Gestione delle Scorte

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1 Sapienza Università di Roma - Dipartimento di Ingegneria Informatica, Automatica e Gestionale Gestione delle Scorte Renato Bruni bruni@dis.uniroma.it Il materiale presentato è derivato da quello dei proff. A. Sassano e C. Mannino

2 Gestione delle Scorte (Inventory Management) Produzione vista come processo di Approvvigionamento del Magazzino Fornitori Magazzino Materie Prime Magazzino Materie Prime Magazzino Semi Lavorati Magazzino Semi Lavorati Magazzino Prodotti Finiti

3 . Economie di Scala. Flessibilità Le Scorte sono Utili Produzione superiore al fabbisogno immediato Minimizza l incidenza dei costi fissi Favorisce l apprendimento Offre la posibilità di ottenere sconti Necessità di accumulare il surplus produttivo Disaccoppiamento delle fasi produttive Fuori servizio di macchinari Carenza di materie prime sul mercato 3. Equipartizione della Produzione Produzione in periodi di domanda scarsa

4 Ma di Più non è necessariamente Meglio 4. Speculazione Produzione quando si prevede che un bene aumenterà di prezzo. Le scorte rappresentano però un immobilizzazione di risorse. Causano Spese Gestione del Magazzino Sorveglianza del Magazzino Possibile Deterioramento, Furto, etc. 3. Tentativi di Riduzione Stocless Production Just In Time Bisogna gestire le scorte opportunamente

5 OBIETTIVO Controllo Continuo vs Discreto Determinare l andamento nel tempo delle giacenze di magazzino (scorte) che massimizza un opportuna funzione di utilità. Q(t) q q q 3 q N t 3 N Controllo Continuo (,,3,...,N) Periodi di Controllo Controllo Discreto

6 Andamento del Costo Variabile di Produzione PARAMETRI FONDAMENTALI. Costo di Produzione: C(Q) Funzione concava (per le economie di scala) della quantita prodotta C(Q) Esempi: (a) Approvvigionamento da Fornitori Costo di acquisto + Costo di trasporto Q (b) Approvvigionamento da Magazzino Semilavorati Costo del Semi-lavorato Contabilita Industriale o Analitica

7 Costo Fisso di Produzione PARAMETRI FONDAMENTALI. Costo Fisso di Produzione: A AQ) = Q) se Q= A se Q Costo sostenuto per attivare la produzione Indipendente dalle quantità prodotte se Q> Esempi: (a) (b) Approvvigionamento da Fornitori - Costo amministrativo dell Ordine - Quantità minima ordinabile Produzione effettiva - Costi di setup e changeover Q

8 Andamento del Costo Variabile di Stoccaggio PARAMETRI FONDAMENTALI 3. Costo di Stoccaggio: h(q) Q(t) h(q)=c s (Q) x Q Prodotto del costo unitario di stoccaggio c s per la giacenza complessiva Q Q T Q( t) dt T t c s (Q): Funzione del Costo/Opportunita del valore monetario dei beni immagazzinati (quanto mi avrebbe reso quel capitale immobilizzato in magazzino?) c s (Q)= r x C(Q)/Q + Per semplicità lo calcolo con: Minimo Tasso di Interesse Accettabile r Costo unitario di produzione quando la quantità è Q

9 Costo Fisso di Stoccaggio PARAMETRI FONDAMENTALI 4. Costo Fisso di Stoccaggio: Q) = se Q= se Q Costo sostenuto per le scorte indipendentemente dalle quantita immagazzinate Dovuto a: Costo Fisso di Gestione (ad es. salari degli addetti, etc.)

10 Costi Complessivi C(Q)=c(Q)+AQ) A Q Costo Totale di Produzione H(Q)=h(Q)+Q) Q Costo Totale di Stoccaggio

11 Caso con Baclogging Baclogging: soddisfare la domanda attuale con una produzione futura (= quantità negativa in magazzino, quantità già ordinata) Questo causa un costo (scontento del cliente, gestione, etc.) 5. Costo variabile di Baclogging : h(q) quando Q< 6. Costo Fisso di Baclogging : h(q) Q< h(q) Q> Costo Totale di Stoccaggio: H(Q)=h(Q)+Q)+Q) Q

12 Lead Time ALTRI PARAMETRI CARATTERISTICI 7. Lead Time L Tempo intercorrente tra l ordine e la consegna Q(t) L T t ordine consegna

