Corso di LOGICA II: indagini semantiche su modalità e quantificazione. Uno studio di logica della necessità e della possibilità

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1 Corso di LOGICA II: indagini semantiche su modalità e quantificazione. Uno studio di logica della necessità e della possibilità Luisa Bortolotti Trento, Lezione 26 : IL SISTEMA K-G (3) 2. MODALITA DE DICTO E MODALITA DE RE Relativamente alle formule che contengono sia quantificatori che operatori modali molti logici, usando un espressione derivata dalla logica medievale 1, distinguono tra le modalità de dicto e le modalità de re. 2 Chiariamo ora tale distinzione, che può essere fatta risalire a quella aristotelica tra sensu composito e sensu diviso: (i) nelle modalità de dicto la necessità riguarda un asserzione in toto, cioè nel suo complesso, come esprimente una verità necessaria: risulta quindi sostanzialmente riconducibile ad una necessità ex vi terminorum in senso lato; (ii) nelle modalità de re è invece asserita una connessione necessaria tra una proprietà e un individuo in quanto tale, per qualsiasi caratterizzazione di quest ultimo. Tale nozione è inoperante ove, per esempio nel caso di calcoli modali proposizionali, non si esegua un analisi che scomponga gli enunciati nei loro componenti. Di conseguenza non è forse un caso che anche nei sistemi di logica modale predicativa sia stata privilegiata la nozione di modalità de dicto; anzi, è stata proprio questa lettura a causare delle grosse riserve 1 KNEALE W.C., Modality "De Dicto" and De Re, 1962, in NAGEL E., SUPPES P., TARSKY A. (a cura di), Logic, Methodology and Philosophy of Science, The University Press, Stanford, , vol. I, pp Per la differenza tra l'uso medievale e l uso moderno cfr. VON WRIGHT G.E., An Essay in Modal Logic, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1951, pp e PRIOR A.N., Formal Logic, Oxford University Press, London, 1955, pp ; HUGHES G.E. e CRESSWELL M.J., An Introduction to Modal Logic, cit., pp

2 contro le modalità de re e a far sì che in tali sistemi le modalità de dicto continuino a costituire un paradigma cui riferire le modalità de re ovunque è possibile. 1.Per le formule della logica modale quantificata in cui un operatore modale è premesso a un enunciato non modale (L xpx, L xpx) si impone una lettura de dicto. Tali formule non pongono né problemi di connessione tra i domini dei mondi possibili accessibili né problemi di transidentificazione di individui. Le formule di questo tipo asseriscono che le estensioni del predicato P coincidono con il dominio degli esistenti in ogni mondo possibile. In quanto tali, in base alla semantica dei mondi possibili, la loro verità è analizzabile in termini della verità dell enunciato non modale a cui l operatore modale è premesso; quindi, dipende semplicemente dalla funzione V associata al predicato. 2.Invece, per le formule in cui un quantificatore esterno a un operatore modale vincola delle variabili individuali che compaiono nell ambito di tale operatore ( xlpx, xlpx) si impone una lettura de re. Sono le formule di questo tipo ad essere ritenute problematiche: per esse si pone il problema di una connessione tra domini o tra individui attraverso mondi possibili accessibili. Esse asseriscono che tutti gli attualmente esistenti appartengono all estensione del predicato P in ogni mondo possibile accessibile al mondo considerato. In quanto tali, la loro verità non è direttamente espressa nei termini della verità di un enunciato che venga valutato all interno di ciascun mondo possibile, ma solo della verità di enunciati che asseriscono un nesso tra attualmente esistenti e l estensione del predicato P in mondi possibili accessibili al mondo attuale. Si può dar conto di una modalità de re solo richiedendo che le funzioni V che valutano i termini siano in grado di scegliere in ogni mondo possibile lo stesso individuo che scelgono nel mondo attuale: cioè che tali funzioni siano costanti ed assumano lo stesso valore in ogni mondo. La verità non dipende solo dalla funzione V associata al predicato P, ma anche dallo status del dominio degli attualmente esistenti. In tal senso le modalità de re non sono neppure necessarie nel senso tradizionale: Chisholm ad esempio ha sostenuto 3 la necessità di distinguere tra enunciati del tipo xlpx, xlpx e i loro corrispettivi necessitanti L xlpx, L xlpx e Kripke ha introdotto invece a proposito di tali enunciati la nozione di necessario a posteriori 4. Per rendere conto del significato di enunciati che esprimono modalità de re sono necessarie assunzioni particolari che li rendono riconducibili a enunciati de dicto (cioè ad enunciati del tipo approvato in una semantica dei mondi possibili). Sebbene le modalità de re siano tutte connesse in generale a problemi di interazione tra domini di mondi possibili accessibili, solo la quantificazione esistenziale pone immediatamente effettivi problemi di transidentificazione per individui: sono proprio tali formule a non risultare eliminabili a favore di modalità de dicto dimostrabilmente equivalenti ad esse. Le modalità de re quantificate universalmente sono invece eliminabili a favore di modalità de dicto ove siano teoremi sia la formula della Barcan (BF: xlpx L xpx) sia la sua conversa (CBF: L xpx xlpx). Per quanto riguarda le derivazioni di BF e CBF rimandiamo al capitolo 1: ora ci limitiamo a ricordare che avere sia BF che CBF comporta la pesante compromissione semantica che tutti i domini di mondi possibili accessibili a w coincidono con il dominio di w. Tentare di formulare le modalità de re in termini di modalità de dicto non significa però che le prime siano realmente eliminabili a favore delle seconde. A 3 CHISHOLM R.M., Identity through Possible Worlds: Some Questions, "Nous", 1, 1967, pp KRIPKE S.A., Nome e necessità, cit.

