MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 12 febbraio Cattedra: prof. Pacati (SI) prof. Renò (SI) dott. Quaranta (GR).

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1 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 12 febbraio 2014 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Pacati (SI) prof. Renò (SI) dott. Quaranta (GR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Un investitrice vuole investire S = al fine di ottenere un interesse di I = e ha a disposizione due possibilità: 1) interessi composti al tasso i C = 3%; 2) interessi semplici al tasto i S = i C + 1%. Determinare per quanto tempo deve investire il suo denaro in ciascuna delle due modalità, indicando i due risultati con T C e T S, rispettivamente, e riportandoli in anni. T C = anni T S = anni Quale delle due modalità sceglierà, e per quale motivo? Risposta: Esercizio 2. Una banca, al tempo t = 0, ha in portafoglio due BTP: BTP00001: con scadenza fra 2 anni, nominale 400 mln di e t.n.a. 3%; BTP00002: con scadenza fra 1 anno e mezzo, nominale 350 mln di e t.n.a. 4%. Si descriva anzitutto il portafoglio, indicando i flussi di cassa (vettore delle poste x) in mln e lo scadenzario t in anni: x = t = Assumendo che il prezzo del portafoglio al tempo zero sia di P = 700 milioni, si determini il valore montante M e il valore residuo V al tempo T = 1 anno dell operazione finanziaria di acquisto del portafoglio al tempo zero e al prezzo P, in base a una legge esponenziale di tasso annuo i = 10%. [Suggerimento: in base ai dati forniti non si può sapere (senza fare i conti) se l operazione di acquisto è equa. Ma serve saperlo?] M = mln di V = mln di

2 Esercizio 3. Il signor Russo che vuole farsi prestare da una finanziaria una somma di S, da restituirsi secondo un ammortamento non standard in 3 rate quadrimestrali posticipate. Il tasso annuo applicato è i = 4% e la successione delle rate è decrescente: ciascuna rata è il 90% di quella precedente. Sapendo che il signor Russo non può permettersi di pagare più di ogni quadrimestre, determinare l importo massimo S max = che può farsi prestare e compilare il piano di ammortamento con S = S max, giustificando adeguatamente gli importi inseriti. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

3 Esercizio 4. Si consideri un mercato in cui viga la seguente struttura per scadenza delle intensità istantanee di interesse, con il tempo t espresso in anni: δ(0, t) = 4% e 0.1t Si calcolino, in tale mercato: Il prezzo P 1, in t 0 = 0, di una rendita posticipata composta da m = 3 rate costanti pari a R = 200, con periodicità semestrale. P 1 = Il prezzo P 2, in t 0 = 0, di un contratto a termine (forward) pagabile in t 1 = 1, che prevede la riscossione di C = 400 al tempo t 2 = 1.5. P 2 = Esercizio 5. Al tempo t = 0, la struttura per scadenza dei tassi di interesse è piatta al tasso i = 4.5%. Il signor Tedesco possiede un portafoglio del valore di investito interamente in BT P di maturità 6 anni, e t.n.a. del 6%. Si calcoli la duration del portafoglio. D = anni Giudicando la duration eccessiva, il signor Tedesco decide di ridurla vendendo una quota del portafoglio, dal valore V espresso in, e re-investendola in BOT a 6 mesi. Quanto deve essere la quota V affinché la duration complessiva risulti pari a 3 anni? V =

4 Esercizio 6. Alla data odierna (12/2/2014) un investitore forma un portafoglio di CCT con maturità 8/3/2015 e privo di spread. Si calcoli (approssimativamente, ma non troppo) la duration D del portafoglio e il prezzo di acquisto P dei CCT, riferito ad un facciale C = 100, sapendo che la prima cedola che verrà pagata è pari a I 1 = 4, e che la struttura per scadenza dei tassi è piatta al tasso i = 6.1%. D = anni P = Si risponda alla medesima domanda nel caso in cui i CCT possiedano uno spread di 250 punti base. D = anni P =

