Analisi dei dati spaziali

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1 Aal de dat pazal dat geotatt Aal d dat geotatt Fraea Bruo Dpartmeto d Seze Statte P.Fortuat bruo@tat.ubo.t Dat geotatt - Geotattal Data 8/8 Strumet d aal: - Varogramma: è ua fuzoe della dtaza e del relatvo oretameto delle oppe d put e derve l grado d orrelazoe tra tal put. - Iterpolazoe leare: è baata u u tema d pe alolat ome vero della dtaza. Queto metodo o tee oto della varabltà e dat degl error d mura delle auzo dtrbutve Aal d dat geotatt Prme aal derttve uvarate ulle varabl oggetto d tudo Aal grafe e. togramm per aggare la ormaltà dtrbutva Aal tatte e. aal della mmetra Aal derttve bvarate Aal grafe e. graf e rappreetao le oppe d due varabl per tudare l tpo d relazoe Aal tatte e. regreoe leare e o leare Derzoe pazale delle varabl eamate Valor alt e ba dove oo pozoat? Soo raggruppat?? - Krgg: teta d effettuare prevo teedo oto della dtaza e della orrelazoe medate l varogramma. Le tee krgg oo formulate bae ad auzo d tazoaretà d dvero tpo. 3 4

2 Aal d dat geotatt Strumet graf: otour plot Symbol map Grayale map Idator map per ua aal della varabltà d larga ala Aal d mede e varaze Aal grafa delle relazo pazal a drezoe e dtaza tra put-grgla -atterplot per ua aal della varabltà d pola ala* Aal pazale Quatfazoe delle relazo pazal defzoe d orrelogramma varogramma e emvarogramma** 5 6 oderazoe del geero modello pazale Modello pazale per dat geotatt Il modello pù emple per ua varable aleatora pazale tee oto d due apett: a apetto trutturale e rflette le aratterte global del feomeo tred e tee oto delle varazo d larga ala; b apetto auale e tee oto delle rregolartà loal varazo u pola ala e l feomeo preeta μ ε D Quado terea la terpretazoe del feomeo: dà pù peo alla ompoete d larga ala. Quado terea la prevoe: dà pù peo alla ompoete d pola ala. 7 Strutture pazal Legge d Tobler Oervazo pree da t v tedoo ad eere pù ml d oervazo pree a t dtat. Strutture d larga ala Fuzoe meda per dat geotatt Vettore delle mede per dat u retolo Itetà per proe d puto pazal Strutture d pola ala Varogramma fuzoe d ovaraza Pe del vato per proe u retolo Fuzoe d ovaraza geeralzzata tetà del eodo orde 8

3 z è ua realzzazoe del proeo { Є D} dove D è u ottoeme fato d R d. Quala tpo d tma/fereza è dffoltoa eza porre auzo emplfatr ra la atura del proeo auale fatt è oervata ua ola realzzazoe del proeo auale L auzoe d tazoartà del proeo D fa modo tale e gl tmator de parametr del ao rappreetatv. La modellazoe geotatta è prevaletemete vluppata el domo pazale azé quello delle frequeze rappreetazoe pettrale. U proeo auale { Є D} è geeralmete defto dalle fuzo d dtrbuzoe ftodmeoal: F m z z z m Ξ P { z z m z m } 9 Alue ote: S uppoe e μ ete og del domo D. Vee amato tred o drft. L eteza d var per tutt put del domo permette la defzoe d tazoaretà del eodo orde e d tazoaretà trea. STAIONARITA FORT F m z z z m F m z z z m STAIONARITA DL SONDO ORDIN: μ ov - per tutt gl apparteet a D meda e varaza otat el domo D metre la ov tra due t dpede dalla drezoe e dalla dtaza tra t. STAIONARITA INTRINSA μ Var - - per tutt gl apparteet a D La varaza della dffereza è la tea ovuque la var d può o eere la tea ovuque Implazo tra le auzo d tazoaretà La auzoe d tazoaretà trea è u tpo d tazoaretà pù debole d quella del eodo orde: u proeo tazoaro del eodo orde è ae treamete tazoaro ma o vale l vevera. Var-tVarVart-ovt- dove -t. L auzoe d tazoaretà è mportate peré uggere e l proeo effettvamete rpete ello pazo produedo replazo eeare per la tma e l fereza. La elta d uo o l altra è ua deoe del modellatore tuttava la tazoaretà trea è geeralmete applable ad ua pù ampa gamma d problem. Quatfazoe della relazoe pazale Geeralmete vegoo potulate due auzo bae per poter po defre gl trumet tatt opportu. Stazoaretà Iotropa La prma aal de dat term d varogramma tralaa la drezoe tra put e odera olo le dtaze. Suevamete el ao u la truttura d orrelazoe pazale o a ara oorre paare a varogramm e tegao oto della drezoe. Se le orrelazo pazal oo pù fort e pù pertet alue drezo rpetto ad altre de e ete aotropa; ao otraro oè e le orrelazo pazal dpedoo olo dalla dtaza e o dalla drezoe la orrelazoe pazale è detta otropa. U proeo treamete tazoaro e otropo è detto omogeeo.

