Analisi statistica e matematico-finanziaria II. Alfonso Iodice D Enza Università degli studi di Cassino e del Lazio Meridionale

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1 delle sui delle Analisi statistica e matematico-finanziaria II Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it Università degli studi di Cassino e del Lazio Meridionale sulle particolari ali dei dati

2 Outline 1 sui 2 sulle 3 particolari ali dei dati delle sui sulle particolari ali dei dati 7

3 Vettori riga e colonna vettore colonna 1 3 a (5 1) = trasposizione di un vettore a (5 1) = at (1 5) = ( ) b (1 5) = ( ) b T (5 1) = vettore riga b (1 5) = ( ) delle sui sulle particolari ali dei dati

4 Somma ale delle L operazione somma è definita solo tra aventi le stesse dimensioni, ovvero i addendo devono essere entrambi riga (o entrambi colonna) ed avere lo stesso numero di elementi. Poichè a ha dimensioni (5 1) e b ha dimensioni (1 5), la somma a + b non può essere eseguita. somma di colonna È possibile effettuare la somma tra i a e b T, che hanno entrambi dimensioni (5 1). a + b T = = somma di riga È possibile effettuare la somma tra i b e a T, che hanno entrambi dimensioni (1 5). b + a T = ( )+ ( ) = ( ) sui sulle particolari ali dei dati

5 prodotto ale delle Dato un vettore colonna c avente per elementi {6, 4, 1}, si definisce prodotto ale a c T = 4 2 ( ) = Concetto di Matrice La struttura che risulta dal prodotto ale di a per c si definisce matrice di dimensione 5 3, ovvero è caratterizzata da un numero di righe (5) pari al numero di elementi del primo vettore e il numero di colonne (3) pari al numero di elementi del secondo vettore. In generale una matrice di dimensioni n p è una struttura definita da n riga di p elementi incolonnati, o equivalentemente da p di n elementi affiancati. sui sulle particolari ali dei dati

6 prodotto scalare delle sui Il prodotto ale determina una matrice, il prodotto tra gli elementi di due che ha per risultato un singolo valore (scalare) si definisce prodotto scalare. Il prodotto scalare non può essere applicato a che abbiano un numero di elementi diverso. Si consideri un vettore colonna d con elementi {1, 8, 2} si definisce prodotto scalare c T d: c T d = ( ) 1 8 = 2 (6 1) + (4 8) + (1 2) = 40 sulle particolari ali dei dati

7 Somma tra delle sui L operazione di somma è definita solo tra che abbiano le stesse dimensioni (stesso numero di righe e colonna). Il risultato della somma di due A e B di dimensioni n p è una matrice delle stesse dimensioni i cui elementi sono la somma degli elementi di posto corrispondente in A e B. A + B = = sulle particolari ali dei dati

8 Prodotto tra delle sui Il prodotto tra due è possibile solo se il numero di colonne della prima matrice corrisponde al numero di righe della seconda: poichè A e B sono di dimensioni 5 3, il prodotto A B non è possibile; utilizzando l operatore trasposizione, si possono effettuare i prodotti A T B e A B T A T B = = sulle particolari ali dei dati

9 Matrici rettangolari e quadrate delle Matrice rettangolare X n p = Matrice quadrata X p p = x 1,1 x 1,2... x 1,p x 2,1 x 2,2... x 2,p x n,1 x n,2... x n,p x 1,1... x 1,p x 2,1... x 2,p x p,1... x p,p sui sulle particolari ali dei dati

10 Matrici diagonali e scalari delle Matrice diagonale Una matrice quadrata che ha elementi nulli eccetto la diagonale principale si definisce matrice diagonale D p p = d 1, d 2, d p,p Matrice scalare Una matrice diagonale che ha tutti gli elementi uguali ad una costante K si definsce matrice scalare K K p p = 0 K K Esempio matrice diagonale D p p = Esempio matrice scalare Si considerik = 8 K p p = sui sulle particolari ali dei dati

11 Matrice identità e matrice unitaria delle Matrice identità La matrice identità I è una matrice scalare con K = I p p = La matrice identità è tale che Matrice unitaria AI = IA = A La matrice unitaria ha tutti gli elementi uguali ad U n p = sui sulle particolari ali dei dati

12 Trasposizione del prodotto tra delle sui sulle (AB) T = B T A T Esempio trasposizione prodotto tra Si considerino le A e B (A 2 3 B 3 2 ) T = ( B T 3 2 AT 2 3 = ( ) ) T = ( ( = ) ) particolari ali dei dati