5 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 12 febbraio 2014 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Pacati (SI) prof. Renò (SI) dott. Quaranta (GR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Un investitrice vuole investire S = al fine di ottenere un interesse di I = e ha a disposizione due possibilità: 1) interessi composti al tasso i C = 4%; 2) interessi semplici al tasto i S = i C + 1%. Determinare per quanto tempo deve investire il suo denaro in ciascuna delle due modalità, indicando i due risultati con T C e T S, rispettivamente, e riportandoli in anni. T C = anni T S = anni Quale delle due modalità sceglierà, e per quale motivo? Risposta: Esercizio 2. Una banca, al tempo t = 0, ha in portafoglio due BTP: BTP00001: con scadenza fra 2 anni, nominale 300 mln di e t.n.a. 4%; BTP00002: con scadenza fra 1 anno e mezzo, nominale 350 mln di e t.n.a. 3%. Si descriva anzitutto il portafoglio, indicando i flussi di cassa (vettore delle poste x) in mln e lo scadenzario t in anni: x = t = Assumendo che il prezzo del portafoglio al tempo zero sia di P = 600 milioni, si determini il valore montante M e il valore residuo V al tempo T = 1 anno dell operazione finanziaria di acquisto del portafoglio al tempo zero e al prezzo P, in base a una legge esponenziale di tasso annuo i = 10%. [Suggerimento: in base ai dati forniti non si può sapere (senza fare i conti) se l operazione di acquisto è equa. Ma serve saperlo?] M = mln di V = mln di

6 Esercizio 3. Il signor Russo che vuole farsi prestare da una finanziaria una somma di S, da restituirsi secondo un ammortamento non standard in 3 rate quadrimestrali posticipate. Il tasso annuo applicato è i = 5% e la successione delle rate è decrescente: ciascuna rata è il 90% di quella precedente. Sapendo che il signor Russo non può permettersi di pagare più di ogni quadrimestre, determinare l importo massimo S max = che può farsi prestare e compilare il piano di ammortamento con S = S max, giustificando adeguatamente gli importi inseriti. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

7 Esercizio 4. Si consideri un mercato in cui viga la seguente struttura per scadenza delle intensità istantanee di interesse, con il tempo t espresso in anni: δ(0, t) = 4% e 0.2t Si calcolino, in tale mercato: Il prezzo P 1, in t 0 = 0, di una rendita posticipata composta da m = 3 rate costanti pari a R = 200, con periodicità semestrale. P 1 = Il prezzo P 2, in t 0 = 0, di un contratto a termine (forward) pagabile in t 1 = 1, che prevede la riscossione di C = 400 al tempo t 2 = 1.5. P 2 = Esercizio 5. Al tempo t = 0, la struttura per scadenza dei tassi di interesse è piatta al tasso i = 4.5%. Il signor Tedesco possiede un portafoglio del valore di investito interamente in BT P di maturità 7 anni, e t.n.a. del 6%. Si calcoli la duration del portafoglio. D = anni Giudicando la duration eccessiva, il signor Tedesco decide di ridurla vendendo una quota del portafoglio, dal valore V espresso in, e re-investendola in BOT a 6 mesi. Quanto deve essere la quota V affinché la duration complessiva risulti pari a 3 anni? V =

8 Esercizio 6. Alla data odierna (12/2/2014) un investitore forma un portafoglio di CCT con maturità 8/4/2015 e privo di spread. Si calcoli (approssimativamente, ma non troppo) la duration D del portafoglio e il prezzo di acquisto P dei CCT, riferito ad un facciale C = 100, sapendo che la prima cedola che verrà pagata è pari a I 1 = 4, e che la struttura per scadenza dei tassi è piatta al tasso i = 6.1%. D = anni P = Si risponda alla medesima domanda nel caso in cui i CCT possiedano uno spread di 250 punti base. D = anni P =

