assumendo il numero come numero rele qulsisi dovremo distinguere : n se n è DISPARI può ssumere qulsisi vlore rele (positivo e negtivo) n se n è PARI può ssumere solo vlore rele POSITIVO (l più nullo) quindi rissumendo bbimo n ndispri n pri R R : Voglimo or ricordre in sintesi ltre operzioni possibili con i rdicli : nm b b n m m n b b ± b ± n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b n ( b b ) ( b ) ( b b )

6 Le ultime cinque scritte pssno sotto il nome di rzionlizzzione di rdicli, intendendo con questo l eliminzione del rdicle l denomintore. ( D or in vnti si procederà rzionlizzre tnto il numertore, qunto il denomintore). EQUAZIONI IRRAZIONALI : Per equzione irrzionle intendimo quell uguglinz lgebric nell vribile, l cui vribile compre sotto il segno di rdice. Elencheremo qui di seguito un vri tipologi di equzioni irrzionli, che comunque limiteremo second delle esigenze più correnti. cso : ndispri ( b, b ) A b, risolveremo in questo modo : ) isolmento del rdicle b) elevmento potenz (n) c) risoluzione. Es : ( ), / R

7 cso : npri ( b ) A b, ) discussione dell reltà del rdicle A( ) b) isolmento del rdicle c) elevmento potenz (n) d) risoluzione e verific (dell condizione di reltà ). Es : ( ) ( ) 9 / R cso : npri ( b ) A b, ) discussione reltà A( ) l equzione non è mi verifict, / R (srà comunque utile ricordre che l rdice-pri, dopo che si è discuss l su reltà, rppresent sempre un quntità positiv). Di qui quindi l considerzione che un quntità positiv non può mi essere ugule d un quntità negtiv. Si ricordi quindi che non è mi possibile operre un elevmento potenz pri di due membri di segno discorde.

8 Es : discussione. reltà ; / R quindi per qulsisi vlore di l'equzione non è mi verifict. cso : n dispri A( ) B ) isolmento del rdicle b) elevmento potenz (n) c) risoluzione. Es : ( ) ( ) ± ±

9 cso : ) condizione di reltà dell rdice e dell equzione A B b) elevmento potenz (n) c) risoluzione e verific. Es : ) quindi l equzione srà verifict se e solo se i vlori rientrernno nell insieme delle soluzioni : riprendendo l equzione si vrà : d cui : ± B A pri n ) (

10 e di qui srà un vlore non ccettbile poiché non rientr nel cmpo delle soluzioni, mentre l unic soluzione dell equzione dt srà. DISEQUAZIONI IRRAZIONALI : Allo stesso modo nche per le disequzioni vremo i seguenti csi : cso : ndispri ( b, b ) ndispri A b oppure A( ) b, ) isolmento rdicle b) elevmento potenz (n) c) risoluzione. Es : ( )

11 cso : npri ( b ) A b ) discussione di reltà A( ) b) isolmento c) elevmento potenz ( n ) d) risoluzione e verific. Es : ; - e quindi si vrà :, di qui l verific : quindi,,.

12 cso : npri ( b ) A b ) discussione reltà del rdicle A( ) b) isolmento c) elevmento potenz (n) d) risoluzione e verific. Es. - e di qui : ( ) e perciò si vrà : -.

13 cso : npri ( b ) A b ) discussione A( ) e di qui R : A( ) Es : per cui per tutti i vlori di l disequzione è verifict. cso : npri ( b ) A b ) discussione reltà rdicle A( ) e di qui / R dl momento che un quntità positiv non può essere minore di un negtiv.

14 Es : e quindi per tutti i vlori di R l disequzione non è mi verifict. cso : n dispri oppure A( B n dispri A( ) B ) ) isolmento del rdicle b) elevmento potenz (n) c) risoluzione. Es : ( ) ( ) 9 ( 9 ) 9 9, per cui 9, 9

15 cso : n pri A( ) B In questo cso si procede ll risoluzione di due sistemi di disequzioni. B( ) A( ) U B( ) n A( ) B ( ) Es : U ( ) U 9 9 R U e quindi il risultto che verific l disequzione di prtenz è :

16 cso : n pri A( ) B In questo cso l risoluzione pss trmite un sistem di tre disequzioni. B A n A B Es : ( ), il sistem è dunque verificto per tutti i vlori di R :.