13 Scorta Minima ALTRI PARAMETRI CARATTERISTICI 8. Scorta Minima q Giacenza minima di magazzino ovvero: quantita consumata durante il Lead Time q Q(t) L T t ordine consegna

14 Vari Modelli Possibili CARATTERISTICHE DEI MODELLI (). Natura dei Prametri (domanda, costi, lead time ) Deterministica: Parametri conosciuti con certezza Aleatoria (Stocastica): Parametri rappresentati da variabili aleatorie con opportune distribuzioni. Struttura della domanda e della produzione Costante nel tempo (modelli classici) Variabile

15 Controllo continuo: il modello classico (EOQ)

16 Modello Classico - Ipotesi Modello Deterministico Controllo Continuo Singolo bene Domanda uniforme D (D unità per anno, D/ al mese,... ) Costo di produzione: C(Q)=A(Q)+vQ Costo di stoccaggio: h ( Q ) rq Costo fisso di stoccaggio nullo MARR C ( Q ) Q Costo fisso di produzione Costo unitario Giacenza complessiva Lead time nullo (il bene prodotto è immediatamente disponibile) Baclogging non consentito

17 Modello Classico - Obiettivo Vogliamo determinare:. Istanti di produzione (t,t,...). Quantità Q,Q,... da produrre in ciascun istante di produzione con l obiettivo di soddisfare la domanda e minimizzare i costi di produzione e stoccaggio Q Q prodotto nell istante t Q Q prodotto nell istante t t t Poichè i parametri non variano nel tempo, la quantità ottima da produrre sarà sempre la stessa (Q * ) in ogni istante e verrà detta lotto di produzione o lotto di riordino o economic order quantity (EOQ)

18 Gestione Scorte: Modello Classico Scorte nulle all istante (necessaria: produzione all istante ) Quantità prodotte uguali nei diversi istanti di produzione Domanda da servire fino all istante t: D(t)=Dt con t [,..,] (tasso di domanda costante) D = domanda complessiva nell orizzonte temporale [,..,] Primo istante nel quale la scorta si annulla = = secondo istante di produzione : Dt - Q= t=q/d Q. Q/D Q/D 3Q/D (Anno) Numero istanti produttivi: D/Q

19 Gestione Scorte: Modello Classico Q 3... D/Q Q/D Q/D 3Q/D Costo di Produzione C(Q) D/Q = (A+vQ) D/Q= Costo di Stoccaggio h(q) = C ( Q ) A vq r Q rq ( ) rq Q Q Q è l integrale della giacenza nell intervallo [,..,] Q è la somma delle aree dei triangoli, ovvero: Q AD Q D Q vd Q D A Q v Q Quindi: h(q) = r Q A Q v r A vq

20 Gestione Scorte: Modello Classico Costo Totale C TOT (Q) =h(q)+c(q) = AD Q vd r A vq C TOT (Q) Q* dc TOT ( Q ) AD dq Q AD Q v r v r Q Q AD r v dc TOT ( Q dq Q ) * AD r v

21 Gestione Scorte: Modello Classico Q * AD r v EOQ Economic Order Quantity = Lotto di Riordino Ottimo Q* 3... D/Q* Q*/D Q*/D 3Q*/D L intervallo tra due ordini successivi è: * T Q AD A EOQ D r v D r Dv

22 Gestione Scorte: Modello Classico Q * AD r v T EOQ A r Dv ESEMPIO: Domanda: D = 4 scatole annue Costo unitario del bene: v =.4 Euro Costo fisso di produzione: A = 3. Euro MARR: r = 4% (.4) Q * AD r v A T EOQ mesi r Dv 6

23 Gestione Scorte: Modello Classico Domanda: D = 4 scatole annue Costo unitario del bene: v =.4 Euro Costo fisso di produzione: A = 3. Euro MARR: r = 4% (.4) Gennaio Marzo Maggio Luglio AD A C TOT (Q*) = vd r * Q * vq.4.6 Novembre 8

24 Generalizzazioni del Modello Classico Q L DL Lead time > Baclogging Q Produzione non istantanea (tasso di produzione costante)

25 Controllo discreto e deterministico

26 Programmazione della Produzione - Ipotesi Modello Deterministico Controllo Discreto [,,3,...,T ] Singolo bene d d 3 d 5 Domanda Variabile nel tempo d d T [d,d,d 3,...,d T ] d i > d T Funzioni Costo (Produzione e Stoccaggio) Variabili nel tempo (es: Produrre nel periodo costa meno che nel periodo h) Lead time nullo (il bene prodotto è immediatamente disponibile)