4 Alu obettv della geotatta Ifereza ulla truttura pazale Verfa dell eteza d ua truttura pazale Stma della truttura pazale Selta tra modell alteratv. Modellazoe pazale: Pobl quet ome tmare l tred tma d uperf d tred ome aratterzzare la dpedeza pazale varogramma Prevoe d varabl o oervate krgg ome prevedere u valore u puto * dvero da quell oervat mappa pazale 3 4 plorado la varabltà d larga ala: urve d lvello e mappe a lvell d olore plorado la varabltà d larga ala: Aal per rga e oloa -> aal della varaza μ α β ε o ε ~ N σ dpedet ˆ μ ˆ α ˆ β ˆ ε ovvero o ˆ α β ˆ ε ˆ Dato otate rga oloa errore Le urve d lvello oo formate utlzzado algortm d terpolazoe e oo buoe per dvduare tred global. Il olore è legato al valore auto dalla varable 5 6

5 y U altro eempo: oetrazoe d zo U altro eempo: oetrazoe d zo Nuova grgla per lo o Mure della oetrazoe d zo 55 pozz d ua regoe oladee. Fote: gtat.j Pebema.J.Pebema@fr w.uva.l ttp:// va.l/~pebema/ gtat/ Y oord data X oord oord X oord Y data data oord X oord Y 7 otruamo ua grgla 9x4 u u rpozoare dat y x Stma del tred : pao parabolo ubo. Tee parametre: Il modello d tred pù emple è ua fuzoe leare elle oordate Log Are Greyale Map pao: xy; μβ β x β y D 4 6 Poo aggugere term d orde uperore: xy; μβ β x β yβ 3 x β 4 xyβ 5 y D Tat pù term aggugo tato mglore arà l adattameto a dat ma tato pù rgda arà la fuzoe d larga ala Il tred: pao.76*^6.77*^6.78*^6.79*^6 x S predoo oderazoe dat d areo t a dvera alttude. Dall aal della mmage qu rportata emerge u tred da S a NO S può aumere e la meda dpeda olo dalla pozoe term d x e y tramte ua fuzoe parametra e tmare oeffet o mm quadrat. Oppure fruttare mm quadrat o lear 9 xy; μβ β x β y D

6 Il tred: parabolode Il tred: ubo xy; μβ β x β yβ 3 x β 4 xyβ 5 y D Superf d tred Pù geerale abbamo delle uperf d tred della forma: μ β f Stmeremo parametr o mm quadrat almeo prma appromazoe otteedo: Stma del tred Tee o parametre Algortmo d Meda Pol: S alola la medaa per og rga e rporta alla fe della rga. S ottrae duque tale medaa d rga da og puto per og rga; S alola la medaa della medaa d rga e regtra tale valore ome effetto omplevo. S ottrae tale effetto omplevo da ogua delle medae d rga; 3 S alola la medaa d og oloa e regtra alla fe delle oloe. S ottrae la medaa d oloa da og oloa; 4 S alola la medaa della medaa d oloa e agguge all effetto omplevo. S ottrae tale omma all effetto omplevo da ogua delle medae d oloa; 5 S rpetoo pa -4 fo a e o oo varazo elle medae. μˆ βˆ f 3 4