9 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 12 febbraio 2014 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Pacati (SI) prof. Renò (SI) dott. Quaranta (GR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Un investitrice vuole investire S = al fine di ottenere un interesse di I = e ha a disposizione due possibilità: 1) interessi composti al tasso i C = 5%; 2) interessi semplici al tasto i S = i C + 1%. Determinare per quanto tempo deve investire il suo denaro in ciascuna delle due modalità, indicando i due risultati con T C e T S, rispettivamente, e riportandoli in anni. T C = anni T S = anni Quale delle due modalità sceglierà, e per quale motivo? Risposta: Esercizio 2. Una banca, al tempo t = 0, ha in portafoglio due BTP: BTP00001: con scadenza fra 2 anni, nominale 200 mln di e t.n.a. 3%; BTP00002: con scadenza fra 1 anno e mezzo, nominale 350 mln di e t.n.a. 4%. Si descriva anzitutto il portafoglio, indicando i flussi di cassa (vettore delle poste x) in mln e lo scadenzario t in anni: x = t = Assumendo che il prezzo del portafoglio al tempo zero sia di P = 500 milioni, si determini il valore montante M e il valore residuo V al tempo T = 1 anno dell operazione finanziaria di acquisto del portafoglio al tempo zero e al prezzo P, in base a una legge esponenziale di tasso annuo i = 10%. [Suggerimento: in base ai dati forniti non si può sapere (senza fare i conti) se l operazione di acquisto è equa. Ma serve saperlo?] M = mln di V = mln di

10 Esercizio 3. Il signor Russo che vuole farsi prestare da una finanziaria una somma di S, da restituirsi secondo un ammortamento non standard in 3 rate quadrimestrali posticipate. Il tasso annuo applicato è i = 6% e la successione delle rate è decrescente: ciascuna rata è il 90% di quella precedente. Sapendo che il signor Russo non può permettersi di pagare più di ogni quadrimestre, determinare l importo massimo S max = che può farsi prestare e compilare il piano di ammortamento con S = S max, giustificando adeguatamente gli importi inseriti. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

11 Esercizio 4. Si consideri un mercato in cui viga la seguente struttura per scadenza delle intensità istantanee di interesse, con il tempo t espresso in anni: δ(0, t) = 4% e 0.3t Si calcolino, in tale mercato: Il prezzo P 1, in t 0 = 0, di una rendita posticipata composta da m = 3 rate costanti pari a R = 200, con periodicità semestrale. P 1 = Il prezzo P 2, in t 0 = 0, di un contratto a termine (forward) pagabile in t 1 = 1, che prevede la riscossione di C = 400 al tempo t 2 = 1.5. P 2 = Esercizio 5. Al tempo t = 0, la struttura per scadenza dei tassi di interesse è piatta al tasso i = 4.5%. Il signor Tedesco possiede un portafoglio del valore di investito interamente in BT P di maturità 8 anni, e t.n.a. del 6%. Si calcoli la duration del portafoglio. D = anni Giudicando la duration eccessiva, il signor Tedesco decide di ridurla vendendo una quota del portafoglio, dal valore V espresso in, e re-investendola in BOT a 6 mesi. Quanto deve essere la quota V affinché la duration complessiva risulti pari a 3 anni? V =

12 Esercizio 6. Alla data odierna (12/2/2014) un investitore forma un portafoglio di CCT con maturità 8/5/2015 e privo di spread. Si calcoli (approssimativamente, ma non troppo) la duration D del portafoglio e il prezzo di acquisto P dei CCT, riferito ad un facciale C = 100, sapendo che la prima cedola che verrà pagata è pari a I 1 = 4, e che la struttura per scadenza dei tassi è piatta al tasso i = 6.1%. D = anni P = Si risponda alla medesima domanda nel caso in cui i CCT possiedano uno spread di 250 punti base. D = anni P =

