Lezione 19. Elementi interi ed estensioni intere.

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1 Lezoe 9 Peequst: Modul ftamete geeat Elemet algebc Elemet te ed esteso tee Sa A u aello commutatvo utao sa B u suo sottoaello Tutt sottoaell cosdeat coteao l utà moltplcatva d A Defzoe 9 U elemeto α A s dce teo su B se esste u polomo moco f ( B[ tale che f ( α) = L equazoe f ( = s dce equazoe d dpedeza tea pe α A su B L aello A s dce teo su B (oppue u estesoe tea d B) se og elemeto d A è teo su B Ossevazoe 9 a) Og α B è teo su B; u equazoe d dpedeza tea è x α = b) Sa K u campo sa F u sottocampo d K Alloa α K è teo su F se e solo se è algebco su F Esempo 93 I ume compless soo te su Z Defzoe 94 U umeo complesso teo su Z s dce u teo algebco Og teo algebco atualmete è u umeo algebco (coè è algebco su Q) No vale peò l vcevesa Lo dmostamo el seguete Eseczo 95 Povae che o è teo su Z Svolgmeto: Sa f ( o ullo tale che f = f ( = a x + a x + + ax + a co a Alloa a f = a + a a = coè a + a + + a + a = Segue che dvde a qud f ( o è moco Co ua facle geealzzazoe d questo eseczo s pova: Poposzoe 96 U elemeto α Q è teo su Z se e solo α Z Tuttava è possble costue u teo algebco a pate da u qualsas umeo algebco ella maea dcata dalla seguete

2 Poposzoe 97 Sa α C u umeo algebco Alloa esste u teo o ullo m tale che m α sa u teo algebco Dmostazoe: Sa f ( Q[ ( x ) = a x co a tale che f ( α) = A meo d f = moltplcazoe pe u oppotuo teo o ullo possamo suppoe che = S ha a f ( α) = a Z pe og coè Qud = a aα = aα + aa α = ( aα) + aa = = = a α aulla l polomo moco ( a α) g( = x + a a = x Duque a α è u teo algebco Poposzoe 98 Sa α C u umeo algebco Alloa α è teo su Z se e solo se l polomo mmo d α su Q è a coeffcet te Dmostazoe: Pe povae l mplcazoe o baale suppoamo che l umeo algebcoα C sa teo su Z Sa p( Q[ l suo polomo mmo su Q e sa f ( = la sua equazoe d dpedeza tea su Z Alloa esste u polomo q( Q[ (chaamete moco) tale che f ( = p( q( Pe l Teoema d Gauss esste c Q * tale che s abba p ( = cp( q ( = c q( Alloa f ( = ~ p ( q ~ ( ed essedo p( x ) moco c Natualmete possamo suppoe che sa c = Alloa ~ p( = p( x ] come volevas ecessaamete { } Damo oa ua caattezzazoe degl elemet te u aello abtao Teoema 99 Sa A u aello commutatvo utao sa B u suo sottoaello Sa equvalet le seguet codzo: α A Soo a) α è teo su B; b) B [α ] è u B-modulo ftamete geeato; c) esste u sottoaello C d A coteete B tale che α C e C è u B-modulo ftamete geeato Dmostazoe: Povamo che a) b) Sa f ( = b x B[ u polomo moco tale che f ( α) = Alloa qud = α = b α Bα = =

3 α + = b α = + = b = α = b α b = = α Bα Co u facle agoameto duttvo s pova che geeale pe og Petato = = B[ α ] Bα Pe povae b) c) basta pedee C = B[α ] m = α Bα m Povamo fe che c) a) Sa C = Bγ Alloa pe og = s ha che αγ C ed esstoo qud b b B tal che γ Posto γ = γ = αγ = bjγ j j= e cosdeata la matce M = ( b j ) s ha duque ( αi M ) γ = ove I è la matce dettà d ode Moltplchamo etamb memb a ssta pe la matce agguta d N = α I M che è * * N = ( c j ) ove c * j ( ) + = j N j essedo coloa Alloa N j l detemate della sottomatce d N otteuta elmado la -esma ga e la j-esma * N N = (det N ) I qud (det N ) I γ = coè (det N ) γ = pe og = Ma alloa (det N ) c = pe og c C patcolae cò vale pe c = Petato ossa α è adce del polomo det N = det( α I M ) = p( = det( xi M ) che è l polomo caattestco della matce M (a coeffcet B) e petato è moco Qud α è teo su B