7 Stma del tred Nell utlzzo meda pol u dat preedetemete llutrat oal.a. S rlevao eguet rultat: Modellazoe della ompoete d pola ala A queto puto poamo omare a trattare la varazoe d pola ala partedo da redu: e μˆ La meda pol : Permette d rmuovere la ompoete d varabltà d larga ala No è fluezata da valor ull o outler peré lavora o le medae 5 ˆ μ e 6 Varazoe d pola ala Ua volta tmato l tred e davvero e è preete uo poamo dedar allo tudo della varazoe d pola ala. Lo trumeto prpale a tal fe è l varogramma. Aal della varabltà d pola ala: Lag plot Dagramma d dperoe tra e orrelazo potve egatve dao dpedeza pazale potva egatva Idvduao dat aomal Rlevao o tazoaretà e aotropa lag lag3 lag lag4 7 8

8 Aal della varabltà d pola ala: uvola del varogramma / Il varogramma è dato dalla varaza delle dffereze della varable auale due t. Se due utà oo tra loro ve la loro dffereza arà pola e oì pure la ua varaza. Al reere della lotaaza tra t le dffereze dvetao pù grad e la varaza aume valor maggor. Aal della varabltà d pola ala: uvola del varogramma / Utle per rlevare: Valor aomal loal No tazoaretàloale Grafamete può rappreetare u dagramma d dperoe delle oppe - - / * Utle per rlevare valor aomal global Aeza d dtrbuzoe gauaa Propretà del varogramma.. fuzoe par per og a a {... } S e { a... a } tale e fuzoe odzoa tamete defta egatva a 3 3

9 Propretà del varogramma Dmotraz oe a a a Propretà e uo del varogramma Se l proeo è tazoaro del eodo orde a: Var Var Var ov qud e è ota la fuzoe d ovaraza pazale è mmedato trovare l varogramma. Vevera dato poamo trovare e ooamo. Quado l proeo è uffetemete regolare ergodo oltre e tazoaro del eodo orde a: preo allora l valore atteo a a a Var a 33 lm lm 34 Propretà e uo del varogramma Nel ao a verfata la odzoe d otropa poamo defre dver modell teor per la fuzoe d varogramma. I queto ao aume: lm ovvero aumamo e la fuzoe a otua ell orge. Nella prata peo queto o aade tal ao lm ot. dremo allora e a u effetto pepta ugget effet. Queto è peo dovuto a problem d ala ovvero la roluzoe pazale e tamo uado o è uffete a oglere tutta la varabltà del feomeo oggetto d tudo. 35 ffetto pepta ugget effet Quale volta ua proporzoe della varabltà de dat è attrbuble ad u errore d mura: εε M ε N dove ε M è l errore d mura el to metre ε N è ò e rmae de redu dopo aver elmato l errore d mura. La ovaraza per ε terrà oto del ugget effet oteedo u addedo o ullo orrpodeza d lag pazale ullo. 36

10 Fuzoe d ovaraza ovarogramma / Il ovarogramma [dato o ] raume le formazo oteute ell -atterplot ed è ua fuzoe a della dtaza lag e della drezoe tra t ua regoe [a eoda e o ]. empo: oderao dat d Walker Lake u ua grgla. S vuole aratterzzare la autoorrelazoe pazale ella drezoe N-S. S alolerao le orrelazo per dtaze pazal lag per eamare la dmuzoe elle ovaraze al reere della dtaza. La ovaraza dmue al reere delle dtaze. Aalogamete può eere tudata la fuzoe d orrelazoe detta orrelogramma ua veroe tadardzzata della fuzoe d ovaraza ovarogram for V 37 Propretà del varogramma e della ovaraza otropa VARIOGRAMMA F.e mmetra toro all orge: - e o verfato parlamo d ugget effet o effetto pepta e e l proeo è tazoaro del II ord. ua fuzoe odzoatamete defta egatva per og umero fto d t NS OVARIANA F.e mmetra toro all orge: - è la varaza del proeo ed è amato l valore ogla ll Deve eere defta o egatva per og umero d t NS 38 ofrot tra fuzoe d ovaraza e emvarogramma Il ovarogramma o è defto per proe pazal e oddfao le pote tree ma olo le pote d tazoaretà del eodo orde. I altre parole e valgoo le pote tree può defre olo l emvarogramma. Il emvarogramma a oltre l vataggo omputazoale e olo le oppe a dtaza par al lag e ta oderado eetao d eere pree oderazoe. A f terpretatv e d aal può eere pù aturale uare orrelazo e l orrelogramma quato è l modo geeralmete utlzzato per tudare le aoazo è fatt ua gradezza tadardzzata. 39 Alue defzo per emvarogramma Oorre ora defre alue aratterte propre de emvarogramm: Sllogla: orrpode al valore del emvarogramma orrpodete ad oervazo orrelate atoto del emvarogramma; Solamete proe tazoar eo debole preetao ua ogla e queta ode o. rage: dtaza alla quale le oervazo o oo pù orrelate può eere fto o fta dvee otate. Lo defamo maera appromata peré per alu proe la orrelazoe è zero olo atotamete effetto pepta ugget effet: rappreeta varazo d polma ala e/o error d mura. ffetto d dotutà all orge. 4