3 proposito di tale eliminabilità ricordiamo che von Wright 5 propone il principio di Predicazione 6 (PP), ma senza formularlo in termini simbolici. Una formalizzazione viene proposta nel 1968 da Hughes e Cresswell 7 : x (L (x) L (x)) x(m (x) M (x)) 8. Così anche Hughes e Cresswell suddividono le proprietà negli stessi generi in cui li aveva suddivise von Wright e chiamano proprietà formali quelle che ineriscono a un oggetto in modo necessario o impossibile e proprietà materiali quelle che ineriscono a un oggetto in modo contingente. Ma Tichy sostiene che tale formalizzazione di PP (la stessa che viene data anche da Cresswell) 9 è difettosa e propone la seguente: P x(lp(x) L P (x)) x(mp(x) M P(x)), dove P varia su proprietà 10. E naturale chiedersi: perché è stato introdotto il principio di Predicazione? Von Wright nel 1951 ha ipotizzato che, in una logica dei predicati modale soddisfacente, tutte le modalità de re sarebbero eliminabili a favore di modalità de dicto, se si adottasse anche tale principio. Ma, a detta di Hughes e Cresswell 11, von Wright non dimostra questo, ma soltanto il risultato più debole, anche se correlato, che in C (ove con C indichiamo la logica predicativa classica) + S 5 + principio di Predicazione possiamo derivare (L ) (L ( )) (i), dove e sono fbf qualsiasi (e possiamo fare in modo che sia una qualche fbf non contenente modalità de re). <<Ora, se contiene una variabile individuale libera, allora il lato sinistro di ciascuna delle equivalenze contiene una modalità de re mentre quella modalità è assente sul lato destro; nondimeno (3) 12 non ci consente di eliminare automaticamente le modalità de re. A quanto è dato sapere, è un fatto che nessuno ha dimostrato che l aggiunta del principio di Predicazione a LPC+S 5 13 consentirebbe di eliminare tutte le modalità de re. D altro canto nessuno sembra aver dimostrato il contrario>> 14. Hughes e Cresswell, dopo aver definito una modalità de re nel modo seguente: <<una formula di LPC modale è una modalità de re sse contiene una variabile individuale libera nell ambito di un operatore modale; altrimenti è detta de dicto>>, avanzano l ipotesi che nel sistema predicativo S 5 le formule de re non siano eliminabili a favore di formule de dicto, ma poi si limitano a dimostrare che il principio di Predicazione non è una tesi neppure di S 5 -C. Si potrebbe tuttavia aggiungere consistentemente a S 5 -C come assioma, ed ottenere così il sistema S 5 -C+Pr. Invece Cresswell nel 1969 dimostra un teorema in base al quale le formule de re non sono eliminabili neppure aggiungendo a S 5 uno schema di assiomi esprimenti il principio di Predicazione di von Wright. Così Cresswell 5 VON WRIGHT, An Essay in Modal Logic, cit. 6 Principio di Predicazione: le proprietà sono di due tipi: quelle la cui appartenenza a un oggetto è sempre necessaria o impossibile e quelle la cui appartenenza a un oggetto è sempre contingente 7 HUGHES G.E., CRESSWELL M.J., Introduzione alla logica modale, cit. 8 Una formulazione di PP (solo banalmente diversa da questa ripresa da Hughes e Cresswell) è data in PRIOR A.N., Formal Logic, cit., p CRESSWELL M.J., The Elimination of "De re" Modalities, The Journal of Symbolic Logic, vol. 34, 3, 1969, pp ; trad. it. L'eliminazione delle modalità "de re", in SILVESTRINI D. (a cura di), Individui e mondi possibili, cit., pp TICHY P., On "De Dicto" Modalities in Quantifíed S 5,, "Journal of Philosophical Logic", vol. 2, 1973, pp ; trad. it. Sulle modalità "de dicto" nel sistema S 5 quantifícato, in SILVESTRINI D. (a cura di), Individui e mondi possibili..., cit., pp HUGHES G.E., CRESSWELL M.J., Introduzione alla logica modale, cit., pp Con (3) indica il nostro (i). 13 Con LPC indica la logica classica. 14 HUGHES G.E., CRESSWELL M.J., Introduzione alla logica modale, cit., p. 218