27 Obiettivo Vogliamo determinare:. Quantità x,x,... da produrre in ciascun periodo. Quantità s,s,... da immagazzinare in ciascun periodo con l obiettivo di soddisfare la domanda e minimizzare i costi di produzione e stoccaggio x x x 3 x x T s 3 T s s s 3 s - s s T- s T d d d 3 d d T s s T Giacenza di magazzino all inizio dell orizzonte temporale Giacenza di magazzino alla fine dell orizzonte temporale

28 Andamento dei Costi Costo di Produzione nel periodo t C t ( x t )=A t ( x t )+ c t ( x t ) c t ( x t ) A t x t Costo di Stoccaggio nel periodo t H t ( s t )= t ( s t )+ t ( -s t )+ h t ( s t ) h t ( s t ) h t ( s t ) t t s t

29 Come Modellare il Problema? x x x 3 x x T s 3 T s s s 3 s - s s T- s T d d d 3 d d T min f ( x, s) T t ( C t ( x t ) H t ( s t )) x + s - s d x, s s = no baclogging

30 Tipi di Soluzioni x + s - s d Esempi di rappresentazioni

31 Modello di Programmazione della Produzione Assunzione. Scorte iniziali e finali nulle. s =, s T =. Le variabili s, s T possono essere eliminate min f ( x, s) t ( C x s d x + s - s d T t ( x t ) H t ( s )) t x T s T- d T x, s x T s = no baclogging OSS: T variabili di produzione x, T- variabili di scorta s T vincoli di domanda. T variabili non negative (x,s) insieme di soluzioni di un sistema di disequazioni lineari poliedro.

32 Insieme delle Soluzioni Ammissibili x s d x + s - s d x T s T- d T x, s x T Teorema. L insieme di soluzioni ammissibili del problema di programmazione della produzione è un poliedro limitato (politopo) Dim. Sommando tra loro i T vincoli di domanda si ottiene T j T x j d j T j (la produzione totale eguaglia la domanda complessiva) xi d j D i,, T j (dalla non-negatività della variabili x) Sommando tra loro i vincoli di domanda da r > a T si ottiene T jr r T x s d s d x d D j jr j r T jr j T jr j T jr j r =,, T Oss. Da T jr T T x j sr d j e s r- xr d j jr jr r =,, T

33 Struttura Funzione Obiettivo Problema di Programmazione Concava con Vincoli Lineari min x A s x s f ( x, s) b T Funzione concava A matrice T- T Forma standard x s y Forma compatta min f ( y) Ay b y T Proprietà funzione concava. f : R n R funzione concava, se e solo se, dati p punti v,, v p R n si ha che f ( p u v ) p u f ( v ) per ogni u,,, p tali che p u

34 Vertici di un Poliedro y è un vertice di P se e solo se è una soluzione di base ammissibile (SBA) Politopo y,, T N T B N B y y b Ny By T N T B y b B y Una SBA di P ha al più T componenti diverse da zero SBA definita da B SBA definita da una sottomatrice quadrata nonsingolare B di A }, : { T T y b Ay R y P

35 Soluzioni che sono Vertici Perchè i vertici (SBA) sono importanti? Teorema: Un problema con funzione obiettivo concava f(y) e regione ammissibile costituita da un politopo (non vuoto) ha sempre una soluzione ottima su un vertice. Dimostrazione: y * soluzione ottima ( f(y * )< f(y) per ogni yp) Ext(P)=v,v,...,v p vertici di P (v * : f(v * )< f(v) per ogni v Ext(P)) p p u u v u y * ; ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( * * * v f v f u v f u v u f y f p p p v * soluzione ottima CVD. concavità

36 Tipi di Soluzioni Possiamo limitare la ricerca della soluzione ottima alle SBA! Come caratterizzare (e riconoscere) una SBA? Soluzione ammissibile non di base Soluzione ammissibile di base (SBA)

37 Distinguere le Soluzioni y y B N B b T T SBA definita da B Una SBA ha al più T componenti diverse da zero s - x s d In ogni periodo deve essere: x +s - > Una soluzione ha almeno T componenti diverse da zero Una SBA ha esattamente T componenti diverse da zero

