SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2017

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1 SOLUZIONE DEL PROBLEMA TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 7. Studiamo la funzione f() per verificare che il suo grafico sia compatibile con il profilo della pedana. Dominio della funzione. R Eventuali simmetrie della funzione. f( ) e + e ( ) La funzione è pari. e + e f() Intersezione con l asse y. y e +e Osserviamo che, 44 <, 5; nel grafico vediamo che effettivamente l intersezione della curva con l asse y ha ordinata minore di, 5. Intersezioni con l asse. y e + e e + e e + e e > e e + e e Poniamo z e. z z + z ± Osserviamo che i due valori ottenuti sono positivi, quindi otteniamo due soluzioni distinte per. e ± ln( + ) ln( ) c 7 Zanichelli editore

2 Per la simmetria della funzione, i due valori ottenuti sono opposti, con ln( ± ) ±, 88. Concludiamo che a ln( + ). Segno della funzione. Poniamo z e crescente. y > e + e > e + e < e + < e e > e e + < e e e ricordiamo che ln() è una funzione monotona z z+ < < z < + ln( ) < < ln( +). Quindi f() è positiva nell intervallo ] a; a[, in accordo al grafico assegnato. Studio della derivata prima. f () e e f () > e e > e < e e > e < < ln < La funzione è quindi crescente per <, decrescente per >. Per la funzione ha un massimo assoluto. Studio della derivata seconda. f () e + e f () < R La funzione non ha flessi e rivolge la concavità verso il basso. Possiamo concludere che il grafico della funzione assegnata è compatibile con il profilo della pedana. c 7 Zanichelli editore

3 . Chiamiamo f() la funzione ottenuta affiancando le copie del grafico di f(). f() è una funzione continua, periodica di periodo a. Calcoliamo la derivata sinistra e la derivata destra nel punto di non derivabilità a ln( + ). f (a) f (a) e a e a ( + ) ( + ) ea e a ( + ) e ln( +) e ln( +) ( + ) ( + ) Per la periodicità di f() e per la simmetria di f () (che è una funzione dispari), otteniamo: f +(a) f ( a) f (a). Nel punto a la tangente sinistra e la tangente destra del grafico hanno coefficienti angolari rispettivamente - e ; il prodotto di tali coefficienti angolari è, quindi le rette sono perpendicolari. Per la periodicità la stessa proprietà vale in tutti i punti di non derivabilità. Per determinare la lunghezza dell arco descritto da f() in [ a; a] calcoliamo l integrale L a a + [f ()] d. c 7 Zanichelli editore

4 Poiché f () è dispari, la funzione integranda è pari, quindi: a a ( ) L + [f e e ()] d + d a 4 + e + e a d + e + e 4 d. Osserviamo che l espressione all interno della radice quadrata è uguale a (e + e ), quindi: a a L (e + e ) d (e + e ) d [e e ] a e a e a e ln( +) e ln( +) ( + ) +. + L arco è quindi lungo come il lato del quadrato. In alternativa l integrale a + e + e d si poteva risolvere per sostituzione, ponendo e t. Dal cambio di variabile segue: L integrale diventa: e a L e a (t + ln t d t dt; t ; a t e a. + t + t t dt e a t + + t 4 t t dt ) e a t t dt t + e a dt + t t dt [ t t ] e a e a e a e ln(+) e ln(+) ( + ) +. 4 c 7 Zanichelli editore

5 . Il punto L è la proiezione del centro C del quadrato sul lato DE, quindi il triangolo ACL è rettangolo in L. Il punto M ha la stessa ascissa di L e la stessa ordinata di A, quindi il triangolo ALM è rettangolo in M. Le rette AC e LM sono parallele perché entrambe parallele all asse y, quindi formano con la trasversale DE angoli alterni interni congruenti: AˆLM LÂC. I triangoli ACL e ALM hanno dunque tutti gli angoli congruenti e quindi sono simili. Per il significato geometrico della derivata prima: LM AM f (). Per la similitudine fra i triangoli abbiamo: LM AM AL LC, dove LC, poiché corrisponde a metà del lato del quadrato. Combinando le due uguaglianze otteniamo f () AL LC f () AL. Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo ACL: AC LC + AL ( ) e e + [f ()] + (e ) 4 + e + e + e + e + e e + e. 4 4 Pertanto: d f() + AC e + e + e + e. 4. Per evitare ambiguità, chiamiamo g() e +e. Osserviamo che il grafico di g() si ottiene da quello di f() e +e tramite una traslazione verso il basso lungo l asse y, in quanto <. 5 c 7 Zanichelli editore

6 Determiniamo l angolo α formato dalla tangente a g() nel punto ln con l asse, calcolando la derivata prima di g() in tale punto. g () e e ( g ln ) e ln e ln tan α ( ) α arctan L angolo interno β del poligono regolare cercato è quindi: β 8 α. Il poligono regolare che ha angoli interni di è l esagono regolare. 6 c 7 Zanichelli editore

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