11 Stmator del varogramma lao: ˆ robuto: R d N N / N d ; N La meda ampoara è molto eble a valor aomal erve uo tmatore robuto N / 4 Stmator del varogramma o parametr Dat wolfamp oervo dver amp d varazoe dell ae y Dove N è l umero d oppe a lag 4 4 Dtrbuzoe del varogramma empro 43 44

12 Modell teor d varogramma Per poter defre orrettamete u modello teoro d varogramma oltre alle propretà appea eleate dobbamo ae oderare l fatto e l varogramma è ua fuzoe odzoatamete emdefta egatva: Se a... a è ua ueoe d otat arbtraretal e a alloraaa 45 Modell teor d varogramma Queta odzoe è legata alla eetà d avere fuzo d ovaraza em defte potve ed al legame delle tee o l varogramma el ao d tazoaretà del eodo orde. Per etere la fuzoe d ovaraza deve eere emdefta potva. Ifatt mettedo eme l epreoe del varogramma fuzoe della ovaraza e la defzoe d fuzoe emdefta potva ottee l epreoe preedete: Se a... a è ua ueo e d umer real arbtrar allora a a 46 leare θ θ Modell teor d varogramma valdo b l per b l D b l R d d : fero valdo per D R θ θ a Modell teor d varogramma è tazoaro del eodo orde d d 3 : 3 [ 3/ / a / / a ] > a < a Queto è u modello otropo ma o tazoaro del eodo orde fatt tede a per e ree però è tazoaro treo ed è qud utlzzable quado voglo tudare proe pazal o tazoar. Ovvamete o a u valore rage e ua ll. 47 Per d>3 queto modello o rpetta pù la odzoe d emdefta egatvtà trodotta prma. d fale terpretazoe realto e qud molto uato ella prata. Il valore rage è a metre l valore d ll è. Modello buoo per modellare orrelazo pazal e dmuoo modo appromatvamete leare o la dtaza e oo ulle oltre 48 ua erta dtaza.

13 49 Modell teor d varogramma [ ] / exp : per valdo R e e e e d a a d D epoeza le θ θ Ae queto modello è tazoaro del eodo orde ragguge la ll pù letamete del modello fero però fuzoa ae per d>3 è falmete terpretable e emple da tmare. Il valore d rage è maggore d a e e la ll è e.. 5 Modell teor d varogramma [ ] / exp : R g g g g d a a d D per valdo gauao θ θ Ae queto modello è tazoaro del eodo orde e per eo valgoo le tee oderazo fatte per l modello epoezale. 5 Altr modell : orde eodo del o tazoar o : / / : < > > > θ θ θ law Power a a Oda a razoale p w w w r r 5

14 Stma parametra del varogramma Le tme o parametre d o eearamete oo fuzo odzoatamete defte egatve NS Per poter fare delle prevo è peo eeara ua tma a dtaze e/o drezo o preet e dat Dopo aver elto ua famgla parametra d varogramm quale rtero d adattameto utlzzare?. Per pezoe grafa. Mm quadrat MQ. 3. Mm quadrat geeralzzat MQG 4. Mama veromglaza MV dtrbuzoe ormale multvarata 5. Mm quadrat peat