38 Riconoscere le SBA in pratica Una SBA ha esattamente T componenti diverse da zero s - x s In ogni periodo deve essere: x +s - > d In ognuno dei T periodi esattamente una delle variabili x,s - è diversa da zero (x s - Se (x,s) è una SBA, in ogni periodo abbiamo uno dei due casi:. Produzione positiva (x e Scorte nulle (s - Produzione nulla (x e Scorte positive (s -

39 Periodi Produttivi Se (x,s) è una SBA, in ogni periodo abbiamo uno dei due casi:. Produzione positiva (x e Scorte nulle (s - Produzione nulla (x e Scorte positive (s - è un periodo produttivo se x La domanda di un periodo non produttivo h è soddisfatta dalla produzione nell ultimo periodo produttivo <h L insieme di periodi la cui domanda è soddisfatta da uno specifico periodo produttivo viene detto intervallo di produzione All inizio e alla fine di un intervallo di produzione la giacenza è nulla

40 Intervallo di Produzione x j j j+ - s j... s - Intervallo di Produzione [ j, j+, j+,..., -, ] d j+ d j d - d Definiti gli estremi di un intervallo di produzione è possibile calcolare quantità prodotte e imagazzinate x j d r r j x t t j,, s t rt d r t j, j,..., s

41 Intervallo di Produzione (II) x j j j+ - s j... s - Intervallo di Produzione [j,...,]=[ j, j+, j+,..., -, ] d j+ d j d - d Definiti gli estremi di un intervallo di produzione è possibile calcolare il costo di produzione e stoccaggio per servire la domanda dei periodi contenuti in [j,...,] M ( j, ) t j ( C t ( x t ) H t ( s t ))

42 M = Esempio Calcolo della Matrice M t d j A c h x x 3 4 s s Costo di Produzione Lineare (con costo fisso): C t ( x t )=A t ( x t )+ c t x t Costo di Stoccaggio Lineare (costo fisso nullo) H t ( s t )=h t s t x 3 s 3 x M(,3)=3+9*3+7*+4*= M(,4)=4+*3+7*+3*=5 M(,)=3+*3=9

43 Struttura di una Soluzione di Base x j x j j... j j q... T j j - j j 3 - d j d j d j d j 3 xj d d j j x j q d j q dt Insieme dei periodi produttivi di (x,s): J { j, j,..., jq } [,.., T ] ( x j ) Caratterizza una SBA: f ( x, s) T t ( C t ( x t ) H t ( s t )) q r M ( j r, j r ) M ( j q, T ) Z ( J )

44 Funzione Obiettivo (Funzione d Insieme) x j x j xj x j q j j j q... T j j - j j 3 - d j d j d j d j 3 d d j Problema di Programmazione della Produzione: j d j q dt min Z ( J ) J [,.., T ]; J TROVARE: J * : Z(J * ) < Z(J) per ogni J

45 Il grafo dinamico Serve a ridurre il problema in esame a un problema di cammino minimo su grafo orientato aciclico (DAG) Grafo orientato G(V,A) con lunghezze degli archi l R A V = {,, T+} (tanti nodi quanti periodi più un nodo ulteriore) A = {(i,j): i V, j V, i < j} (tutti gli archi in avanti ) l ij = M(i, j-), per ogni (i,j) A. OBS: V ordinato topologicamente: per ogni (u,v) A u < v Esempio: T = M =

46 Cammini e insiemi produttivi A ogni insieme di periodi produttivi J = {j, j,..., j q } (j =) corrisponde biunivocamente un cammino orientato P dal nodo al nodo T+ nel grafo dinamico J = {j, j, j 3,..., j q } M(,) P = {(, j ), (j, j 3 ),...,(j q-,j q ), (j q,t+)} M(,) M(,) 3 T T+ Il costo di J e la lunghezza di P coincidono. Infatti: M(,T) P passa esattamente per i nodi corrispondenti ai periodi di J e termina nel nodo T+ Z(J) = M(,j -) + M(j, j 3 -) M(j q-,j q -) + M(j q,t) L( P) l j l j j l j j l j T 3 q q q M(,j -) + M(j, j 3 -) M(j q-,j q -) + M(j q,t) M(,T)

47 Cammini minimi in grafi aciclici La lunghezza del cammino di lunghezza minima corrisponde quindi al costo dell insieme produttivo di costo minimo Il problema originale può essere risolto utilizzando un algoritmo per il calcolo del cammino minimo su grafo aciclico. M(,) M(,T) M(,) M(,) 3 T T+ M(,T) Sia F = lunghezza cammino minimo da a + F T costo minimo di produzione e stoccaggio per soddisfare la domanda sull orizzonte temporale Nota: F costo minimo di produzione e stoccaggio per soddisfare la domanda fino a.