13 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 12 febbraio 2014 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Pacati (SI) prof. Renò (SI) dott. Quaranta (GR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Un investitrice vuole investire S = al fine di ottenere un interesse di I = e ha a disposizione due possibilità: 1) interessi composti al tasso i C = 6%; 2) interessi semplici al tasto i S = i C + 1%. Determinare per quanto tempo deve investire il suo denaro in ciascuna delle due modalità, indicando i due risultati con T C e T S, rispettivamente, e riportandoli in anni. T C = anni T S = anni Quale delle due modalità sceglierà, e per quale motivo? Risposta: Esercizio 2. Una banca, al tempo t = 0, ha in portafoglio due BTP: BTP00001: con scadenza fra 2 anni, nominale 100 mln di e t.n.a. 4%; BTP00002: con scadenza fra 1 anno e mezzo, nominale 350 mln di e t.n.a. 3%. Si descriva anzitutto il portafoglio, indicando i flussi di cassa (vettore delle poste x) in mln e lo scadenzario t in anni: x = t = Assumendo che il prezzo del portafoglio al tempo zero sia di P = 400 milioni, si determini il valore montante M e il valore residuo V al tempo T = 1 anno dell operazione finanziaria di acquisto del portafoglio al tempo zero e al prezzo P, in base a una legge esponenziale di tasso annuo i = 10%. [Suggerimento: in base ai dati forniti non si può sapere (senza fare i conti) se l operazione di acquisto è equa. Ma serve saperlo?] M = mln di V = mln di

14 Esercizio 3. Il signor Russo che vuole farsi prestare da una finanziaria una somma di S, da restituirsi secondo un ammortamento non standard in 3 rate quadrimestrali posticipate. Il tasso annuo applicato è i = 7% e la successione delle rate è decrescente: ciascuna rata è il 90% di quella precedente. Sapendo che il signor Russo non può permettersi di pagare più di ogni quadrimestre, determinare l importo massimo S max = che può farsi prestare e compilare il piano di ammortamento con S = S max, giustificando adeguatamente gli importi inseriti. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

15 Esercizio 4. Si consideri un mercato in cui viga la seguente struttura per scadenza delle intensità istantanee di interesse, con il tempo t espresso in anni: δ(0, t) = 4% e 0.4t Si calcolino, in tale mercato: Il prezzo P 1, in t 0 = 0, di una rendita posticipata composta da m = 3 rate costanti pari a R = 200, con periodicità semestrale. P 1 = Il prezzo P 2, in t 0 = 0, di un contratto a termine (forward) pagabile in t 1 = 1, che prevede la riscossione di C = 400 al tempo t 2 = 1.5. P 2 = Esercizio 5. Al tempo t = 0, la struttura per scadenza dei tassi di interesse è piatta al tasso i = 4.5%. Il signor Tedesco possiede un portafoglio del valore di investito interamente in BT P di maturità 9 anni, e t.n.a. del 6%. Si calcoli la duration del portafoglio. D = anni Giudicando la duration eccessiva, il signor Tedesco decide di ridurla vendendo una quota del portafoglio, dal valore V espresso in, e re-investendola in BOT a 6 mesi. Quanto deve essere la quota V affinché la duration complessiva risulti pari a 3 anni? V =

16 Esercizio 6. Alla data odierna (12/2/2014) un investitore forma un portafoglio di CCT con maturità 8/6/2015 e privo di spread. Si calcoli (approssimativamente, ma non troppo) la duration D del portafoglio e il prezzo di acquisto P dei CCT, riferito ad un facciale C = 100, sapendo che la prima cedola che verrà pagata è pari a I 1 = 4, e che la struttura per scadenza dei tassi è piatta al tasso i = 6.1%. D = anni P = Si risponda alla medesima domanda nel caso in cui i CCT possiedano uno spread di 250 punti base. D = anni P =

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