13 Prodotto tra una matrice uno scalare delle Il prodotto di una matrice A per uno scalare λ determina una matrice i cui elementi sono gli elementi di A moltiplicati per λ Esempio Sia λ = 2. λa 2 3 = A 2 3 λ = λa = Aλ ( ) ( = ) sui sulle particolari ali dei dati

14 Prodotto tra delle Il prodotto di una matrice A per uno scalare λ determina una matrice i cui elementi sono gli elementi di A moltiplicati per λ ( (A 2 3 B 3 2 ) = A n p B p n = P n n ) Proprietà del prodotto tra ( Siano A = AB BA ABC = (AB)C = A(BC) (A T + B)C = (A T C) + (BC) = ( ), B = 2 4 ( ) , C = ) sui sulle particolari ali dei dati

15 Traccia di una matrice delle sui La traccia di una matrice quadrata è la somma degli elementi della diagonale principale ( tr(p 2 2 ) = Proprietà della traccia tr(a + B) = tr(a) + tr(b) tr(a) = tr(a T ) tr(ab) = tr(ba) p tr(x p p ) = x ii i=1 ) = = 167 sulle particolari ali dei dati tr(aa T ) = tr(a T A) = n i=1 mj=1 a 2 ij

16 Determinante di una matrice delle Ciascuna matrice quadrata è identificabile attraverso un singolo valore detto determinante Determinante di una matrice 2 2 det(x 2 2 ) = det x 11 x 22 x 21 x 12 ( ) x11 x 12 = x 21 x 22 Determinante per matrice 3 3 Determinante di una matrice 2 2 ( ) det = (66 101) (121 32) = = 2794 sui sulle particolari ali dei dati

17 Inversa di una matrice delle sui Teorema Sia A una matrice quadrata con determinante diverso da zero, allora esiste ed è unica la matrice B tale che AB = BA = I La matrice B rappresenta la matrice inversa si A e si indica con B = A 1 Proprietà della matrice inversa (k A) 1 = k 1 A 1 (AB) 1 = B 1 A 1 det(a) = det(a) 1 sulle particolari ali dei dati

18 Un vettore v = [x, y] avente punto di applicazione nell origine degli assi O, è un segmento orientato avente per estremi O ed il punto P di coordinate (x, y). Caratteristiche di Le caratteristiche distintive di un vettore sono intensità (norma): ovvero la lunghezza del vettore direzione: individuata dalla retta passante per gli estremi (OP ) del vettore verso: la semiretta con origine in O e passante per P Rappresentazione di in R 2 Si considerino i seguenti : v 1 = [7, 3], v 2 = [5, 5] e v 3 = [3, 7]. delle sui sulle particolari ali dei dati

19 La norma di un vettore La norma (lunghezza di un vettore v è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati degli elementi di v ) p v = [v 1, v 2,..., v p] = v i 2 i=1 delle sui sulle Calcolo della norma di Con riferimento ai v 1 = [7, 3], v 2 = [5, 5] e v 3 = [3, 7] le norme sono v 1 = = 7.61 v 2 = = 7.07 v 3 = = 7.61 Rappresentazione di in R 2 particolari ali dei dati

20 Vettori collineari Due si dicono collineari se sono caratterizzati da uguale direzione, anche se da intensità differente. Considerando i v 2 = [5, 5] e v 4 = [8, 8] delle sui sulle particolari ali dei dati

21 Vettori con norma unitaria delle Vettore di norma unitaria Il verrore di lunghezza unitaria si definisce versore e identifica una direzione. Una direzione identifica infiniti, pertanto quello cui si fa riferimento è il versore. Per ottenere il versore u corrispondente al vettore v è necessario dividere ciascuno degli elementi di v per v. Con riferimento ai v 1 = [4, 1], v 2 = [3, 3.5] e v 3 = [1, 3.5], i corrispondenti unitari (versori sono) u 1 = [ , 1 ] = [0.97, 0.24] 4.12 u 2 = [ , ] = [0.65, 0.76] u 3 = [ , ] = [0.27, 0.96] Rappresentazione di in R 2 sui sulle particolari ali dei dati

22 geometrica della somma tra Somma tra Dati due v 1 = [x 1, y 1 ] e v 2 = [x 2, y 2 ] il vettore risultante dalla somma v 1 + v 2 corrisponde alla diagonale maggiore del parallelogramma avente per lati v 1 e v 2. Con riferimento ai v 1 = [4, 1], v 2 = [3, 3.5] e v 3 = [1, 3.5], i corrispondenti somma sono v 1 + v 2 = [7, 4.5] v 2 + v 3 = [4, 7] Rappresentazione della somma di in R 2 delle sui sulle particolari ali dei dati

