Esercizi di approfondimento di Analisi IA

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1 Esercizi di approfodimeto di Aalisi IA 4 geaio Estremo superiore/iferiore, classi cotigue, archimedeità 1.1. Mostrare che A = {x R : x > 0, x < } ha u estremo superiore ξ, ed è ξ =. 1.. Siao A, B due sottoisiemi o vuoti di R, co A B. Provare che (A, B) formao ua coppia di classi cotigue se, e solo se, per ogi ε > 0 esistoo a ε A e b ε B tali che b ε a ε < ε. { } { } 1.3. Provare che gli isiemi A = + 1 : N e B = 1 : N formao ua coppia di classi cotigue Siao A, B due sottoisiemi o vuoti di R, co A B. Provare che (A, B) formao ua coppia di classi cotigue se, e solo se, sup A = if B Sia S R superiormete limitato. É vero che (S, S ) è ua coppia di classi cotigue? Provare l affermazioe Provare che l archimedeità di R implica la o limitatezza di N (sugg: qui o coviee dimostrarlo per assurdo) Sia A R. Provare che sup A = + se e solo se per ogi M R esiste a A tale che M a. Desità.1. Sia a > 0. Mostrare che {x Q : x > 0, x < a} ha u estremo superiore ξ, ed è ξ = a... Sia θ irrazioale. (a) Sia q Q: è vero che qθ / Q? (b) Dedurre che i umeri irrazioali soo desi i R. 3 Isiemi bee ordiati 3.1. Si cosideri l isieme M = {m 1 : m, N \ {0} }. Lo scopo dell esercizio cosiste el provare che M è bee ordiato, cioè che ogi sottoisieme o vuoto di M ha miimo. (a) Sia m 1; descrivere [m 1, m[ M. Sia ora S M. (b) Provare che esiste m 1 miimo tra gli m 1 tali che [m 1, m[ S ; (c) Provare che esiste il miimo dell isieme { 1 : m 1 S}; (d) Dedurre dai puti precedeti che S ha miimo. 3.. Provare che Z o è limitato. 1

2 4 Iduzioe 4.1. Ituire ua formula per la somma dei primi 1 umeri aturali dispari ( 1), dimostrarla poi per iduzioe. 4.. Sia φ : N N strettamete crescete. Provare che φ() per ogi. 5 Topologia di base 5.1. Dire quali dei segueti isiemi soo chiusi e quali soo aperti: [0, + [, N, N { + 1/( + 1) : N}. 5.. Sia S u sottoisieme o vuoto di R. Provare che l isieme dei maggiorati di S è chiuso. { } L isieme A = : N è chiuso? è aperto? Stesse domade per l isieme A {0} Z { } {+ } è chiuso, è aperto i R? 5.5. Sia S chiuso o vuoto iferiormete limitato. Provare che S ha miimo Sia S u sottoisieme aperto e chiuso o vuoto di R. Provare che S = R. (Sugg: se a / S cosiderare l isieme S [a, + [... e utilizzare l esercizio precedete) 6 Successioi 6.1. Usado la defiizioe di limite, provare che lim + ( 1) = +, lim =. 6.. Calcolare lim + ( ) Estrarre dalla successioe ( 1) due sottosuccessioi covergeti a limiti distiti Siao (x ) ua successioe e l R. Scrivere la defiizioe di lim + x = l, egare poi tale affermazioe Sia (x ) ua successioe, e vi sia l R tale che ogi sottosuccessioe ammette ua sottosuccessioe che tede ad l. È vero che lim x = l? (caratterizzazioe del sup co le successioi) Sia S u sottoisieme o vuoto, superiormete limitato di R. Provare che z = sup S se, e solo se (a) z S; (b) c è ua successioe di elemeti di S che coverge a z Sia (x ) ua successioe e S = {x : N}. (a) È vero i geerale che S è chiuso? (b) Rispodere alla domada precedete suppoedo che (c) Suppoiamo ora che 6.8. Sia (x ) ua successioe e si suppoga che: (x k ) k e (x k+1 ) k siao mootoe; lim k (x k x k+1 ) = 0 Provare che (x ) ammette limite. lim x = + ; + lim x = l R. È vero che S {l} è chiuso? +

