Elettronica II La giunzione p-n: calcolo del potenziale di giunzione p. 2

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Tommaso Mazzoni
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1 Elettronica II La giunzione pn: calcolo del potenziale di giunzione Valentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell Informazione Università di Milano, Crema liberali Elettronica II La giunzione pn: calcolo del potenziale di giunzione p. 1 Concentrazione di cariche elettriche (1/5) In un semiconduttore, la concentrazione di cariche è data dal numero di cariche per unità di volume. Moltiplicando la concentrazione delle cariche per la carica della singola particella (q 0 o q 0 ), si ottiene la densità di carica ρ, che in un semiconduttore drogato è: dove: ρ = N D q 0 N A q 0 nq 0 pq 0 N D è la concentrazione di atomi donatori N A è la concentrazione di atomi accettori n è la concentrazione di elettroni liberi p è la concentrazione di lacune Elettronica II La giunzione pn: calcolo del potenziale di giunzione p. 2 1

2 Concentrazione di cariche elettriche (2/5) In un semiconduttore drogato in modo uniforme, la densità di carica è nulla, e di conseguenza è nulla anche la somma algebrica delle concentrazioni: N D N A n p = 0 Inoltre, in un semiconduttore qualsiasi, il prodotto delle concentrazioni di elettroni liberi e di lacune è costante (legge dell azione di massa): n p = n 2 i La concentrazione intriseca n i dipende solo dalla temperatura. Elettronica II La giunzione pn: calcolo del potenziale di giunzione p. 3 Concentrazione di cariche elettriche (3/5) Dalle due equazioni { N D N A n p = 0 n p = n 2 i si ricavano le concentrazioni dei portatori (n e p), conoscendo il drogaggio e la temperatura. Matematicamente il sistema ha due soluzioni, di cui l unica accettabile è quella positiva. Elettronica II La giunzione pn: calcolo del potenziale di giunzione p. 4 2

3 Concentrazione di cariche elettriche (4/5) Nel silicio di tipo n (con N A 0): n > p Gli elettroni sono portatori maggioritari, le lacune sono portatori minoritari. Se la concentrazione di drogante è molto maggiore della concentrazione intrinseca (N D n i ): n N D p = n2 i n n2 i N D Quando aumenta la concentrazione di elettroni liberi, la concentrazione di lacune diminuisce. Elettronica II La giunzione pn: calcolo del potenziale di giunzione p. 5 Concentrazione di cariche elettriche (5/5) Nel silicio di tipo p (con N D 0): p > n Le lacune sono portatori maggioritari, gli elettroni sono portatori minoritari. Se la concentrazione di drogante è molto maggiore della concentrazione intrinseca (N A n i ): p N A n = n2 i p n2 i N A Quando aumenta la concentrazione di lacune, la concentrazione di elettroni liberi diminuisce. Elettronica II La giunzione pn: calcolo del potenziale di giunzione p. 6 3

4 Velocità termica dei portatori (1/2) In un materiale cristallino, a qualunque temperatura T > 0 K i portatori liberi si muovono in tutto il cristallo in modo analogo al movimento delle molecole di gas all interno di un recipiente (statistica di MaxwellBoltzmann). Per ricavare la velocità quadratica media v dei portatori liberi, si può usare l uguaglianza: 1 2 m v 2 = 3 2 kt m è la massa efficace dei portatori T è la temperatura assoluta (in Kelvin) k è la costante di Boltzmann Elettronica II La giunzione pn: calcolo del potenziale di giunzione p. 7 Velocità termica dei portatori (2/2) Dall uguaglianza: 1 2 m v 2 = 3 2 kt per T = 300 K, risulta v 100 km/s. La velocità termica è a media nulla, perché i portatori cambiano continuamente direzione in modo casuale in seguito agli urti tra di loro e con le altre particelle (agitazione termica). L agitazione termica dei portatori è la causa del rumore termico. Elettronica II La giunzione pn: calcolo del potenziale di giunzione p. 8 4