23 geometrica della differenza tra Differenza tra Dati due v 1 = [x 1, y 1 ] e v 2 = [x 2, y 2 ] il vettore risultante dalla somma v 1 v 2 corrisponde alla diagonale minore del parallelogramma avente per lati v 1 e v 2. Con riferimento ai v 1 = [4, 1], v 2 = [3, 3.5] e v 3 = [1, 3.5], i corrispondenti somma sono v 1 v 2 = [1, 2.5] v 2 v 3 = [2, 0] Rappresentazione della differenza di in R 2 delle sui sulle particolari ali dei dati

24 geometrica del prodotto scalare tra Dati due v 1 = [x 1, y 1 ] e v 2 = [x 2, y 2 ] il prodotto scalare è proporzionale alla proiezione ortogonale del vettore v 1 sul vettore v 2 delle sui Il prodotto scalare tra tra Il prodotto scalare è proporzionale al coseno dell angolo θ formato tra i due. cos(θ) = vt 1 v 2 v 1 v 2 da cui Rappresentazione della proiezione di v 1 su v 2 sulle particolari ali dei dati v T 1 v 2 = cos(θ) v 1 v 2 da cui deriva il fatto che, se v 1 e v 2 sono perpendicolari, θ = 90 o, dunque cos(θ) = cos(90 o ) = 0 allora v T 1 v 2 = 0

25 Proiezione ortogonale di un vettore...graficamente si consideri il vettore x = [5, 4] delle sui sulle particolari ali dei dati

26 Proiezione ortogonale di un vettore...graficamente si vuole proiettare il vettore x sull asse U passante per il punto (11, 1). delle sui sulle particolari ali dei dati

27 Proiezione ortogonale di un vettore...graficamente per effettuare la proiezione di x sull asse U occorre calcolare il versore v dell asse U; il versore è v = [0.995, ] delle sui sulle particolari ali dei dati

28 Proiezione ortogonale di un vettore...graficamente coordinata α della proiezione ortogonale sull asse U del vettore x si ottiene moltiplicando il vettore da proiettare per il versore v dell asse U, delle sui sulle particolari ali dei dati

29 Proiezione ortogonale di un vettore...graficamente coordinata α della proiezione ortogonale sull asse U del vettore x si ottiene moltiplicando il vettore da proiettare per il versore v dell asse U, delle sui sulle particolari ali dei dati

30 Proiezione ortogonale di un vettore...graficamente avendo ottenuto α, è ora possibile calcolare il vettore ˆx che rappresenta l immagine di x sull asse U delle sui sulle particolari ali dei dati

31 Proiezione ortogonale di un vettore Ciascun asse individua una direzione nello spazio; poichè ciascuna direzione identifica infiniti di diversa intensità si fa riferimento al versore che ha norma (intensità ) pari ad 1. Dunque tutti i punti che giacciono su un asse U che ha per versore v avranno come coordinata un multiplo di v. Questo perchè a ciascuno dei punti su U corrisponde un vettore di direzione identificata dall asse U di versore v. Sia ˆx la proiezione ortogonale del vettore x sull asse U di versore v. ˆx = αv Determinare α, la coordinata sull asse La proiezione di x su U deve essere ortogonale, quindi il vettore differenza (x ˆx) deve essere ortogonale all asse U, di conseguenza (x ˆx) deve essere ortogonale a v. Due sono ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo, il vincolo è quindi (x ˆx) T v = 0 da cui, facendo alcuni passaggi, si ha x T v ˆx T v = 0 x T v αv T v = 0 poichè ˆx = αv e ˆx T = αv T allora essendo v un versore, v T v = 1, quindi x T v α = 0 = α = x T v che rappresenta la coordinata di x sull asse U di versore v. dunque la coordinata α della proiezione ortogonale sull asse U del vettore x si ottiene moltiplicando il vettore da proiettare per il versore v dell asse U. La coordinata α sarà dunque una combinazione lineare (somma ponderata) di x α = x T v = [5, 4] [ ] = = }{{}}{{} peso peso delle sui sulle particolari ali dei dati

32 la media aritmetica media semplice: µ = 1 n n i=1 x i media per dati organizzati in frequenze: µ = 1 n media per frequenze relative: µ = n x i n i i=1 n i=1 x i n i n delle sui sulle particolari ali dei dati