3 7 Successioi defiite per ricorreza 7.1. Siao I itervallo chiuso, f : I I cotiua, e (x ) successioe defiita da (a) Si suppoga che x 0 I, x +1 = f(x ) 0. lim x = l. Provare che l è puto fisso di f; + (b) Si suppoga che esista c I tale che f f(c) = c. Provare che f ha u puto fisso (sugg: cosiderare f sull itervallo di estremi c e f(c)) 8 Successioi complesse 8.1. (Il teorema di Jacobi) Sia q = e itπ co t R, S = {q : N}. (a) Si suppoga t Q. Provare che la successioe (q ) è periodica, cioè che assume solo u umero fiito di valori distiti, dire per quali valori di t essa ammette limite; (b) Si suppoga t / Q. i. Provare che la successioe (q ) assume ifiiti valori; ii. Provare che (q ) ha ua sottosuccessioe covergete: dedurre che per ogi ε > 0 esistoo m tali che 0 < q q m < ε; iii. dedurre che per ogi ε > 0 esiste s S tale che 0 < s 1 < ε; iv. provare che S è deso sul circolo uitario (sugg: usare il fatto che se 0 < r < y x allora esiste N co x < r < y...). (c) Dedurre dai puti precedeti il comportameto delle successioi (cos(t)), (si(t)) 9 Serie a secoda dei valori di t R Discutere, al variare di a > 0 la covergeza di 9.. Coverge la serie 9.3. Coverge la serie =1 =1 log? log ? =1 + 5 a (a) Per quali x R coverge la serie 1 x! + x4 4! +...? (b) Posto f(x) uguale alla somma della serie precedete (per gli x ei quali la serie coverge): i. Mostrare che f è fuzioe pari; ii. Per quali x si può applicare il criterio di Leibiz a partire dal primo termie? iii. Mostrare che i u itoro di 0 si ha 0 x! x4 x 1 f(x) 4!! ; ( π ) iv. Forire ua approssimazioe di f(1) e di f a meo di 1/ Defiizioe di serie covergete. E vero che ua serie coverge se il suo termie geerale tede a 0? E vero il viceversa? Giustificare le affermazioi. 3

4 9.6. Siao (a ) successioe reale, e ρ > 0 tali che la serie a x coverge assolutamete. = Calcolare la somma della serie =1 a ρ coverge. Sia x < ρ. Provare che la serie = Calcolare la somma della serie 9.9. Calcolare la somma della serie Studiare al covergeza della serie =1 ( 1)( + 1). =1 = ( ) Puti di accumulazioe, frotiera, itero, chiusura Sia p di accumulazioe per E R. Provare che ogi itoro di p cotiee ifiiti puti di E Sia S = {0} {1/ : N 1 }. Determiare itero, chiusura e frotiera di S Sia A u sottoisieme aperto di R. Dare ua risposta motivata a tutti i quesiti: (a) è vero che ogi puto di A è di accumulazioe? (b) è vero che la frotiera di A è coteuta i A? (c) è vero che A ha massimo? (d) è vero che A è u itervallo del tipo ]a, b[? Sia I itervallo chiuso di R, e S I. Sia S deso i I per l ordie: per ogi x < y i I esista s S tale che x < s < y. Provare che S = I, cioè per ogi α I esiste (s ) i S tale che lim s = α; Si suppoga che S = I: provare che S è deso i I per l ordie. 11 Fuzioi trigoometriche, iperboliche e loro iverse Provare che si(x) è strettamete crescete su [ π/, π/]. Abbozzare il grafico dell iversa, detta fuzioe arcoseo: arcsi : [ 1, 1] [ π/, π/] Provare che cos(x) è strettamete crescete su [0, π]. Abbozzare il grafico dell iversa, detta fuzioe arcocoseo: arccos : [ 1, 1] [0, π] Provare che ta(x) := si x è defiita su R \ {π/ + πz}, periodica di periodo π, ed è strettamete cos x crescete su ] π/, π/[. Calcolare i limiti agli estremi di tale itervallo. Abbozzare il grafico dell iversa di ta(x) ristretta a ] π/, π/[, detta fuzioe arcotagete: arcta :?? ] π/, π/[. 4