15 MmquadratpeatWLS Oorre mmzzare la fuzoe data da: w ˆ θ ree 993 pag. 99 uggere ua appromazoe per la varaza dello tmatore del varogramma data da: Può oltre eere dmotrato e ˆ w Var ˆ Var ˆ N N ˆ χ N S veda ree 985: Fttg Varogram model by 57 Wegted Leat Square Matematal Geology: MmquadratpeatWLS Quete appromazo oo vere olo e oo vere le eguet odzo: Deve eer tazoaretà trea; Dobbamo avere u umero fo d lag 3 N per og dtaza lag o N e l tao d ampoameto per area utara è otate; 4 σ per >a oè orrelazoe ulla dopo l lag a Nootate le buoe propretà WLS o è u approprato metodo d tma el ao d dat orrelat 58 ofroto tra metod d tma: raumedo. MV è ua tma pù effete d MQG e MQ.. MV o rede ua tma del varogramma a dffereza d MQ e MQG. 3. MV rede u auzoe ulla dtrbuzoe. 4. MQ e MQG redoo la pefazoe d la e dtaze elevate ao poe oervazo. 5. MV può eere oeroo e table da alolare o u umero elevato d oervazo 6. Lo tmatore MQG è pù effete dello tmatore WLS peré permette la trattazoe d trutture d ovaraza pù geeral. 7. MQG è la tma pù utlzzata. 59 Alue oervazo u varogramma/emvarogramma L uo del varogramma aume mpltamete la tazoaretà trea. Se oo tred e dat e/o dffereze term d varabltà delle dffereze ella regoe oderata la detredzzazoe e/o la traformazoe de dat dovrebbe eere prea oderazoe prma d alolare varogramm. Geeralmete la prma aal de dat term d varogramma tralaa la drezoe tra put e odera olo le dtaze. Suevamete el ao u la truttura d orrelazoe pazale o a ara oorre paare a varogramm e tegao oto della drezoe. Se le orrelazo pazal oo pù fort e pùpertet alue drezo rpetto ad altre de e ete aotropa; ao otraro oè e le orrelazo pazal dpedoo olo dalla dtaza e o dalla drezoe la orrelazoe pazale è detta otropa. 6

16 Aotropa: l varogramma elle vare drezo Aotropa geometra S parla d aotropa geometra quado varogramm elle vare drezo ao la tea forma e ogla ma rage dfferet. Nel eguto l raggo maggore e l raggo more dell elle arao dat o a θ e a ϕ. Il rapporto < a ϕ /a θ < è detto fattore d aotropa. 6 6 Aotropa geometra La orrezoe per l aotropa geometra ote el trovare ua traformazoe ovvero ua matre A del vettore delle oordate x; y T u uovo vettore d oordate x ; y T tale e dove è u varogramma otropo o rage par a a ϕ. Oa era d rparametrzzare tadardzzare la dtaza og drezoe modo e a uformtà Aotropa geometra θ e θ e S a e A o A o θ θ θ o θ Queto tpo d aotropa può eere orretto utlzzado ua traformazoe leare de t rfermeto ad e. la deformato aaly d Guttorp-Sampo ; a a ϕ θ θ π /4 e θ π /4 e

17 Approo alla aotropa d Sampo e Guttorp Aotropa zoale L aotropa zoale preeta quado a la ogla a l rage del varogramma ambao o la drezoe detta ae aotropa d ogla Queto tpo d aotropa è pù dffle da orreggere e ò può eere fatto utlzzado ua truttura gerara varogramm adat. Sampo P.D. ad Guttorp P. 99. Noparametr etmato of otatoary patal ovarae truture. Joural of te Amera Stattal Aoato Merg W. Guttorp P. ad Sampo P.D Spae-tme etmato of grd-ell ourly ozoe level for aemet of a determt model. vrometal ad ologal Statt 5: Stratega geerale per la orrezoe dell aotropa Se l adameto delle orrelazo pazal è otropo modella quello e de omdretoal varogram. Se l adameto delle orrelazo pazal è aotropo detfare e tale aotropa è geometra o zoale. 3 Se è aotropa geometra: a Idetfare la rotazoe degl a per avere otropa b orreggere aggutado la dtaza d eparazoe ella drezoe d mmo-mamo Adattare u varogramma otropo al varogramma empro otteuto o le uove dtaze. 4 Se l aotropa è geometra e zoale orregge la parte zoale o ua truttura d varogramma e la retate geometra o ua eoda truttura d varogramma Prevoe V oo due tp d prevoe e pooo fare: Stmare la meda della varable oggetto d tudo u area o ull tera regoe tma globale Prevedere l valore della varable oggetto d tudo u uovo to tma putuale. I queto eodo ao tee oto drettamete della dtaza tra put ell effettuare prevo. Voglamo tmare de put o oervat all tero del domo d tudo S baado ulle oervazo a otra dpozoe.. Metod o toat Mede mobl mede peate Meda-Pol Sple.. Metod toat Krgg Metod bayea 68