33 Definizione di varianza La varianza un indice che misura la variabilità di una variabile X rispetto alla media aritmetica. In particolare la varianza σ 2 data dalla media dei quadrati degli scarti (delle modalità dalla media) delle sui sulle σ 2 = (x 1 µ) 2 + (x 2 µ) (x n µ) 2 n = 1 n (x i µ) 2 n i=1 per dati organizzati in frequenze = particolari ali dei dati σ 2 = (x 1 µ) 2 n 1 + (x 2 µ) 2 n (x k µ) 2 n k = n 1 + n n k = 1 k (x i µ) 2 n i n i=1

34 Misura del legame delle Le componenti della variabile doppia X e Y possono essere caratterizzate da diversa posizione e variabilità, risulta in genere che µ x µ y e σ x σ y Volendo misurare le variazioni congiunte delle modalità di X ed Y, si fa riferimento alla versione standardizzata delle variabili, data da Z x = X µ x σ x e Z y = Y µ y σ y questo per escludere dalla misura del legame gli effetti della differente media e varianza (essendo µ x µ y e σ x σ y ) sui sulle particolari ali dei dati

35 lineare di Pearson ρ delle L indice corrispondente alla media aritmetica del prodotto delle modalità standardizzate delle variabili si definisce coefficiente di lineare di Pearson ρ ed dato da ρ xy = 1 n (z x,i z y,i ) = 1 n ( xi µ x n n σ i=1 i=1 x y ) i µ y σ y Con piccole trasformazioni si ottiene la presente formalizzazione ρ xy = 1 n n i=1 (x i µ x)(y i µ y) σ xσ y = σxy σ xσ y La quantità al numeratore si definisce covarianza: essa corrisponde alla media del prodotto degli scarti delle modalità di X e Y dalle rispettive medie. La covarianza misura la contenporanea variazione di X e Y con riferimento alle loro medie. sui sulle particolari ali dei dati

36 Tabella individui variabili delle Si considerino p variabili quantitative osservate su un collettivo di n unità statistiche. La corrispondente matrice di dati A a 1,1 a 1,2... a 1,p A n p = a 2,1 a 2,2... a 2,p a n,1 a n,2... a n,p esempio A 5 3 = sui sulle particolari ali dei dati

37 Calcolo del vettore delle medie delle p variabili Utilizzando il prodotto ale è possibile ottenere il vettore delle medie a 1,1 a 1,2... a 1,n m = A T p n u n 1 = a 2,1 a 2,2... a 2,n a p,1 a p,2... a p,n = 1 n (a 1,1+ a 1, a 1,n ) 1 n (a 2,1+ a 2, a 2,n ) n (a p,1+ a p, a p,n) esempio } {{ } } {{ } m 3 1 A T 3 5 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 = } {{ } u 5 1 = µ 1 µ 2... µ p 1 n 1 n... 1 n = ( ) 5 ( ) 5 ( ) 5 = delle sui sulle particolari ali dei dati

38 Calcolo della matrice delle medie delle p variabili delle A partire da m, vettore delle medie, si ottiene la matrice delle medie, utile alla successiva operazione di centratura. 1 M n p = 1 n 1 m T 1 p = 1... ( µ 1 µ 2... µ p ) = 1 = µ 1 µ 2... µ p µ 1 µ 2... µ p µ 1 µ 2... µ p esempio } {{ } ( ) = }{{} m T } {{ } M 5 3 sui sulle particolari ali dei dati

39 Centratura della matrice Sottraendo alla matrice dei dati A e la matrice delle medie M si ottiene la matrice dei dati centrati X. X n p = A n p M n p = = = a 1,1 a 1,2... a 1,p a 2,1 a 2,2... a 2,p a n,1 a n,2... a n,p µ 1 µ 2... µ p µ 1 µ 2... µ p µ 1 µ 2... µ p (a 1,1 µ 1 ) (a 1,2 µ 2 )... (a 1,p µ p) (a 2,1 µ 1 ) (a 2,2 µ 2 )... (a 2,p µ p) (a n,1 µ 1 ) (a n,2 µ 2 )... (a n,p µ p) esempio } {{ } A } {{ } M 5 3 = = } {{ } X 5 3 delle sui sulle particolari ali dei dati