5 11.4. La fuzioe seo iperbolico è defiita da sih(x) = ex e x per ogi x R. Provare che sih è strettamete crescete e dispari sul suo domiio, determiare i limiti agli estremi. Abbozzare il grafico della fuzioe sih e dell iversa settsih :?? R, e scrivere ua formula esplicita per settsih(y) i termii di fuzioi ote. Scrivere la fuzioe sih(x) come somma di ua serie di poteze (sugg: usare l espasioe di e x...) La fuzioe coseo iperbolico è defiita da cosh(x) = ex + e x per ogi x R. Provare che cosh è pari, strettamete crescete su [0, + [, determiare i limiti i 0 e all ifiito. Abbozzare il grafico di cosh e dell iversa settcosh :?? [0, + [ di cosh ristretta a [0, + [; scrivere ua formula esplicita per settcosh(y) i termii di fuzioi ote. Scrivere la fuzioe cosh(x) come somma di ua serie di poteze (sugg: usare l espasioe di e x...) La fuzioe tagete iperbolica è defiita da tah(x) = sih(x) per ogi x R. Provare che tah è cosh(x) dispari e strettamete crescete su R, determiare i limiti agli estremi del domiio. Abbozzare il grafico dell iversa setttah :?? R, e scrivere ua formula esplicita per setttah(y) i termii di fuzioi ote. 1 Limiti, Fuzioi cotiue, topologia idotta 1.1. Sia f fuzioe defiita attoro a 0. Si cosiderio le sequeti proposizioi: a) f(x) = 4 + x 5x + o(x ) per x 0; b) f(x) 4 + x 5x + o(x ) per x 0; c) f(x) 4 + x 5x per x 0; d) f(x) 4 per x 0; e) f(x) = 4 + x 5x + o(x) per x 0. f) f(x) = 4 + o(1) per x 0. Determiare le implicazioi ed equivaleze tra a) b) c) d) e). 1.. Sia f : D R R. Provare che f è cotiua se e solo se per ogi chiuso F di R l atiimmagie f 1 (F ) di F tramite f è chiuso ella topologia relativa di D Siao E D R. Mostrare che E è aperto ella topologia relativa di D se e solo se per oigi c E esiste u itoro U di c i R tale che U D E Siao S D R o C. Si dice che S è deso i D se D S, cioè se ogi elemeto di D è limite di ua successioe i S. Siao f, g : D R tali che f = g su S. Provare che f = g su D. { } Sia D = [, 0[ B, dove B := : N \ {0}. (a) B è chiuso i R? è chiuso i D per la topologia idotta? (b) [, 0[ è aperto? è aperto i D per la topologia idotta? (c) L isieme {1/, 1} è itoro di 1 i R? e i D per la topologia idotta? 1.6. {0} è aperto i N per la topologia idotta: vero o falso? 1.7. Se ua fuzioe ha miimo i u puto p itero al domiio allora, almeo localmete, è vero che la fuzioe è decrescete a siistra di p e crescete a destra di p: vero (forire dim) o falso (forire u cotroesempio)? 1.8. La fuzioe f(x) = si x + log 4 x + cos 1 ha miimo assoluto su [1, + [? x 1.9. Siao I itervallo, f : I R localmete costate (per ogi x I vi è u itoro di x i I sul quale f è costate). Provare che f costate Sia f : D R R mootoa. Provare che le discotiuità di f formao u isieme al più umerabile. Sugg: cosiderare f(d): le discotiuità corrispodoo ad itervalli o degeeri... 5

