Due o tre cose sulla serie armonica

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1 Due o tre cose sulla serie armonica Giulio C. Barozzi Università dibologna Una delle prime serie che si incontrano nello studio dell Analisi Matematica è la cosiddetta serie armonica, cioè quella costruita a partire dalla successione, 2, 3,..., n,... dei reciproci dei numeri interi positivi. La somma parziale n-esima di tale serie èilnumero armonico di ordine n H(n) = n. Nonostante ciascuna di tali somme si ottenga dalla precedente addizionando un termine via via più piccolo e convergente a 0, la successione delle somme stesse, cioè laserie armonica, diverge positivamente. Poiché lasuccessione H(n) è monotona crescente, è equivalente dimostrare che essa è positivamente divergente, oppure dimostrare che essa è superiormente illimitata. Ancora: per dimostrare che essa è divergente, basta mostrare che essa ammette una sottosuccessione positivamente divergente. La dimostrazione più antica della divergenza in questione èdovuta a Nicola Oresme (ca ); essa parte dall idea che, raggruppando opportunamente più termini consecutivi della serie armonica, si può costruire una sottosuccessione della successsione H(n) che manifestamente diverge. A partire dal secondo termine, raggruppiamo i termini della serie armonica in blocchi costituiti da, 2, 4, 8,... addendi, in modo che l ultimo termine di ciascun blocco sia del tipo /2 k : ( ) 2 ( ) 3 4 ( In ciascuno dei blocchi entro parentesi l ultimo addendo è il più piccolo, dunque le quantità entro parentesi sono tutte /2. In generale, per ogni naturale positivo k, il k-esimo blocco contiene 2 k addendi tutti maggiori o uguali a /2 k.per ogni naturale k abbiamo allora H(2 k ) k 2, )

2 epoiché lasuccessione a secondo membro diverge, tale sarà anche quella a primo membro. k H(2 k ) k/ Come vedremo in seguito, la serie armonica è strettamente legata alla funzione logaritmo. Una dimostrazione della divergenza della serie armonica può essere ottenuta a valle della definizione del numero di Eulero e = , dopo aver dimostrato che la successione n ( /n) n che definisce il numero stesso è monotona crescente, dunque e è anche l estremo superiore della successione in esame: ( n >0, n) n <e. Prendendo i logaritmi di entrambi i membri abbiamo dunque n[log(n ) log n] < log(n ) log n< n, H(n) = n k= k > n k= [log(k ) log k] = log(n ) e l ultima quantità diverge per n. Un ulteriore dimostrazione della divergenza della serie armonica si deve a Pietro Mengoli ( ), successore di Bonaventura Cavalieri nell insegnamento della matematica nell Università dibologna. Essa parte dall idea che, se si rappresentano in un diagramma cartesiano i punti di coordinate (n, /n), essi appartengono al ramo di iperbole x /x, x>0, che rivolge la propria concavità verso l alto. Dunque se si congiungono due punti di tale iperbole con un segmento, esso giace tutto al disopra dell arco di iperbole che ha gli stessi estremi. Ad esempio, se si congiungono i punti ( n, /(n ) ) e ( n, /(n ) ),ilpunto medio del segmento ottenuto ha ascissa n e ordinata [ 2 n ] n che è maggiore dell ordinata /n del corrispondente punto appartenente all iperbole. 2

3 In altri termini [ 2 n ] > n n ; si tratta di una diseguaglianza immediata in quanto può essere riscritta nella forma n n 2 > n n 2 >n 2. Se scriviamo la nostra diseguaglianza nella forma n n > 2 n, e aggiungiamo /n ad entrambi i membri, otteniamo: n n n > 3 n. A parole: la somma di tre termini consecutivi della serie armonica è maggiore del triplo del termine centrale della terna in esame. Raggruppiamo allora i termini della serie armonica in blocchi di tre termini, a partire del secondo termine, in modo che il termine centrale di ciascuna terna abbia come denominatore un multiplo di 3: ( 2 3 ) 4 ( ) ( La prima somma entro parentesi è maggiore di 3 /3 =,laseconda è maggiore di 3 /6 =/2, la terza è maggiore di 3 /9 =/3,.... In generale se consideriamo 3 )

4 la somma H(3n ), essa si può scrivere come seguito n terne che, complessivamente, danno un contributo superiore a /2 /3... /n, dunque H(3n )> H(n). Supponiamo ora, per assurdo, che la successione H(n) converga ad un limite s R. Passando al limite nella diseguaglianza appena ottenuta, avremmo s s, il che è impossibile. Resta dunque l altra alternativa: H(n) diverge positivamente. n H(3n ) H(n) Nello stesso spirito della dimostrazione di Mengoli, appena vista, possiamo dare una dimostrazione visiva della divergenza della serie armonica. Costruiamo un istogramma costituito da rettangoli di base unitaria e altezze, /2, /3,... ; per ragioni di leggibilità del grafico, scegliamo l unità di misura sull asse delle ordinate maggiore di quella sull asse delle ascisse, come abbiamo fatto anche nella figura precedente L area complessiva dell istogramma fornisce la somma della serie armonica. Ora, possiamo considerare il nostro istogramma non solo come unione di rettangoli verticali che hanno due vertici opposti nei punti (n, 0) e (n, /n), ma anche come unione di rettangoli orizzontali che hanno due vertici opposti nei punti (0, /(n )) e (n, /n). 4

5 L area dell n-esimo rettangolo vale ( n n ) = n n. Dunque l area complessiva dell istogramma vale /2 /3... se viene calcolata come somma delle aree dei rettangoli verticali, e vale /2 /3 /4... se viene calcolata come somma delle aree dei rettangoli orizzontali. Ma l uguaglianza n...= n... è impossibile se le serie ai due membri sono convergenti. Concludiamo con due ulteriori osservazioni. La successione n H(n) cresce molto lentamente: essa si comporta come la successione n log n, nel senso che il rapporto tra le due tende a per n. Lo stesso vale, ovviamente, anche se si scrive log(n)alposto di log n. Unesame non difficile, ma minuzioso, mostra che log(n ) <H(n) per ogni n (cosa che già sappiamo) e più precisamente la differenza H(n) log(n ) converge ad una costante γ, la cosiddetta costante di Eulero-Mascheroni, che vale approssimativamente Il lettore interessato può consultare il testo citato in bibliografia [], p. 383 e ss. n H(n) log(n ) H(n) log(n )

6 Finalmente: eccettuato il valore H() =, tutti i restanti valori di H(n) sono numeri (ovviamente) razionali, ma non interi: in effetti ciascuno di tali numeri è dato da una frazione irriducibile con numeratore dispari e denominatore pari. Per una dimostrazione elementare di questo fatto rimandiamo al numero 4 dell anno 995 della rivista Archimede (pag. 28). Bibliografia [] G.C. Barozzi, Primo Corso di Analisi Matematica, Zanichelli (Bologna), 998; [2] R. Courant, H. Robbins, Che cos è lamatematica, Bollati Boringhieri (Milano), 2000; [3] W. Dunham, Viaggio attraverso il genio, Zanichelli (Bologna),