17 Esercizi dell lezione di Algebr di bse ESERCIZI SULLE CONDIZIONI DI ESISTENZA DEI RADICALI ESERCIZI SULLA SEMPLIFICAZIONE DEI RADICALI ESERCIZI SUL TRASPORTO FUORI DAL SEGNO DI RADICE ESERCIZI SULLA RAZIONALIZZAZIONE ES ERCIZI SULLE EQUAZIONI IRRAZIONALI ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

18 USO DEI PULSANTI Visulizz solo l soluzione dell'esercizio Visulizz le soluzioni di tutti gli eserciz i Nsconde le soluzioni T orn ll'indice degli esercizi T orn ll'indice dell lezione

19 Stbilire le condizioni di esistenz dei seguenti rdicli :. b b poiché l rdice h indice pri l condizione di reltà pone : b b. b b poiché l rdice h indice dispri l condizione di reltà pone :, b R. poiché l rdice h indice pri l condizione di reltà pone :,. poiché l rdice h indice pri l condizione di reltà pone :. poiché l rdice h indice pri l condizione di reltà pone :

20 . b b poiché l rdice h indice pri l condizione di reltà pone : b /, b R. t 9 t 9 poiché l rdice h indice dispri l condizione di reltà pone : t R. poiché l rdice h indice dispri l condizione di reltà pone : R 9. ( ) ( ) poiché l rdice h indice pri l condizione di reltà pone : ( ) ( ) N D ( ) -

21 e quindi :, con. poiché l rdice h indice pri l condizione di reltà pone : D N e quindi : -

22 Eseguire le operzioni di semplificzione tr i seguenti rdicli :. t t t t. t t t t t. b b b b b.

23 t t t t t. b b b b b 9 y z 9 9 z y z y z y z y

24 Utilizzndo il trsporto fuori dl segno di rdice semplificre i rdicli :. b b b b b b b b b b b b. y c y c y c y c b b b b b. b b b b b z t b z t b z t b z b z t

25 9. z y z y z y z y z y ( ) ( y) b 9 ( ) ( y) ( ) ( y) ( ) ( y) ( ) b b b 9. by y by by y by y y y by b ( ) b b ( ) ( ) ( ) b

26 Rzionlizzre i seguenti rdicli:

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28 Risolvere le seguenti equzioni irrzionli :. reltà di condizione che come si può notre verific l condizione di reltà... posto -

29 . reltà di condizione ± e come si può notre solo un vlore,, verific l condizione di reltà.. reltà di condizione M è evidente che per qulsisi vlore rele che soddisfi l condizione di reltà, i rdicli esprimono quntità positive così come l loro somm e quindi l'equzione è soddisftt : R : / -

30 . D N reltà di condizione condizione di reltà quindi :, di qui poi : che come si può notre verific l condizione di reltà.. reltà di condizione - -

31 di qui poi : ± ± posto di cui solo, verificno l condizione di reltà.. reltà di condizione -

32 9 ± posto di cui solo soluzione che verific l doppi condizione 9. reltà di condizione ± posto di cui solo soluzione che verific.

33 . { } R / R reltà di condizione or poiché l condizione di reltà è vlid solo per, verifichimo direttmente con l sostituzione se tle vlore soddisf l'equzione : inftti per che verific.. reltà di condizione quindi : : R /. R R reltà di condizione - -

34 nche se l condizione di reltà è soddisftt d ogni vlore rele, l'equzione non mmette soluzioni in qunto non sussiste l'eguglinz di due quntità di segno discorde : il primo membro esprime un quntità positiv, il secondo un quntità negtiv. e quindi : R /. R reltà di condizione ± soluzioni che verificno l condizione di reltà.. reltà di condizione quindi :

35 9 9 9 ± posto di cui solo 9 9 soluzione che verific.. reltà di condizione quindi : R / posto -

36 Risolvere le seguenti disequzioni irrzionli :.,. { } R

37 con. R /, U U e quindi i rispettivi sistemi portno : - U

38 9... R R, che port :. R R,

39 che port :. U U e quindi i rispettivi sistemi portno : d cui : U

40 . R R che port : / R.,,

41 che port :, U U e quindi i rispettivi sistemi portno : d cui : - U

42 .,,, che port :.,, -

43 ,,,, che port :. il denomintore è stto trscurto poiché, dopo verne discusso l'esistenz, esprime un quntità positiv. Ecco dunque l disequzione che si dovrà risolvere : U U

44 e quindi i rispettivi sistemi portno : d cui :. il denomintore è stto trscurto poiché, dopo verne discusso l'esistenz, esprime un quntità positiv. Ecco dunque l disequzione che si dovrà risolvere :, - U

45 che port : / R 9. il denomintore è stto trscurto poiché, dopo verne discusso l'esistenz, esprime un quntità positiv. condizione di reltà del denomintore : e quindi, che consideremo nel grfico rissuntivo finle. Ecco dunque l disequzione che si dovrà risolvere : R / U U -

46 e quindi i rispettivi sistemi portno : U d cui ( ricordndo l condizione inizile ):. il denomintore è stto trscurto poiché, dopo verne discusso l'esistenz, esprime un quntità positiv. condizione di reltà del denomintore : che consideremo nel grfico rissuntivo finle.