Contenuti delle lezioni di Geometria 4 a.a 2015/2016 Marina Bertolini

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1 Contenuti delle lezioni di Geometria 4 a.a 2015/2016 Marina Bertolini 29 febbraio 2016 Lezioni 1 e 2 Introduzione al corso e informazioni di carattere organizzativo. Definizione di spazio topologico localmente euclideo (di dimensione n) e di varietà topologica. Primi esempi. Le componenti connesse di varietà topologiche sono connesse per archi. Esercizi. ([M],[K] Cap.11) 1 marzo 2016 Esercitazioni 1 e 2 Discussione sulla dimensione di una varietà topologica. Varietà topologiche a bordo ed esempi. Le sfere S n e gli spazi proiettivi reali P n R come varietà topologiche. 3 marzo 2016 Esercitazioni 3 e 4 Esercizi su riconoscimento di varietà topologiche e topologiche a bordo. Bordo del prodotto di varietà a bordo. Superfici topologiche e loro rappresentazione con poligoni. Esempi ed esercizi. Somma connessa di superfici e costruzione delle superfici Tg e Uh. 8 marzo 2016 Lezioni 3 e 4 Enunciato del teorema di classificazione delle superfici compatte. ([K] Cap. 11) Gruppo fondamentale delle superfici Tg e Uh e loro abelianizzati. Considerazioni sul Teorema di classificazione delle superfici topologiche compatte. ([K] Cap. 26) Definizione di atlante liscio, struttura differenziabile e varietà differenziabile. Teorema sugli atlanti massimali. Primi esempi. Atlante differenziabile sulle sfere. ([B] Cap.III, 1 e 2 [AT1] Cap. 2, 2.1) 10 marzo 2016 Lezioni 5 e 6 Proprietà delle basi numerabili per la topologia quoziente. Struttura differenziabile sugli spazi proiettivi reali. ([AT1] Cap. 2, 2.1, ([B] Cap.III, 1 e 2) Applicazioni differenziabili e loro composizione. ([B] Cap.III, 3 [AT1] Cap. 2, 2.2 ) Definizione di diffeomorfismo tra varietà lisce ed esempi. Considerazioni sulle diverse strutture differenziabili di varietà. ([B] Cap.III, 3 [AT1] Cap. 2, 2.2 )

2 14 marzo 2016 Esercitazioni 5 e 6 Struttura differenziabile sulle sfere con le proiezioni stereografiche. I due atlanti definiti sulle sfere definiscono la stessa struttura differenziabile. ([AT1] Cap. 2, esempio ). Prodotti di varietà differenziabili ed esempi (cilindro e toro). I tori come varietà differenziabili quozienti. Esercizi su varietà differenziabili come sottoinsiemi di R n (grafici locali) con la determinazione esplicita dell atlante. 15 marzo 2016 Esercitazioni 7 e 8 Le proiezioni dagli spazi prodotti come applicazioni lisce. La proiezione sugli spazi proiettivi come applicazione liscia e caratterizzazione delle funzioni lisce sugli spazi proiettivi. Esercizi su applicazioni differenziabili tra sottoinsiemi di R n e tra spazi proiettivi. 22 marzo 2016 Lezioni 7 e 8 Enunciato del teorema del rango per applicazioni da R n a R m. Teorema del rango per mappe lisce tra varietà differenziabili. Definizione di immersione, summersione, embedding. ([B] Cap.III, 4 e 5 [AT1] Cap. 2) Esempi. 31 marzo 2016 Esercitazioni 9 e 10 La proiezione sugli spazi proiettivi e caratterizzazione delle funzioni lisce sugli spazi proiettivi. Esercizi su applicazioni lisce ed embedding. 5 aprile 2016 Lezioni 9 e 10 Definizione di sottovarietà (regolare) e immersa. ([B] Cap.III, 4 e 5 [AT1] Cap. 2, oss e definizione ) Immersioni iniettive per varietà compatte e criterio affinché una fibra sia una sottovarietà. ([B] Cap.III, 5 Teorema 5.7 e Corollario 5.9 ). Esempio di S n. Introduzione alla definizione di Spazio Tangente: R-algebra dei germi di funzioni lisce in un punto. 7 aprile 2016 Esercitazioni 11 e 12 Correzione esercizi in rete e svolgimento temi d esame. 12 aprile 2016 Lezioni 11 e 12 Mappa pull-back. Derivazioni e spazio tangente Derivate direzionali. Interpretazione geometrica dei vettori tangenti e loro espressione in coordinate locali. 14 aprile 2016 Esercitazioni 13 e 14 Correzione esercizi in rete e svolgimento temi d esame (Prima prova intermedia Maggio 2015).

