Interpretazione astratta

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Interpretazione astratta"

Transcript

1 Interpretazione astratta By Giulia Costantini (819048) e Giuseppe Maggiore (819050) Contents Interpretazione astratta... 2 Idea generale... 2 Esempio di semantica... 2 Semantica concreta... 2 Semantica astratta... 3 Correttezza... 3 Concretizzazione... 3 Estensione dell esempio di semantica (aggiungiamo TOP)... 3 Esempi... 4 Altra estensione dell esempio di semantica (aggiungiamo BOTTOM)... 5 Dominio astratto... 5 La funzione di astrazione... 5 Definizione generale di interpretazione astratta... 6 Operazioni astratte... 6 Astrazioni come chiusure... 6 Astrazione e concretizzazione... 7 Correttezza... 7 Prova di correttezza... 8 Definzione alternativa... 8 Estensione al nostro tiny language: input... 9 Teorema: la correttezza locale e sufficiente... 9 Estensione al nostro tiny language: comando condizionale Correttezza del comando condizionale Estensione al nostro tiny language: ricorsione Semantica delle funzioni ricorsive Semantica astratta... 12

2 Correttezza Esempio Riassunto e conclusioni Astrazione = selezionare una (delle varie) proprieta Interpretazione astratta Una tecnica utilizzata da quasi 30 anni per trattare in modo sistematico astrazioni e approssimazioni Nata per descrivere analisi statiche di programmi imperativi e provarne la correttezza Sviluppata soprattutto su linguaggi dichiarativi (logici e funzionali) Vista oggi come tecnica generale per ragionare su semantiche a diversi livelli di astrazione Applicata con successo a sistemi distribuiti per verifica di programmi (correttezza-sicurezza) Idea generale Il punto di partenza e la semantica concreta o Una funzione che assegna significati ai comandi di un programma in un dominio fissato di comunicazione Si determina un dominio astratto che modella alcune proprieta delle computazioni concrete tralasciando la rimanente informazione Si deriva una semantica astratta che permetta di eseguire il programma sul dominio astratto per calcolare la proprieta che il dominio astratto modella Applicando un algoritmo di punto fisso sara quindi possibile calcolare staticamente una approssimazione corretta della semantica concreta Esempio di semantica Consideriamo un linguaggio molto limitato che permette di operare su moltiplicazioni di interi o e = i e e Semantica concreta La semantica concreta di questo linguaggio si puo descrivere mediante una funzione μ definita come: o μ exp int μ i = i o μ e 1 e 2 = μ e 1 μ e 2

3 Semantica astratta Possiamo considerare una astrazione della semantica concreta (semantica astratta) che calcola solo il segno delle espressioni o σ exp +,,0 + if i > 0 o σ i = 0 if i = 0 if i < o σ e 1 e 2 = σ e 1 σ(e 2 ) o dove e l operazione astratta che calcola il segno del prodotto Correttezza Possiamo dimostrare che questa astrazione e corretta, ovvero che predice correttamente il segno delle operazioni La dimostrazione e per induzione strutturale sull espressione e e utilizza le proprieta della moltiplicazione tra interi (il prodotto di due positivi e positivo, etc.). μ e > 0 σ e = + μ e = 0 σ e = 0 μ e < 0 σ e = semantica concreta semantica astratta Concretizzazione Possiamo associare ad ogni valore astratto l insieme dei valori che esso rappresenta: γ +,0 p(z) γ + = i i > 0 γ 0 = 0 γ = i i < 0 La funzione di concretizzazione γ mappa un valore astratto in un insieme di valori concreti Indichiamo con D il dominio concreto e A il dominio astratto Data una espressione e, il suo valore calcolato rispetto alla semantica concreta μ, deve appartenere all insieme dei valori nella concretizzazione γ della semantica astratta σ: μ e γ σ e e la semantica e' corretta Cio significa che il valore concreto deve essere approssimato dal valore astratto Estensione dell esempio di semantica (aggiungiamo TOP) Aggiungiamo l operatore unario di cambiamento di segno e l operatore di somma:

4 μ e = μ e σ e = σ e dove l operatore di cambiamento di segno nel dominio astratto e cosi definito: Aggiungere l addizione e piu complesso in quanto il domino astratto non e chiuso rispetto a questa operazione μ e 1 + e 2 = μ e 1 + μ(e 2 ) σ e 1 + e 2 = σ e 1 + σ(e 2 ) Per poter definire l operatore di somma nel dominio astratto (+), dobbiamo estendere il dominio astratto con un nuovo valore tale che γ = {i i Z} Avendo aggiunto un elemento al dominio astratto, e necessario ridefinire le operazioni astratte viste precedentemente: Esempi μ = 0 σ = =

5 μ = 31 σ = = + + Altra estensione dell esempio di semantica (aggiungiamo BOTTOM) Se volessimo aggiungere la divisione intera con resto, incontreremmo problemi nel caso di divisione per 0 Se dividiamo gli interi di un qualche insieme non vuoto per 0 otteniamo l insieme vuoto, rappresentato con γ = Dovremmo anche estendere le altre operazioni (di nuovo) ma lo facciamo piu semplicemente elencando le aggiunte alle tabelle: o o o + x = x = = Dominio astratto Il dominio astratto e un reticolo completo L ordine parziale e coerente con la funzione di concretizzazione x y γ x γ(y) Piu siamo in giu nel reticolo, maggiore e la precisione Ogni sottoinsieme ha un lub e un glb (reticolo completo!) La funzione di astrazione Alla funzione di concretizzazione γ corrisponde una funzione di astrazione α La funzione α mappa insiemi di valori concreti nel piu piccolo valore astratto che li rappresenta tutti Rispetto al nostro tiny language: o α p Z A