5 Velocità di deriva Se ad un materiale cristallino è applicato un campo elettrico E, i portatori si muovono con velocità di deriva: v d = µe La velocità di deriva è minore della velocità di agitazione termica, ma è diretta sempre nella direzione del campo elettrico. Il risultato è la corrente di deriva: J = nq 0 µe (n è la concentrazione dei portatori, q 0 è la carica elementare, e µ è la mobilità dei portatori) Elettronica II La giunzione pn: calcolo del potenziale di giunzione p. 9 Corrente di deriva In un semiconduttore la corrente di deriva è data dalla somma di due contributi, uno dovuto agli elettroni e uno dovuto alle lacune: J = J n J p = nq 0 µ n E pq 0 µ p E = (nµ n pµ p )q 0 E dove n e p sono le concentrazioni di elettroni e lacune, µ n e µ p sono le mobilità di elettroni e lacune. La conducibilità è: σ = (nµ n pµ p )q 0 In un semiconduttore drogato (n o p), conducibilità e corrente sono dovuti quasi esclusivamente ai portatori maggioritari. Elettronica II La giunzione pn: calcolo del potenziale di giunzione p. 10 5

6 Corrente di diffusione Se in un semiconduttore esistono differenze nella concentrazione dei portatori nei diversi punti dello spazio, l agitazione termica produce uno spostamento casuale dei portatori, che tendono a rimescolarsi ; poiche il numero di particelle in movimento è più alto dove la concentrazione è maggiore, esiste una corrente di diffusione dovuta al movimento dei portatori dalle zone a maggiore concentrazione verso quella a concentrazione più bassa. Per gli elettroni (carica negativa q 0 ): J n = q 0 D n n Per le lacune (carica positiva q 0 ): J p = q 0 D p p Elettronica II La giunzione pn: calcolo del potenziale di giunzione p. 11 Corrente totale Considerando sia la corrente di deriva sia la corrente di diffusione, la corrente è per gli elettroni: per le lacune: La densità di corrente totale è J n = q 0 (nµ n E Dn n) J p = q 0 (pµ p E Dp p) J = J n J p Elettronica II La giunzione pn: calcolo del potenziale di giunzione p. 12 6

7 Relazione di Einstein La mobilità µ e la costante di diffusione D sono legate tra di loro dalla relazione di Einstein: D n µ n = D p µ p = kt q 0 Elettronica II La giunzione pn: calcolo del potenziale di giunzione p. 13 Equilibrio termico In condizione di equilibrio, la corrente totale è nulla perché la corrente totale è nulla: la somma algebrica delle correnti di deriva e diffusione è zero, ma ciascuna componente, presa da sola, può essere diversa da zero. Per gli elettroni: Per le lacune: nµ n E Dn n = 0 pµ p E Dp p = 0 Elettronica II La giunzione pn: calcolo del potenziale di giunzione p. 14 7

8 Giunzione pn all equilibrio (1/5) Dall equazione: si ricava il campo elettrico: nµ n E Dn n = 0 E = D n 1 1 n = kt µ n n q 0 n n Considerando solo le variazioni in una direzione (lungo l asse x): E x = D n 1 dn µ n n dx = kt 1 dn q 0 n dx Elettronica II La giunzione pn: calcolo del potenziale di giunzione p. 15 Giunzione pn all equilibrio (2/5) regione di svuotamento cariche fisse p n x p 0 x n x Elettronica II La giunzione pn: calcolo del potenziale di giunzione p. 16 8

9 Giunzione pn all equilibrio (3/5) Il campo elettrico è il gradiente della differenza di potenziale: E = V Quindi la differenza di potenziale V J ai capi di una giunzione all equilibrio si ottiene integrando il campo elettrico lungo la regione di svuotamento: V J = xn D n 1 dn kt dx = x p µ n n dx q 0 xn 1 dn x p n dx dx Elettronica II La giunzione pn: calcolo del potenziale di giunzione p. 17 Giunzione pn all equilibrio (4/5) V J = kt q 0 xn 1 dn x p n dx dx L integrale può essere calcolato facilmente cambiando la variabile di integrazione; passando da x a n gli estremi di integrazione diventano n( x p ) = n p e n(x n ) = n n, quindi risulta: V J = kt q 0 nn n p 1 n dn = kt q 0 ln n n n p Elettronica II La giunzione pn: calcolo del potenziale di giunzione p. 18 9

10 Giunzione pn all equilibrio (5/5) V J = kt q 0 nn 1 kt dn = ln n n n p n q 0 n p V J p n x p 0 x n x Elettronica II La giunzione pn: calcolo del potenziale di giunzione p. 19 Esercizio Una giunzione pn in silicio ha concentrazioni di drogante N A = cm 3 e N D = cm 3. Calcolare il potenziale di giunzione a temperatura ambiente. Nota: a temperatura ambiente, la concentrazione intrinseca dei portatori nel silicio è n i = cm 3. Elettronica II La giunzione pn: calcolo del potenziale di giunzione p

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