18 Meda artmeta Ipote ul prevore: uppoe e la uperfe muova attoro ad u valore etrale. Prevore: ˆ Propretà: empltà velotà d alolo o è u terpolatore eatto ˆ Meda moble Ipote ul prevore: uppoe e la uperfe a uffetemete levgata. Prevore: ˆ I dt r I dt r Propretà: è eearo eglere r grado d lameto rede algortm d ordameto o `e u terpolatore eatto a meo e r. * Per tme global 69 7 Mede peate eodo le dtaze Le gole oervazo o otrbuoo pù tutte allo teo modo: ˆ p dt ; p p dt Propretà: empltà velotà d alolo è u terpolatore eatto Stma globale: pe S pooo proporre due em dfferet per otrure pe: A polgoo: queto metodo utlzza polgo d flueza per determare l area d flueza u puto ampoato. l valore della varable u polgoo è poderato per la proporzoe e l area oupa ull area totale Oervazo: St ampoat e oo molto dtat ao grad polgo d Iflueza; S evtao problem d tma o peata 7 7

19 Stma globale:pe A ella: queto metodo dvde la regoe elle rettagolar e ampo revoo pe veramete proporzoal al umero d put quella ella ovvamete tee oto del umero d elle e otegoo almeo u puto. Stma putuale S pooo proporre alu em dfferet per otrure pe: A polgoo: queto metodo è aalogo a quello vto per la tma globale. I queto ao e l puto appartee ad u polgoo gl vee dato l valore del puto ampoato egle l valore pù vo al to. Queto metodo egle put pù v per la tma Tragolazoe: queto ao terpola u pao paate per tre put ampoat pù v queto modo evta l problema della dotutà e aratterzza la tea de polgo Metodo della dtaza vera: metod e foroo pe maggor a ampo pù v e pe mor a quell pù dtat Mede peate eodo le dtaze Metod o parametr: SpleI Per tmare ua fuzoe geera d tred poamo adottare ua tea o parametra oè u o defe ua forma pefa della fuzoe d tred ma fao olo alue pote u d ee. too umerevol tee o parametre e oetoo queto o e eameremo ua partolare quella baata ulle ple. Per ple tede ua fuzoe e paa per u erto da eglere umero d put dett od

20 Metod o parametr: SpleII Ipote ul prevore:la uperfe da prevedere pxy è uffetemete regolare. I partolare etoo le dervate parzal p/ x p/ y p/ x y x y Prevore: p a a x a y b e K a a a a e e o log /6π ; e b b... b otteut da : K ρi b Xa X b X è ua matre le u x y e ρ <. - ema rga è 77 Metod o parametr: Sple III Propretà: rede l veroe d ua matre x e ρ è u terpolatore eatto e mmzza la eguete fuzoe d perdta: { z p } / ρ { p / x p / x y } dxdy. p / x 78 Altr metod d prevoe Metod o parametr: Sple IV Stmator krgg orporao la truttura d ovaraza e pe al fe d effettuare prevo; Krgg emple: meda è ua fuzoe ota; Krgg ordaro: meda otate ma gota; 3 Krgg uverale: meda può o eere otate e può eere fuzoe delle oordate Applazo del krgg: otruzoe d mappe; Botà d adattameto ro-valdato 3 Ottmzzazoe del umero e della pozoe de t 79 8

21 Krgg emple ordarouverale Problema: vuole prevedere o { } medate le oervazo dpobl. S uppoe e l modello a dato da μ ε. Krgg emple: μ è ua fuzoe ota;. Krgg ordaro: μ μ μ goto; 3. Krgg uverale: μ fβ β goto; Ua volta tmata μ e lavorado u redu e 3 oo equvalet. Krgg: Approo deoale I Notazo: pazo de prevor Φ; fuzoe d perdta: L : R Φ [ L φ emp: - L p p L p p rod Baye: prevore p argm ottmo: p L p fuzoeovea; L p 8 8 Krgg: Approo deoale II Teorema : Il p arg m prevore p ottmo L φ. è Krgg: Approo deoale III empo : Sa L p p p p p Per tato l predttore ottmo è φ L ultmo addedo è par a zero e allora 83 84