6 o α 17,22,3,0 = ( +,0 ) = o α S = i S, i < 0 se ci sono negativi, + i S, i > 0 + se ci sono positivi, 0 i S, i = 0 0 se c'e' lo 0 Definizione generale di interpretazione astratta Una interpretazione astratta consiste in: 1. Un dominio astratto A e un dominio concreto D 2. I domini A, D devono essere reticoli completi, tali che l ordine riflette la precisione (piu piccolo = piu preciso) 3. Funzioni di concretizzazione γ e di astrazione α monotone, che formino una inserzione di Galois a. Es: se ho due valori astratti, il piu grande deve approssimare piu valori 4. Una funzione che astrae correttamente la semantica (definire una versione astratta di tutte le operazioni sul dominio concreto) Inserzione di Galois elemento concreto x p D a A elemento astratto la migliore approssimazione di x contiene x. x γ α x. a = α γ a non posso approssimare meglio di cosi Operazioni astratte Ipotizziamo di avere una funzione f: p(d) p(d) e di volere costruire la corrispondente funzione f # nel dominio astratto, f # A A. Vogliamo che f # sia il modo ottimale per rappresentare f nel dominio astratto, ossia f # = α f γ Se dimostriamo che la relazione e rispettata, o al piu f # sovra-astrae, allora possiamo non andare mai nei valori concreti (computazionalmente pesante) pur avendo le operazioni astratte desiderate. Astrazioni come chiusure Il dominio astratto puo essere ottenuto dividendo il dominio concreto in sottoinsiemi non disgiunti a i La funzione di astrazione cerca di mappare un sottoinsieme arbitrario del dominio nel piu piccolo a i che lo contiene.

7 Astrazione e concretizzazione Per la correttezza del nostro sistema di astrazione e concretizzazione deve essere vero il diagramma qui a destra Le due equazioni seguenti sono equivalenti valore concreto di una espressione: 3+2 2=7 μ e σ e analisi astratta di e (>0,<0,=0) insieme dei valori che l ' espressione ha secondo l ' analisi astratta σ (ad es: ' e positivo ) γ σ e α μ e astrazione ideale nel reticolo del dominio astratto del valore concreto della espressione e Correttezza Per la correttezza dell analisi sono sufficienti le seguenti condizioni o α, γ formano un inserzione di Galois (sia id = identita'): id = α γ ossia se concretizzo un valore astratto e poi lo astraggo nuovamente ottengo il valore astratto di partenza: α γ + α i i > 0 + id γ α ossia se astraggo un valore concreto e poi concretizzo questo valore astratto, ottengo tutti i valori originali, ma poiche α e una approssimazione, potrebbero comparire nuovi elementi spuri : γ α 1,2 γ + {1,2,3, } o α, γ sono monotone: c 1 c 2 α c 1 α c 2 ; a 1 a 2 γ a 1 γ a 2 o le operazioni astratte op sono corrette localmente op γ s 1,, γ(s n ) γ op s 1,, s n ossia se eseguo una operazione astratta sui valori astratti s 1,, s n allora la concretizzazione di questa operazione mi da un sovrainsieme degli elementi che avrei ottenuto eseguendo l operazione concreta su tutte le concretizzazioni dei valori astratti di partenza la condizione di correttezza locale garantisce che op sia un approssimazione corretta di op per ogni operazione concreta c e sempre una operazione astratta corretta, ossia quella che restitusce sempre l elemento massimo del dominio astratto

8 A op A γ α p D op p D Prova di correttezza Proviamo per induzione sulla struttura di e che μ e γ σ e μ i = i def.di μ i o Caso base: γ α i inserzione di Galois = γ σ i def.di σ perche' σ i = α i o Passo induttivo: μ e 1 op e 2 = μ e 1 op μ(e 2 ) def.di μ γ σ e 1 op γ σ e 2 per ip.induttiva γ σ e 1 op σ e 2 correttezza locale = γ σ e 1 op e 2 def.di σ Definzione alternativa Possiamo anche definire la correttezza usando l astrazione al posto della concretizzazione: μ e γ σ e α μ e σ e Ossia che le due affermazioni sono equivalenti: o μ e γ σ e che la concretizzazione dell interpretazione astratta e un sovrainsieme dell interpretazione concreta o α μ e σ e che le operazioni astratte σ sono una approssimazione per eccesso dell astrazione vera e propria del risultato concreto μ e γ σ e ipotesi μ e γ σ e α μ e α γ σ e monotonia α μ e σ e α γ = id α μ e σ e ipotesi γ α μ e γ σ e monotonia μ e γ σ e id γ α μ e γ σ e

9 Estensione al nostro tiny language: input Aggiungiamo input tramite la presenza di variabili libere nelle espressioni: e = i e e e x La firma della funzione semantica diventa μ: Exp Int Int (le espressioni hanno una sola variabile!) Un modo per scrivere questa funzione e pensarla come un insieme di funzioni Int Int indicizzate con espressioni μ i j = i μ x j = j μ e1 e 2 j = μ e1 j μ e2 j = La semantica astratta e data dalla funzione σ: Exp A A, in quanto alla variabile passiamo un valore astratto (es: σ x+3 ( )) Come per la semantica concreta possiamo indicizzare σ σ i j = i σ x j = j σ e1 e 2 j = σ e1 j σ e2 j = dove i = α i Dobbiamo generalizzare le condizioni di correttezza Le seguenti condizioni sono equivalenti: i. μ e i γ σ e α i μ e D γ σ e α α μ e A σ e α La correttezza locale la possiamo anche esprimere mediante la seguente regola: op γ σ e1 j,, γ σ en j γ op σ e1 j,, σ en j Teorema: la correttezza locale e sufficiente μ e j γ σ e j Per induzione sull espressione Casi base: μ i j = i o γ i = γ σ i j