4 dimostra il seguente Lemma: Se le modalità de re sono eliminabili nel sistema S S=S 5 +BF+Pr allora deve risultare S C( ), dove C( ) è ottenuta da rimpiazzando ogni sua sottoformula L con L( x 1 ) ( x n ), dove x 1,,x n sono tutte le variabili individuali libere in. Utilizzando questo lemma ha poi dimostrato che le modalità de re non sono eliminabili in S, dove S=S 5 +BF+Pr. Di questo presenta anche una dimostrazione: per il lemma enunciato prima, se le modalità de re sono eliminabili, allora S C( ). In particolare S xlpx xl xpx. Ma questo non è un teorema di S: di conseguenza le modalità de re non sono eliminabili in S. Infine, Tichy dimostra anche che una modalità de re quantificata esistenzialmente non ha equivalenti dimostrabili de dicto neppure nel sistema che abbiamo indicato con S, ovvero nel sistema modale che è stato tradizionalmente pensato come il più adatto all eliminazione delle modalità de re. Per dimostrare tale ineliminabilità introduce la nozione di p-immunità, che informalmente corrisponde all idea che una formula risulta insensibile a permutazioni isomorfiche sul dominio associato ad ogni modello. Tichy la assume come controparte semantica della nozione sintattica di modalità de dicto e conclude che quelle modalità che pongono effettivi problemi di transidentificazione per individui si rivelano non p-immuni e non sono quindi eliminabili a favore di modalità de dicto. In conclusione, gli articoli esaminati danno l impressione che il principio di Predicazione, suggerito da von Wright con l intento di rendere eliminabili le modalità de re, è in realtà insufficiente ad assicurarla. Tale principio permette infatti di inferire da xlpx che per ogni individuo x, o necessariamente ogni individuo x gode di P o necessariamente ogni individuo x gode di P ( x (LPx L Px)), ma non che per tutti gli individui x ammessi nel linguaggio o necessariamente x gode di P o necessariamente x gode di P ( xlpx xl Px). Solo se questa ultima disgiunzione fosse effettivamente derivabile da xlpx e se si potesse ogni volta scegliere uno dei due disgiunti, allora la modalità de re espressa da xlpx sarebbe eliminabile a favore di una modalità de dicto, tramite la formula Barcan e la sua conversa. Ma il controesempio a xlpx xl xlpx (nel teorema di Cresswell 15 ) era costruito proprio permettendo che la proprietà P, benché non fosse contingente di nessun individuo, risultasse necessariamente vera di alcuni individui e necessariamente falsa di altri. Riguardo al problema della connessione tra modalità de dicto e de re ed essenzialismo, ricordiamo innanzitutto che il concetto di proprietà essenziale è contrapposto a quello di proprietà de dicto poiché un individuo gode della prima (ma non della seconda) in quanto tale e non soltanto sotto determinati modi di riferirsi ad esso. Barcan 16 e Parsons 17 dimostrano che gli enunciati essenzialistici costituiscono una sottoclasse propria delle modalità de re. La logica modale quantificata si può compromettere perciò a vari livelli con l essenzialismo e comunque questo avviene di fatto a livelli non problematici. Un enunciato de re esprime una proprietà essenziale soltanto se la lettera predicativa che vi compare non esprime né una proprietà tautologica (la cui estensione sia universale in tutti i mondi possibili) né una proprietà contraddittoria (la cui estensione sia vuota in tutti i mondi possibili). Questo perché nella caratterizzazione di proprietà essenziale gioca un ruolo importante 15 CRESSWELL M.J., The Elimination of "De re" Modalities, cit. 16 BARCAN MARCUS R., Essentialism in Modal Logic, cit. 17 PARSONS T., Grades of Essentialism in Quantified Modal Logic, cit.

5 l idea che tale proprietà valga necessariamente di alcuni individui e contingentemente di altri, oppure valga necessariamente di tutti gli individui che ne godono, sebbene non tutti ne godano Luisa Bortolotti

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