22 85 Krgg emple I Deve eere ota μ poamola Prevore: ˆ m arg ˆ ˆ o Σ Σ e dove Poé 86 Krgg emple II Σ Σ Σ Σ Σ ˆ ˆ ˆ ˆ e errore e k k σ σ poto : prevore del medo quadrato rrore è ottmo prevore Il potva defta o Dervado rpetto a ed eguaglado a zero otteamo 87 Krgg ordaro I Aumamo e * arg m ;. mmzza do : ottego lo quado e vero ; ovvero NON DISTORTO eere deve : leare Prevore varogram ma o o tazoar trea mete almeo è proeo Il gota. o ϕ μ ε μ 88 Krgg ordaro II u problema d mmo volato e lo rolvamo uado l metodo de moltplator d Lagrage m L ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ μ μ μ μ terme quadrato: Svluppamo l

23 89 Krgg ordaro III Rmettamo var term eme ˆ ; ˆ μ μ a: Sottuedo varogramma. d tutto term rrvamo varogramma l ae ete la ovaraza ete e e Rordado 9 Krgg ordaro III Qud la otra Lagragaa è dvetata ; ;.. Γ Γ m L m L abbamo Poedo 9 Krgg ordaro IV Dervado rpetto a e poedo Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ * * ˆ ˆ m m u da m a M K M M O M L 9 Krgg ordaro: errore quadrato medo k * * * σ Il prevore krgg è u terpolatore eatto

24 93 Uveral krgg I queto ao oderao modell pazal u modella ogutamete ompoete d larga ala e redu. Nel krgg UNIVRSAL la meda può o eere otate e può eere fuzoe delle oordate. S aume duque meda o otate e preeza d varazoe pazale loale. mateuto lo opo d prevoe loale ò e ambao oo pe. Oltre alle prevo putual e a relatv error tadard pooo tmare parametr del tred Propretà: - Lo tmatore UK è leare o dtorto e o mma varaza predttva 94 Krgg Uverale I ε F β ε β F a poedo e : è modello Il p p p p β β f f f f f ε ε ε β L M O M L 95 Krgg Uverale II f F β f Fβ vettore ul vol p mporre dobbamo : ovvero : mpla odzoe Queta dtorto No p : Prevore I queto ao dovremo modfare vol el problema d mmzzazoe per garatre la orrettezza dello tmatore: 96 Krgg Uverale III { } * Γ Γ F f F Γ F F f m F F Γ oluzoe o : tema eguete l otteamo Dervado p o f f m La fuzoe Lagragaa dveta:

25 Krgg Uverale errore quadrato medo Dervazoe alteratva del K. U. σ ku ku ed è datoda: σ ˆ f F Σ Σ F Σ F f F Σ ˆ ε Σ Sa Σ var ε allora lo tmatore de MQG el ˆ β GLS εˆ F Σ ao oderato è La prevoe è data da ˆ F p FΣ oderamo l vettore de redu εˆ Fβˆ ed applamo a queto l Krgg emple ˆ β f ˆ ε GLS Krgg eempo dat Wolfamp Krgg eempo dat Wolfamp Applamo u krgg uverale a dat wolfamp tmado u tred leare pao l modello d varogramma e vee utlzzato e qud tmato uado la mama veromglaza è epoezale. S rede la tma d 4 put pot u d ua grgla x all tero del domo d tudo. 99

26 Krgg eempo dat Wolfamp Dtt da Dtrbuzoe Leartà Tp d krgg propot letteratura Dmeoe dell obettvo oa è oouto? Numero d varable Put Aree Meda oouta Meda oouta ma otate Meda o otate gauaa l gauaa dator varable Gauaa o quale v. aomalo olato Soouta μ è l proeo auale Sgola Multvarata Predttore leare Predttore leare fuzoe d Metodo oouto ome pot krgg Blok krgg Smple krgg Ordary krgg Uveral krgg Krgg Log-ormal krgg Idator krgg Robut krgg Meda-pol krgg Krgg bayeao Krgg okrgg Krgg Dutve krgg Krgg ome metodo d terpolazoe perfetto U terpolatore perfetto è u predttore e rprodue dat. I altre parole può alolare la prevoe u puto oervato e l valore otteuto deve odere o l valore oervato. geeralmete oteuto e l krgg a u terpolatore eatto e e qud rpett dat. Tuttava pooo ubetrare alu problem quado l varogramma tmato otega ua ompoete d ugget effet. 3 ffetto della fuzoe d varogramma ulle prevo krgg ffetto pepta rguarda varabltà d mroala Se a u effetto pepta puro l varogramma è otate: tutte le oervazo oo orrelate e la mglore prevoe d u puto ua regoe arà ua meda emple de put ampoat. per per > Se a u effetto pepta o ullo: allora l modello d varogramma può eere vto ome la meda d u effetto pepta e d ua eoda parte d varogramma. La varaza totale è dva tra ugget e ogla. Le oervazo a dtaza oo meo orrelate d quelle dello teo modello eza ugget. Se ovratmamo l ugget le orrelazo tra put oo pù pole e avrao alte varaze d prevoe approo oervatvo Se ottotmamo l effetto pepta le orrelazo tra put oo maggor e avrao bae varaza d prevoe approo lberale. Geeralmete è meglo ua ovratma 4