10 μ x j = j o γ j = γ σ x j Passo induttivo: μ op e1,,e n j = op μ e1 j,, μ en j definizione di μ op γ σ e1 j,, γ σ en j ip.induttiva γ op σ e1 j,, σ en j correttezza locale = γ σ op e1,,e n j definizione di σ Estensione al nostro tiny language: comando condizionale e = if e = e ten e else e Semantica concreta μ if e1 =e 2 ten e 3 else e 4 i = μ e 3 i μ e4 i if μ e1 i = μ e2 i if μ e1 i μ e2 i Semantica astratta σ if e1 =e 2 ten e 3 else e 4 i = σ e3 i σ e4 (i) Si puo fare di meglio se abbiamo informazioni che ci permettono di verificare l uguaglianza tra e 1 ed e 2, ma cio e raro e in generale ci aspettiamo di percorrere contemporaneamente i due rami dell if perdendo inevitabilmente precisione Il motivo per cui imponiamo che il dominio sia un reticolo e perche cosi abbiamo la garanzia dell esistenza del lub ( ) σ if x=3 ten 7 else 8 + = σ 7 + σ 8 + = + Correttezza del comando condizionale Assumiamo che sia vera la condizione dell if, ovvero che si entri nel primo ramo (l altro caso e lasciato come esercizio per il docente...si dimostra analogamente) μ e3 i γ σ e3 i ip.induttiva γ σ e3 i γ σ e4 i γ σ e3 i σ e4 i monotonia di γ e = γ σ if e1 =e 2 ten e 3 else e 4 i per def. della sem.abstr.dell'if

11 Estensione al nostro tiny language: ricorsione Aggiungiamo funzioni ricorsive (in una sola variabile per semplicita ) che possono essere o Dichiarate o Chiamate program = def f x = e e = f(e) Semantica delle funzioni ricorsive La funzione semantica che abbiamo considerato finora e del tipo μ: Exp Int Int se c'e' divisione per 0 La generalizziamo per tenere conto delle chiamate di funzione μ : Exp e Int Int g Int j Int μ f e g j = g μ e g j μ x g j = j g j = μ e1 g j + μ e2 g j μ e1 +e 2 o Esempio in cui g: x x + 2 μ f x+1 g 4 = g μ x+1 g 4 = g μ x g 4 + μ 1 g 4 = g = g 5 = 7 Consideriamo una funzione def f = e Definiamo una catena ascendente f 0, f 1, in Int Int dove definiamo μ f = f i i f o = λx. f i+1 = μ e f i Esempio: Sia def f = if x = 0 ten 1 else f(x 1)

12 f 0 i = i f 1 i = μ if x=0 ten 1 else f x 1 f 0 i μ 1 f 0 i = 1 se i = 0 f 0 i = f 0 μ x 1 f 0 i altrimenti μ f x 1 = = f 0 μ x f 0 i f 0 μ 1 f 0 i = f 0 i f 0 1 = f 2 i = = μ if x=0 ten 1 else f x 1 f 1 i μ 1 f 1 i = 1 se i = 0 f 1 i = f 1 μ x 1 f 1 i altrimenti = μ f x 1 = f 1 μ 0 f 1 i = f 1 0 = 1 se x = 1, ossia [μ 0 f 1 i = 0] f 1 j = altrimenti, ossia j 0 Ricapitolando: μ f = i 0 f i Semantica astratta Dobbiamo estendere la definizione della semantica astratta σ Richiediamo che tutte le funzioni siano monotone σ : Exp A A versione astratta della f A valore astratto dell input A σ f e g (i) = g σ e g i σ x g (i) = i σ e1 +e 2 g (i) = σ e1 g i + σ e2 g (i) Consideriamo una funzione def f = e Definiamo una catena ascendente f 0, f 1, in A A dove definiamo σ f = f i i f 0 = λa. f i+1 = σ e f i Correttezza Elementi corrispondenti nelle due catene sono nella giusta relazione

13 i. f i j γ f i j f i (j) i 0 i 0 γ f i j le catene convergono f i (j) γ i 0 i 0 f i j monotonia di γ μ f j γ σ f j per definizione Esempio Consideriamo la funzione ricorsiva def f x = if x = 0 ten 1 else x f(x 1) Astrazione (lfp=minimo punto fisso): lfp σ if x = 0 ten 1 else x f x 1 Semplificando lfp λf. λx date f e x. + x f x + Osserviamo che in questo caso l astrazione non porta a nessuna informazione utile (a causa della presenza di ) Le catene ascendenti sono strettamente crescenti fino a che non convergono: f 0 < f 1 < f 2 < f 3 = f 4 = f 5 =...ma non e detto che considerando un singolo valore la catena ascendente concreta sia strettamente crescente: f 0 + < f 1 + = f 2 (+) < f 3 (+) = f 4 (+) = Riassunto e conclusioni Applicare le tecniche di Interpretazione Astratta significa o Definire semantica concreta e astratta del programma: domini e operazioni o Applicare un algoritmo di punto fisso Analisi statica = reticoli + funzioni monotone E una teoria unificante: le tecniche di dataflow e model checking si possono esprimere in termini di Interpretazione Astratta

Introduzione Ordini parziali e Reticoli Punti fissi

Introduzione Ordini parziali e Reticoli Punti fissi Introduzione Ordini parziali e Reticoli Punti fissi By Giulia Costantini (819048) & Giuseppe Maggiore (819050) Table of Contents ORDINE PARZIALE... 3 Insieme parzialmente ordinato... 3 Diagramma di Hasse...

Dettagli

Fondamenti dei linguaggi di programmazione

Fondamenti dei linguaggi di programmazione Fondamenti dei linguaggi di programmazione Aniello Murano Università degli Studi di Napoli Federico II 1 Riassunto delle lezioni precedenti Prima Lezione: Introduzione e motivazioni del corso; Sintassi

Dettagli

Verifica del codice con Interpretazione Astratta

Verifica del codice con Interpretazione Astratta Verifica del codice con Interpretazione Astratta Daniele Grasso grasso@dsi.unifi.it grasso.dan@gmail.com Università di Firenze, D.S.I., Firenze, Italy December 15, 2009 D.Grasso (Università di Firenze)

Dettagli

Programmazione logica

Programmazione logica Programmazione logica l interpretazione astratta è molto popolare in programmazione logica Il modello computazionale si presta a varie ottimizzazioni, basate sui risultati dell analisi è relativamente

Dettagli

2 Progetto e realizzazione di funzioni ricorsive

2 Progetto e realizzazione di funzioni ricorsive 2 Progetto e realizzazione di funzioni ricorsive Il procedimento costruttivo dato dal teorema di ricorsione suggerisce due fatti importanti. Una buona definizione ricorsiva deve essere tale da garantire

Dettagli

Processo di risoluzione di un problema ingegneristico. Processo di risoluzione di un problema ingegneristico

Processo di risoluzione di un problema ingegneristico. Processo di risoluzione di un problema ingegneristico Processo di risoluzione di un problema ingegneristico 1. Capire l essenza del problema. 2. Raccogliere le informazioni disponibili. Alcune potrebbero essere disponibili in un secondo momento. 3. Determinare

Dettagli

Semantica dei programmi. La semantica dei programmi è la caratterizzazione matematica dei possibili comportamenti di un programma.

