Trasmissione in banda base: interferenza intersimbolica

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1 rasmissione in banda base: inerferenza inersimbolica L inerferenza inersimbolica (ISI) Il crierio di Nyquis. Schema del sisema con ISI nulla: progeo dei filri di rasmissione e ricezione. 1 Fondameni di Segnali e rasmissione rasmissione di una sequenza di impulsi Quando si considera la rasmissione, non di un singolo impulso, ma di una sequenza di impulsi successivi nel empo, come avviene in praica, il progeo dei filri di rasmissione e ricezione deve enere in cono un alra possibile fone di disurbo sul segnale, noa come inerferenza inersimbolica o ISI (acronimo delle parole inglesi InerSymbol Inerference). Nel caso di rasmissione di impulsi successivi, il rumore di canale e l evenuale ISI compaiono congiunamene. Pero, per capire meglio come l effeo dell inerferenza inersimbolica agisce sulle presazioni del sisema, e quali sono le ecniche per conrollarla, ipoizziamo di meerci nelle condizioni di assenza di rumore AWGN. b k Modulaore PAM Impulsi di clock a k Filro rasm. g() s() x 0 () x() y() Canale Filro ricez. h() + c() Rumore AWGN w() Disposiivo decisione Soglia di decisione λ rasmeiore canale riceviore 2 Fondameni di Segnali e rasmissione y( k ) Campiona negli isani k =k bˆ k

2 Inerferenza inersimbolica (1) All uscia del modulaore PAM il segnale e cosiuio da una sequenza di impulsi (approssimaivamene ideali) cui si associa ad ognuno l area a k con cadenza R=1/ a 0 a 2 a 3 k a δ ( k ) k a 1 a 4 Noa: indichiamo genericamene con l inervallo emporale ra la rasmissione di due simboli successivi (nel caso binario = b ) e con R=1/ la velocia di rasmissione dei simboli 3 Fondameni di Segnali e rasmissione Inerferenza inersimbolica (2) La cascaa dei re filri (filro di rasmissione, canale e filro di ricezione) e equivalene ad un filro con risposa in frequenza D(f)=G(f) H(f) C(f) La risposa all impulso globale del sisema vale Per semplicia assumiamo d(0)=1. d()=if{d(f)}=g()*h()*c() {a k } Filro rasm. g() s() Canale x 0 () Filro ricez. y() y( k ) h() c() d() / D(f) Campiona negli isani k =k 4 Fondameni di Segnali e rasmissione

3 Schema del sisema di rasmissione binario La sequenza a k, applicaa alla cascaa dei re filri, viene rasformaa nel segnale y() y( ) = aid( i ) i a 0 a 2 a 3 a 1 a 4 y() a 0 d() a 2 d(-2) d() a 1 d(-) 5 Fondameni di Segnali e rasmissione b Inerferenza inersimbolica (3) Il segnale y() viene campionao negli isani k y( k ) = aid( k i ) = ak d(0) + ai d[( k i) ] i i k isi isi segnale uile : a d(0) k a 0 a 2 ISI : a d[( k i) ] i k i y(0) y() y(2) a 1 isi 6 Fondameni di Segnali e rasmissione

4 Inerferenza inersimbolica (4) L effeo dell inerferenza inersimbolica dipende dalla forma dell impulso d(). Se la forma d onda del segnale d() fosse limiaa nel empo all inervallo, l ISI sarebbe nulla; ma una ale condizione richiederebbe una banda di canale molo grande. Vogliamo ricavare una condizione sulla forma d onda d(), nel caso in cui il canale sia un canale ideale con banda limiaa W, e quindi anche l impulso d() abbia lo spero limiao nella sessa banda. H(f) f(hz) 7 Fondameni di Segnali e rasmissione W Inerferenza inersimbolica (5) Poniamo uguale a zero la componene di inerferenza inersimbolica i= i k a d[( k i) ] = 0 d[( k i) ] = 0; k i d( j ) = 0; j 0 i La condizione di ISI=0 impone il vincolo che l onda d() si annulli per =j, con j diverso da zero. d() 0 8 Fondameni di Segnali e rasmissione

5 Il Crierio di Nyquis Converiamo la condizione di ISI nulla, ricavaa nel dominio del empo, nella sua formulazione duale nel dominio delle frequenze, applicando la proprieà della rasformaa di Fourier del campionameno nel empo. La condizione d(j)=1 per j=0 e d(j)=0 per j 0 equivale a dire che d() campionaa (cioè moliplicaa per un reno regolare di impulsi ideali) corrisponde ad un unico impulso ideale (in =0). La rasformaa di Fourier dell impulso e una cosane uniaria. Quindi la periodicizzazione della D(f) (rasformaa di d() campionaa) deve risulare uguale ad 1. La formulazione in frequenza della condizione di ISI=0 e noa come CRIERIO di NYQUIS: in un sisema di rasmissione, la risposa in frequenza globale D(f) non inroduce inerferenza inersimbolica, per il rimo di rasmissione dei simboli R, se e soddisfaa la condizione: D( f kr) = k cos 9 Fondameni di Segnali e rasmissione Banda di Nyquis La forma d onda più semplice che soddisfa il crierio di Nyquis è la funzione reangolare D(f)=rec(f/2W); con banda W=R/2. -2R -R W=R/2 R 2R f(hz) Fissaa la velocia di rasmissione dei simboli R, W=R/2 e dea Banda di Nyquis. Noa: ra ue le forme d onda che soddisfano il crierio di Nyquis, la funzione reangolare ha la banda più piccola. Queso significa che è possibile rasmeere una sequenza di simboli con velocià di rasmissione R, uilizzando solano le frequenze comprese nell inervallo [-R/2,R/2]. 10 Fondameni di Segnali e rasmissione