48 Calcolo cammino minimo in grafi aciclici l n l 3 l 3 n- n l n G = (V,A) grafo aciclico V ordinato topologicamente l i peso arco i C = lunghezza cammino minimo da a. Ogni cammino da a può passare solo per nodi i <.. Se P = {(, v ),,(h,i), (i, )} cammino minimo da a allora: a. P = {(,v ),, i ) cammino minimo da a i b. C = C i + l i h l i C i h l h l h l hi w w C w C l i i i Se conosciamo C j per ogni j <, possiamo calcolare C C min { C } l j j j {,, } C

49 Algoritmo ricorsivo calcolo cammino minimo Se r V è tale che C C r l r min { C } j j j {,, l } r l r h l hi i l i r è il predecessore p() di sul cammino minimo da a Calcolo del cammino minimo in grafo aciclico G(V,A), l R A Assunzione: nodi di ordinati topologicamente Inizializzazione: C =, p() = * for j = to n C = min j < {C j + l j } p() = argmin j < {C j + l j } C h h C w C i w l w l h i l i C 49

50 Cammino minimo sul grafo dinamico M(,) M(,T) G (V,A) l R A M(,) M(,) 3 T T+ l j+ = M(j,) M(,T) Ricordando che, nel grafo dinamico, F indica la lunghezza cammino minimo da a + F = C + C min { C j l j } j{,, } =,,T con C = F min { Fj j{,, } M ( j, )} =,,T con F = Sia L() il periodo produttivo che serve il periodo L( ) arg min{ Fj j{,, } M ( j, )} =,,T

51 Algoritmo di Wagner-Whitin (idea) F min { F j j{,.., } M ( j, )} F : F : min{ F M (, )} F : min{ F M (,), F M (,)}... F T valore della soluzione ottima

52 FASE I: Inizializzazione (calcolo matrice M) j r x j d r t r r t j j t d s,...,, )) ( ) ( ), ( j t t t j j s H x C j M for := to T for j:= to end for Algoritmo di Wagner-Whitin

53 Algoritmo di Wagner-Whitin FASE I: Calcolo del valore ottimo F : for := to T F end for min { F j j{,.., } L ( ) arg min { F j j{,.., } M ( M j (, )} j, )} L() periodo produttivo che serve i l periodo FT valore della soluzione ottima

54 Algoritmo di Wagner-Whitin FASE II: Individuazione della Soluzione J* L() periodo produttivo che serve il periodo L(j -)=j L(j 3 -)=j L(j q -)=j q- L(T)=j q j j q-... q -... j q... T j j - j j 3 -

55 FASE II: Individuazione della Soluzione J * * J : LAST endwhile { L( T )} : L ( T ) while LAST<> do LAST : L ( LAST ) J * : J * Algoritmo di Wagner-Whitin {LAST } L(j -)=j L(j 3 -)=j L(j q -)=j q- L(T)=j q j j q-... q -... j q... T j j - j j 3 - LAST- LAST

56 Esempio di Programmazione della Produzione Modello Deterministico Controllo Discreto (quattro periodi) [,,3,4 ] Singlo bene Domanda Variabile nel tempo Costo di Produzione Lineare (con costo fisso): C t ( x t )=A t ( x t )+ c t x t Costo di Stoccaggio Lineare (costo fisso nullo) H t ( s t )=h t s t Periodi Domanda A c h x x 3 4 s s x 3 x 4 s

57 Calcolo della Matrice M Periodi Domanda A c h x x 3 4 s s x 3 x 4 s M = M(,)=3+*3= M(,3)=3+9*3+7*+4*= M(,4)=4+*3+7*+3*=5

58 Algoritmo di Wagner-Whitin: Fase F min j F (, ) j M j,.., F : F min{ F M (,)} 9 : F : min{ min{ F M 4,9 (,), F 3 } M (,)} ( L ) F 3 : min{ min{ F M 5,9 (,3 ), 33 F, M (,3 ), F 9 } 4 M (3,3 )} ( L 3 3 ) F 4 : min{ min{ F M 76,9 (,4 ), 5 F, M (,4 ), F 34,4 M 7 (3,4 ), F } 56 3 M ( L 4 ( 4,4 )} 3 )