Semantica dei programmi. La semantica dei programmi è la caratterizzazione matematica dei possibili comportamenti di un programma. Semantica dei programmi La semantica dei programmi è la caratterizzazione matematica dei possibili comportamenti di un programma. Semantica operazionale: associa ad ogni programma la sequenza delle sue

Dettagli

Semantica operazionale dei linguaggi di Programmazione

Semantica operazionale dei linguaggi di Programmazione Semantica operazionale dei linguaggi di Programmazione Oggetti sintattici e oggetti semantici Rosario Culmone, Luca Tesei Lucidi tratti dalla dispensa Elementi di Semantica Operazionale R. Barbuti, P.

Dettagli

Semantica Assiomatica

Semantica Assiomatica Semantica Assiomatica Anche nella semantica assiomatica, così come in quella operazionale, il significato associato ad un comando C viene definito specificando la transizione tra stati (a partire, cioè,

Dettagli

Università degli Studi di Napoli Federico II. Facoltà di Scienze MM.FF.NN. Corso di Laurea in Informatica

Università degli Studi di Napoli Federico II. Facoltà di Scienze MM.FF.NN. Corso di Laurea in Informatica Università degli Studi di Napoli Federico II Facoltà di Scienze MM.FF.NN. Corso di Laurea in Informatica Anno Accademico 2009/2010 Appunti di Calcolabilità e Complessità Lezione 9: Introduzione alle logiche

Dettagli

Verifica parte IIA. Test (o analisi dinamica) Mancanza di continuità. Esempio

Verifica parte IIA. Test (o analisi dinamica) Mancanza di continuità. Esempio Test (o analisi dinamica) Verifica parte IIA Rif. Ghezzi et al. 6.3-6.3.3 Consiste nell osservare il comportamento del sistema in un certo numero di condizioni significative Non può (in generale) essere

Dettagli

+ / operatori di confronto (espressioni logiche/predicati) / + 5 3 9 = > < Pseudo codice. Pseudo codice

+ / operatori di confronto (espressioni logiche/predicati) / + 5 3 9 = > < Pseudo codice. Pseudo codice Pseudo codice Pseudo codice Paolo Bison Fondamenti di Informatica A.A. 2006/07 Università di Padova linguaggio testuale mix di linguaggio naturale ed elementi linguistici con sintassi ben definita e semantica

Dettagli

Fondamenti dell Informatica Ricorsione e Iterazione Simona Ronchi Della Rocca (dal testo: Kfoury, Moll and Arbib, cap.5.2)

Fondamenti dell Informatica Ricorsione e Iterazione Simona Ronchi Della Rocca (dal testo: Kfoury, Moll and Arbib, cap.5.2) Fondamenti dell Informatica Ricorsione e Iterazione Simona Ronchi Della Rocca (dal testo: Kfoury, Moll and Arbib, cap.5.2) Definiamo innanzitutto una relazione d ordine tra le funzioni. Siano φ e ψ funzioni

Dettagli

LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE

LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe

Dettagli

Punti Fissi. Mappe tra insiemi parz. ordinati. Siano (P, P ) e (Q, Q ) due insiemi parzialmente ordinati. Una funzione ϕ da P a Q si dice:

Punti Fissi. Mappe tra insiemi parz. ordinati. Siano (P, P ) e (Q, Q ) due insiemi parzialmente ordinati. Una funzione ϕ da P a Q si dice: Punti Fissi Mappe tra insiemi parz. ordinati Siano (P, P ) e (Q, Q ) due insiemi parzialmente ordinati. Una funzione ϕ da P a Q si dice: monotona (preserva l ordine) se p 1 P p 2 ϕ(p 1 ) Q ϕ(p 2 ) embedding

Dettagli

x u v(p(x, fx) q(u, v)), e poi

x u v(p(x, fx) q(u, v)), e poi 0.1. Skolemizzazione. Ogni enunciato F (o insieme di enunciati Γ) è equisoddisfacibile ad un enunciato universale (o insieme di enunciati universali) in un linguaggio estensione del linguaggio di F (di

Dettagli

Capitolo 7: Teoria generale della calcolabilitá

Capitolo 7: Teoria generale della calcolabilitá Capitolo 7: Teoria generale della calcolabilitá 1 Differenti nozioni di calcolabilitá (che seguono da differenti modelli di calcolo) portano a definire la stessa classe di funzioni. Le tecniche di simulazione

Dettagli

La selezione binaria

La selezione binaria Andrea Marin Università Ca Foscari Venezia Laurea in Informatica Corso di Programmazione part-time a.a. 2011/2012 Introduzione L esecuzione di tutte le istruzioni in sequenza può non è sufficiente per

Dettagli

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica. Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e

Dettagli

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria).

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Aprile 20 Indice Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate.....................

Dettagli

INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI

INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI Prima di riuscire a scrivere un programma, abbiamo bisogno di conoscere un metodo risolutivo, cioè un metodo che a partire dai dati di ingresso fornisce i risultati attesi.