3 26 aprile 2016 Lezioni 13 e 14 Mappa differenziale e sue proprietà. Base dello spazio tangente. Seconda parte sulla interpretazione geometrica dello spazio tangente. Cambio di coordinate. Espressione del differenziale in coordinate locali.. 28 aprile 2016 Esercitazioni 15 e 16 Esercizi su spazi tangenti a varietà e svolgimento temi d esame. 3 maggio 2016 Lezioni 15 e 16 Spazio tangente nei punti delle fibre di una mappa liscia (con dimostrazione). Spazio cotangente: base e espressione in coordinate di un elemento dello spazio cotangente. ([AT1] Cap. 2, Osservazione e Cap.3 Osservazione ). 5 maggio 2016 Esercitazioni 17 e 18 Partizioni dell unità ( [A] Cap. 2, 2.7 ) 10 maggio 2016 Lezioni 17 e 18 Richiami di algebra lineare: spazio Hom(V,W) e prodotto diretto di spazi vettoriali. ([AT1] Cap. 1, 1.1). Applicazioni bilineari e multilineari. Prodotto tensoriale di spazi vettoriali. Esistenza e unicità. Esempi. ([AT1] Cap. 1) 12 maggio 2016 Esercitazioni 19 e 20 Esercizi sulle applicazioni bilineari e prodotti tensoriali. Ancora esercizi su spazi tangenti. 17 maggio 2016 Lezioni 19 e 20 Algebra tensoriale. Forme multilineari alternanti. Operatore di antisimmetrizzazione. Algebra esterna. ([AT1] Cap. 1) 18 maggio 2016 Esercitazioni 21 e 22 Esercizi di algebra multilineare su prodotti tensori.

4 19 maggio 2016 Lezioni 21 e 22 Algebra esterna e prodotto wedge. Esempio. Definizione di fibrato vettoriale. Funzioni di transizione di un fibrato e costruzione di un fibrato a partire dalle funzioni di transizione. Costruzione del fibrato tangente ad una varietà liscia. ([A] Cap. 3, 3.1). 23 maggio 2016 Esercitazioni 23 e 24 Riepilogo di Algebra Multilineare. Esercizi di algebra multilineare su prodotti tensori e prodotti esterni. 24 maggio 2016 Lezioni 23 e 24 Funzioni di transizione di un fibrato e costruzione di un fibrato a partire dalle funzioni di transizione. Costruzione del fibrato tangente ad una varietà liscia. ([A] Cap. 3, 3.1). Sezioni di un fibrato vettoriale e Campi vettoriali. Esempi di campi vettoriali. 25 maggio 2016 Esercitazioni 25 e 26 Esercizi di algebra multilineare. Esercizi sui fibrati vettoriali (Nastro di Moebius) e fibrati tangenti. Campi vettoriali sulle sfere. 26 maggio 2016 Lezioni 25 e 26 Riferimenti locali e cambio di carta. ([A] Cap. 3, 3.2). Introduzione alle forma differenziali: fibrato delle r-forme, cambio di base delle fibre e funzioni di transizione. ([A] Cap. 3, Esempio ). Forme differenziali in coordinate locali. Pull back di forme differenziali ed esempi. Differenziale esterno e proprietà. ([A] Cap. 4, 4.1). 30 maggio 2016 Esercitazioni 27 e 28 Esercizi sulle forme differenziali e svolgimento temi d esame. 31 maggio 2016 Lezioni 27 e 28 Orientabilità di una varietà differenziabile: carte equiorientate e atlante orientato. ([A] Cap. 4, 4.2). Forme di orientazione ed equivalenza tra orientabilità ed esistenza di una forma di orientazione. Orientazione delle Sfere. Criterio di non orientabilità. ([A] Cap. 4, 4.2).

5 1 giugno 2016 Esercitazioni 25 e 26 Esercizi di riepilogo e svolgimento temi d esame con orientabilità. Inserire i criteri di non orientabilità ed esempi. 7 giugno 2016 Lezioni 29 e 30 Integrazione di forme differenziali. ([A] Cap. 4, 4.3). 8 giugno 2016 Lezione 31 e 32 Teorema di Stokes per varietà orientabili ed alcune sue conseguenze. ([A] Cap. 4, 4.5). Referenze [AT1] M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, New York Springer-Verlag [B] W.M. Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Orlando Academic Press, Inc [K] C. Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica Zanichelli [M] M. Manetti, Topologia, New York Springer-Verlag