59 FASE II: Individuazione della Soluzione J * L Algoritmo di Wagner-Whitin: Fase periodo produttivo che serve il periodo L(j -)=j L(j 3 -)=j L(j q -)=j q- L(T)=j q j q-... j q -... j q... T j j - j j 3 - L()= L()= L(4)=

60 Soluzione Ottima Trovata

61 Controllo discreto: formulazione

62 Formulazione lineare con costi fissi In presenza di vincoli aggiuntivi, l algoritmo di Wagner e Within non può essere applicato Una formulazione matematica può in genere essere facilmente emendata per tenere conto di ulteriori vincoli. Consideriamo il caso di costi fissi di produzione e costi variabili che variano linearmente con la produzione e le scorte: Costo di Produzione nel periodo t Costo fisso + costo lineare A t C t ( x t )=A t ( x t )+ c t x t x t Costo di Stoccaggio nel periodo t costo lineare H t ( s t )= h t s t s t

63 se x z = = se x > Modellazione costi fissi Introduciamo una variabile binaria z per ogni periodo Per semplificare la notazione rintroduciamo le variabili s e s T min T x + s - s d x R z x, s s,s T R costante sufficientemente grande Ricordando che Poniamo c x R T x A z T h s Vincoli di upper bound variabile T d j T j d j j =,, T =,, T

64 Cammini minimi su grafi aciclici

65 Algoritmo per i Cammini Minimi L algoritmo di programmazione dinamica è un esempio di calcolo di cammino minimo su grafi orientati privi di cicli orientati. Lo stesso algoritmo (mutatis mutandis) può essere applicato a grafi orientati aciclici generici (DAG = directed acyclic graph) Problema : come stabilire se un grafo orientato è aciclico? Problema : Come costruire un ordinamento topologico dei nodi (se esiste)? I due problemi in realtà sono due facce della stessa medaglia.

66 Teorema della numerazione topologica Def. Numerazione topologica dei nodi di un grafo orientato G(V,A) : numerazione dei nodi V = {,,..., n} tale che (,i) A < i). Teorema 3.8 (della numerazione topologica): un grafo orientato G(V,A) ammette una numerazione topologica dei nodi se e solo se G non contiene cicli orientati (= G è un DAG) DIMOSTRAZIONE: Solo Se (Necessità). Per assurdo. Supponiamo i nodi di G numerati topologicamente e che G contenga almeno un ciclo orientato {(v v ),,(v - v ),(v v )} Essendo v v A deve essere v < v v v v3 v Similmente v < v 3 <...< v < v e quindi v < v, contraddizione 66

67 Dimostrazione Sufficienza (divisa in due parti). Parte : Se G(V,A) è un DAG allora esiste un nodo s privo di archi entranti (sorgente) Per assurdo: supponiamo che per ogni v V esista uv A. Sia V = n Scegliamo un nodo iniziale v. Per ipotesi esiste (v,v ) A. Ma esiste anche (v 3,v ) A. Ripetendo n volte, identifichiamo un wal orientato W = {(v n+ v n ), (v n v n- ),..., (v v ) } che comprende n+ nodi. Ma V = n quindi almeno un nodo appare due volte in W v v C Quindi W contiene un cammino chiuso orientato C v n+ v n v n- 67

68 Algoritmo per la numerazione topologica Parte. La dimostrazione è costruttiva. Poni G = G. Scegli una sorgente s di G. Costruisci G = G [V {s }] indotto in G dai nodi V {s } (i.e. ottenuto da G rimuovendo il nodo s e gli archi incidenti in s ) G è aciclico e quindi contiene almeno una sorgente s L argomento può essere riapplicato a G rimuovendo s e costruendo il sottografo G 3 e così di seguito Si ottiene la sequenza di grafi (G, G,...,G n ) e di nodi distinti (s, s,...,s n ) con s i sorgente nel grafo G i, per i =,..., n La numerazione (s =, s =,..., s n = n) è topologica, infatti:.per i =,..., n, i nodi di G i sono V i = {i, i+,,n}..il nodo i è sorgente in G i non esiste {i+,,n} con i A (altrimenti i G i e i non è una sorgente di G i )