Dettagli

Introduzione. Informatica B. Daniele Loiacono

Introduzione. Informatica B. Daniele Loiacono Introduzione Informatica B Perchè studiare l informatica? Perchè ha a che fare con quasi tutto quello con cui abbiamo a che fare ogni giorno Perché è uno strumento fondamentale per progettare l innovazione

Dettagli

Risoluzione. Eric Miotto Corretto dal prof. Silvio Valentini 15 giugno 2005

Risoluzione. Eric Miotto Corretto dal prof. Silvio Valentini 15 giugno 2005 Risoluzione Eric Miotto Corretto dal prof. Silvio Valentini 15 giugno 2005 1 Risoluzione Introdurremo ora un metodo per capire se un insieme di formule è soddisfacibile o meno. Lo vedremo prima per insiemi

Dettagli

5. La teoria astratta della misura.

5. La teoria astratta della misura. 5. La teoria astratta della misura. 5.1. σ-algebre. 5.1.1. σ-algebre e loro proprietà. Sia Ω un insieme non vuoto. Indichiamo con P(Ω la famiglia di tutti i sottoinsiemi di Ω. Inoltre, per ogni insieme

Dettagli

Idee guida. Finite State Machine (1) Un automa a stati finiti è definito da una 5- pla: FSM = , dove: Finite State Machine (2)

Idee guida. Finite State Machine (1) Un automa a stati finiti è definito da una 5- pla: FSM = <Q,,, q0, F>, dove: Finite State Machine (2) Idee guida ASM = FSM con stati generalizzati Le ASM rappresentano la forma matematica di Macchine Astratte che estendono la nozione di Finite State Machine Ground Model (descrizioni formali) Raffinamenti

Dettagli

razionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti

razionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti 4. Insiemi numerici 4.1 Insiemi numerici Insieme dei numeri naturali = {0,1,,3,,} Insieme dei numeri interi relativi = {..., 3,, 1,0, + 1, +, + 3, } Insieme dei numeri razionali n 1 1 1 1 = : n, m \{0}

Dettagli

Serie numeriche e serie di potenze

Serie numeriche e serie di potenze Serie numeriche e serie di potenze Sommare un numero finito di numeri reali è senza dubbio un operazione che non può riservare molte sorprese Cosa succede però se ne sommiamo un numero infinito? Prima

Dettagli

Ricapitoliamo. Ricapitoliamo

Ricapitoliamo. Ricapitoliamo Ricapitoliamo Finora ci siamo concentrati sui processi computazionali e sul ruolo che giocano le procedure nella progettazione dei programmi In particolare, abbiamo visto: Come usare dati primitivi (numeri)

Dettagli

Capitolo 20: Scelta Intertemporale

Capitolo 20: Scelta Intertemporale Capitolo 20: Scelta Intertemporale 20.1: Introduzione Gli elementi di teoria economica trattati finora possono essere applicati a vari contesti. Tra questi, due rivestono particolare importanza: la scelta

Dettagli

Rappresentazione dei numeri in un calcolatore

Rappresentazione dei numeri in un calcolatore Corso di Calcolatori Elettronici I A.A. 2010-2011 Rappresentazione dei numeri in un calcolatore Lezione 2 Università degli Studi di Napoli Federico II Facoltà di Ingegneria Rappresentazione dei numeri

Dettagli

Testo Esercizio. Un modello è ragionevole quando contiene queste tre caratteristiche.

Testo Esercizio. Un modello è ragionevole quando contiene queste tre caratteristiche. Testo Esercizio Un negozio di musica vende anche libri e riviste musicali. Si intende automatizzare l intero processo, dall approvvigionamento alla vendita. Si analizzino i requisiti e se ne rappresentino

Dettagli

4.1 Modelli di calcolo analisi asintotica e ricorrenze

4.1 Modelli di calcolo analisi asintotica e ricorrenze 4 Esercizi Prima Parte 4.1 Modelli di calcolo analisi asintotica e ricorrenze Esercizio 4 1 Rispondere alle seguenti domande: 1. Come misuriamo l efficienza di un algoritmo?. Quali sono gli algoritmi più

Dettagli

Sistemi di Numerazione

Sistemi di Numerazione Fondamenti di Informatica per Meccanici Energetici - Biomedici 1 Sistemi di Numerazione Sistemi di Numerazione I sistemi di numerazione sono abitualmente posizionali. Gli elementi costitutivi di un sistema

Dettagli

Note di matematica per microeconomia

Note di matematica per microeconomia Note di matematica per microeconomia Luigi Balletta Funzioni di una variabile (richiami) Una funzione di variabile reale ha come insieme di partenza un sottoinsieme di R e come insieme di arrivo un sottoinsieme

Dettagli

Raccomandazione del Parlamento europeo 18/12/2006 CLASSE PRIMA COMPETENZE ABILITÀ CONOSCENZE. Operare con i numeri

Raccomandazione del Parlamento europeo 18/12/2006 CLASSE PRIMA COMPETENZE ABILITÀ CONOSCENZE. Operare con i numeri COMPETENZA CHIAVE MATEMATICA Fonte di legittimazione Raccomandazione del Parlamento europeo 18/12/2006 CLASSE PRIMA COMPETENZE ABILITÀ CONOSCENZE L alunno utilizza il calcolo scritto e mentale con i numeri

Dettagli

4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0

4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0 Rappresentazione dei numeri I numeri che siamo abituati ad utilizzare sono espressi utilizzando il sistema di numerazione decimale, che si chiama così perché utilizza 0 cifre (0,,2,3,4,5,6,7,8,9). Si dice

Dettagli

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto:

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto: PROBLEMA 1. Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando

Dettagli

Prolog: aritmetica e ricorsione

Prolog: aritmetica e ricorsione Capitolo 13 Prolog: aritmetica e ricorsione Slide: Aritmetica e ricorsione 13.1 Operatori aritmetici In logica non vi è alcun meccanismo per la valutazione di funzioni, che è fondamentale in un linguaggio

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI. 1) Dimostrare che l insieme. non è ricorsivo. Soluzione: Definiamo l insieme

ESERCIZI SVOLTI. 1) Dimostrare che l insieme. non è ricorsivo. Soluzione: Definiamo l insieme ESERCIZI SVOLTI 1) Dimostrare che l insieme Allora notiamo che π non è vuoto perché la funzione ovunque divergente appartiene all insieme avendo per dominio l insieme. Inoltre π non coincide con l insieme