6 13 Compattezza, estremi globali e locali Sia (x ) successioe tale che ogi sua sottosuccessioe che ha limite i R coverga ad u dato valore l R idipedete dalla sottosuccessioe data. La successioe è limitata?è vero che la successioe coverge? 13.. Sia f : [a, b[ R cotiua, co lim x b f(x) = +. Provare che f ha miimo assoluto Sia f :]a, b[ R cotiua, co lim f(x) = lim f(x) +. Provare che f ha miimo assoluto. x b x a Forire i segueti esempi: (a) ua fuzioe cotiua su u itervallo chiuso che o ammette miimo assoluto; (b) ua fuzioe su u itervallo chiuso e limitato che o ammette miimo assoluto; (c) ua fuzioe cotiua su u itervallo limitato che o ammette miimo assoluto Sia I itervallo di R. Provare che f : I R ha u estremo (massimo o miimo) assoluto i c itero ad I se e solo se il rapporto icremetale da c, defiito da h(x) = f(x) f(c), x I \ {c} x c cambia di sego i c (h(x) 0 per x < c e h(x) 0 per x > c o viceversa) Provare che u isieme ifiito, limitato, ha almeo u puto di accumulazioe i R Sia f : [a, b] R cotiua e si suppoga che ogi puto di [a, b] sia miimo locale per f. Provare che f è costate. L affermazioe è vera se f o è cotiua? Sia f : [a, b] R cotiua e si suppoga che ogi puto di [a, b] sia miimo o massimo locale per f. Provare che f è costate. L affermazioe è vera se f o è cotiua? Sugg: sia p puto di massimo per f. Cosiderare C = {x [a, p] : f(y) = f(p) y [x, p]}. Provare che C = [a, p]. Aalogamete f(x) = f(p) a destra di p. Esempio:1 χ Sia f : [a, b] R cotiua e si suppoga che ogi puto di [a, b] sia miimo o massimo locale per f. Provare che f è costate. L affermazioe è vera se f o è cotiua? Esempio: χ [0,1] Q. Se f o è costate allora f([a, b]) è u itervallo o degeere. Cosideriamo la famiglia (umerabile) (I ) N degli itervalli del tipo [p, q] [a, b] co p, q Q. Per ogi N poiamo I mi := {x I : x miimo per f su I }, I max := {x I : x massimo per f su I }. f è costate su I mi. Ifatti se x, y I mi si ha sia f(x) f(y) che f(y) f(x). Aalogamete f è costate su I max. Ogi puto è estremo locale [a, b] = ( I mi Si ha quidi che f([a, b]) = ( f(i mi I max ). ) f(i max ) ) è al più umerabile: assurdo. 14 Iverse di fuzioi cotiue Provare l esisteza e al cotiuità del logaritmo, ammettedo le proprietà della fuzioe espoeziale Sia ϕ :]a, b[ ]c, d[ cotiua e biiettiva. Si suppoga che lim ϕ(x) < lim ϕ(x). x a + x b (a) Determiare tali limiti; (b) Determiare lim ϕ 1 (y) e lim ϕ 1 (y). y c + y d Sia f(x) = e x + log(x + 1), x I = [0, + [. (a) Determiare la mootoia di f e i limiti agli estremi del domiio. 6

7 (b) Determiare J := f(i). (c) Mostrare che f : I J è ivertibile, studiare la cotiuità e i limiti agli estremi di J dell iversa. (d) Determiare a, b, c R (se esistoo) tali che (e) Studiare (seza usare le derivate) il limite f 1 (y) = a + b(y 1) + c(y 1) + o 1 (y 1). f 1 (y) (y 1) lim y 1 (y 1). 7