69 Calcolo dell ordinamento topologico L algoritmo è ispirato alla dimostrazione (costruttiva) di esistenza della numerazione topologica: Algoritmo generico di numerazione topologica Inizializzazione: Poni G = G for j = to n Trova una sorgente s j in G j Assegna a s j indice j Poni G j+ = G j {s j }(rimuovi s j e tutti gli archi incidenti) Endfor Ordinare un grafo topologicamente può essere svolto in O( A ) 69

70 u Esempio di numerazione topologica v z w m l r G = G u è sorgente in G. Poni u =, rimuovilo costruendo G v è sorgente in G. v = z v z w w m m l r l r G G 3 w è sorgente in G 3. w = 3 q q q G 4 z m G 5 G 6 G 7 G 8 l m r l r r l r q q q q q z è sorgente in G 4. z = 4 m è sorgente in G 5. m = 5 l è sorgente in G 6. l = 6 r è sorgente in G 7. r = 7 q è sorgente in G 8. q = 8

71 Esempio di numerazione topologica v m u w l q z r Numerando i nodi nell ordine in cui li abbiamo scelti e rimossi otteniamo la numerazione topologica:

72 Calcolo del cammino minimo per DAG Calcolo del cammino minimo grafi aciclici Ordina topologicamente i nodi di G = (V, A) Inizializzazione: C =, p = *. for j = to n C j = min{c i + l ij in (j)} p j = argmin{c i + l ij in (j)} C h C w C i h w l hj l wj j i l ij C j Endfor A ogni iterazione visito la stella entrante nel nodo j Alla fine avrò visitato tutti gli archi esattamente una volta. Complessità : O(m) Poiché anche la numerazione topologica ha complessità O(m), complessivamente la complessità resta O(m) 7

73 Esempio di calcolo del cammino minimo C = 4 p = * C = min {C + l } = min {3} = 3 p = C 3 = min {C + l 3 } = min {} = p 3 = C 4 = min {C + l 4 } = min {} = p 4 = C 5 = min {C + l 5 } = min {8} = 8 C 6 = min {C 3 +l 36,C 4 +l 46,C 5 + l 56 } = min {7,9,7} = p 5 = p 6 = 5 C 7 = min {C 4 + l 47 } = min {5} = 5 p 7 = 4 C 8 = min {C 6 +l 68,C 7 +l 78 } = min {9,8} = 8 p 8 = 7

74 Altri esempi di programmazione dinamica

75 Programmazione dinamica e napsac, Problema del napsac binario: Dati n oggetti {,,n}, di valore c j e ingombro b j, con j =,, n e dato uno zaino di capacità K - trovare il sottoinsieme di oggetti J il cui volume complessivo non ecceda la capacità dello zaino e che abbia valore massimo Siano c j = (c,, c j ), b j = (b,, b j ) i vettori di valore e ingombro associati ai primi j oggetti. Il problema di napsac è completamente definito dalla tripla (c n, b n, K) Per ogni j {,,n}, introduciamo una variabile binaria x j se l oggetto j è preso x j = altrimenti Formulazione: max c b x x... c... b x {,} n, n n x x n n K c, b Z n, K Z

76 Sequenze di sottoproblemi di napsac Dato un problema di napsac su n oggetti (c n, b n, K) - Associamo (n+) (K+) sottoproblemi (c j, b j, i), per j =,,n e i =,,K, ove il problema (c j, b j, i) è ottenuto considerando solo i primi j oggetti e capacità dello zaino pari a i Formulazione: M ( i, j) b x max c... b j x x j... i c j x j x {,} j Per i =,, K, j =,,n M(i,j) = valore soluzione ottima del sottoproblema J(i,j) = insieme degli oggetti nella soluzione ottima del sottoproblema corrispondente. OSS: M(K,n) valore soluzione ottima problema iniziale J(K,n) soluzione ottima problema iniziale

77 Calcolo di M(i,j) Quanto vale M(i, j)? Se l oggetto jj(i,j) (j non è preso nella soluzione ottima), allora la soluzione ottima è uguale a quella ottenuta trascurando l oggetto M(i, j) = M(i, j-) J(i, j) = J(i, j-) Se l oggetto jj(i,j) (i.e. j è preso nella soluzione ottima), allora ) j contribuisce al valore della soluzione per il suo valore c j ) j consuma una parte pari a b j del volume i 3) J = J(i,j) {j} {,, j-}, i.e. J contiene solo oggetti < j Principio di ottimalità: J è la soluzione ottima per il problema con gli oggetti {,, j-} e volume i - b j (dimostrare) J = J(i - b j, j -) c(j ) = M(i - b j, j -) c(j) = M(i,j) = M(i - b j, j -) + c j