Dettagli

Matematica generale CTF

Matematica generale CTF Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione

Dettagli

Aritmetica: operazioni ed espressioni

Aritmetica: operazioni ed espressioni / A SCUOLA DI MATEMATICA Lezioni di matematica a cura di Eugenio Amitrano Argomento n. : operazioni ed espressioni Ricostruzione di un abaco dell epoca romana - Museo RGZ di Magonza (Germania) Libero da

Dettagli

CAPITOLO I. Prof. Ing. Michele Marra - Appunti delle Lezioni di Ricerca Operativa Programmazione Dinamica

CAPITOLO I. Prof. Ing. Michele Marra - Appunti delle Lezioni di Ricerca Operativa Programmazione Dinamica CAPITOLO I. - PROGRAMMAZIONE DINAMICA La programmazione dinamica è una parte della programmazione matematica che si occupa della soluzione di problemi di ottimizzazione di tipo particolare, mediante una

Dettagli

Definizione DEFINIZIONE

Definizione DEFINIZIONE Definizione Funzione reale di due variabili reali Indichiamo con R 2 l insieme di tutti i vettori bidimensionali. Dato un sottoinsiemed R 2, una funzione f: D R è una legge che assegna a ogni punto (x,

Dettagli

AA 2006-07 LA RICORSIONE

AA 2006-07 LA RICORSIONE PROGRAMMAZIONE AA 2006-07 LA RICORSIONE AA 2006-07 Prof.ssa A. Lanza - DIB 1/18 LA RICORSIONE Il concetto di ricorsione nasce dalla matematica Una funzione matematica è definita ricorsivamente quando nella

Dettagli

risulta (x) = 1 se x < 0.

risulta (x) = 1 se x < 0. Questo file si pone come obiettivo quello di mostrarvi come lo studio di una funzione reale di una variabile reale, nella cui espressione compare un qualche valore assoluto, possa essere svolto senza necessariamente

Dettagli

La modellazione delle strutture

La modellazione delle strutture La modellazione delle strutture 1 Programma 31-1-2012 Introduzione e brevi richiami al metodo degli elementi finiti 7-2-2012 La modellazione della geometria 14-2-2012 21-2-2012 28-2-2012 6-3-2012 13-32012

Dettagli

PROVA DI VERIFICA DEL 24/10/2001

PROVA DI VERIFICA DEL 24/10/2001 PROVA DI VERIFICA DEL 24/10/2001 [1] Il prodotto di due numeri non nulli è maggiore di zero se: a. il loro rapporto è maggiore di zero, b. il loro rapporto è minore di zero, c. il loro rapporto è uguale

Dettagli

Cosa dobbiamo già conoscere?

Cosa dobbiamo già conoscere? Cosa dobbiamo già conoscere? Insiemistica (operazioni, diagrammi...). Insiemi finiti/numerabili/non numerabili. Perché la probabilità? In molti esperimenti l esito non è noto a priori tuttavia si sa dire

Dettagli

Anelli a fattorizzazione unica. Domini ad ideali principali. Anelli Euclidei

Anelli a fattorizzazione unica. Domini ad ideali principali. Anelli Euclidei Capitolo 5: Anelli speciali: Introduzione: Gli anelli speciali sono anelli dotati di ulteriori proprietà molto forti che ne rendono agevole lo studio. Anelli euclidei Domini ad ideali principali Anelli

Dettagli

Codici Numerici. Modifica dell'informazione. Rappresentazione dei numeri.

Codici Numerici. Modifica dell'informazione. Rappresentazione dei numeri. Codici Numerici. Modifica dell'informazione. Rappresentazione dei numeri. A partire da questa lezione, ci occuperemo di come si riescono a codificare con sequenze binarie, quindi con sequenze di 0 e 1,

Dettagli

Intelligenza Artificiale. Lezione 23. Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Lezione 23 0

Intelligenza Artificiale. Lezione 23. Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Lezione 23 0 Intelligenza Artificiale Lezione 23 Intelligenza Artificiale Daniele Nardi, 2003 Lezione 23 0 Azioni e cambiamento Il calcolo delle situazioni Pianificazione Deduttiva (Capitolo 11 delle dispense, 7.6

Dettagli

Le funzioni elementari. La struttura di R. Sottrazione e divisione

Le funzioni elementari. La struttura di R. Sottrazione e divisione Le funzioni elementari La struttura di R La struttura di R è definita dalle operazioni Addizione e moltiplicazione. Proprietà: Commutativa Associativa Distributiva dell addizione rispetto alla moltiplicazione

Dettagli

Interpretazione astratta in praticaun analizzatore generico per Ja

Interpretazione astratta in praticaun analizzatore generico per Ja Riassunto puntate precedenti Control Flow Graph Proprietà Dominio numerico Approssimazione Interpretazione astratta in pratica Un analizzatore generico per Java Pietro Ferrara Università Ca Foscari di

Dettagli

Corso di Laurea Ingegneria Informatica Fondamenti di Informatica

Corso di Laurea Ingegneria Informatica Fondamenti di Informatica Corso di Laurea Ingegneria Informatica Fondamenti di Informatica Dispensa 05 La rappresentazione dell informazione Carla Limongelli Ottobre 2011 http://www.dia.uniroma3.it/~java/fondinf/ La rappresentazione

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)

Dettagli

Anno 3. Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza

Anno 3. Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza Anno 3 Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza 1 Introduzione In questa lezione parleremo delle funzioni. Ne daremo una definizione e impareremo a studiarne il dominio in relazione alle diverse

Dettagli

Algebra Booleana ed Espressioni Booleane

Algebra Booleana ed Espressioni Booleane Algebra Booleana ed Espressioni Booleane Che cosa è un Algebra? Dato un insieme E di elementi (qualsiasi, non necessariamente numerico) ed una o più operazioni definite sugli elementi appartenenti a tale