27 ffetto della fuzoe d varogramma ulle prevo krgg ffetto della ogla I pe krgg o oo fluezat da ambamet ella ogla per ffetto del rage per Se l rage è polo la varaza del krgg arà ampa polo rage gfa e ao po put v e oo molto orrelat oè po put grado d dare ua buoa prevoe ffetto dell aotropa: quado è aotropa pe relatv alla drezoe d mama otutà oo pù varabl d quell delle altre drezo. > 5 Valdazoe de rultat I too dver fattor e redoo o mmedata la valutazoe della qualtà delle tme krgg. Uare drettamete l errore d tma mpla aumere e l varogramma uato el alolo della prevoe a oto. INV è tmato!! 6 Valdazoe de rultat II Qud e damo o * pe krgg o varogramma oto e o * pe el ao d varogramma tmato a e * * ; Stamo ovratmado l errore d prevoe ro-valdato Nella proedura d ro-valdato leave oe out rmuove d volta volta u puto dall eme de dat dpobl e proede a tmare la varable d teree el puto teo utlzzado l modello o l prevore del quale ta verfado la botà. Idado o α l valore rmoo dall eme delle oervazo e [α] l valore tmato e α α - [α] da la dffereza tra valore oervato e valore tmato. Se l valore medo degl error d ro-valdato e α è promo a zero poamo ragoevolmete peare e o tamo ommettedo u errore gfatvo. Altmet ovratma-ottotma temata. 7 8

28 Valdazoe de rultat va rovaldato val.o M φ M val.prev.... φ... reduo φ e V var e dove var e è la tma della varaza otteuta omettedo l oervazo e ema V > ottotma V < ovratma e φ M e 9 Valdazoe de rultat va rovaldato Se V è ra uguale a allora l errore d ro-valdato è meda uguale all errore d prevoe del modello. ro-valdato R: Fuzoe xvald el paetto geor. Valdazoe de rultat va rovaldato Grafo a dperoe tra I dat orgal e quell tmat ofroto tra quatl della dtrbuzoe empra e quella tmata 3 Dagramma a dperoe de t roo errore egatvo blu errore potvo 4 Itogramma de redu tadardzzat 5 Grafo a dperoe de redu tadardzzat e valor prevt 6 Grafo a dperoe de redu tadardzzat e valor oervat Altr problem ome apre e u dato modello è buoo ome ofrotare due o pù modell Tra gl altr metod AI o quadrato. La ro-valdato dà rultat mglor ma è applable olo quado ooo u buo umero d oervazo o fuzoa per pol ampo

29 Bblografa ed altro N. ree 993 Statt for Spatal Data Wley M. Armtrog 998 Ba Lear Geotatt Sprger Verlag J.P. lè P. Delfer 999 Geotatt modellg patal uertaty Wley R. L. Smt OURS IN NVIRONMNTAL STATISTIS ttp:// v.tml etre de Géotattque ole de Me de Par ttp://g.emp.fr/main_t.tml 3 Bblografa utle d rfermeto ree N. 989 Geotatt. Te Amera Statta ree N. 99 Te org of krgg. Matematal Geology ree N. 993 Statt for Spatal Data Reved dto. Jo Wley ad So I. New York. ree N. Spatal Statt ad vrometal See. Proeedg of te Seto o Statt ad te vromet ASA Alexadra VA fortomg. Dggle P. J. Taw J.A. ad Moyeed R. A. 998 Model-baed geotatt. Appled Statt Hadok M. ad Wall J. R. 994 A approa to tattal patal-temporal modelg of meteorologal feld. Joural of te Amera Stattal Aoato [Duo page ] SITO: to d tatta pazale 4 Prpal paett d elaborazoe dat Utlzzo d R oftware gratuto o SPLUS ttp:// o paett pef per le aal pazal: Feld ttp:// Spattat ttp://ra.rproet.org/r/otrb/derpto/pattat.tml 5