40 Matrice di devianza e codevianza Una volta ottenuta la matrice centrata X, è possibile, attraverso il prodotto di X per la sua trasposta, ottenere la matrice di devianza e codevianza.tale matrice avrá elementi della diagonale principale le devianze); gli elementi extra-diagonale le codevianze. X T p n X n p = = x 1,1 x 1,2... x 1,n x 2,1 x 2,2... x 2,n x p,1 x p,2... x p,n x 1,1 x 1,2... x 1,p x 2,1 x 2,2... x 2,p x n,1 x n,2... x n,p dev(x 1 ) codev(x 1, X 2 )... codev(x 1, X p) codev(x 2, X 1 ) dev(x 2 )... codev(x 2, X p) codev(x p, X 1 ) codev(x p, X 2 )... dev(x p) esempio } {{ } X T } {{ } V 3 3 = } {{ } X 5 3 = delle sui sulle particolari ali dei dati

41 Matrice di varianze e covarianze delle A questo punto è immediato definire la matrice di varianze e covarianze Σ. Per fare questo si consideri la matrice diagonale come una matrice quadrata (stesso numero di righe e di colonne) i cui elementi extradiagonali sono nulli. In particolare si faccia riferimento alla matrice U di dimensione (p p) i cui elementi diagonali siano tutti uguali a 1 n. U = n 0 1 n n Utilizzando la matrice U è possibile ricavare la matrice Σ di dimensioni p p a partire da quella di devianze e codevianze X T X precedentemente ottenuta. σ 2 X σ 1 (X1,X 2 )... σ (X1,Xp) X T σ XU = VU = Σ = (X2,X 1 ) σx 2... σ 2 (X2,Xp) σ (Xn,X1 ) σ (Xn,X2 )... σxp 2 sui sulle particolari ali dei dati

42 Matrice di varianze e covarianze delle sui sulle particolari esempio } {{ } V /5 0 1/ /5 } {{ } U 3 3 = } {{ } Σ 3 3 ali dei dati

43 Matrice standardizzata delle Per ottenere la matrice dei dati standardizzati Z di dimensione n p i cui elemento generico z ij = a ij µ j, i = 1,..., n; j = 1,..., p. Avendo già ottenuto la matrice dei dati centrati X è σ j necessario moltiplicare ciascuno degli elementi di tale matrice per 1 σj. Si ricorre anche in questo caso ad una matrice diagonale: la matrice è D di dimensione (p p) i cui elementi diagonali sono tutti uguali a σ 1, j = 1,..., p. j D = 1 σ σ σp Utilizzando la matrice D è possibile ricavare la matrice Z di dimensioni n p: post-moltiplicando D ad X si ottiene a 11 µ 1 a 12 µ 2 a... 1p µp σ 1 σ 2 σp a 21 µ 1 a 22 µ 2 a... 2p µp Z = XD = σ 1 σ 2 σp a n1 µ 1 a n2 µ 2 anp µp... σ 1 σ 2 σp sui sulle particolari ali dei dati

44 Matrice standardizzata delle sui esempio } {{ } X = } {{ } D 3 3 } {{ } Z 5 3 sulle particolari ali dei dati

45 Matrice di delle lineare di Pearson che caratterizza una coppia di variabili è definito come la media aritmetica dei prodotti delle modalità standardizzate. Pertanto, avendo calcolato Z, matrice standardizzata, risulta agevole ottenere la matrice di : R = Z T ZU = 1 ρ 1,2... ρ 1,p ρ 2, ρ 2,p ρ p,1 ρ p, In particolare gli elementi diagonali di tale matrice sono r jj = 1 [( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ] a1,j µ j a2,j µ j an,j µ j = n σ j σ j σ j 1 n ( ) 2 1 aij µ j n i=1 σ j 2 }{{} = σ2 j σ j 2 = 1 sui sulle particolari ali dei dati varianza σ 2 j

46 Matrice di delle sui Gli elementi extra-diagonali sono r kj = 1 [( ) ( ) ( ) ( ) a1,k µ k a1,j µ j a2,k µ k a2,j µ j n σ k σ j σ k σ j covarianza σ kj { }} { 1 n ( ) ( ) ( ) ( )] ai,k µ k ai,j µ j an,k µ k an,j µ j n i=1 + = = σ k σ j σ k σ j = σ kj = ρ kj coefficiente di lineare tra le variabili k e j σ k σ j sulle particolari ali dei dati

47 Matrice di delle sui esempio R = U = }{{} Z T }{{} 3 5 Z = = }{{} 5 ( Z T ) }{{}}{{} Z U R sulle particolari ali dei dati