Dettagli

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme G Pareschi Principio di induzione Il Principio di Induzione (che dovreste anche avere incontrato nel Corso di Analisi I) consente di dimostrare Proposizioni il cui enunciato è in funzione di un numero

Dettagli

Descrizione di un algoritmo

Descrizione di un algoritmo Descrizione di un algoritmo Un algoritmo descrive due tipi fondamentali di oper: calcoli ottenibili tramite le oper primitive su tipi di dato (valutazione di espressioni) che consistono nella modifica

Dettagli

3 GRAFICI DI FUNZIONI

3 GRAFICI DI FUNZIONI 3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom

Dettagli

Capitolo II Le reti elettriche

Capitolo II Le reti elettriche Capitolo II Le reti elettriche Fino ad ora abbiamo immaginato di disporre di due soli bipoli da collegare attraverso i loro morsetti; supponiamo ora, invece, di disporre di l bipoli e di collegarli tra

Dettagli

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche . Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche Per le definizioni e teoremi si fa riferimento ad uno qualsiasi dei libri M.Bertsch - R.Dal Passo Lezioni di Analisi

Dettagli

I punteggi zeta e la distribuzione normale

I punteggi zeta e la distribuzione normale QUINTA UNITA I punteggi zeta e la distribuzione normale I punteggi ottenuti attraverso una misurazione risultano di difficile interpretazione se presi in stessi. Affinché acquistino significato è necessario

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

Tipologie di macchine di Turing

Tipologie di macchine di Turing Tipologie di macchine di Turing - Macchina di Turing standard - Macchina di Turing con un nastro illimitato in una sola direzione - Macchina di Turing multinastro - Macchina di Turing non deterministica

Dettagli

Componenti di un sistema KNOWLEDGE-BASED

Componenti di un sistema KNOWLEDGE-BASED Componenti di un sistema KNOWLEDGE-BASED DYNAMIC DATABASE PROBLEM FORMALIZATION CONTROL STRATEGY IL DATABASE DESCRIVE LA SITUAZIONE CORRENTE NELLA DETERMINAZIONE DELLA SOLUZIONE AL PROBLEMA. LA FORMALIZZAZIONE

Dettagli

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme 1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R

Dettagli

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE Sia f:a B una funzione tra due insiemi. Se y appartiene all immagine di f si chiama fibra di f sopra y l insieme f -1 y) ossia l insieme di tutte le controimmagini

Dettagli

f(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da

f(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da Data una funzione reale f di variabile reale x, definita su un sottoinsieme proprio D f di R (con questo voglio dire che il dominio di f è un sottoinsieme di R che non coincide con tutto R), ci si chiede

Dettagli

Funzioni in due variabili Raccolta di FAQ by Andrea Prevete

Funzioni in due variabili Raccolta di FAQ by Andrea Prevete Funzioni in due variabili Raccolta di FAQ by Andrea Prevete 1) Cosa intendiamo, esattamente, quando parliamo di funzione reale di due variabili reali? Quando esiste una relazione fra tre variabili reali

Dettagli

Alcune applicazioni delle equazioni differenziali ordinarie alla teoria dei circuiti elettrici

Alcune applicazioni delle equazioni differenziali ordinarie alla teoria dei circuiti elettrici Alcune applicazioni delle equazioni differenziali ordinarie alla teoria dei circuiti elettrici Attilio Piana, Andrea Ziggioto 1 egime variabile in un circuito elettrico. Circuito C. 1.1 Carica del condensatore

Dettagli

Quesiti di Analisi Matematica A

Quesiti di Analisi Matematica A Quesiti di Analisi Matematica A Presentiamo una raccolta di quesiti per la preparazione alla prova orale del modulo di Analisi Matematica A. Per una buona preparazione é consigliabile rispondere ad alta

Dettagli

Parte 6. Applicazioni lineari

Parte 6. Applicazioni lineari Parte 6 Applicazioni lineari A Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Applicazioni fra insiemi, 2 Applicazioni lineari tra spazi vettoriali, 2 3 Applicazioni lineari da R n a R

Dettagli

Programmi. Algoritmi scritti in un linguaggio di programmazione

Programmi. Algoritmi scritti in un linguaggio di programmazione Programmi Algoritmi scritti in un linguaggio di programmazione Sistema operativo:programma supervisore che coordina tutte le operazioni del calcolatore Programmi applicativi esistenti Sistemi di videoscrittura

Dettagli

Sistemi Informativi Territoriali. Map Algebra

Sistemi Informativi Territoriali. Map Algebra Paolo Mogorovich Sistemi Informativi Territoriali Appunti dalle lezioni Map Algebra Cod.735 - Vers.E57 1 Definizione di Map Algebra 2 Operatori locali 3 Operatori zonali 4 Operatori focali 5 Operatori

Dettagli

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione dell informazione negli elaboratori

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione dell informazione negli elaboratori Informazione e computer Si può rappresentare l informazione attraverso varie forme: Numeri Testi Suoni Immagini 0001010010100101010 Computer Cerchiamo di capire come tutte queste informazioni possano essere

Dettagli

Come ragiona il computer. Problemi e algoritmi

Come ragiona il computer. Problemi e algoritmi Come ragiona il computer Problemi e algoritmi Il problema Abbiamo un problema quando ci poniamo un obiettivo da raggiungere e per raggiungerlo dobbiamo mettere a punto una strategia Problema Strategia

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

31/10/2012. Lo studio delle funzioni permette di interpretare la variazione di due grandezze, l una rispetto l altra, quando

31/10/2012. Lo studio delle funzioni permette di interpretare la variazione di due grandezze, l una rispetto l altra, quando FUNZIONI MATEMATICHE Introduzione Lo studio delle funzioni permette di interpretare la variazione di due grandezze, l una rispetto l altra, quando tra le due esiste un legame di tipo matematico. La teoria

Dettagli

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI. LE FUNZINI Non si ha una funzione se anche a un solo elemento di A non è associato un elemento di B, oppure ne sono associati più di uno. DEFINIZINE Funzione Una