6 Velocia di Nyquis (1) La rasformaa inversa della funzione reangolare D(f)=rec(f/2W) fornisce la forma dell impulso d() nel empo, d()=2wsinc(2w) D(f) 1 d() W f(hz) = 1/2W Fissaa la banda W di un canale di rasmissione, la velocia R=2W e dea velocia di Nyquis. Su un canale di rasmissione di banda W [Hz], e eoricamene possibile rasmeere una sequenza di simboli con velocia fino a R=2W [simboli/s] senza inerferenza inersimbolica. 11 Fondameni di Segnali e rasmissione Velocia di Nyquis (2) 1 d() Rappreseniamo gli impulsi di ipo sinc(/), corrispondeni alla rasmissione della sequenza binaria indicaa, e verifichiamo che negli isani di campionameno gli impulsi non inerferiscono, ma compare solo il campione di segnale uile a k d(0) che vale +/-1. 1 d() d(-2) d(-3) 0-1 -d(-) Fondameni di Segnali e rasmissione

7 Il canale ideale di Nyquis Un sisema di rasmissione in cui la risposa in frequenza globale D(f) ha forma reangolare rec(f/2w), o, equivalenemene, la risposa all impulso globale d() ha la forma di una funzione sinc(2w), e deo canale ideale di Nyquis. d() / D(f) {a k } Filro rasm. g() s() Canale x 0 () Filro ricez. y() y( k ) h() c() Campiona negli isani k =k=k/2w D(f) 1 d() W f(hz) = 1/2W 13 Fondameni di Segnali e rasmissione Perche non si usa il canale ideale di Nyquis? Non si riescono a realizzare fisicamene filri con forma reangolare. Inolre la condizione di inerferenza inersimbolica nulla si verifica solo negli isani k; a causa di un imperfea sincronizzazione di simbolo in ricezione, l inerferenza inersimbolica puo manifesarsi in maniera rilevane (il canale di Nyquis ideale e molo sensibile ad errori di sincronizzazione) d() τ 14 Fondameni di Segnali e rasmissione

8 Esendendo la banda dello spero D(f) da W=R/2 a 2W=R, il crierio di Nyquis coincide con la condizione che la forma dello spero D(f), per f>0, preseni simmeria dispari rispeo al riferimeno di due assi orogonali x e y raslai, che passano per il puno (R/2, D(0)/2). D(f) D(0) y x -R -R/2 0 R/2 R 15 Fondameni di Segnali e rasmissione Spero a coseno rialzao 1; 0 < f W(1 α) 1 2π ( f W) D( f ) = 1+ cos ; W(1 α) < f W(1 + α) 2 4αW 0; f > W(1 + α) 0 α 1 α Faore di roll-off W(1+α)=R/2 (1+α) α=0 α= 1 α= 0.5 -R -R/2 0 W=R/2 R 16 Fondameni di Segnali e rasmissione

9 Impulsi con spero a coseno rialzao (1) d( ) cos(2παw) sinc(2w) α W = 2 =1/2W d() α=0 α= 1 α= Fondameni di Segnali e rasmissione Impulsi con spero a coseno rialzao (2) La forma dell impulso d() corrispondene agli speri a coseno rialzao si oiene facendo l anirasformaa di D(f). La forma d onda d() risula il prodoo di due funzioni: il primo faore garanisce il passaggio per lo zero negli isani mulipli di =1/2W; il secondo faore, che dipende da α, fa decrescere la forma d onda piu velocemene rispeo al caso di impulso ideale di Nyquis (α=0). Infai, al crescere di α, le ampiezze delle code oscillani diminuiscono e quindi diminuisce l enia di inerferenza inersimbolica dovua ad evenuali errori di sincronizzazione. Per α=1, le ampiezze delle code oscillani sono le piu piccole. Il prezzo che si paga per avere la massima proezione nei confroni dei errori di sincronizzazione e l occupzione di banda, che risula doppia rispeo al caso ideale. Per α=1, olre ad avere la maggior proezione nei confroni di errori di sincronizzazioe, gli uleriori araversameni per lo zero negli isani [+/-(3/2),+/-(5/2), ] possono risulare uili nelle procedure di sincronizzazione. 18 Fondameni di Segnali e rasmissione

10 Progeo dei filri di rasmissione e ricezione con ISI nulla (1) Il filro adaao e il riceviore oimo di un singolo impulso in presenza di rumore. Nella rasmissione di una sequenza di impulsi, e necessario enere cono dell inerferenza inersimbolica. Nell ipoesi che il canale di rasmissione sia ideale, come scegliere nel modo migliore la forma d onda g() di rasmissione (il filro di rasmissione), e il filro di ricezione? 19 Fondameni di Segnali e rasmissione Progeo dei filri di rasmissione e ricezione con ISI nulla (2) Sia H(f) la risposa in frequenza del canale di rasmissione ideale con banda W. Sia H N (f) uno spero che soddisfa il crierio di Nyquis, con spero limiao alla banda del canale. Per avere ISI=0 dovra essere se scegliamo G(f) e C(f) ali che D(f)= G(f)H(f)C(f)=G(f)C(f)=H N (f); G( f ) = C( f ) = H G( f ) = C( f ) ( f ) allora, il crierio di Nyquis e soddisfao e si ha anche adaameno del filro di ricezione alla forma d onda rasmessa sul canale, perche C(f)=G(f)*. La scela di una caraerisica di Nyquis e la sua suddivizione ra rasmeiore e riceviore e appuno il crierio usao in moli sisemi di rasmissione. N 20 Fondameni di Segnali e rasmissione