78 Formula Ricorsiva A priori non so se l oggetto j è contenuto nella soluzione J(i,j), ma lo posso valutare conoscendo M(i, j -) e M(i - b j, j -) Infatti: M(i, j) = max {M(i - b j, j -) + c j, M(i, j -)} Questa formula permette di calcolare ricorsivamente tutti i valori della matrice M. Posso quindi calcolare M(i,j) se conosco Ho bisogno di inizializzare la matrice M(i, j -) M(i - b j, j -) M(i, j) = se i = oppure i > e j = - se i <

79 L algoritmo ricorsivo Inizializza M For i =,, K For j =,, n If M(i b j, j-) + c j > M(i, j-) then M(i,j) = M(i b j, j-) + c j else EndIf EndFor EndFor J(i,j) = J(i b j, j-) {j} M(i,j) = M(i, j-) J(i,j) = J(i, j-) Complessità O(nK) (pseudo-polinomiale)

80 Esempio i j max x x x 3x 4 x {,} M(i, j) = max {M(i b j, j-) + c j, M(i, j-)} x 3 3x 3x 3 4 4x M(,) = max {M(-, )+, M(, )} = M(,) = M(,3) = M(,4) = M(,) = max {M(, )+(=c ), M(, )} = M(,) = max {M(-, )+(=c ), M(, )} = M(,3) = M(,4) = 4 6 M(3,) = max {M(, )+(=c ), M(3, )} = M(3,) = max {M(, )+(=c ), M(3, )} = M(3,3) = max {M(, )+(=c 3 ), M(3, )} = M(3,4) = max {M(-, )+3(=c 4 ), M(3, 3)} =

81 Esempio {,} max x x x x x x x x x i M(i, j) = max {M(i b j, j-) + c j, M(i, j-)} j M(4,) = max {M(, )+, M(4, )} = M(4,) = max {M(, )+, M(4, )} = M(4,3) = max {M(, )+, M(4, )} = M(4,4) = max {M(, 3)+3, M(4, 3)} = 3 M(5,) = max {M(3, )+, M(5, )} = M(5,) = max {M(, )+, M(5, )} = 3 M(5,3) = max {M(, )+, M(5, )} = 3 M(5,4) = max {M(, 3)+3, M(5, 3)} = 3

82 Esempio {,} max x x x x x x x x x i M(i, j) = max {M(i b j, j-) + c j, M(i, j-)} j M(6,) = max {M(4, )+, M(6, )} = M(6,) = max {M(3, )+, M(6, )} = 3 M(6,3) = max {M(3,)+,, M(6, )} = 3 M(6,4) = max {M(, 3)+3, M(6, 3)} = 4 Valore della soluzione ottima Per trovare la soluzione: nell ultimo max abbiamo scelto M(, 3)+3, cioè preso oggetto {4}, nel max per ottenere M(, 3) avevamo scelto M(, ) cioè non abbiamo preso oggetti, nel max per ottenere M(, ) avevamo scelto M(, )+ cioè preso {}: la soluzione trovata è {,4}

83 Il grafo dinamico associato M(i, j) = max {M(i b j, j-) + c j, M(i, j-)} Problema di cammino massimo su grafo aciclico Gli archi senza etichetta si intendono Gli archi con un costo c j rappresentano la scelta dell oggetto {j} max x x x 3x x 3 3x 3x 3 4 4x 4 6 r,,,, 3, 4, 5,,,3,4 3,,3,4 3,,3,4 3, 3,3 3,4 3 4, 4,3 4,4 5, 5,3 5,4 t x {,} 4 6, 6, 6,3 6,4

84 Confronto con l albero di branching x = x = x = x = x = x = x 3 = x 3 = x 3 = x 3 = x 3 = x 3 = x 3 = x 3 = x 4 = x 4 = x 4 = x 4 = x 4 = x 4 = x 4 = x 4 = x 4 = x 4 = x 4 = x 4 = x 4 = x 4 = x 4 = x 4 = Numero di nodi n : al crescere delle dimensioni del problema cresce più rapidamente!