Dettagli

La programmazione con vincoli in breve. La programmazione con vincoli in breve

La programmazione con vincoli in breve. La programmazione con vincoli in breve Obbiettivi Introdurre la nozione di equivalenza di CSP. Dare una introduzione intuitiva dei metodi generali per la programmazione con vincoli. Introdurre il framework di base per la programmazione con

Dettagli

Metodi formali per la verifica dell affidabilità di sistemi software (e hardware) (Peled, Software Reliability Methods, cap. 1) Importanza della

Metodi formali per la verifica dell affidabilità di sistemi software (e hardware) (Peled, Software Reliability Methods, cap. 1) Importanza della Metodi formali per la verifica dell affidabilità di sistemi software (e hardware) (Peled, Software Reliability Methods, cap. 1) Importanza della verifica di sistemi (safety-critical, commercially critical,

Dettagli

Linguaggi. Claudio Sacerdoti Coen 11/04/2011. 18: Semantica della logica del prim ordine. Universitá di Bologna

Linguaggi. Claudio Sacerdoti Coen 11/04/2011. 18: Semantica della logica del prim ordine. <sacerdot@cs.unibo.it> Universitá di Bologna Linguaggi 18: Semantica della logica del prim ordine Universitá di Bologna 11/04/2011 Outline Semantica della logica del prim ordine 1 Semantica della logica del prim ordine Semantica

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 2 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Sistemi di primo grado

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

ESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla

ESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla ESERCITAZIONI DI ANALISI FOGLIO FOGLIO FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI Marco Pezzulla gennaio 05 FOGLIO. Determinare il dominio e il segno della funzione ( ) f(x) arccos x x + π/3.

Dettagli

COS È UN LINGUAGGIO? LINGUAGGI DI ALTO LIVELLO LA NOZIONE DI LINGUAGGIO LINGUAGGIO & PROGRAMMA

COS È UN LINGUAGGIO? LINGUAGGI DI ALTO LIVELLO LA NOZIONE DI LINGUAGGIO LINGUAGGIO & PROGRAMMA LINGUAGGI DI ALTO LIVELLO Si basano su una macchina virtuale le cui mosse non sono quelle della macchina hardware COS È UN LINGUAGGIO? Un linguaggio è un insieme di parole e di metodi di combinazione delle

Dettagli

CURRICOLO MATEMATICA ABILITA COMPETENZE

CURRICOLO MATEMATICA ABILITA COMPETENZE CURRICOLO MATEMATICA 1) Operare con i numeri nel calcolo aritmetico e algebrico, scritto e mentale, anche con riferimento a contesti reali. Per riconoscere e risolvere problemi di vario genere, individuando

Dettagli

Elementi di semantica operazionale

Elementi di semantica operazionale Elementi di semantica operazionale 1 Contenuti sintassi astratta e domini sintattici un frammento di linguaggio imperativo semantica operazionale domini semantici: valori e stato relazioni di transizione

Dettagli

Analisi e Verifica di Programmi Laboratorio di AVP

Analisi e Verifica di Programmi Laboratorio di AVP Analisi e Verifica di Programmi Laboratorio di AVP Corso di Laurea in Informatica AA 2004-05 Tino Cortesi Analisi e Verifica Cosa Individuare proprietà interessanti dei nostri programmi: Valori prodotti,

Dettagli

CAPITOLO 3 FONDAMENTI DI ANALISI DELLA STABILITA' DI SISTEMI NON LINEARI

CAPITOLO 3 FONDAMENTI DI ANALISI DELLA STABILITA' DI SISTEMI NON LINEARI 31 CAPITOLO 3 FONDAMENTI DI ANALISI DELLA STABILITA' DI SISTEMI NON LINEARI INTRODUZIONE L'obbiettivo di questo capitolo è quello di presentare in modo sintetico ma completo, la teoria della stabilità

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1)

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1) ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1) Un insieme è una collezione di oggetti. Il concetto di insieme è un concetto primitivo. Deve esistere un criterio chiaro, preciso, non ambiguo, inequivocabile,

Dettagli

SISTEMI DI NUMERAZIONE DECIMALE E BINARIO

SISTEMI DI NUMERAZIONE DECIMALE E BINARIO SISTEMI DI NUMERAZIONE DECIMALE E BINARIO Il sistema di numerazione decimale (o base dieci) possiede dieci possibili valori (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9) utili a rappresentare i numeri. Le cifre possiedono

Dettagli

Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale

Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Corso di Scienza Economica (Economia Politica) prof. G. Di Bartolomeo Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Facoltà di Scienze della Comunicazione Università di Teramo Scelta

Dettagli

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06 Analisi Mat. - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 3-3-6 Sia p il polinomio di quarto grado definito da pz = z 4. Sia S il settore circolare formato dai numeri complessi che hanno modulo minore o

Dettagli

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale

Dettagli

11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni

11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni 2 PARAGRAFI TRATTATI 1)La funzione esponenziale 2) grafici della funzione esponenziale 3) proprietá delle potenze 4) i logaritmi 5) grafici della funzione logaritmica 6) principali proprietá dei logaritmi

Dettagli

Gli algoritmi: definizioni e proprietà

Gli algoritmi: definizioni e proprietà Dipartimento di Elettronica ed Informazione Politecnico di Milano Informatica e CAD (c.i.) - ICA Prof. Pierluigi Plebani A.A. 2008/2009 Gli algoritmi: definizioni e proprietà La presente dispensa e da

Dettagli

La scelta in condizioni di incertezza

La scelta in condizioni di incertezza La scelta in condizioni di incertezza 1 Stati di natura e utilità attesa. L approccio delle preferenza per gli stati Il problema posto dall incertezza riformulato (state-preference approach). L individuo

Dettagli

Comparatori. Comparatori di uguaglianza

Comparatori. Comparatori di uguaglianza Comparatori Scopo di un circuito comparatore é il confronto tra due codifiche binarie. Il confronto può essere effettuato per verificare l'uguaglianza oppure una relazione d'ordine del tipo "maggiore",

Dettagli