4 Ossevazoe 9 S ot l aaloga ta l equvaleza a) b) e la popetà valda pe camp: data u estesoe K d u campo F l elemeto α K è algebco su F se e solo se F [α ] è d gado fto su F (ved Algeba Poposzoe ) Quest ultma è stata così geealzzata Il possmo eucato estede la Poposzoe 6 del coso d Algeba Coollao 9 Se A è u B-modulo fg alloa A è teo su B Esempo 9 a) I base alla Poposzoe 96 Q o è u'estesoe tea d Z b) Pe og polomo moco o costate f ( l aello Z [ ( f ( ) è u estesoe tea d Z: fatt se = deg f ( alloa Z[ ( f ( ) = Z ( x + ( f ( ) è uo Z-modulo ftamete geeato e la coclusoe segue alloa dal Coollao 9 c) Z [ o è u estesoe tea d Z: cò segue dal Teoema 99 peché Z [ o è uo Z- modulo ftamete geeato (ved Esempo 7 c)) e qud x o è teo su Z Aalogamete a quato vsto pe le esteso algebche (ved Algeba Poposzoe 4) vale Poposzoe 93 (Tastvtà delle esteso tee) Sa C u sottoaello del sottoaello B d A Se A è u estesoe tea d B e B è u estesoe tea d C alloa A è u estesoe tea d C Dmostazoe: S pocede aalogamete a quato fatto pe camp utlzzado l equvaleza a) b) del Teoema 99 Teoema 94 Sao A B dom d tegtà e sa A u estesoe tea d B Alloa A è u campo se e solo se B è u campo Dmostazoe: Suppoamo che A sa u campo e sa β B β Alloa β è vetble A e β è teo su B Qud pe oppotu = ( b B Moltplcado pe β ) + b ( β ) + + b β + b = β otteamo β = b b β b β b β B Cò pova che B è u campo Vcevesa suppoamo che B sa u campo Sa α A α Essedo α teo su B s ha = α + b α + + b α + b () pe oppotu b B Suppoamo che sa l pù pccolo possble Alloa b qud b è vetble B Dalla () cavamo alloa [ b ( α b α )] = b b = b ( α bα bα ) = α b

5 ove l elemeto ta paetes quade appatee ad A Cò pova che A è u campo Damo oa le ozo aaloghe a quelle d chusua algebca e d campo algebcamete chuso Defzoe 95 L seme B degl elemet d A te su B s dce la chusua tea d B A Se B = B B s dce tegalmete chuso A Esempo 96 a) I vtù della Poposzoe 96 la chusua tea d Z Q è Z b) Z o è tegalmete chuso C quato ft elemet d C \ Z ta cu ad esempo soo te su Z Segue che Z o è tegalmete chuso é Q () é Q ( ) Eseczo 97 Detemae la chusua tea d Z Q () u * Svolgmeto: Sa α = + Q() ove u Z v s N MCD ( u v) = MCD( s) = Cò v s clude l caso cu u = v = oppue = s = Suppoamo α teo su Z α Q Il polomo mmo d α su Q che è u u p ( = ( x α )( x α) = x Re( α) x + αα = x x + + v v s vtù della Poposzoe 98 è alloa a coeffcet te I patcolae copm v Se v = alloa u e + u 4 s v u coè essedo u e v Z da cu u + Z () s 4 qud s Se s = alloa vtù d () s ha u coto l potes che u e v sao copm Qud s = Poché ache e s soo copm è come u dspa Alloa u duque + (mod 4) u 4 + s u = + 4 Z che cotaddce () Cò esclude che possa essee v = Petato v = e qud s = pe cu α = u + Z [ ] Vcevesa se α = u + Z[] alloa α è adce del polomo p ( = x ux + u + moco a coeffcet te Co cò abbamo povato che la chusua tea d Z Q() è Z[]

6 Ossevazoe 98 Z[] o è peò la chusua tea d Z C: fatt è teo su Z ma o appatee a Z[] D alta pate og elemeto d C teo su Z è algebco su Q Qud la chusua tea d Z C cocde co la chusua tea d Z Q l campo de ume algebc Eseczo 99 Detemae la chusua tea d Z Q ( 5) Svolgmeto: Ossevamo aztutto che se α Z[ 5] α = u + 5 co u Z alloa l polomo mmo d α su Q è p( = ( x u 5)( x u + 5) = x ux + u 5 che è a coeffcet te; qud α è teo su Z Duque Z [ 5] è coteuto ella chusua tea d Z Q ( 5) C chedamo se valga ache l clusoe cotaa Può spodee subto egatvamete ch ha famlatà co l umeo aueo (studato da Fboacc (7-5) e da Luca Pacol) (445-57): 5 Φ = 68 S tatta d u umeo azoale defto come la lughezza della pate maggoe x d u segmeto d lughezza utaa quado la suddvsoe è tale che x x = x x x ossa a paole vale la seguete popozoe: pate maggoe : pate moe = tutto : pate maggoe L ultma uguaglaza equvale all equazoe quadatca x + x = le cu soluzo soo: x + = 5 5 x = Esse soo evdetemete tee su Z ma o appategoo a Z [ 5] Qud la chusua tea d Z u Q ( 5) è pù gade d Z [ 5] La detemamo Sa α = + 5 Q( 5) ove v s * u Z v s N MCD ( u v) = MCD( s) = Il polomo mmo d α su Q è:

7 u u 5 = + v v s p( x x Se α è teo su Z alloa vtù del Poposzoe 98 s coclude che p( Segue che v Se v = alloa s = e tal caso Suppoamo adesso che v = Alloa α = u + 5 Z[ 5] (3) u s s u = è u teo multplo d 4 Dato che pe potes o dvde u segue che 4 o dvde l secodo addedo coè 4 s Iolte s peché e s soo copm Qud s = I tal caso u α = + 5 (4) ed l suo polomo mmo su Q è u 5 p( = x ux + Z [ 4 I coclusoe la chusua tea d Z Q ( 5) è l seme degl elemet del tpo (3) e del tpo (4) ossa è u u Z u (mod ) = Z Povamo l uguaglaza L clusoe sulta mmedata se s tee coto che come veà dmostato ella Poposzoe 93 l'seme d ssta è u aello Pe povae basta ossevae che pe og u Z co u (mod ) u + u + 5 = 5 3 u Z 5 I geeale s dmosta la seguete Poposzoe 9 Sa Q ( m) è m Z m dveso da e pvo d quadat Alloa la chusua tea d Z Z[ m] + m Z se se m 3 (mod 4) m (mod 4) ove abbamo posto m = m se m <

8 Nota Il caso a cu samo teessat è atualmete quello cu m o è u quadato pefetto Alloa c s può sempe codue al caso cu m è u teo pvo d fatto pm petut (pvo d quadat) Ifatt se d è la pate quadata d m (ossa l pù gade quadato pefetto che dvde m) s ha m m = d = d d m d così che m Q( m) = Q d ove m è u teo pvo d quadat dveso da e da d Esempo 9 Tamte la Poposzoe 9 tovamo sultat a o gà ot pe m = e m = 5 Iolte cocludamo che la chusua tea d Z Q ( 5) = Q( 5) è Z [ 5] = Z[ 5] e la chusua tea d Z Q ( 3) = Q( 3) è Z = Z Rcodamo che la chusua algebca d u campo F ua sua estesoe K è u sottocampo d K coteete F (ved Algeba Teoema ) U eucato aalogo vale pe la chusua tea d u sottoaello d u aello Damo pma u sultato pelmae d teoa de modul che cospode alla Poposzoe 5 (teoema d moltplcazoe de gad pe le esteso successve) e s pova modo del tutto smle Petato e omettamo la dmostazoe Rcodamo che og aello commutatvo utao è u modulo su og suo sottoaello Lemma 9 Sa B u sottoaello d A coteete l sottoaello C Se A è u B-modulo fg e B è u C-modulo fg alloa A è u C-modulo fg Poposzoe 93 La chusua tea B del sottoaello B A è u sottoaello d A coteete B (detto ache aello degl te d A su B) Dmostazoe: Sao x y B Poché x è teo su B pe l Teoema 99 B [ è u B-modulo ftamete geeato Essedo y teo su B a maggo agoe lo è su B [ Qud sempe pe l Teoema 99 B[ x y] = B[ [ y] è u B[ -modulo ftamete geeato Dal Lemma 9 segue che B [ x y] è u B-modulo ftamete geeato Pe l Coollao 9 cò mplca che B [ x y] è teo su B Petato gl elemet x y xy B[ x y] soo te su B Cò basta pe cocludee che B è u sottoaello d A Poposzoe 94 B è u aello tegalmete chuso A

9 Dmostazoe: Sa α A teo su B Alloa pe l Teoema 99 B [α ] è u B -modulo fg e qud B [α ] è teo su B Pe la Poposzoe 93 segue che esso è teo ache su B Duque patcolae α è teo su B coè α B Defzoe 95 U domo d tegtà A s dce tegalmete chuso se è tegalmete chuso el popo campo de quozet Attezoe! Questa defzoe o è aaloga a quella d campo algebcamete chuso Rcodamo che u campo algebcamete chuso o ammette esteso algebche pope Ivece o è veo che u aello tegalmete chuso o ammetta geeale esteso tee pope Esempo 96 I base all Esempo 96 a) Z è tegalmete chuso Tuttava Z ammette esteso algebche pope come quelle pesetate ell Esempo 9 b): se f ( è u polomo d gado maggoe d l aello Z [ ( f ( ) è u estesoe tea popa d Z Esste u teessate cteo suffcete affché u domo d tegtà sa tegalmete chuso Poposzoe 97 Og domo a fattozzazoe uca è tegalmete chuso Dmostazoe: Sa A u domo a fattozzazoe uca sa K l suo campo de quozet Sa α K α = uv co u v A v u v elatvamete pm Se α è teo su A alloa ( uv ) + a ( uv ) + + auv + a = pe oppotu a A Alloa vu + + av u + av = u + a Segue che u v ma u v soo copm Petato v è vetble A duque α = uv A Esempo 98 Og aello d polom su u domo a fattozzazoe uca è tegalmete chuso quato è esso stesso u domo a fattozzazoe uca (ved Algeba Teoema 97) I patcolae se F è u campo l aello F [ è tegalmete chuso el suo campo de quozet che è l campo delle fuzo azoal F ( Iolte Z [ è tegalmete chuso el suo campo de quozet che è Q ( Ossevazoe 99 La Poposzoe 97 o s può vete I base alle Poposzo 9 e 94 l aello Z [ 5] = Z[ 5] è tegalmete chuso el suo campo de quozet Q( 5) Tuttava o è u domo a fattozzazoe uca (ved Algeba Ossevazoe 88)

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